Mathematical Engineering - LRT » Leichtbau

Aufgabe 26 – Schubfeldtheorie

JK — Sat, 04 Jul 2009 18:18:38 +0000

Gegeben:
a, Dehnsteifigkeit der Stäbe EA, Schubsteifigkeit der Bleche G_t, F

Gesucht:
a) Normalkraftverläufe in den Stäben
b) Schubflüsse in den Blechen
c) Verschiebung des Verbindungsknotens der beiden Bleche auf der Symmetrielinie

Lösung

Vorüberlegungen

Statische Unbestimmtheit:

U = Stäbe + Bleche + Lagerreaktionen – 2 · Knoten
U = 8 + 2 + 4 – 2 · 7 = 0

äußere statische Unbestimmtheit:

U_A = Lagerreaktionen – GGB
U_A = = 4 – 3 = 1

Es handelt sich hier um ein symmetrisches System unter symmetrischer Belastung. Das bedeutet, dass die antimetrischen Größen u (Dehnung) und Q (Querkraft) auf der Symmetrieachse = 0 sind

Ersatzsystem:

(rechtes System)

a)

Normalkraftverläufe

Um den Normalkraftverlauf zu bestimmen, berechnen wir die Stabkräfte sowie den Schubfluss in den einzelnen Stäben.

Dabei gilt:

\sin \left( {45^\circ } \right) = \cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2
" title="
\sin \left( {45^\circ } \right) = \cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zudem ist der Schubfluss in einem Recheckprofil konstant!

Knoten 4:

\sum {H = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{41} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{43}
" title="
\sum {H = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{41} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{43}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{41} = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{43}
" title="
\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{41} = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{43}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad S_{41} = S_{43} = 0
" title="
\Rightarrow \quad S_{41} = S_{43} = 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Knoten 3:

\sum H = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{34} = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{32}
" title="
\sum H = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{34} = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{32}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{34} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{32} +\sqrt 2 \:F
" title="
\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{34} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{32} +\sqrt 2 \:F
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad S_{32} = -F = -S_{34}
" title="
\Rightarrow \quad S_{32} = -F = -S_{34}
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad S_{34} = F
" title="
\Rightarrow \quad S_{34} = F
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Stab 3 – 4:

\underbrace {S_{43} }_0+q \cdot a = S_{34} \quad \Rightarrow \quad q = \frac{F}
{a}
" title="
\underbrace {S_{43} }_0+q \cdot a = S_{34} \quad \Rightarrow \quad q = \frac{F}
{a}
" style="vertical-align: -26px; border: none;"/>

Stab 4 – 1:

\underbrace {S_{41} }_0+q \cdot a = S_{14} \quad \Rightarrow \quad S_{14} = F
" title="
\underbrace {S_{41} }_0+q \cdot a = S_{14} \quad \Rightarrow \quad S_{14} = F
" style="vertical-align: -26px; border: none;"/>

Stab 3 – 2:

S_{23} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{32} }_{-F}\quad \Rightarrow \quad S_{23} = -2F
" title="
S_{23} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{32} }_{-F}\quad \Rightarrow \quad S_{23} = -2F
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

Knoten 1:

\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{14} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} \quad \Rightarrow \quad S_{12} = S_{14} = F
" title="
\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{14} = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} \quad \Rightarrow \quad S_{12} = S_{14} = F
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\sum H = 0\quad \Rightarrow \quad A_H = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{14}
" title="
\sum H = 0\quad \Rightarrow \quad A_H = -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} -\frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{14}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad A_H = -\sqrt 2 \:F
" title="
\Rightarrow \quad A_H = -\sqrt 2 \:F
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Stab 1 – 2:

S_{21} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{12} }_F\quad \Rightarrow \quad S_{21} = 0
" title="
S_{21} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{12} }_F\quad \Rightarrow \quad S_{21} = 0
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

Damit folgt nun der Normalkraftverlauf:

b)

Schubflüsse

Bereits bei a) berechnet:

q = \frac{F}
{a}
" title="
q = \frac{F}
{a}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

c)

Verschiebung des Verbindungsknotens

Hier wenden wir die Methode der Fremdarbeit an (auch bekannt als Kraftgrößenverfahren). D.h. wir führen eine „1“-Belastung ein

Damit erhalten wir folgendes Ersatzsystem:
(hier ist die Kraft nur ½, da die „1“-Belastung auf die beiden Teilsysteme aufgeteilt wird)

Knoten 4:

Wie bei a) gilt auch hier, dass die Stabkräfte an einem freien Knoten verschwinden:

\Rightarrow \quad S_{41} = S_{43} = 0
" title="
\Rightarrow \quad S_{41} = S_{43} = 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Knoten 3:

Hier gilt das gleiche wie bei Knoten 2:

\Rightarrow \quad S_{34} = S_{32} = 0
" title="
\Rightarrow \quad S_{34} = S_{32} = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Stab 3 – 4:

\underbrace {S_{43} }_0+q_1 \cdot a = \underbrace {S_{34} }_0\quad \Rightarrow \quad q_1 = 0
" title="
\underbrace {S_{43} }_0+q_1 \cdot a = \underbrace {S_{34} }_0\quad \Rightarrow \quad q_1 = 0
" style="vertical-align: -26px; border: none;"/>

Knoten 1:

Hier müssen wir lediglich noch die fehlende Stabkraft S₁₂ berechnen, die wir über das vertikale Gleichgewicht bekommen:

\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:\underbrace {S_{14} }_0 = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} +\frac{1}
{2}
" title="
\sum {V = 0} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:\underbrace {S_{14} }_0 = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \:S_{12} +\frac{1}
{2}
" style="vertical-align: -26px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad S_{12} = -\frac{1}
{{\sqrt 2 }} = -\frac{{\sqrt 2 }}
{2}
" title="
\Rightarrow \quad S_{12} = -\frac{1}
{{\sqrt 2 }} = -\frac{{\sqrt 2 }}
{2}
" style="vertical-align: -11px; border: none;"/>

Damit folgt für den Verlauf im „1“-System:

Für die Verschiebung gilt nun (ausgehend von der Formel für die Verschiebungseinflusszahlen):

\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^i {\text{N}}_x^j }}
{{EA}}+\frac{{M_y^i M_y^j }}
{{EI_y }}+\frac{{M_z^i M_z^j }}
{{EI_z }}+\frac{{Q_y^i Q_y^j }}
{{GA_{Sy} }}+\frac{{Q_z^i Q_z^j }}
{{GA_{Sz} }}+\ldots} \right)dx}
" title="
\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^i {\text{N}}_x^j }}
{{EA}}+\frac{{M_y^i M_y^j }}
{{EI_y }}+\frac{{M_z^i M_z^j }}
{{EI_z }}+\frac{{Q_y^i Q_y^j }}
{{GA_{Sy} }}+\frac{{Q_z^i Q_z^j }}
{{GA_{Sz} }}+\ldots} \right)dx}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

v = \delta _{10} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^1 N_x^0 }}
{{EA}}} \right)dx} = \left( {\frac{1}
{2} \cdot \frac{{-\sqrt 2 }}
{2} \cdot F \cdot a} \right) \cdot 2
" title="
v = \delta _{10} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^1 N_x^0 }}
{{EA}}} \right)dx} = \left( {\frac{1}
{2} \cdot \frac{{-\sqrt 2 }}
{2} \cdot F \cdot a} \right) \cdot 2
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

= -\frac{{\sqrt 2 }}
{2}Fa
" title="
= -\frac{{\sqrt 2 }}
{2}Fa
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Das Integral wird mit hilfe der Koppeltafel berechnet. Der Term in der Klammer muss mit 2 Multipliziert werden, da wir nun das linke System auch wieder mit einbeziehen müssen.

\mathcal{J}\mathcal{K}
" title="
\mathcal{J}\mathcal{K}
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Aufgabe 23 – Kraftgrößenmethode

JK — Wed, 24 Jun 2009 22:06:45 +0000

Berechnen Sie das unten angegebene Tragwerk den Querkraft und Momentverlauf mittels der
Kraftgrößenmethode. Hinsichtlich der Querkraftbeanspruchung kann der Balken als
schubstarr angesehen werden.

Gegeben: EI, l, F

Lösung

Da der Balken schubstarr ist, gilt:

G \to \infty
" title="
G \to \infty
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

Zunächst müssen wir die statische Unbestimmtheit des Systems ermitteln, was hier recht einfach funktioniert:
Das Lager in der Mitte ist ein Gleitlager und kann nur Kräfte in vertikaler Richtung aufnehmen: 1 Lagerreaktion
Die feste Einspannung links nimmt Kräfte in horizontaler und vertikaler Richtung sowie ein Moment um die z-Achse auf: 3 Lagerreaktionen
Damit erhalten wir 4 unbekannte, die wir mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen (Summen der horizontal- und Vertikalkräfte sowie der Momente) auf eine unbekannte reduzieren können:

U = 4-3 = 1
" title="
U = 4-3 = 1
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

Damit ist das System 1-fach statisch unbestimmt.

Die Idee hinter der Kraftgrößenmethode ist nun, das System in 2 \cdot U
" title="
2 \cdot U
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/> statisch bestimmte Systeme zu „zerlegen“ und diese anschließend über „Kompatibilitätsbedingungen“ wieder zusammenzufügen.

Um dies ein wenig verständlicher zu machen führen wir es einfach einmal durch.

Um das System statisch bestimmt zu machen, müssten wir eine der Lagerreaktionen „verschwinden“ lassen. Eine Möglichkeit (eine andere machen wir zum Schluss noch) wäre, die feste Einspannung links durch ein Auflager zu ersetzen.
Damit erhalten wir das so genannte „0″-System:

Nun kann links kein Drehmoment mehr aufgenommen werden. Es verschwindet also wie beabsichtigt eine Lagerreaktion, wodurch das System jetzt statisch bestimmt und daher vollständig berechenbar ist. Die Lagerreaktion wird nun jedoch nicht einfach weggelassen, sondern in ein zweites System als so genannte „1“-Kraft übernommen.
In diesem System wirkt außer dieser „1“-Kraft keine weitere mehr (denn alle anderen wirkenden Kräfte wurden ja bereits in das „0-System“ eingetragen).
Dieses System nennt man das „1“-System:

(auch dieses System ist wie beabsichtigt statisch bestimmt)

Nun betrachten wir die beiden Systeme getrennt voneinander und berechnen für jedes den Querkraft- und Momentverlauf. Dazu brauchen wir als erstes die Auflagerreaktionen:

„0“-System:

A_h = 0
" title="
A_h = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

A_v +B_v = F
" title="
A_v +B_v = F
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

0 = 2Fl-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = 2F\quad \Rightarrow \quad A_v = -F
" title="
0 = 2Fl-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = 2F\quad \Rightarrow \quad A_v = -F
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Schnittlasten:

links:

N_x = 0
" title="
N_x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Q_y = A_v = -F
" title="
Q_y = A_v = -F
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

M_z = -x \cdot Q_y = F \cdot x
" title="
M_z = -x \cdot Q_y = F \cdot x
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

rechts:

N_x = 0
" title="
N_x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Q_y = F
" title="
Q_y = F
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

M_z = \left( {2l-x} \right) \cdot Q_y = \left( {2l-x} \right) \cdot F
" title="
M_z = \left( {2l-x} \right) \cdot Q_y = \left( {2l-x} \right) \cdot F
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Querkraftverlauf:

Momentverlauf:

Nun das gleiche für das andere System.

„1“-System:

A_h = 0
" title="
A_h = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

A_v = -B_v
" title="
A_v = -B_v
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

0 = 1-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = \frac{1}
{l}\quad \Rightarrow \quad A_v = -\frac{1}
{l}
" title="
0 = 1-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = \frac{1}
{l}\quad \Rightarrow \quad A_v = -\frac{1}
{l}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Schnittlasten:

links:

N_x = 0
" title="
N_x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Q_y = A_v = -\frac{1}
{l}
" title="
Q_y = A_v = -\frac{1}
{l}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

M_z = -x \cdot Q_y -1 = \frac{1}
{l}x-1
" title="
M_z = -x \cdot Q_y -1 = \frac{1}
{l}x-1
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

rechts:

N_x = 0
" title="
N_x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Q_y = 0
" title="
Q_y = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

M_z = 0
" title="
M_z = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Querkraftverlauf:

Momentverlauf:

Gesamtsystem

Nun müssen die Verläufe der beiden Einzelsysteme wieder miteinander vereinigt werden. Dafür benötigen wir die folgenden Beziehungen:

Für ein einfach statisch unbestimmtes System gilt:

Q_{y,ges} = Q_y^0 +X_1 \cdot Q_y^1
" title="
Q_{y,ges} = Q_y^0 +X_1 \cdot Q_y^1
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

M_{z,ges} = M_z^0 +X_1 \cdot M_z^1
" title="
M_{z,ges} = M_z^0 +X_1 \cdot M_z^1
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\delta _{10} +X_1 \cdot \delta _{11} = 0\quad \Rightarrow \quad X_1 = -\frac{{\delta _{10} }}
{{\delta _{11} }}
" title="
\delta _{10} +X_1 \cdot \delta _{11} = 0\quad \Rightarrow \quad X_1 = -\frac{{\delta _{10} }}
{{\delta _{11} }}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Des weiteren gilt für die δ gilt:

Da wir jedoch keine Normalkräfte haben und wegen der Schubstarrheit G \to \infty
" title="
G \to \infty
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/> gilt, vereinfacht sich die Formel zu:

\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{M_z^i M_z^j }}
{{EI}}} \right)dx}
" title="
\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{M_z^i M_z^j }}
{{EI}}} \right)dx}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

Eingesetzt und mit Hilfe der Koppeltafel gelöst erhalten wir:

\delta _{10} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^0}
{EI}} \right)dx} = \frac{1}
{6} \cdot \frac{{Fl \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}}
{{EI}}
" title="
\delta _{10} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^0}
{EI}} \right)dx} = \frac{1}
{6} \cdot \frac{{Fl \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}}
{{EI}}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

= -\frac{1}
{6}\frac{{Fl^2 }}
{{EI}}
" title="
= -\frac{1}
{6}\frac{{Fl^2 }}
{{EI}}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\delta _{11} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^1}
{EI}} \right)dx} = \frac{1}
{3} \cdot \frac{{\left( {-1} \right) \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}}
{{EI}}
" title="
\delta _{11} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^1}
{EI}} \right)dx} = \frac{1}
{3} \cdot \frac{{\left( {-1} \right) \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}}
{{EI}}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

= \frac{1}
{3}\frac{l}
{{EI}}
" title="
= \frac{1}
{3}\frac{l}
{{EI}}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad X_1 = -\frac{{\delta _{10} }}
{{\delta _{11} }} = \frac{1}
{2}Fl
" title="
\Rightarrow \quad X_1 = -\frac{{\delta _{10} }}
{{\delta _{11} }} = \frac{1}
{2}Fl
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Daraus folgen schließlich die Gesamtverläufe mit

Q_{y,ges} = Q_y^0 +\frac{1}
{2}Fl \cdot Q_y^1
" title="
Q_{y,ges} = Q_y^0 +\frac{1}
{2}Fl \cdot Q_y^1
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

und

M_{z,ges} = M_z^0 +\frac{1}
{2}Fl \cdot M_z^1
" title="
M_{z,ges} = M_z^0 +\frac{1}
{2}Fl \cdot M_z^1
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\mathcal{J}\mathcal{K}
" title="
\mathcal{J}\mathcal{K}
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Aufgabe 21 – statische Unbestimmtheit

JK — Tue, 23 Jun 2009 17:19:29 +0000

Bestimmen sie den Grad der statischen Unbestimmtheit der nachfolgenden Strukturen.
(Es werden nur die prüfungsrelevanten Teilaufgaben betrachtet: a-h, n)

Hinweise:

Zunächst einmal müssen wir unterscheiden, um was für ein Tragwerk es sich überhaupt handelt:

Balkentragwerk
Rahmentragwerk
Schubfeld
zusammengesetztes Tragwerk

Die benötigten Formeln dazu:

Bei Rahmentragwerken gilt:

U = 3r+l-3
" title="
U = 3r+l-3
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

r: Anzahl der Rahmen
l: Anzahl der Lagerreaktionen
3: 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Reduktion der statischen Unbestimmtheit

Bei ebenen Schubfeldern gilt:

U = s+b+l-2k
" title="
U = s+b+l-2k
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

s: Anzahl der Stäbe
b: Anzahl der Bleche
k: Anzahl der Knoten
l: Anzahl der Lagerungen (Lagerreaktionen)
U: statische Unbestimmtheit

Die Formel gilt ohne b auch für Fachwerke.

Alternativ:

U = k_i +l-3
" title="
U = k_i +l-3
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

k_i: Anzahl der inneren Knoten

l-3
" title="
l-3
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>: äußere statische Unbestimmtheit

Mehrteilige Tragwerke:

U = g+l-3n
" title="
U = g+l-3n
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

n: Anzahl der Teilkörper
g: Anzahl der durch die Verbindungselemente übertragenen Kräfte
l: Anzahl der Lagerungen (Lagerkräfte)
U: statische Unbestimmtheit

Das bedeutet, dass bei ebenen mehrteiligen Tragwerken ein freigeschnittenes Gelenk die statische Unbestimmtheit um 1 reduziert.

Statische Bestimmtheit von Fachwerken:

2n = a+z
" title="
2n = a+z
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

n: Knoten
z: Stäbe
a: Auflagerreaktionen

Teilaufgaben und Lösungen:

Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" title="
U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 3 \cdot 3+3-3 = 9
" title="
U = 3 \cdot 3+3-3 = 9
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" title="
U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 70+20+4-2 \cdot 44 = 10
" title="
U = 70+20+4-2 \cdot 44 = 10
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

- Bei der Knotenanzahl werden übrigens die Knoten in den Gelenken mitgezählt!
- Die Dreiecke sind keine Bleche!

Somit ist der Schubfeldträger 10-fach statisch unbestimmt.

Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" title="
U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 3 \cdot 4+9-3 = 18
" title="
U = 3 \cdot 4+9-3 = 18
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" title="
U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 107+24+6-2 \cdot 64 = 9
" title="
U = 107+24+6-2 \cdot 64 = 9
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" title="
U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 3 \cdot 8+6-3 = 27
" title="
U = 3 \cdot 8+6-3 = 27
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

- Unten an den Lagern ist kein Rahmen!
- Die Dreiecke sind auch Rahmen (nicht zu verwechseln mit den Blechen beim Schubfeld)!

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" title="
U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 20+4+4-2 \cdot 12 = 4
" title="
U = 20+4+4-2 \cdot 12 = 4
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Alternativ:

U = k_i +l-3
" title="
U = k_i +l-3
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

U = innere\:Knoten+Lagerreaktionen-3
" title="
U = innere\:Knoten+Lagerreaktionen-3
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 3+4-3 = 4
" title="
U = 3+4-3 = 4
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Hergeleitet aus der Schubfeldformel erhalten wir:

U = s+l-2k
" title="
U = s+l-2k
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

U = 4+4-2 \cdot 5 = -2
" title="
U = 4+4-2 \cdot 5 = -2
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

Damit ist dieses Stabtragwerk 2-fach statisch unterbestimmt und somit labil.

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" title="
U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 25+7+5-2 \cdot 16 = 5
" title="
U = 25+7+5-2 \cdot 16 = 5
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt.

Für den angegebenen Fall mit der angreifenden Kraft F können wir auch folgendes Ersatzsystem betrachten:

Mit der Formel für mehrteilige Tragwerke erhalten wir:

U = g+l-3n = Gelenkkr\ddot afte+Lagerreaktionen-3 \cdot Teilk\ddot{o}rper
" title="
U = g+l-3n = Gelenkkr\ddot afte+Lagerreaktionen-3 \cdot Teilk\ddot{o}rper
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U = 2+4-3 \cdot 2 = 0
" title="
U = 2+4-3 \cdot 2 = 0
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>-fach statisch unbestimmt = statisch bestimmt

- Wir haben 2 Teilkörper, die durch 1 Gelenk verbunden sind
- Diese Gelenk kann 2 Kräfte übertragen (horizontal und vertikal)
- Die Lagerreaktionen: Oben links 2 und bei den beiden Gleitlagern 1

Aufgabe 11 – St. Venantsche Torsion mehrfach geschlossener Querschnitte

JK — Sat, 06 Jun 2009 15:31:44 +0000

Die beiden Träger A) und B) sollen hinsichtlich ihres Torsionsverhaltens untersucht werden.
Träger A) ist als einzelliger Querschnitt, Träger B) als dreizelliger Querschnitt ausgebildet. Die Einspannung ist als Gabellagerung (Verwölbung zugelassen) ausgeführt, weshalb es sich um ein St. Venantsches Torsionsproblem handelt.

Gegeben: Schubmodul G, Wandstärke t, a, l, M

1.) Berechnen Sie

a) die Torsionssteifigkeiten
b) die Schubflüsse
c) die Verdrehwinkel der beiden Träger

2.) Welche Bauweise ist unter Leichtbaugesichtspunkten sinnvoller?

Lösung

1.) a) Berechnung der Torsionssteifigkeiten

Bauweise A:

Der Querschnitt dieses Trägers ist einfach geschlossen.

Torsionssteifigkeit für ein einfach geschlossenes Profil:
(2. Bredtsche Formel)

A_U
" title="
A_U
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>: Umschlossene Fläche

: Umfang

Es gilt nun:

A_U = 6a \cdot 2a = 12a^2
" title="
A_U = 6a \cdot 2a = 12a^2
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

= \frac{{16a}}
{{Gt}}
" title="
= \frac{{16a}}
{{Gt}}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>
\Rightarrow GI_T ^A = \frac{{4 \cdot \left( {12a^2 } \right)^2 }}
{{\frac{{16a}}
{{Gt}}}} = \underline{\underline {36Gta^3 }}
" title="
\Rightarrow GI_T ^A = \frac{{4 \cdot \left( {12a^2 } \right)^2 }}
{{\frac{{16a}}
{{Gt}}}} = \underline{\underline {36Gta^3 }}
" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Bauweise B:

Hierbei handelt es sich um einen mehrfach geschlossenen Querschnitt:

Torsionssteifigkeit für ein einfach geschlossenes Profil:
GI_T = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{q_i }}
{{\varphi _x ^{\prime}}}A_{Ui} } = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} }
" title="
GI_T = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{q_i }}
{{\varphi _x ^{\prime}}}A_{Ui} } = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} }
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>
A_U
" title="
A_U
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>: Umschlossene Fläche
q_i
" title="
q_i
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>: Schubflüsse
\varphi _x ^{\prime}
" title="
\varphi _x ^{\prime}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>: Verdrillungen
q_i ^*
" title="
q_i ^*
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>: unbekannte, die wir durch ein Gleichungssystem berechnen müssen und aus der wir anschließend die Schubflüsse berechnen können.

Nun legen wir zunächst willkürlich eine Umlaufrichtung für den Schubfluss fest:

Zu beachten ist bei diesem Querschnitt übrigens, dass sich der Schubfluss im Steg zwischen zwei Zellen aus den Schubflüssen der jeweiligen benachbarten Zellen zusammensetzt.

Es gilt:

q_i ^* \int_a^b {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{ab} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i-1} ^* } \right)\int_b^c {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{bc} }}} +q_i ^* \int_c^d {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{cd} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i+1} ^* } \right)\int_d^a {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{da} }}} = 2A_{Ui}
" title="
q_i ^* \int_a^b {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{ab} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i-1} ^* } \right)\int_b^c {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{bc} }}} +q_i ^* \int_c^d {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{cd} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i+1} ^* } \right)\int_d^a {\frac{{ds}}
{{\left( {Gt} \right)_{da} }}} = 2A_{Ui}
" style="vertical-align: -11px; border: none;"/>

Eingesetzt erhalten wir für somit 3 Gleichungen mit insgesamt 3 Unbekannten:

Zelle 1: q_1 ^* \frac{a}
{{Gt}}+q_1 ^* \frac{{2a}}
{{Gt}}+q_1 ^* \frac{a}
{{Gt}}+\left( {q_1 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 2a^2
" title="
q_1 ^* \frac{a}
{{Gt}}+q_1 ^* \frac{{2a}}
{{Gt}}+q_1 ^* \frac{a}
{{Gt}}+\left( {q_1 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 2a^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zelle 2: q_2 ^* \frac{{4a}}
{{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_1 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}}+q_2 ^* \frac{{4a}}
{{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_3 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 8a^2
" title="
q_2 ^* \frac{{4a}}
{{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_1 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}}+q_2 ^* \frac{{4a}}
{{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_3 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 8a^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zelle 3: q_3 ^* \frac{a}
{{Gt}}+\left( {q_3 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}}+q_3 ^* \frac{a}
{{Gt}}+q_3 ^* \frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 2a^2
" title="
q_3 ^* \frac{a}
{{Gt}}+\left( {q_3 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}}
{{Gt}}+q_3 ^* \frac{a}
{{Gt}}+q_3 ^* \frac{{2a}}
{{Gt}} = 2 \cdot 2a^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Dieses Gleichungssystem können wir auch als Matrix darstellen und anschließend auflösen.
Dazu multiplizieren wir die Gleichungen noch mit Gt und teilen durch a:

Zelle 1: q_1 ^* +2q_1 ^* +q_1 ^* +2q_1 ^* -2q_2 ^* = 6q_1 ^* -2q_2 ^* = 4Gta
" title="
q_1 ^* +2q_1 ^* +q_1 ^* +2q_1 ^* -2q_2 ^* = 6q_1 ^* -2q_2 ^* = 4Gta
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zelle 2: 4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_1 ^* +4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_3 ^* = 12q_2 ^* -2q_1 ^* -2q_3 ^* = 16Gta
" title="
4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_1 ^* +4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_3 ^* = 12q_2 ^* -2q_1 ^* -2q_3 ^* = 16Gta
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zelle 3: q_3 ^* +2q_3 ^* -2q_2 ^* +q_3 ^* +2q_3 ^* = 6q_3 ^* -2q_2 ^* = 4Gta
" title="
q_3 ^* +2q_3 ^* -2q_2 ^* +q_3 ^* +2q_3 ^* = 6q_3 ^* -2q_2 ^* = 4Gta
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

In Matrizendarstellung:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {-2} & 0 \\
{-2} & {12} & {-2} \\
0 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1 ^* \\

{q_2 ^* } \\
{q_3 ^* } \\

\end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
4 \\
{16} \\
4 \\

\end{array} } \right\}Gta
" title="
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {-2} & 0 \\
{-2} & {12} & {-2} \\
0 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1 ^* \\

{q_2 ^* } \\
{q_3 ^* } \\

\end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
4 \\
{16} \\
4 \\

\end{array} } \right\}Gta
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

Nun lösen wir das Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel:

q_i ^* = \frac{{\det (A_i )}}
{{\det (A)}}
" title="
q_i ^* = \frac{{\det (A_i )}}
{{\det (A)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>
Die Matrix Ai entsteht aus der Koeffizientenmatrix, indem die i-te Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt wird.

Die Determinante können wir über die Regel von Sarrus berechnen:

\det \left( A \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {-2} & 0 \\
{-2} & {12} & {-2} \\
0 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right| = 6 \cdot 12 \cdot 6+0+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right)
" title="
\det \left( A \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {-2} & 0 \\
{-2} & {12} & {-2} \\
0 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right| = 6 \cdot 12 \cdot 6+0+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right)
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

= \underline{\underline {384}}
" title="
= \underline{\underline {384}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\det \left( {A_1 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4Gta & {-2} & 0 \\

{16Gta} & {12} & {-2} \\
{4Gta} & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4 & {-2} & 0 \\
{16} & {12} & {-2} \\
4 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right|Gta
" title="
\det \left( {A_1 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4Gta & {-2} & 0 \\

{16Gta} & {12} & {-2} \\
{4Gta} & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4 & {-2} & 0 \\
{16} & {12} & {-2} \\
4 & {-2} & 6 \\

\end{array} } \right|Gta
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

= \left[ {4 \cdot 12 \cdot 6+\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4-6 \cdot 16 \cdot \left( {-2} \right)} \right]Gta
" title="
= \left[ {4 \cdot 12 \cdot 6+\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4-6 \cdot 16 \cdot \left( {-2} \right)} \right]Gta
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

= \underline{\underline {480Gta}}
" title="
= \underline{\underline {480Gta}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\det \left( {A_2 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & 4 & 0 \\
{-2} & {16} & {-2} \\
0 & 4 & 6 \\

\end{array} } \right|Gta = \left[ {6 \cdot 16 \cdot 6+0+0-0-4 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4} \right]Gta
" title="
\det \left( {A_2 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & 4 & 0 \\
{-2} & {16} & {-2} \\
0 & 4 & 6 \\

\end{array} } \right|Gta = \left[ {6 \cdot 16 \cdot 6+0+0-0-4 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4} \right]Gta
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

= \underline{\underline {672Gta}}
" title="
= \underline{\underline {672Gta}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\det \left( {A_3 } \right) = \det \left( {A_1 } \right)
" title="
\det \left( {A_3 } \right) = \det \left( {A_1 } \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Daraus folgt:

q_1 ^* = q_3 ^* = \frac{{480Gta}}
{{384}} = \underline{\underline {1,25\:Gta}}
" title="
q_1 ^* = q_3 ^* = \frac{{480Gta}}
{{384}} = \underline{\underline {1,25\:Gta}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

q_2 ^* = \frac{{672Gta}}
{{384}} = \underline{\underline {1,75\:Gta}}
" title="
q_2 ^* = \frac{{672Gta}}
{{384}} = \underline{\underline {1,75\:Gta}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Somit gilt für die Torsionssteifigkeit des Trägers B:

GI_T ^B = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} } = 2 \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,25\:Gta \cdot 2a^2 } \right)+1,75\:Gta \cdot 8a^2 } \right] = \underline{\underline {38Gta^3 }}
" title="
GI_T ^B = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} } = 2 \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,25\:Gta \cdot 2a^2 } \right)+1,75\:Gta \cdot 8a^2 } \right] = \underline{\underline {38Gta^3 }}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

b) Schubflüsse

Bauweise A:

Formel für den Schubfluss:
(1. Bredtsche Formel)

q = \frac{{M_t }}
{{2A_U }}
" title="
q = \frac{{M_t }}
{{2A_U }}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

q = \frac{{M_t }}
{{2A_U }} = \frac{{M_T }}
{{2 \cdot 12a^2 }} = \underline{\underline {0,0417\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}}
" title="
q = \frac{{M_t }}
{{2A_U }} = \frac{{M_T }}
{{2 \cdot 12a^2 }} = \underline{\underline {0,0417\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Bauweise B:

Aus den q_i ^*
" title="
q_i ^*
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/> können wir nun die q_i
" title="
q_i
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/> bestimmen:

q_i = \varphi _x ^{\prime}\cdot q_i ^* = \frac{{M_T }}
{{GI_T }} \cdot q_i ^*
" title="
q_i = \varphi _x ^{\prime}\cdot q_i ^* = \frac{{M_T }}
{{GI_T }} \cdot q_i ^*
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\varphi _x ^{\prime}
" title="
\varphi _x ^{\prime}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>: Verdrillung

q_1 = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot 1,25Gta = \underline{\underline {0,0329\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}} = q_3
" title="
q_1 = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot 1,25Gta = \underline{\underline {0,0329\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}} = q_3
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

q_2 = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot 1,75Gta = \underline{\underline {0,0461\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}}
" title="
q_2 = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot 1,75Gta = \underline{\underline {0,0461\frac{{M_T }}
{{a^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Grafisch sieht der Schubflussverlauf wie folgt aus:

c) Verdrehwinkel

Bauweise A: \varphi _x = \varphi _x ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }}
{{GI_T ^A }} \cdot l = \frac{{M_T }}
{{36Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0278\frac{{M_t l}}
{{Gta^3 }}}}
" title="
\varphi _x = \varphi _x ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }}
{{GI_T ^A }} \cdot l = \frac{{M_T }}
{{36Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0278\frac{{M_t l}}
{{Gta^3 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Bauweise B: \varphi _x = \varphi _x ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }}
{{GI_T ^B }} \cdot l = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0263\frac{{M_t l}}
{{Gta^3 }}}}
" title="
\varphi _x = \varphi _x ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }}
{{GI_T ^B }} \cdot l = \frac{{M_T }}
{{38Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0263\frac{{M_t l}}
{{Gta^3 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

2) Welche Bauweise ist unter Leichtbaugesichtspunkten sinnvoller?

Zur Erhöhung der Torsionssteifigkeit ist Bauweise B ungeeignet, da ein relativ hoher
Materialaufwand nur eine geringfügige Erhöhung der Torsionssteifigkeit bewirkt. (Um gerade mal 10,66%)

Fertig!

Aufgabe 09 – Schubwandträger

JK — Tue, 26 May 2009 21:37:25 +0000

a) Berechnen Sie für den abgebildeten Schubwandträger, der durch die Kraft F belastet wird
(siehe Bild), an der Einspannstelle die Spannung in den Gurten.

b) Geben Sie außerdem den Winkel an, unter dem die Kraft im Punkt P angreifen muss, damit
eine Torsion vermieden wird.

Zum Schubwandträger:
Bei einem Schubwandträger wird auf die Knoten jeweils die Hälfte der Länge der angrenzenden “Stäbe” aufsummiert. Dadurch entsteht die Fläche der Knoten. Anschließend wird so getan, als existierten nur noch diese Knoten. Daher werden auch keine Integrale mehr zur Berechnung benötigt, sondern nur noch Summen. Dies stellt eine häufig angewandte Vereinfachung im Leichtbau dar.

Gegeben:
Länge a
Länge l = 25a
Fläche A
Elastizitätsmodul E
Kraft F
Profildicke t

Lösung:

Vorüberlegungen:
- Profil ist 1-fach symmetrisch
- Kraft parallel zur Hauptachse
- SMP liegt auf Symmetrieachse und Kraft greift nicht im SMP an \Rightarrow
" title="
\Rightarrow
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/> Torsion

Als nächstes führen wir (wie immer) ein Koordinatensystem ein:

Aufgabenteil a)

Um die Spannung in den Gurten (oben und unten am Träger) an der Einspannstelle zu berechnen, benötigen wir die Spannungsformel ohne thermische Anteile:

{{EA}}+\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z }}
{{EI_z }}y} \right\}" title="\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x }}
{{EA}}+\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z }}
{{EI_z }}y} \right\}" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Nun berechnen wir die Schnittlasten an der Einspannstelle (Auflagerreaktionen):
(Wir betrachten hier das negative Schnittufer. Daher müssen alle Reaktionskräfte entgegen des eingeführten Koordinatensystems aufgestellt werden.)

N_x = 0
" title="
N_x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

M_{z\left( x \right)} = 0
" title="
M_{z\left( x \right)} = 0
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Da einige der Schnittkräfte = 0 sind, vereinfacht sich die Spannungsgleichung zu:

{{EI_y }}z_i " title="\sigma _{x_i} = E_i \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z_i " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

(Da es sich wie gesagt beim Schubwandträger um Summen von Punktspezifischen Größen handelt, wird statt (z) nun der Index i verwendet.)

Als Nächstes müssen wir EI_y
" title="
EI_y
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/> berechnen:
EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i }
" title="
EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i }
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Dazu benötigen wir aber noch das Schwerpunktkoordinatensystem mit \bar z
" title="
\bar z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>:

\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }}
{{\sum {EA_i } }}
" title="
\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }}
{{\sum {EA_i } }}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Hierfür brauchen wir nun den \tilde z
" title="
\tilde z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>-Verlauf:

(Zu beachten ist, dass hier, im Gegensatz zu den Integralen, auch keine Koppetafel mehr benötigt wir, da ja nicht mehr integriert, sonder nur noch aufsummiert wird.)

Damit folgt:

\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }}
{{\sum {EA_i } }} = \frac{{E \cdot \left( {3a \cdot 0,75A+3a \cdot 3A+3a \cdot 0,75A} \right)}}
{{E \cdot \left( {2 \cdot 0,75A+3A+2A+2 \cdot 0,5A} \right)}} = \frac{{13,5EAa}}
{{7,5EA}} = \frac{9}
{5}a = 1,8a
" title="
\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }}
{{\sum {EA_i } }} = \frac{{E \cdot \left( {3a \cdot 0,75A+3a \cdot 3A+3a \cdot 0,75A} \right)}}
{{E \cdot \left( {2 \cdot 0,75A+3A+2A+2 \cdot 0,5A} \right)}} = \frac{{13,5EAa}}
{{7,5EA}} = \frac{9}
{5}a = 1,8a
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Damit sieht der Schwerpunktverlauf so aus:

Daraus folgt:

EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i } = E \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,2a} \right)^2 \cdot 0,75A+\left( {1,2a} \right)^2 \cdot 3A+\left( {-1,8a} \right)^2 \cdot 2A+\left( {1,8a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right]
" title="
EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i } = E \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,2a} \right)^2 \cdot 0,75A+\left( {1,2a} \right)^2 \cdot 3A+\left( {-1,8a} \right)^2 \cdot 2A+\left( {1,8a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right]
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

EI_{\bar y} = \frac{{81}}
{5}EAa^2 = 16,2EAa^2
" title="
EI_{\bar y} = \frac{{81}}
{5}EAa^2 = 16,2EAa^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Für die Normalspannungsberechnung benötigen wir nun noch eine Nummerierung der Trägerenden (allerdings nur an einer Seite, da er ja symmetrisch ist). Des weiteren führen wir schonmal eine Richtungsangabe für den Schubfluss ein, welche wir in Aufgabenteil b) zur Bestimmung des -Verlaufes benötigen:

Nun können wir die Normalspannungen in den angegebenen Stellen berechnen:

Für den oberen Gurt gilt:

\sigma _{x_1} = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z_1 = \frac{{M_y }}
{{I_y }}z_1 = \frac{{25Fa}}
{{16,2Aa^2 }} \cdot 1,2a = \frac{{50F}}
{{27A}} = 1,852\frac{F}
{A}
" title="
\sigma _{x_1} = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z_1 = \frac{{M_y }}
{{I_y }}z_1 = \frac{{25Fa}}
{{16,2Aa^2 }} \cdot 1,2a = \frac{{50F}}
{{27A}} = 1,852\frac{F}
{A}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Für den unteren Gurt:

\sigma _{x2} = \frac{{25Fa}}
{{16,2Aa^2 }} \cdot \left( {-1,8a} \right) = \frac{{-25}}
{{9A}} = -2,778\frac{F}
{A}
" title="
\sigma _{x2} = \frac{{25Fa}}
{{16,2Aa^2 }} \cdot \left( {-1,8a} \right) = \frac{{-25}}
{{9A}} = -2,778\frac{F}
{A}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Aufgabenteil b)

Torsion wird dann vermieden, wenn die Wirkungslinie der angreifenden Kraft durch den Schubmittelpunkt geht.
Wir benötigen also zuerst den Schubmittelpunkt:

\tilde y_{SMP} = 0
" title="
\tilde y_{SMP} = 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\tilde z_{SMP} = -\frac{1}
{{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }
" title="
\tilde z_{SMP} = -\frac{1}
{{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

Nun berechnen wir EI_z
" title="
EI_z
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/> :

EI_{\bar z} = \sum {E_i \bar y_i ^2 A_i } = E \cdot \left( {2 \cdot \left( { \pm 1,5a} \right)^2 \cdot 0,75A+2 \cdot \left( { \pm a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right)
" title="
EI_{\bar z} = \sum {E_i \bar y_i ^2 A_i } = E \cdot \left( {2 \cdot \left( { \pm 1,5a} \right)^2 \cdot 0,75A+2 \cdot \left( { \pm a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= \frac{{35}}
{8}EAa^2 = 4,375EAa^2
" title="
= \frac{{35}}
{8}EAa^2 = 4,375EAa^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

(Auf die grafische Darstellung des y-Verlaufs wurde an dieser Stelle verzichtet.)

Jetzt kommt der \tilde r
" title="
\tilde r
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>-Verlauf:
Dies ist der Senkrechte Abstand zu einem beliebig gewählten Bezugspunkt, gewichtet mit+oder -, je nachdem, ob Schubflusspfeile in Drehrichtung des eingeführten Koordinatensystems zeigen oder entgegen.

Weiter mit dem elastischen Moment:

ES_z = \sum {E_i y_i A_i }
" title="
ES_z = \sum {E_i y_i A_i }
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

ES_{z1} = E_1 y_1 A_1 = E \cdot \left( -1,5a \right) \cdot 0,75A = -\frac{9}
{8}EAa
" title="
ES_{z1} = E_1 y_1 A_1 = E \cdot \left( -1,5a \right) \cdot 0,75A = -\frac{9}
{8}EAa
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Die Werte für alle anderen Punkte brauchen hier nicht berechnet werden, da auf der gegenüberliegenden Seite aufgrund der Symmetrie genau der gleiche Wert gilt und am unteren Trägerende die Statischen Momente später mit r = 0 multipliziert werden.

Damit folgt nun:

\tilde z_{SMP} = -\frac{1}
{{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }
" title="
\tilde z_{SMP} = -\frac{1}
{{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

= -\frac{1}
{{\frac{{35}}
{8}EAa^2 }}\cdot\left( {\left( {-3a} \right) \cdot \left( {-\frac{9}
{8}EAa} \right)\cdot1,5a+3a \cdot \frac{9}
{8}EAa\cdot1,5a} \right) = \underline{\underline {\frac{{81}}
{{35}}a}}
" title="
= -\frac{1}
{{\frac{{35}}
{8}EAa^2 }}\cdot\left( {\left( {-3a} \right) \cdot \left( {-\frac{9}
{8}EAa} \right)\cdot1,5a+3a \cdot \frac{9}
{8}EAa\cdot1,5a} \right) = \underline{\underline {\frac{{81}}
{{35}}a}}
" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Nun wissen wir, wo der Schwerpunkt liegt und können somit den Winkel für F berechnen:

\tan \varphi = \frac{{GK}}
{{AK}} = \frac{{3a-\frac{{81}}
{{35}}a}}
{{1,5a}}
" title="
\tan \varphi = \frac{{GK}}
{{AK}} = \frac{{3a-\frac{{81}}
{{35}}a}}
{{1,5a}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\Rightarrow \varphi = \underline{\underline {24,572^\circ }}
" title="
\Rightarrow \varphi = \underline{\underline {24,572^\circ }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Fertig!

Aufgabe 06 – Spannungsberechnung

JK — Tue, 19 May 2009 17:12:45 +0000

Gegeben ist folgender Träger mit der Länge l in x-Richtung:

Das Profil besitzt überall den Elastizitätsmodul E und die Dicke t, sofern nicht anderweitig
bezeichnet.

Berechnen Sie den Normalspannungsverlauf an der Einspannstelle unter der gegebenen
Belastung!

Wie groß darf F maximal sein, damit eine Bruchspannung von \sigma _{Bruch} = 400\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
\sigma _{Bruch} = 400\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/> nicht überschritten wird?

Gegeben:
E = 70000 N/mm²
t = 2 mm
l = 1000 mm
a = 50 mm
M = 3Fl

Lösung

Berechnung des Normalspannungsverlaufes

Erinnerung:
Formel für Spannungen im Hauptachsensystem:
{{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}" title="\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x +N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Da jedoch bei dieser Aufgabe keine thermische Belastung und auch keine Normalkräfte vorhanden sind, vereinfach sich die Formel zu:

{{EI_y }}z-\frac{{M_z }}
{{EI_z }}y} \right\}" title="\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z }}
{{EI_z }}y} \right\}" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Wir müssen nun also zunächst noch die Momente aus den Schnittlasten an der Einspannstelle sowie den y- und z-Verlauf und die Biegemomente berechnen.

Schnittlasten:

Q_x = -F
" title="
Q_x = -F
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

M_y = -xQ_x = F \cdot x
" title="
M_y = -xQ_x = F \cdot x
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

M_{y\left( {x = 0} \right)} = \underline{\underline {Fl}}
" title="
M_{y\left( {x = 0} \right)} = \underline{\underline {Fl}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

M_z = -M = \underline{\underline {-3Fl}}
" title="
M_z = -M = \underline{\underline {-3Fl}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

Nun Folgen der y-Verlauf und der z-Verlauf:

Damit können wir nun auch die Biegesteifigkeiten berechnen.

Erinnerung:
EI_{\bar y} = \int\limits_{}^{} {Et\bar z^2 \:ds}
" title="
EI_{\bar y} = \int\limits_{}^{} {Et\bar z^2 \:ds}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>
EI_{\bar z} = \int\limits_{}^{} {Et\bar y^2 \:ds}
" title="
EI_{\bar z} = \int\limits_{}^{} {Et\bar y^2 \:ds}
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\bar y
" title="
\bar y
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/> und \bar z
" title="
\bar z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/> sind die Abstände vom Schwerpunkt. Da der Schwerpunkt bei dem Gegebenen System jedoch genau in der Mitte liegt, wo wir auch schon y und z angesetzt haben setzen wir:

y = \bar y
" title="
y = \bar y
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/> und z = \bar z
" title="
z = \bar z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

Die Biegesteifigkeiten berechnen wir nun wieder mithilfe der Koppeltafel (wie in Artikel 4 beschrieben).

EI_y = \left( {2Et \cdot \frac{1}
{3} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+\left( {Et \cdot \frac{1}
{6}\left[ {\underbrace {a\left( {2a+2a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {2a\left( {a+4a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot a} \right) \cdot 4
" title="
EI_y = \left( {2Et \cdot \frac{1}
{3} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+\left( {Et \cdot \frac{1}
{6}\left[ {\underbrace {a\left( {2a+2a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {2a\left( {a+4a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot a} \right) \cdot 4
" style="vertical-align: -34px; border: none;"/>
= \underline{\underline {13,105Eta^3 }}
" title="
= \underline{\underline {13,105Eta^3 }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

EI_z = \left( {Et \cdot \frac{1}
{3} \cdot 1,5a \cdot 1,5a \cdot 1,5a} \right) \cdot 2
" title="
EI_z = \left( {Et \cdot \frac{1}
{3} \cdot 1,5a \cdot 1,5a \cdot 1,5a} \right) \cdot 2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+\left( {2Et \cdot \frac{1}
{6}\left[ {1,5a\left( {2 \cdot 1,5a+2,5a} \right)+2,5a\left( {1,5a+2 \cdot 2,5a} \right)} \right] \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+
" title="
+\left( {2Et \cdot \frac{1}
{6}\left[ {1,5a\left( {2 \cdot 1,5a+2,5a} \right)+2,5a\left( {1,5a+2 \cdot 2,5a} \right)} \right] \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+\left( {Et \cdot 2,5a \cdot 2,5a \cdot a} \right) \cdot 4 = \underline{\underline {73,448Eta^3 }}
" title="
+\left( {Et \cdot 2,5a \cdot 2,5a \cdot a} \right) \cdot 4 = \underline{\underline {73,448Eta^3 }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Um nun den Kompletten Spannungsverlauf skizzieren zu können, benötigen wir die Spannungen an Folgenden 18 Punkten!:

Nun können wir die Normalspannungen an den Markierten Stellen mit Hilfe der berechneten Werte ermitteln:

\sigma _x \left( 1 \right) = E\left( {\frac{{Fl}}
{{13,105Eta^3 }}2a-\frac{{-3Fl}}
{{73,448Eta^3 }}\left( {-2,5a} \right)} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{2}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,483}}} \right)
" title="
\sigma _x \left( 1 \right) = E\left( {\frac{{Fl}}
{{13,105Eta^3 }}2a-\frac{{-3Fl}}
{{73,448Eta^3 }}\left( {-2,5a} \right)} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{2}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,483}}} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= \underline{\underline {0,05\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {0,05\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 2 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,026\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 2 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,026\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 3 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,052\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 3 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,052\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 4 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 4 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 5 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,061\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 5 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,061\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 6 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 6 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 7 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 7 \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 8 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,178\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 8 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,178\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 9 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,255\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( 9 \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}}
{{13,105}}+\frac{{-2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,255\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {10} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{2}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,255\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {10} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{2}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,255\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {11} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,178\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {11} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,178\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {12} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {12} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{1}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {13} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {13} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {14} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,061\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {14} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,061\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {15} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {15} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {16} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,052\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {16} \right) = 2E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,052\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {17} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,026\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {17} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,026\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( {18} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,050\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" title="
\sigma _x \left( {18} \right) = E\frac{{Fl}}
{{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}}
{{13,105}}+\frac{{2,5}}
{{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,050\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Grafisch in 3D-Darstellung erhält man folgendes Bild:

Man sieht, dass sich die aus den Biegungen resultierenden Druckspannungen am linken unteren Profilende verstärken. Analoges lässt sich für die Zugspannungen am rechten oberen Ende festhalten.

Fmax

Die maximale Zugspannung, die wir im Profil berechnet haben beträgt:

\sigma _{ZugMax} = 0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}
" title="
\sigma _{ZugMax} = 0,357\frac{{Fl}}
{{ta^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

l, t und a eingesetzt ergibt:

\sigma _{ZugMax} = 0,357\frac{{1000mm}}
{{2mm \cdot \left( {50mm} \right)^2 }}F = \underline{\underline {0,0714\:\frac{F}
{{mm^2 }}}}
" title="
\sigma _{ZugMax} = 0,357\frac{{1000mm}}
{{2mm \cdot \left( {50mm} \right)^2 }}F = \underline{\underline {0,0714\:\frac{F}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Laut Vorgabe dürfen 400\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
400\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/> nicht überschritten werden. Es gilt also:

400\frac{N}
{{mm^2 }} = 0,0714\:\frac{F}
{{mm^2 }}
" title="
400\frac{N}
{{mm^2 }} = 0,0714\:\frac{F}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\Rightarrow F = \frac{{400\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{0,0714\frac{1}
{{mm^2 }}}} = \underline{\underline {5604,66N}}
" title="
\Rightarrow F = \frac{{400\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{0,0714\frac{1}
{{mm^2 }}}} = \underline{\underline {5604,66N}}
" style="vertical-align: -15px; border: none;"/>

Fertig!

Aufgabe 04 – Spannungsberechnung & Koppeltafel

JK — Fri, 15 May 2009 15:45:41 +0000

Der unten abgebildete Träger aus isotropem Material ist einseitig fest eingespannt. Er wird am freien Ende entsprechend der Skizze in der Symmetrielinie durch eine Einzelkraft belastet.

Gegeben:
Elastizitätsmodul E
Querkontraktionszahl n
Kraft F
Wanddicke t
Trägerlänge l = 30a
Geom. Abmessung a

Gesucht:
Berechnen Sie den Normalspannungs- und den Schubspannungsverlauf an der
Einspannstelle!

Lösung

Vorüberlegungen:

Das Profil ist 1-fach symmetrisch: Die Hauptachse ist parallel zur Symmetrieachse, d.h. es gibt keine Deviationsmomente
Die Kraft ist parallel zur Hauptachse, die Biegung erfolgt also nur um eine Achse
Der Schubmittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse und die Kraft greift im Schubmittelpunkt an, daher gibt es bei der Biegung keine Drillung

Als erstes müssen wir ein Koordinatensystem festlegen. Dieses bezeichnen wir mit ~, da es sich um ein beliebiges handelt. Das Koordinatensystem ohne ~ wird später jenes sein, welches im Schwerpunkt sitzt (den müssen wir vorher noch berechnen).

Schnittgrößen

Zuerst bestimmen wir die Querkraft und das Biegemoment an der Einspannstelle.
Die Querkraft benötigen wir zur Berechnung des Biegemomentes und das Biegemoment benötigen wir später zur Berechnung des Normalspannungsverlaufes.

Berechnung des Schwerpunktes

Hierzu erstellen wir zunächst eine Grafik des -Verlaufes, also des Abstandes vom Bezugspunkt in z-Richtung:

Die Formel für den Schwerpunkt lautet: {{\int_{}^{} {Etds} }}" title="\tilde z_{sp} = \frac{{\int_{}^{} {Et\tilde zds} }}
{{\int_{}^{} {Etds} }}" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

E: Elastizitätsmodul
t: Bauteildicke
z: Funktion des z-Verlaufes

Um nun die Beiden Integrale zu Berechnen nehmen wir die Koppeltafel für Integrale zur Hilfe:

Exkurs:

Sie dient normalerweise als Hilfestellung für die Berechnung eines Integrals, welches sich aus 2 Funktionen zusammensetzt:

Bsp.: \int\limits_0^l {a_{\left( s \right)} \cdot b_{\left( s \right)} \:ds}
" title="
\int\limits_0^l {a_{\left( s \right)} \cdot b_{\left( s \right)} \:ds}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>
oder kurz: \int\limits_0^l {a \cdot b\:ds}
" title="
\int\limits_0^l {a \cdot b\:ds}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

Hat nun z.B. die Funktion a einen konstanten Verlauf und die Funktion b einen linearen Verlauf, so entnehmen wir der Koppeltafel für das Integral die Lösung: \frac{1}
{2} \cdot a \cdot b \cdot l
" title="
\frac{1}
{2} \cdot a \cdot b \cdot l
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>
a ist hier das Maximum der Funktion a, b das Maximum der Funktion b und l die Länge, über welche die beiden Funktionen integriert werden sollen.

Beispielausschnitt aus der Koppeltafel:

Sind beide Funktionen dagegen konstant, so liest man auch dies wieder entsprechend ab.

Durch die Koppeltafel erspart man sich also ein „Integrieren per Hand“.

Berechnung:

Da unser z Verlauf aus 4 Teilen besteht, von denen die 2 oberen identisch sind, müssen wir nun 3 Terme aufaddieren. (Ich markiere hier noch einmal a, b und l).
Da es bei unserer Aufgabe jedoch gar keine zweite Funktion b gibt, setzten wir b einfach auf 1, denn durch Multiplikation mit 1 verändert sich ja nichts.

der konstante/Rechteckverlauf unten+der lineare/Dreieckverlauf in der Mitte +
2 • der lineare/Dreieckverlauf oben
\int_{}^{} {Et\tilde zds} = E \cdot t \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {3a}_l+2E \cdot t \cdot \frac{1}
{2} \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {2a}_l+2 \cdot \left( {E \cdot t \cdot \frac{1}
{2} \cdot \underbrace {\left( {-1,5a} \right)}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l} \right)
" title="
\int_{}^{} {Et\tilde zds} = E \cdot t \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {3a}_l+2E \cdot t \cdot \frac{1}
{2} \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {2a}_l+2 \cdot \left( {E \cdot t \cdot \frac{1}
{2} \cdot \underbrace {\left( {-1,5a} \right)}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l} \right)
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

= \underline{\underline {6,818Eta^2 }}
" title="
= \underline{\underline {6,818Eta^2 }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\int_{}^{} {Etds} = Et \cdot 3a+2Et \cdot 2a+2 \cdot Et \cdot \sqrt 2 \cdot 1,5a = \underline{\underline {11,243Eta}}
" title="
\int_{}^{} {Etds} = Et \cdot 3a+2Et \cdot 2a+2 \cdot Et \cdot \sqrt 2 \cdot 1,5a = \underline{\underline {11,243Eta}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\tilde z_{sp} = \frac{{\int_{}^{} {Etzds} }}
{{\int_{}^{} {Etds} }} = \frac{{6,818Eta^2 }}
{{11,243Eta}} = \underline{\underline {0,606a}}
" title="
\tilde z_{sp} = \frac{{\int_{}^{} {Etzds} }}
{{\int_{}^{} {Etds} }} = \frac{{6,818Eta^2 }}
{{11,243Eta}} = \underline{\underline {0,606a}}
" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Das Koordinatensystem, das nun weiter verwendet wird, ist das Schwerpunktsystem und entspricht dem Hauptachsensystem.

Berechnung der Biegesteifigkeit:

(Genauer, der Gesamtbiegesteifigkeit des Systems in eine bestimmte Richtung)

Die Formel für die Biegesteifigkeit lautet:

Bei der Berechnung der Biegesteifigkeit ist nur die Berechnung von notwendig, da die Biegung nur um die y-Achse stattfindet.

Da in der Formel für die Biegesteifigkeit nicht mehr mit \tilde z
" title="
\tilde z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>, sondern mit z gerechnet wird, benötigen wir zunächst den z-Verlauf, also den Abstand in z-Richtung vom Schwerpunkt aus:

Nun berechnen wir die Integrale für die Biegesteifigkeit ebenfalls mit Hilfe der Koppeltafel. Zu beachten ist hierbei, dass b nun nicht mehr auf 1 gesetzt wird, sondern b = a gilt, da in dem Integral nicht mehr wie vorher ein z sondern ein z² steht. Die Funktion bzw. der Verlauf muss also mit sich selbst überlagert/multipliziert werden. Daher nutzen wir nun z.B. für den linearen Verlauf die zweite Spalte der zweiten Zeile der Koppeltafel (linear-linear).

Es gilt nun: EI_y \approx
" title="
EI_y \approx
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

EI_y = E \cdot t \cdot \underbrace {1,394a}_a \cdot \underbrace {1,394a}_b \cdot \underbrace {3a}_l +
" title="
EI_y = E \cdot t \cdot \underbrace {1,394a}_a \cdot \underbrace {1,394a}_b \cdot \underbrace {3a}_l +
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

+ 2E \cdot t \cdot \frac{1}
{3}\left[ {1,394a \cdot 1,394a \cdot 1,394a+\left( {-0,606a} \right) \cdot \left( {-0,606a} \right) \cdot 0,606a} \right] +
" title="
+ 2E \cdot t \cdot \frac{1}
{3}\left[ {1,394a \cdot 1,394a \cdot 1,394a+\left( {-0,606a} \right) \cdot \left( {-0,606a} \right) \cdot 0,606a} \right] +
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+ 2 \cdot E \cdot t \cdot \frac{1}
{6}\left[ {\underbrace {-0,606a\left( {2 \cdot \left( {-0,606a} \right)-2,106a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {-2,106a\left( {-0,606a-2 \cdot 2,106a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l
" title="
+ 2 \cdot E \cdot t \cdot \frac{1}
{6}\left[ {\underbrace {-0,606a\left( {2 \cdot \left( {-0,606a} \right)-2,106a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {-2,106a\left( {-0,606a-2 \cdot 2,106a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

Ausgerechnet ergibt sich:

EI_y = 5,830Eta^3 +1,954Eta^3 +8,597Eta^3
" title="
EI_y = 5,830Eta^3 +1,954Eta^3 +8,597Eta^3
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

EI_y = \underline{\underline {16,381Eta^3 }}
" title="
EI_y = \underline{\underline {16,381Eta^3 }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Elastische Momente

Berechnung von:

Die elastischen Momente entsprechen also grob einer Integration des z-Verlaufes.

Zunächst benötigen wir noch eine Grafik mit Richtungspfeilen, an denen wir uns „entlanghangeln“ können. (Dies legt die Laufrichtung von s fest). Dabei ist die Richtung der Pfeile generell egal. diese wirkt sich später nur auf die Vorzeichen in unseren Berechnungen aus. Jedoch ist es ratsam die Pfeile am Trägerende beginnen zu lassen (da dort die Momente 0 sind) und sie von dort aus weiter fortzuführen. Die Zahlen bezeichnen jeweils den Anfangs- bzw. Endpunkt eines Trägerteils.

Wie gesagt sind die elastischen Momente an den Enden des Trägers alle 0, da dort keine Momente aufgenommen werden können:

ES_y \left( 1 \right) = ES_y \left( 3 \right) = ES_y \left( 7 \right) = ES_y \left( {10} \right) = 0
" title="
ES_y \left( 1 \right) = ES_y \left( 3 \right) = ES_y \left( 7 \right) = ES_y \left( {10} \right) = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Die restlichen elastischen Momente werden wieder mit Hilfe der Koppeltafel berechnet.
Da beim elastischen Moment das z im Integral ohne Quadrat vorkommt, setzen wir b wieder auf 1.

Für den Wert bei (2) ergibt sich somit:

ES_y \left( 2 \right) = Et \cdot \frac{1}
{2}\left( {\underbrace {-2,106a-0,606a}_{\left( {a_l +a_r } \right)}} \right) \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l+ES_y \left( 1 \right)
" title="
ES_y \left( 2 \right) = Et \cdot \frac{1}
{2}\left( {\underbrace {-2,106a-0,606a}_{\left( {a_l +a_r } \right)}} \right) \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2 \cdot 1,5a}_l+ES_y \left( 1 \right)
" style="vertical-align: -34px; border: none;"/>

= -2,887Eta^2 = ES_y \left( 4 \right)
" title="
= -2,887Eta^2 = ES_y \left( 4 \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zu beachten ist, dass bei der Berechnung des Momentes bei einer beliebigen Zahl in Pfeilrichtung die Momente der vorherigen Zahlen hinzuaddiert werden müssen.

So gilt z.B. für (5):

ES_y \left( 5 \right) = ES_y \left( 4 \right)+ES_y \left( 2 \right) = -5,774Eta^2
" title="
ES_y \left( 5 \right) = ES_y \left( 4 \right)+ES_y \left( 2 \right) = -5,774Eta^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Nun fangen wir unten links an und berechnen das elastische Moment bei (8):

ES_y \left( 8 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot 1,5a+ES_y \left( 7 \right) = 2,091Eta^2
" title="
ES_y \left( 8 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot 1,5a+ES_y \left( 7 \right) = 2,091Eta^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

(9) berechnen wir nun von (10) aus. Dadurch müssen wir entgegen der eingetragenen Pfeilrichtung gehen. D.h. die Länge L muss negativ betrachtet werden:

ES_y \left( 9 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot \left( {-1,5a} \right)+ES_y \left( {10} \right) = -2,091Eta^2
" title="
ES_y \left( 9 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot \left( {-1,5a} \right)+ES_y \left( {10} \right) = -2,091Eta^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

In Pfeilrichtung gesehen gilt:

ES_y \left( 6 \right)+ES_y \left( 8 \right) = ES_y \left( 9 \right)
" title="

ES_y \left( 6 \right)+ES_y \left( 8 \right) = ES_y \left( 9 \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad ES_y \left( 6 \right) = ES_y \left( 9 \right)-ES_y \left( 8 \right) = -4,821Eta^2
" title="
\Rightarrow \quad ES_y \left( 6 \right) = ES_y \left( 9 \right)-ES_y \left( 8 \right) = -4,821Eta^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zu guter Letzt gilt für das elastische Moment im Schwerpunkt von (5) aus berechnet:

ES_y \left( {11} \right) = ES_y \left( {SP} \right) = 2E \cdot t \cdot \frac{1}
{2}\left( {-0,606a} \right) \cdot 1 \cdot 0,606a+ES_y \left( 5 \right)
" title="
ES_y \left( {11} \right) = ES_y \left( {SP} \right) = 2E \cdot t \cdot \frac{1}
{2}\left( {-0,606a} \right) \cdot 1 \cdot 0,606a+ES_y \left( 5 \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

= -6,141Eta^2
" title="
= -6,141Eta^2
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Der ESy-Verlauf:

Et ist abschnittweise konstant.
Da der ESy-Verlauf somit einer Integration des z-Verlaufes mit Vorfaktor entspricht, erhöhen sich die Potenzen der Funktionen, womit aus einem konstanten Verlauf ein linearer und aus einem linearen Verlauf ein quadratischer wird.
Bsp.: Schauen wir uns den z-Verlauf oben links an. Dieser entspricht einem Trapez, das zunächst Einen großen Wert besitzt, der dann in Pfeilrichtung kleiner wird, Das heißt also für das Integral bzw. den ESy-Verlauf, dass dieser mit einer großen Steigung beginnt, die anschließend immer weiter abnimmt.

Der ESy-Verlauf sieht damit aus, wie folgt:

Schubspannungsverlauf:

{t} = -\frac{F}
{{EI_y t}}ES_y \left( s \right)" title="\tau \left( s \right) = \frac{{q\left( s \right)}}
{t} = -\frac{F}
{{EI_y t}}ES_y \left( s \right)" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Zur Erinnerung: Wir hatten berechnet
Daher bekommen wir:

Das Ergebnis ist abhängig von der eingeführten s-Richtung!
Positiv: Schubfluss/ Schubspannung verläuft in eingeführter s-Richtung
Negativ: Schubfluss/ Schubspannung verläuft entgegengesetzt zur s-Richtung

Qualitativ:
Qualitativ verläuft der Schubfluss immer in Richtung Querkraft.
Das Schubflussmaximum befindet sich dabei in der neutralen Faser.

Normalspannungsverlauf:

{{EI_y }}z" title="\sigma _x = E\left( s \right)\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Noch einmal zur Erinnerung:

Damit sind wir fertig!

Aufgabe 05 – Temperaturspannungen

JK — Fri, 15 May 2009 15:13:33 +0000

Ermitteln Sie für den abgebildeten inhomogenen Querschnitt die maximale Zug- und Druckspannung bei einer Beanspruchung durch ein horizontales Biegemoment von 5kNm!
Wie groß sind die im Stab wirkenden Temperaturspannungen bei einer gleichmäßigen Erwärmung des Profils um 80°C (reine Temperaturbelastung, das horizontale Biegemoment wirkt nicht)?

Abschnitt 1:
t = 5 mm
E = 70000 N/mm²
\alpha _{th} = 23 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" title="
\alpha _{th} = 23 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Abschnitt 2:
t = 3 mm
E = 20000 N/mm²
\alpha _{th} = 5 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" title="
\alpha _{th} = 5 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Abschnitt 3:
t = 6 mm
E = 110000 N/mm²
\alpha _{th} = 1 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" title="
\alpha _{th} = 1 \cdot 10^{-6} \:\frac{1}
{K}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Gegeben:
Alle Angaben aus der Skizze, My = 5 kNm, ΔT = 80 K

Gesucht:
a) Maximale Zug/ Druckspannung infolge des Biegemomentes
b) Temperaturspannungen infolge ΔT = 80 K

Lösung

a) Ermittlung der Spannungen infolge mechanischer Belastung

Die Formel für die Spannung lautet: \sigma _x \left( z \right) = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z
" title="
\sigma _x \left( z \right) = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

My ist gegeben.
EIy dagegen ist uns unbekannt.

Die Formel für EIy lautet hier: EI_{\overline y } = EI_y = \int\limits_{}^{} {Etz^2 \:ds}
" title="
EI_{\overline y } = EI_y = \int\limits_{}^{} {Etz^2 \:ds}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Es gilt \overline y = y
" title="
\overline y = y
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>, da die Koordinaten des Schwerpunktsystems = den Koordinaten des Hauptachsensystems sind. Dies ist so, weil das Profil symmetrisch ist und die Koordinatenachsen gegenüber dem Profil nicht verdreht sind.

In der EIy-Formel ist uns nun wiederum z unbekannt. z ist der Abstand in z-Richtung vom Schwerpunkt, den wir jedoch noch nicht kennen Also müssen wir diesen zunächst berechnen. Dafür führen wir ein beliebiges Koordinatensystem mit \tilde z
" title="
\tilde z
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>ein, um über dieses den Schwerpunkt zu bestimmen. Setzen wir es einfach in der unteren T-Kreuzung an.

Schwerpunkt:

\tilde z-Verlauf:
" title="
\tilde z-Verlauf:
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>
(Abstand in z-Richtung vom Koordinatensystem)

Da das Profil einfach symmetrisch ist, gilt: \tilde y_{SP} = 0
" title="
\tilde y_{SP} = 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Die Formel für den Schwerpunkt z-Richtung lautet: {{\int_s^{} {Etds} }}" title="\tilde z_{SP} = \frac{{\int_s^{} {Et\tilde zds} }}
{{\int_s^{} {Etds} }}" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Die Lösung des oberen Integrals erhalten wir, wie in der vorherigen Aufgabe bereits erklärt, auch wieder über die Koppeltafel:

\int_s^{} {Et\tilde zds} = E_1 t_1 \cdot \left( {-80mm} \right) \cdot 1 \cdot 100mm+E_2 t_2 \cdot \frac{1}
{2}\left( {-80mm} \right) \cdot 1 \cdot 80mm
" title="
\int_s^{} {Et\tilde zds} = E_1 t_1 \cdot \left( {-80mm} \right) \cdot 1 \cdot 100mm+E_2 t_2 \cdot \frac{1}
{2}\left( {-80mm} \right) \cdot 1 \cdot 80mm
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+ E_3 t_3 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 60mm = 2,992 \cdot 10^9 N\:mm
" title="
+ E_3 t_3 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 60mm = 2,992 \cdot 10^9 N\:mm
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\int_s^{} {Etds} = E_1 t_1 \cdot 100mm+E_2 t_2 \cdot 80mm+E_3 t_3 \cdot 60mm = 79,4 \cdot 10^6 N
" title="
\int_s^{} {Etds} = E_1 t_1 \cdot 100mm+E_2 t_2 \cdot 80mm+E_3 t_3 \cdot 60mm = 79,4 \cdot 10^6 N
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \tilde z_{SP} = \frac{{\int_s^{} {Et\tilde zds} }}
{{\int_s^{} {Etds} }} = -37,683 mm
" title="
\Rightarrow \quad \tilde z_{SP} = \frac{{\int_s^{} {Et\tilde zds} }}
{{\int_s^{} {Etds} }} = -37,683 mm
" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Damit können wir nun also die Biegesteifigkeit EIy berechnen.

Biegesteifigkeit:

Wir benötigen dafür nun wie gesagt den richtigen z-Verlauf vom Schwerpunkt aus, den wir gerade berechnet haben:

EI_y = E_1 t_1 \left( {-42,317mm} \right)^2 \cdot100mm
" title="
EI_y = E_1 t_1 \left( {-42,317mm} \right)^2 \cdot100mm
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+E_2 t_2 \left[ {\frac{1}
{3}\left( {-42,317mm} \right)^2 \cdot 42,317mm+\frac{1}
{3}\left( {37,683mm} \right)^3 } \right]
" title="
+E_2 t_2 \left[ {\frac{1}
{3}\left( {-42,317mm} \right)^2 \cdot 42,317mm+\frac{1}
{3}\left( {37,683mm} \right)^3 } \right]
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

+E_3 t_3 \left( {37,683mm} \right)^2 \cdot 60mm = 1,125 \cdot 10^{11} N\:mm^2
" title="
+E_3 t_3 \left( {37,683mm} \right)^2 \cdot 60mm = 1,125 \cdot 10^{11} N\:mm^2
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

(Exakter Wert, ohne Rundung: )

Mit Hilfe dieses Ergebnisses berechnen wir schließlich die maximale Zug- und Druckspannung infolge mechanischer Belastung (My)

\sigma _x \left( z \right) = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z
" title="
\sigma _x \left( z \right) = E\frac{{M_y }}
{{EI_y }}z
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Der Formel können wir noch zwei Folgerungen ablesen:
- Die Maximale Spannung bekommen wir für den maximalen Wert von z
- Die Maximale Spannung liegt im Rand (Dabei ist allerdings noch eine Überprüfung für unterschiedliche E-Moduli erforderlich)

Da das Profil einfach symmetrisch ist, berechnen wir die Spannungen bloß an folgenden 4 Punkten:

\sigma _x \left( 1 \right) = E_1 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 1 \right) = 70000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {-42,317mm} \right)
" title="
\sigma _x \left( 1 \right) = E_1 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 1 \right) = 70000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {-42,317mm} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

= \underline{\underline {121,901\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {121,901\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 2 \right) = E_2 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 2 \right) = 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {-42,317mm} \right)
" title="
\sigma _x \left( 2 \right) = E_2 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 2 \right) = 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {-42,317mm} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

= \underline{\underline {34,83\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {34,83\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 3 \right) = E_3 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 3 \right) = 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {37,683mm} \right)
" title="
\sigma _x \left( 3 \right) = E_3 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 3 \right) = 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {37,683mm} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

= \underline{\underline {-31,016\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {-31,016\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _x \left( 4 \right) = E_4 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 4 \right) = 110000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {37,683mm} \right)
" title="
\sigma _x \left( 4 \right) = E_4 \frac{{M_y }}
{{EI_y }}z\left( 4 \right) = 110000\frac{N}
{{mm^2 }}\frac{{-5000 \cdot 10^3 Nmm}}
{{1,125 \cdot 10^{11} Nmm^2 }}\left( {37,683mm} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

= \underline{\underline {-170,59\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {-170,59\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Somit entsteht also die maximale Zug- / Druckspannung infolge der mechanischen Belastung durch das Moment im unteren Querbalken. Da die Spannung negativ ist, handelt es sich um eine Druckspannung, was aufgrund des nach unten drehenden Momentes auch plausibel erscheint.

b) Ermittlung der Spannungen infolge thermischer Last

Formel für Spannungen im Hauptachsensystem:
\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x +N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \Delta T} \right\}
" title="
\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x +N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \Delta T} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Da wir in dieser Aufgabe jedoch nur die reine Temperaturbelastung betrachten vereinfacht sich die Formel zu:

\sigma _{xth} \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}
" title="
\sigma _{xth} \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Dabei gilt:

N_{\tilde xth} = \int\limits_A^{} {E \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" title="
N_{\tilde xth} = \int\limits_A^{} {E \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

M_{\tilde yth} = \int\limits_A^{} {E \cdot \tilde z \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" title="
M_{\tilde yth} = \int\limits_A^{} {E \cdot \tilde z \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

M_{\tilde zth} = -\int\limits_A^{} {E \cdot \tilde y \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" title="
M_{\tilde zth} = -\int\limits_A^{} {E \cdot \tilde y \cdot a_{th} \Delta T\:dA}
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

In unserem Fall gilt somit:

N_{xth} = \int\limits_s^{} {E \cdot t \cdot a_{th} \Delta T\:ds} = E_1 t_1 a_{th1} \Delta T \cdot 100mm+E_2 t_2 a_{th2} \Delta T \cdot 80mm
" title="
N_{xth} = \int\limits_s^{} {E \cdot t \cdot a_{th} \Delta T\:ds} = E_1 t_1 a_{th1} \Delta T \cdot 100mm+E_2 t_2 a_{th2} \Delta T \cdot 80mm
" style="vertical-align: -16px; border: none;"/>

+E_3 t_3 a_{th3} \Delta T \cdot 60mm
" title="
+E_3 t_3 a_{th3} \Delta T \cdot 60mm
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

= 70000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 5mm \cdot 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 100mm
" title="
= 70000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 5mm \cdot 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 100mm
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

+20000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 3mm \cdot 5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 80mm
" title="
+20000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 3mm \cdot 5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 80mm
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

+110000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 6mm \cdot 1 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 60mm
" title="
+110000\frac{N}
{{mm^2 }} \cdot 6mm \cdot 1 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K \cdot 60mm
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

= \underline{\underline {69488N}}
" title="
= \underline{\underline {69488N}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

M_{yth} = \int\limits_s^{} {E \cdot t \cdot z \cdot a_{th} \Delta T\:ds}
" title="
M_{yth} = \int\limits_s^{} {E \cdot t \cdot z \cdot a_{th} \Delta T\:ds}
" style="vertical-align: -16px; border: none;"/>

= E_1 t_1 \cdot \left( {-42,317mm \cdot 1 \cdot 100mm} \right) \cdot a_{th1} \Delta T +E_2 t_2
" title="
= E_1 t_1 \cdot \left( {-42,317mm \cdot 1 \cdot 100mm} \right) \cdot a_{th1} \Delta T +E_2 t_2
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\cdot \left[ {\frac{1}
{2}\left( {-42,317mm \cdot 1 \cdot 42,317mm} \right)+\frac{1}
{2}\left( {37,683mm \cdot 1 \cdot 37,683mm} \right)} \right] \cdot a_{th2} \Delta T
" title="
\cdot \left[ {\frac{1}
{2}\left( {-42,317mm \cdot 1 \cdot 42,317mm} \right)+\frac{1}
{2}\left( {37,683mm \cdot 1 \cdot 37,683mm} \right)} \right] \cdot a_{th2} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

+E_3 t_3 \left( {37,683mm \cdot 1 \cdot 60mm} \right) \cdot a_{th3} \Delta T
" title="
+E_3 t_3 \left( {37,683mm \cdot 1 \cdot 60mm} \right) \cdot a_{th3} \Delta T
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

= \underline{\underline {-2.610.284Nmm}}
" title="
= \underline{\underline {-2.610.284Nmm}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

Bei einer Berechnung mit nur 2 Nachkommastellen:

M_{yth} = 2.609.700Nmm\quad
" title="
M_{yth} = 2.609.700Nmm\quad
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zur Berechnung von M_{zth}
" title="
M_{zth}
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/> benötigen wir noch den y-Verlauf:

Da das Profil an in y-Richtung symmetrisch ist, würden sich die Verläufe beim Integrieren gegenseitig aufheben. Daher gilt:

Eingesetzt in:
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}" title="\sigma _{xth} \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\frac{{M_{zth} }}
{{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>
mit den berechneten Werten:

EI_y = 1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2
" title="
EI_y = 1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

EA = \int_s^{} {Etds} = 79,4 \cdot 10^6 N
" title="
EA = \int_s^{} {Etds} = 79,4 \cdot 10^6 N
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

und Analog zu Aufgabenteil a) mit den Bezeichnungen:

erhalten wir nun:

\sigma _{xth} \left( 1 \right) = E_1 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th1} \Delta T} \right\}
" title="
\sigma _{xth} \left( 1 \right) = E_1 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th1} \Delta T} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= 70000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {-42,317mm} \right)-23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" title="
= 70000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {-42,317mm} \right)-23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= -3,899\frac{N}
{{mm^2 }} \approx \underline{\underline {-3,9\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= -3,899\frac{N}
{{mm^2 }} \approx \underline{\underline {-3,9\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _{xth} \left( 2 \right) = E_2 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th2} \Delta T} \right\}
" title="
\sigma _{xth} \left( 2 \right) = E_2 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th2} \Delta T} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {-42,317mm} \right)-5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" title="
= 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {-42,317mm} \right)-5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= \underline{\underline {27,686\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {27,686\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _{xth} \left( 3 \right) = E_3 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th3} \Delta T} \right\}
" title="
\sigma _{xth} \left( 3 \right) = E_3 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th3} \Delta T} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {37,683mm} \right)-5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" title="
= 20000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {37,683mm} \right)-5 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= \underline{\underline {-6,688\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {-6,688\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\sigma _{xth} \left( 4 \right) = E_4 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th4} \Delta T} \right\}
" title="
\sigma _{xth} \left( 4 \right) = E_4 \left\{ {\frac{{N_{xth} }}
{{EA}}+\frac{{M_{yth} }}
{{EI_y }}z-\alpha _{th4} \Delta T} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= 110000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {37,683mm} \right)-1 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" title="
= 110000\frac{N}
{{mm^2 }}\left\{ {\frac{{69488N}}
{{79,4 \cdot 10^6 N}}+\frac{{-2.610.284Nmm}}
{{1,215 \cdot 10^{11} Nmm^2 }} \cdot \left( {37,683mm} \right)-1 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 80K} \right\}
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

= \underline{\underline {-1,585\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
= \underline{\underline {-1,585\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Bildlich dargestellt ergibt sich folgender Verlauf:

Fertig!

Aufgabe 01 – Schnittlastberechnung

JK — Mon, 11 May 2009 11:57:47 +0000

Berechnen Sie die Schnittlastverläufe (Normalkraft,Querkraft, Biegemoment) in der
Anordnung und stellen Sie diese graphisch dar.

Gegeben: F, a, p·a = F

Lösung

Als erstes überprüfen wir die statische Bestimmtheit des Systems, um eine Aussage über dessen Lösbarkeit treffen zu können.

Statische Bestimmtheit:

Zur Erinnerung:

2n = a+z
" title="

2n = a+z
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

n:Knoten\quad \left( {Gleichungen} \right)
" title="
n:Knoten\quad \left( {Gleichungen} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

z:St\ddot{a}be
" title="
z:St\ddot{a}be
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

a:Auflagerreaktionen
" title="
a:Auflagerreaktionen
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

hier:
2 \cdot 2 = 1+3\quad \Rightarrow \quad statisch\:bestimmt
" title="
2 \cdot 2 = 1+3\quad \Rightarrow \quad statisch\:bestimmt
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

Nun führen wir ein Koordinatensystem ein, von welchem letztendlich unsere Berechnungen abhängen werden.

Koordinatensystem:

Als nächstes benötigen wir noch die Auflagerreaktionen. Dazu schneiden wir das Objekt frei:

\sum\limits_{}^{} {F_x = 0 = -B_x -\sqrt 2 F\sin 45^\circ }
" title="

\sum\limits_{}^{} {F_x = 0 = -B_x -\sqrt 2 F\sin 45^\circ }
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}
{2}
" title="
\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}
{2}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \underline{\underline {B_x = -F}}
" title="
\Rightarrow \underline{\underline {B_x = -F}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\sum\limits_{}^{} {F_z = 0 = -A_z -B_z +\underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F} +\underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F
" title="

\sum\limits_{}^{} {F_z = 0 = -A_z -B_z +\underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F} +\underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F
" style="vertical-align: -37px; border: none;"/>

\Rightarrow A_z = -B_z +2F
" title="
\Rightarrow A_z = -B_z +2F
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\sum\limits_{}^{} {M_A = 0 = \frac{1}
{3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F} +a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F-2a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F+4a \cdot B_z
" title="
\sum\limits_{}^{} {M_A = 0 = \frac{1}
{3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F} +a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F-2a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F+4a \cdot B_z
" style="vertical-align: -37px; border: none;"/>

\Rightarrow 0 = \frac{2}
{3}a \cdot F+a \cdot F-2a \cdot F+4a \cdot B_z
" title="
\Rightarrow 0 = \frac{2}
{3}a \cdot F+a \cdot F-2a \cdot F+4a \cdot B_z
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow -4aB_z = -\frac{1}
{3}aF
" title="
\Rightarrow -4aB_z = -\frac{1}
{3}aF
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \underline{\underline {B_z = \frac{1}
{{12}}F}}
" title="
\Rightarrow \underline{\underline {B_z = \frac{1}
{{12}}F}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\Rightarrow A_z = -B_z +2F = -\frac{1}
{{12}}F+\frac{{24}}
{{12}}F = \underline{\underline {\frac{{23}}
{{12}}F}}
" title="
\Rightarrow A_z = -B_z +2F = -\frac{1}
{{12}}F+\frac{{24}}
{{12}}F = \underline{\underline {\frac{{23}}
{{12}}F}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Um nun die Schnittlasten mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen, teilen wir das Objekt in Bereiche auf, die wir anschließend einzeln abarbeiten werden:

Nun folgt das Berechnen der Schnittlasten in den einzelnen Bereichen:

Bereich I

N_{x_I } = \underline{\underline 0}
" title="

N_{x_I } = \underline{\underline 0}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Q_{x_1 } = -\int\limits_0^x {\frac{p}
{{2a}}s\:ds} = \underline{\underline {-\frac{p}
{{4a}}x^2 }}
" title="
Q_{x_1 } = -\int\limits_0^x {\frac{p}
{{2a}}s\:ds} = \underline{\underline {-\frac{p}
{{4a}}x^2 }}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

M_{x_1 } = x\:Q_x +\int\limits_0^x {s \cdot \frac{p}
{{2a}}s} \:ds = -\frac{p}
{{4a}}x^3 +\frac{p}
{{6a}}x^3 = \underline{\underline {-\frac{1}
{{12}}\frac{p}
{a}x^3 }}
" title="
M_{x_1 } = x\:Q_x +\int\limits_0^x {s \cdot \frac{p}
{{2a}}s} \:ds = -\frac{p}
{{4a}}x^3 +\frac{p}
{{6a}}x^3 = \underline{\underline {-\frac{1}
{{12}}\frac{p}
{a}x^3 }}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

Bereich II

Die Streckenlast lässt sich hier auf ihre Resultierende reduzieren (F). Der Kraftangriffspunkt bei dem Dreieck liegt hier von links gesehen bei \frac{2}
{3} \cdot 2a
" title="
\frac{2}
{3} \cdot 2a
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>.

N_{x_2 } = \underline{\underline 0}
" title="

N_{x_2 } = \underline{\underline 0}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Q_{x_2 } = -\int_0^{2a} {\frac{p}
{{2a}}s\:ds+A_z = -\underbrace {\frac{p}
{{4a}}4a^2 }_F+\frac{{23}}
{{12}}F = \underline{\underline {\frac{{11}}
{{12}}F}} }
" title="
Q_{x_2 } = -\int_0^{2a} {\frac{p}
{{2a}}s\:ds+A_z = -\underbrace {\frac{p}
{{4a}}4a^2 }_F+\frac{{23}}
{{12}}F = \underline{\underline {\frac{{11}}
{{12}}F}} }
" style="vertical-align: -37px; border: none;"/>

M_{x_2 } = x\:Q_x +\frac{2}
{3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F-2a \cdot Az = \frac{{11}}
{{12}}xF+\frac{4}
{3}aF-2a \cdot \frac{{23}}
{{12}}F = \underline{\underline {\left( {\frac{{11}}
{{12}}x-\frac{5}
{2}a} \right)F}}
" title="
M_{x_2 } = x\:Q_x +\frac{2}
{3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}}
{2}}_F-2a \cdot Az = \frac{{11}}
{{12}}xF+\frac{4}
{3}aF-2a \cdot \frac{{23}}
{{12}}F = \underline{\underline {\left( {\frac{{11}}
{{12}}x-\frac{5}
{2}a} \right)F}}
" style="vertical-align: -37px; border: none;"/>

Bereich III

Die Kraft im Bereich 3 Lässt sich hier in 2 Komponenten zerlegen:

Daraus folgt:

N_{x_3 } = \underline{\underline {F}}
" title="

N_{x_3 } = \underline{\underline {F}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Q_{x_3 } = \underline{\underline {-F}}
" title="
Q_{x_3 } = \underline{\underline {-F}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

M_{x_3 } = \underline{\underline {-Fx_3 }}
" title="
M_{x_3 } = \underline{\underline {-Fx_3 }}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Bereich IV

N_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}
" title="

N_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

Q_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}
" title="
Q_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

M_{x_4 } = \underline{\underline {-Fx_4 -Fa}}
" title="
M_{x_4 } = \underline{\underline {-Fx_4 -Fa}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Bereich V

Zur Vereinfachung rechnen wir in diesem Bereich nun nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links. Dabei ist zu beachten, dass wir nun das negative Schnittufer (also das Schnittufer entgegen dem eingeführten Koordinatensystem) betrachten und deshalb alle Schnittkräfte in Gegenrichtung einzeichnen müssen. Des Weiteren führen wir x_5
" title="
x_5
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/> entgegen dem normalen x ein:

N_{x_5 } = \underline{\underline F}
" title="
N_{x_5 } = \underline{\underline F}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Q_{x_5 } = \underline{\underline {-\frac{1}
{{12}}F}}
" title="
Q_{x_5 } = \underline{\underline {-\frac{1}
{{12}}F}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

M_{x_5 } = -x_5 Q_{x_5} = \underline{\underline {\frac{F}
{{12}}x_5 }}
" title="
M_{x_5 } = -x_5 Q_{x_5} = \underline{\underline {\frac{F}
{{12}}x_5 }}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Mit diesen ganzen Ergebnissen erhalten wir folgende Grafische Darstellung der Schnittlasten:

Schnittlastverläufe

(Wichtig für Klausur: Erkennen, wie die Verläufe sind!)

Aufgabe 03 – Materialgesetze

JK — Tue, 28 Apr 2009 15:56:17 +0000

Eine rechteckige Scheibe aus einer Aluminiumlegierung ist beidseitig in y-Richtung
unverschiebbar gelagert. Sie wird durch eine in x-Richtung wirkende gleichmäßig verteilte
Kraft F beansprucht.

Skizze:

Alle Längenangaben in Millimeter.

1. Wie groß ist die Längenänderung der Platte?
2. Treten in der y-Richtung Spannungen auf? Wenn ja, wie groß sind sie?
3. Wie groß ist die Längenänderung der Platte, wenn die Längsseiten nicht gelagert wären?
4. Wie groß wären dann die Spannungen in Längsrichtung?

Auf die unbelastete Platte wirkt nun eine Temperaturänderung von ΔT = 120°C.

5. Welche Spannungen und Verformungen treten auf (Längsseiten unverschiebbar
gelagert)?
6. Nun wird die erwärmte Platte zusätzlich in x-Richtung unverschiebbar gelagert.
Anschließend wird die Platte wieder auf Raumtemperatur abgekühlt. Welche Spannungen
bleiben in der Platte erhalten?

Gegeben:
F = 120 kN = 120.000 N
E = 70000 N/mm²
ν = 0,3
t = 2 mm (Plattendicke)
a_{th} = 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K}
" title="
a_{th} = 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Lösung

Aufgabe 1)

Gesucht ist die Längenänderung der Platte (Δ l).

Hierzu benötigen wir das 2-dimensionale Materialgesetz. Die Formel dafür lautet:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\varepsilon _x \\
{\varepsilon _y } \\
{\gamma _{xy} } \\

\end{array} } \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\frac{1}
{E} & {-\frac{\nu }
{E}} & 0 \\
{-\frac{\nu }
{E}} & {\frac{1}
{E}} & 0 \\
0 & 0 & {\frac{1}
{G}} \\

\end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\sigma _x \\
{\sigma _y } \\
{\tau _{xy} } \\

\end{array} } \right\}+\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{th} \\
{a_{th} } \\
0 \\

\end{array} } \right\}\Delta T
" title="
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\varepsilon _x \\
{\varepsilon _y } \\
{\gamma _{xy} } \\

\end{array} } \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\frac{1}
{E} & {-\frac{\nu }
{E}} & 0 \\
{-\frac{\nu }
{E}} & {\frac{1}
{E}} & 0 \\
0 & 0 & {\frac{1}
{G}} \\

\end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\sigma _x \\
{\sigma _y } \\
{\tau _{xy} } \\

\end{array} } \right\}+\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{th} \\
{a_{th} } \\
0 \\

\end{array} } \right\}\Delta T
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

oder ausgeschrieben:

\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="

\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="
\varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\gamma _{xy} = \frac{1}
{G}\tau _{xy}
" title="
\gamma _{xy} = \frac{1}
{G}\tau _{xy}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Für die einzelnen Parameter gilt nach Aufgabenstellung:

\sigma _x = \frac{F}
{A} = \frac{{120.000N}}
{{2mm \cdot 300mm}} = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
\sigma _x = \frac{F}
{A} = \frac{{120.000N}}
{{2mm \cdot 300mm}} = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\sigma _y = k.A
" title="
\sigma _y = k.A
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\tau _{xy} = 0
" title="
\tau _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Delta T = 0
" title="
\Delta T = 0
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

\varepsilon _x = k.A
" title="
\varepsilon _x = k.A
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\varepsilon _y = 0
" title="
\varepsilon _y = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\gamma _{xy} = 0
" title="
\gamma _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zur Erklärung:

Da wir eine Kraft in x-Richtung haben, erhalten wir für diese auch eine Spannung (F/A). Dabei besteht die Fläche aus Höhe · Tiefe.
In y-Richtung entsteht eine unbekannte Spannung, da dir Scheibe laut Aufgabenstellung unverschiebbar gelagert ist. (Soll heißen: die Scheibe kann sich in y-Richtung weder ausdehnen, noch zusammenziehen). (= k.A)
Schubspannung existieren hier nicht (= 0)
Eine Temperaturänderung findet momentan auch nicht statt (= 0)
Die Dehnung in x-Richtung ist unbekannt und soll bestimmt werden (= k.A)
Die Dehnung in y-Richtung wird Aufgrund der Unverschiebbarkeit verhindert ( = 0)

Wenn wir die Gleichungen mit diesem Wissen noch einmal aufschreiben, so erhalten wir:
Zeile\:1:\quad\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y
" title="
Zeile\:1:\quad\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zeile\:2:\quad 0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y \quad \Rightarrow \quad \sigma _y = \nu \cdot \sigma _x = 0,3 \cdot 200\frac{N}
{{mm^2 }} = 60\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
Zeile\:2:\quad 0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y \quad \Rightarrow \quad \sigma _y = \nu \cdot \sigma _x = 0,3 \cdot 200\frac{N}
{{mm^2 }} = 60\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Eingesetzt in Zeile 1 folgt daraus:

\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y \quad = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{{\nu ^2 }}
{E}\sigma _x = \frac{{\sigma _x }}
{E}\left( {1-\nu ^2 } \right)
" title="
\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y \quad = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{{\nu ^2 }}
{E}\sigma _x = \frac{{\sigma _x }}
{E}\left( {1-\nu ^2 } \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \varepsilon _x = \frac{{200\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}\left( {1-0,3^2 } \right) = 2,6 \cdot 10^{-3}
" title="
\Rightarrow \varepsilon _x = \frac{{200\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}\left( {1-0,3^2 } \right) = 2,6 \cdot 10^{-3}
" style="vertical-align: -16px; border: none;"/>

Damit erhalten wir für die gesuchte Längenänderung in x-Richtung:

\Delta l = \varepsilon _x \cdot l
" title="
\Delta l = \varepsilon _x \cdot l
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\Rightarrow \Delta l = 2,6 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {2,6mm}}
" title="
\Rightarrow \Delta l = 2,6 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {2,6mm}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Aufgabe 2)

Diese Frage haben wir bereits im Aufgabenteil 1 beantwortet:
Ja, {{mm^2 }}" title="\sigma _y = 60\frac{N}
{{mm^2 }}" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Aufgabe 3)

Aufgrund der Fragenstellung ergeben sich die Parameter diesmal zu:

\sigma _x = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="

\sigma _x = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\sigma _y = 0
" title="
\sigma _y = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\tau _{xy} = 0
" title="
\tau _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Delta T = 0
" title="
\Delta T = 0
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

\varepsilon _x = k.A
" title="
\varepsilon _x = k.A
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\varepsilon _y = k.A
" title="
\varepsilon _y = k.A
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\gamma _{xy} = 0
" title="
\gamma _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Erklärung:
Die Spannung in y-Richtung fällt weg, da sich die Platte nach dorthin ohne Widerstand und somit ohne auftretende Kräfte dehnen kann. Die Dehnung in y-Richtung ist deshalb auch nicht mehr 0.

Das Materialgesetz vereinfacht sich damit zu:
Zeile\:1:\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x = \frac{{200\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}} = 2,86 \cdot 10^{-3}
" title="
Zeile\:1:\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x = \frac{{200\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}} = 2,86 \cdot 10^{-3}
" style="vertical-align: -16px; border: none;"/>

Somit erhalten jetzt wir eine Längenänderung von:

\Delta l = \varepsilon \cdot l\quad = 2,86 \cdot 1000mm = 2,86mm
" title="
\Delta l = \varepsilon \cdot l\quad = 2,86 \cdot 1000mm = 2,86mm
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Aufgabe 4)

Es gilt:
\sigma _x = \frac{F}
{A}
" title="
\sigma _x = \frac{F}
{A}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Da sich Kraft und Fläche nicht ändern, ändert sich auch die Spannung in Längsrichtung nicht.

\sigma _x = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
\sigma _x = 200\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

Aufgabe 5)

Für unsere Parameter ergibt sich:

\sigma _x = 0
" title="

\sigma _x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\sigma _y = k.A
" title="
\sigma _y = k.A
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\tau _{xy} = 0
" title="
\tau _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Delta T = 120K
" title="
\Delta T = 120K
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

\varepsilon _x = k.A
" title="
\varepsilon _x = k.A
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\varepsilon _y = 0
" title="
\varepsilon _y = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\gamma _{xy} = 0
" title="
\gamma _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Erklärung:
Spannung kann diesmal nur in y-Richtung auftreten, und Dehnung nur in x-Richtung, da die Platte in y-Richtung unverschiebbar gelagert ist.

Somit erhalten wir nach Einsetzen:

Zeile\:1:\quad \varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="

Zeile\:1:\quad \varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Zeile\:2:\quad \varepsilon _y = 0 = \frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="
Zeile\:2:\quad \varepsilon _y = 0 = \frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _y = -a_{th} \cdot \Delta T \cdot E
" title="
\Rightarrow \sigma _y = -a_{th} \cdot \Delta T \cdot E
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _y = -23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 120K \cdot 70.000\frac{N}
{{mm^2 }} = \underline{\underline {-193,2\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
\Rightarrow \sigma _y = -23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 120K \cdot 70.000\frac{N}
{{mm^2 }} = \underline{\underline {-193,2\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Die Spannung hat hier ein negatives Vorzeichen, weil es sich um Druckspannung handelt.

Für die Dehnung erhalten wir dann:

\varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T = +\frac{\nu }
{E} \cdot a_{th} \Delta T \cdot E+a_{th} \Delta T = \left( {\nu +1} \right)a_{th} \Delta T
" title="

\varepsilon _x = -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T = +\frac{\nu }
{E} \cdot a_{th} \Delta T \cdot E+a_{th} \Delta T = \left( {\nu +1} \right)a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\underline{\underline {\varepsilon _x = 3,588 \cdot 10^{-3} }}
" title="
\underline{\underline {\varepsilon _x = 3,588 \cdot 10^{-3} }}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Und schließlich für die Längenänderung:

\Delta l = \varepsilon \cdot l
" title="

\Delta l = \varepsilon \cdot l
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

\Delta l = 3,588 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {3,58mm}}
" title="
\Delta l = 3,588 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {3,58mm}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Aufgabe 6)

Da die Ausgangslänge nun die Länge nach der Temperaturänderung ist, addieren wir zur Ursprünglichen Länge einfach die Längenänderung, die von der Temperatur verursacht wird.
Dehnungen können wegen der Unverschiebbarkeit in x- und y-Richtung nicht auftreten, dafür aber Spannungen in x- und y-Richtung:

l_0 = 1000mm+3,58mm
" title="

l_0 = 1000mm+3,58mm
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\sigma _x = k.A
" title="
\sigma _x = k.A
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\sigma _y = k.A
" title="
\sigma _y = k.A
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\tau _{xy} = 0
" title="
\tau _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Delta T = -120K
" title="
\Delta T = -120K
" style="vertical-align: -1px; border: none;"/>

\varepsilon _x = 0
" title="
\varepsilon _x = 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\varepsilon _y = 0
" title="
\varepsilon _y = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\gamma _{xy} = 0
" title="
\gamma _{xy} = 0
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Somit bekommen wir aus dem Materialgesetz:

0 = \varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="

0 = \varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="
0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Um nun die Spannungen herauszubekommen müssen wir erst einmal umformen:

\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="

\varepsilon _x = \frac{1}
{E}\sigma _x -\frac{\nu }
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \frac{1}
{E}\sigma _x = \varepsilon _x +\frac{\nu }
{E}\sigma _y -a_{th} \Delta T
" title="
\Rightarrow \frac{1}
{E}\sigma _x = \varepsilon _x +\frac{\nu }
{E}\sigma _y -a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\sigma _y -E\:a_{th} \Delta T
" title="
\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\sigma _y -E\:a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" title="
\varepsilon _y = -\frac{\nu }
{E}\sigma _x +\frac{1}
{E}\sigma _y +a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \frac{1}
{E}\sigma _y = \varepsilon _y +\frac{\nu }
{E}\sigma _x -a_{th} \Delta T
" title="
\Rightarrow \frac{1}
{E}\sigma _y = \varepsilon _y +\frac{\nu }
{E}\sigma _x -a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _y = E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T
" title="
\Rightarrow \sigma _y = E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Nun setzen wir die untere Gleichung in die obere ein:

\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\left( {E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T} \right)-E\:a_{th} \Delta T
" title="

\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\left( {E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T} \right)-E\:a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu E\:\varepsilon _y +\nu ^2 \:\sigma _x -\nu E\:a_{th} \Delta T-E\:a_{th} \Delta T
" title="
\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu E\:\varepsilon _y +\nu ^2 \:\sigma _x -\nu E\:a_{th} \Delta T-E\:a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _x -\nu ^2 \:\sigma _x = E\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\nu E\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)
" title="
\Rightarrow \sigma _x -\nu ^2 \:\sigma _x = E\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\nu E\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \sigma _x = \frac{E}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)
" title="
\Rightarrow \sigma _x = \frac{E}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Dementsprechend bekommen wir für die Spannung in y-Richtung (hier ändern sich nur die Dehnungen):

\Rightarrow \sigma _y = \frac{E}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)
" title="
\Rightarrow \sigma _y = \frac{E}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}}
{{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Da keine Dehnung möglich ist, vereinfacht sich die Gleichung zu

\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{E}
{{1-\nu ^2 }}+\frac{{\nu E}}
{{1-\nu ^2 }}} \right)a_{th} \Delta T
" title="

\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{E}
{{1-\nu ^2 }}+\frac{{\nu E}}
{{1-\nu ^2 }}} \right)a_{th} \Delta T
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{1-0,3^2 }}+\frac{{0,3 \cdot 70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{1-0,3^2 }}} \right) \cdot 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 120K = 276\frac{N}
{{mm^2 }}
" title="
\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{{70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{1-0,3^2 }}+\frac{{0,3 \cdot 70.000\frac{N}
{{mm^2 }}}}
{{1-0,3^2 }}} \right) \cdot 23 \cdot 10^{-6} \frac{1}
{K} \cdot 120K = 276\frac{N}
{{mm^2 }}
" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>

Um nun noch herauszufinden, welche Spannungen in der Platte erhalten bleiben, addieren wird die Spannungen in y-Richtung aus diesem Aufgabenteil und aus dem Aufgabenteil 5:

\sigma _{y,total} = \sigma _{y5} +\sigma _y = -193,2\frac{N}
{{mm^2 }}+276\frac{N}
{{mm^2 }} = \underline{\underline {82,8\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" title="
\sigma _{y,total} = \sigma _{y5} +\sigma _y = -193,2\frac{N}
{{mm^2 }}+276\frac{N}
{{mm^2 }} = \underline{\underline {82,8\frac{N}
{{mm^2 }}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Fertig!