Mathematical Engineering - LRT » Luftfahrtsysteme http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Sun, 13 May 2012 09:26:22 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 U03 – Nullwiderstand des Eurofighters http://me-lrt.de/u03-nullwiderstand-des-eurofighters http://me-lrt.de/u03-nullwiderstand-des-eurofighters#comments Mon, 14 Jun 2010 13:19:03 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=5422 Der Widerstand eines Flugzeugs setzt sich aus unterschiedlichen Anteilen zusammen. Für den Eurofighter soll im Rahmen einer Nachprojektierung der Widerstandsbeiwert für den unten angegebenen Flugzustand ermittelt werden.

  1. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandsbeiwertes über der Machzahl. Kennzeichnen Sie die jeweiligen Anteile und beschreiben Sie deren physikalischen Ursprung.
  2. Definieren Sie die Machzahl des Widerstandsanstieges. Bestimmen Sie den Wert mittels des angehängten Diagramms. Welchen Einfluss haben Flügelpfeilung und relative Dicke?
  3. Bestimmen Sie die Widerstandsfläche und den Nullwiderstandsbeiwert des Eurofighters bei einer Geschwindigkeit von Ma = 0,6 in einer Höhe von 6km. Das Profil werde dabei zu 30% laminar umströmt.
  4. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandes (Kraft) über der Machzahl!

Technische Daten Eurofighter:

Spannweite: b = 10,95m

Referenzfläche: {S_{ref}} = 55{m^2}

Profil: NACA\:\:64\:A004.6\:\bmod

Gesamtlänge: L = 15,96m

Max. Rumpfbreite: {d_g} = 2,26m

Lösung

1)

lfs-u03-widerstandsdiagramm

Ma* ist die kritische Machzahl. Dies ist diejenige Anströmmachzahl, bei der durch die Übergeschwindigkeit auf der Oberseite des Flügelprofils gerade Ma = 1 erreicht wird.

M{a_{SVK}} (SVK: Schallvorderkante) ist diejenige Machzahl, mit der das Luftfahrzeug sich bewegen muss, damit die Geschwindigkeit senkrecht zur Flügelvorderkante (die senkrechte Anströmgeschwindigkeit) genau Ma = 1 erreicht.

lfs-u02-senkrechte-vorderkanten-geschwindigkeit

Dabei gilt in etwa: M{a_ \bot } = 1\quad \overset{\wedge}{=}\quad M{a_{SVK}} \approx 1,6

Zu beachten ist noch, dass der Widerstand selbst trotz des sinkenden Widerstandsbeiwertes bei höherer Machzahl steigt!

lfs-u03-widerstand

2)

Die Machzahl des Widerstandsanstiegs ist definiert als diejenige Machzahl, bei der der Widerstandsanstieg über der Machzahl 0,1 beträgt:

lfs-u03-machzahl-des-widerstandsanstiegs

\frac{{\partial {C_W}}}{{\partial Ma}} = 0,1\quad \Rightarrow \quad M{a_{DD}} \approx M{a^*}+0,05

DD: Divergence Drag

Bestimmen können wir diese Machzahl mit Hilfe des folgenden Diagrams (für Großansicht hier klicken):

lfs-u03-drag-divergence-mach-number-chart

Folgende benötigte Werte haben wir bereits in Übung 2 bestimmt:

Taper Ratio = Zuspitzung = \lambda = 0,176

Thickness Ratio = maximale relative Dicke = \delta = \frac{d}{l} = 4,6\% = 0,046

Aspect Ratio = Streckung = \Lambda = 2,2

Für den Pfeilungswinkel gilt wie in Übung 2:

\boxed{\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}}

wobei für den Eurofighter gilt: {\varphi _0} = 53^\circ

\Rightarrow \quad {\varphi _{25}} = \arctan \left[ {\tan \left( {53^\circ } \right)-\frac{4}{{2,2}} \cdot 0,25 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}} \right] = 45^\circ

Hier noch einmal zur Vertiefung die Bedeutung der einzelnen Werte:

Sweep Angle:

Der Sweep Angle oder auch Pfeilungswinkel, welcher einen gepfeilten Flügel charakterisiert, wird normalerweise entlang der 25%-Linie gemessen.

lfs-u03-pfeilung

Thickness Ratio (maximale relative Dicke):

\delta = \frac{d}{l}

lfs-u03-relative-dicke

Streckung:

\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S}

Zuspitzung:

\lambda = \frac{{{l_a}}}{{{l_i}}}

Damit sieht das ausgefüllte Diagramm wie folgt aus (für Großansicht hier klicken):

lfs-u03-drag-divergence-mach-number-chart-b

Daraus folgt also: M{a_{DD}} = 0,94

Einfluss von Flügelpfeilung und relativer Dicke:

lfs-u03-einfluss-fluegelpfeilung-relative-dicke

3)

lfs-u03-widerstand-b

Schema für die Berechnung von Widerstandsflächen und Nullwiderstandsbeiwert:

1. charakteristische Lauflängen bestimmen aus Anteilen von:

Rumpf

Seitenleitwerk

Höhenleitwerk

Flügel

Triebwerkseinlauf

2. Reynoldszahlen bestimmen

3. Reibbeiwerte {c_f} bestimmen

4. Referenzflächen bestimmen

5. Addition der Widerstandsflächen \Rightarrow {C_{W0,ges}}

Berechnung des Nullwiderstandsbeiwertes:

{C_{W0}} = \frac{{\sum {{f_{Sj}}} }}{{{S_{ref}}}}+{C_{W,Interf}}+{C_{W,Welle}}

Bei Ma = 0,6 können wir den transsonischen Wellenwiderstand nicht vernachlässigen!

Zunächst wenden wir uns den einzelnen Baugruppen zu:

Wir beginnen mit dem Rumpf:

1. Charakteristische Lauflänge:

Dieser Wert ist in der Aufgabenstellung gegeben: l = L = 15,96\:m

2. Reynoldszahl:

Es gilt: \operatorname{Re} = \frac{{\rho vl}}{\mu }

Für die Dichte in der internationale Standardatmosphäre gilt:

\boxed{\rho \left( H \right) = {\rho _0}{{\left( {\frac{{T\left( H \right)}}{{{T_0}}}} \right)}^{4,256}}}

\quad \boxed{T\left( H \right) = {T_0}+{\gamma _H} \cdot H}

\qquad {T_0} = 288,15\:K

\qquad {\rho _0} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}

\qquad {\gamma _H}\left( {ISA} \right) = -6,5\frac{K}{{km}}

\Rightarrow \quad T\left( {6\:km} \right) = \underline{\underline {249,15\:K}}

\Rightarrow \quad \rho \left( {6\:km} \right) = \underline{\underline {0,66\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}

Für die Geschwindigkeit v gilt:

v = Ma \cdot a = Ma \cdot \sqrt {\kappa RT} = Ma \cdot \sqrt {\kappa \frac{p}{\rho }} = 0,6 \cdot 316,4\frac{m}{s} = 189,8\frac{m}{s}

mit \kappa = 1,4,\quad Ma = 0,6

Zur Berechnung der dynamischen Viskosität µ benötigen wir folgende Formel:

\boxed{\mu = 1,7 \cdot {{10}^{-5}}\frac{{kg}}{{ms}} \cdot {{\left( {\frac{T}{{273,15K}}} \right)}^{1,5}} \cdot \left( {\frac{{384,15K}}{{T+111K}}} \right)} = 1,5796 \cdot {10^{-5}}\frac{{kg}}{{ms}}

Durch Einsetzen erhalten wir somit für die Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{{l_R}}} = 1,266 \cdot {10^8}

Dabei handelt es sich um eine turbulente Strömung, da der Umschlag von laminar auf turbulent bei einer Reynoldszahl von etwa {10^6} stattfindet.

Nun müssen wir noch die so genannte Cutoff-Reynoldszahl bestimmen, da die empirischen Formeln zu Bestimmung des Reibbeiwertes nur in einem begrenzten Reynoldszahl-Bereich gelten.

Mit zunehmender Reynoldszahl nimmt der Reibbeiwert ab, kann jedoch aufgrund der Oberflächenrauhigkeit einen Mindestwert nicht unterschreiten.

Um eine untere Grenze der Näherungskurve für den Reibbeiwert zu berücksichtigen, wird eine Obergrenze für die Reynoldszahl eingeführt. Ist die tatsächliche Reynoldszahl größer als die Cutoff-Reynoldszahl, so ist letztere maßgeblich für die Bestimmung des Reibbeiwerts.

Für die Cutoff-Reynoldszahl gilt:

\boxed{{{\operatorname{Re} }_{CO}} = 38{{\left( {\frac{{{l_R}}}{k}} \right)}^{1,053}}} = 2,1 \cdot {10^8}

Wir setzen dabei k = 6,3 \cdot {10^{-6}} für einen glatten Anstrich der Flügel.

Somit können wir also die zuerst berechnete Reynoldszahl weiterverwenden.

3. Reibbeiwert:

Für den Reibbeiwert oder auch Reibkoeffizienten (engl. friction coefficient) gilt:

{C_{f,lam}} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }}

{C_{f,turb}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}}

Da es sich um eine turbulente Strömung handelt benötigen wir die zweite Formel:

{C_{f,R}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {{{\operatorname{Re} }_{{l_R}}}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}} = 0,002

Damit lässt sich nun der Beiwert für den schädlichen Widerstand des Rumpfes bestimmen:

\boxed{{C_{Ws,R}} = {C_{f,R}}\left( {\underbrace 1_{Reibanteil}+\underbrace {0,5{{\left( {\frac{d}{l}} \right)}_R}+6\left( {\frac{d}{l}} \right)_R^4{{\left( {\frac{1}{\beta }} \right)}^{1,5}}}_{Druckanteil}} \right)}

= 1,08 \cdot {C_{f,R}} = 0,00216

mit:

\beta = \sqrt {1-M{a^2}} = 0,8 (Prandtl-Glauert-Faktor)

{\left( {\frac{d}{l}} \right)_R} = \frac{{2,26\:m}}{{15\:m}} = 0,151

Als Rumpflänge wurden hier 15 m gewählt, da in der Gesamtlänge auch noch die Länge des überstehenden Höhenleitwerks / Seitenruders (0,95 m) enthalten ist.

4. Referenzfläche:

Für die Bezugsfläche, welche hier die Oberfläche des Rumpfes ist gilt:

{O_R} = \boxed{{S_R} \approx \pi d_r^2\left[ {\left( {\frac{d}{l}} \right)_R^{-1}-1,35} \right]} = 84,8{m^2}

Damit gilt für die Widerstandsfläche der Baugruppe:

\boxed{{f_{S,R}} = {C_{Ws,R}} \cdot {O_R}} = \underline{\underline {0,183{m^2}}}

Wir kommen nun zum Triebwerk.

1. Charakteristische Lauflänge:

Die Charakteristische Länge ist hier die Einlauflänge (Länge des Ansaugschachtes des Triebwerks / der Triebwerke):

{l_{EL}} = 5,9m

Diese Länge erhält man aus der Länge vom Einlauf bis zum Ende des Flugzeugs, abzüglich der bekannten Länge des Triebwerks (beim Eurofighter 4 Meter).

2. Reynoldszahl:

Bei hohen Geschwindigkeiten kann bei Kampfflugzeugen der Einlaufsquerschnitt verkleinert werden, um die Strömungsgeschwindigkeit wieder herabzusetzen. Dies ist bei Ma = 0,6 aber noch nicht der Fall. Wir rechnen daher auch mit dieser Geschwindigkeit als Geschwindigkeit im Einlauf.

Analog zu oben folgt hier:

{\operatorname{Re} _{EL}} = 4,679 \cdot {10^7} \gg {10^6}\quad \Rightarrow \quad turbulent

{\operatorname{Re} _{CO}} = 38 \cdot {\left( {\frac{{5,9}}{{6,3 \cdot {{10}^{-6}}}}} \right)^{1,053}} = 7,376 \cdot {10^7}\quad \Rightarrow \quad turbulent

3. Reibbeiwert:

{C_{f,EL}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {{{\operatorname{Re} }_{EL}}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}} = 0,002296

4. Referenzfläche:

{O_{EL}} = 2 \cdot {l_{EL}} \cdot {U_{EL}}

Für den Durchmesser des Triebwerkseinlaufs wählen wird dabei:

{D_{TWK}} = 0,74\:m (Literaturwert)

{U_{EL}} = \pi \cdot {D_{TWK}} = 2,32\:m

\Rightarrow \quad {O_{EL}} \approx 27{m^2}

\Rightarrow \quad {f_{S,EL}} = {C_{f,EL}} \cdot {O_{EL}} = 0,062\:{m^2}

Nun machen wir mit den Flügeln weiter

1. Charakteristische Lauflänge:

Zu beachten ist, dass wir hier mit der exponierten Flügelfläche weiterrechnen müssen, da wir das Flugzeug in Komponenten unterteilt haben!

Durch die Messungen aus Aufgabe 1 ergibt dich damit:

{l_a} = 1,5\:m

{l_{i,\exp }} = 7\:m

{\lambda _{\exp }} = \frac{{{l_a}}}{{{l_{i,\exp }}}} = 0,21

Die Bezugsflügeltiefe {l_\mu } können wir geometrisch anhand der Zeichnung bestimmen (siehe letzte Übung):

{l_{\mu ,\exp }} = \frac{2}{3} \cdot {l_{i,\exp }} \cdot \frac{{1+\lambda +{\lambda ^2}}}{{1+\lambda }} = 4,84\:m

2. Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{l\mu }} = \frac{{\rho v{l_{\mu ,\exp }}}}{\mu } = 3,8 \cdot {10^7} > {10^6}\quad \Rightarrow turbulent

\operatorname{Re} = 0,3 \cdot {\operatorname{Re} _{l\mu }} = 1,14 \cdot {10^7} (für den laminaren Teil)

{\operatorname{Re} _{CO}} = 6 \cdot {10^7}

{C_{f,turb}} = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot M{a^2}} \right)^{-0,65}}

\qquad = \frac{{0,455}}{{{{\left( {{{\log }_{10}}\left( {3,8 \cdot {{10}^7}} \right)} \right)}^{2,58}}}}{\left( {1+0,144 \cdot {{0,6}^2}} \right)^{-0,65}} = 0,00237\quad \quad \left( {70\% \:\:turb} \right)

{C_{f,lam}} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }} = \frac{{1,328}}{{\sqrt {1,14 \cdot {{10}^7}} }} = 0,00039\quad \quad \left( {30\% \:\:lam} \right)

Zu beachten ist hierbei, dass für den laminaren Reibbeiwert die mit 0,3 multiplizierte Reynoldszahl verwendet wird, da sich dieser vorne auf dem Flügel befindet und daher vom hinteren (turbulenten) Teil unabhängig ist.

Für die Berechnung des turbulenten Reibbeiwertes muss dagegen die Reynoldszahl der gesamten Flügellänge verwendet werden, da der laminare Teil (30 %) auch einen Einfluss auf den turbulenten Teil hat.

Diese beiden Reibbeiwerte werden nun noch gewichtet aufaddiert:

\Rightarrow \quad {C_{f,F}} = 0,3 \cdot {C_{f,lam}}+0,7 \cdot {C_{f,turb}} = 0,00178

lfs-u03-fluegel

Für den Beiwert vom Profilwiderstand des Flügels gilt:

\boxed{{C_{W0,F}} = 2 \cdot {C_{f,F}}\left[ {1+A \cdot \frac{d}{l} \cdot \cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)+B \cdot {{\left( {\frac{d}{l}} \right)}^4} \cdot {{\left( {\frac{1}{{{\beta ^*}}}} \right)}^3}\cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)} \right]}

Für den Flügel folgt wie in Übung 2 aus „NACA 64A 004.6 mod“ für die relative Dicke:

004.6\quad \to \quad \frac{d}{l} = \delta = 4,6\:\% = 0,046

{\varphi _{25}} = 45^\circ (Berechnung siehe weiter oben)

Für den Prandtl-Glauert-Faktor gilt:

{\beta ^*} = \sqrt {1-{{\left( {0,6 \cdot \cos \left( {{\varphi _{25}}} \right)} \right)}^2}} = 0,906

Für die Faktoren A und B gilt:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & A &\vline & B \\ \hline{NACA\:4er} &\vline & {2,0} &\vline & {60} \\ \hline{Laminarprofil} &\vline & {1,5} &\vline & {125} \\ \end{array}

Damit folgt nun also:

{C_{W0,F}} = 2 \cdot {C_{f,F}} \cdot 1,065 = 0,00377

Für die Widerstandsfläche gilt:

{f_{SF}} = {C_{W0,F}} \cdot {S_{F,\exp }} = 0,14{m^2}

{S_{F,\exp }} erhalten wir wie in Übung 2 durch ausmessen:

{S_{F,\exp }} = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2} \cdot 2 \cdot s = \frac{{7\:m+1,5\:m}}{2} \cdot 2 \cdot 4,4\:m = 37,4\:m

Nun folgt das Seitenleitwerk:

{C_{W0,SLW}} \approx 0,006

{S_{SLW}} = 5,4\:{m^2}

{f_{S,SLW}} = 0,006 \cdot 5,4\:{m^2} = 0,032\:{m^2}

Jetzt noch das Höhenleitwerk:

{C_{W0,HLW}} \approx 0,006

{S_{HLW}} = 3,1\:{m^2}

{f_{S,HLW}} = 0,019\:{m^2}

Wir führen nun alle berechneten Werte zusammen:

{C_{W0}} = \frac{{\sum {{f_{Sj}}} }}{{{S_{ref}}}}+{C_{W,Interf}}+{C_{W,Welle}}

Die Werte für {f_{Sj}} haben wir alle berechnet. Für die Interferenzen gibt es Formeln, die an dieser Stelle allerdings zu aufwändig wären. Wir schätzen daher, dass durch Interferenzen 20% Widerstand hinzukommen.

Es ergibt sich (bei Vernachlässigung des Wellenwiderstandes):

{C_{W0}} = 1,2 \cdot \frac{{{f_{S,R}}+{f_{S,EL}}+{f_{S,Fl}}+{f_{S,SLW}}+{f_{S,HLW}}}}{{{S_{ref}}}} \approx 0,0095

Es fehlt nun noch der Wellenwiderstand, über den wir keinerlei Informationen haben. Es gibt jedoch eine Formel, mit der man sich die gesamte Rechnung sparen kann, wenn man nur drei relevante Werte kennt:

{C_{W0}} = {C_{fe}} \cdot \frac{{{S_{wet}}}}{{{S_{ref}}}}

{C_{fe}} bekommen wir aus folgender Tabelle:

lfs-u03-schnellabschaetzungsmethode

Für {S_{wet}} betrachten wir das folgende Diagram:

lfs-u03-verhaeltnis-benetzte-oberflaeche-referenzfluegelflaeche

Der Eurofighter liegt etwa zwischen der Phantom und der F-102 Delta Dagger. Wir schätzen den Wert daher mit {S_{wet}}/{S_{ref}} = 3,2 ab.

Es ergibt sich:

{C_{W0}} = {C_{fe}} \cdot \frac{{{S_{wet}}}}{{{S_{ref}}}} = 0,0035 \cdot 3,2 = 0,0112

Vergleichen wir diesen Wert mit dem vorher berechneten, sehen wir, dass der Wellenwiderstand etwa 10% ausmacht.

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/u03-nullwiderstand-des-eurofighters/feed 2 U04 – Widerstandspolare des Eurofighters http://me-lrt.de/u04-widerstandspolare-des-eurofighters http://me-lrt.de/u04-widerstandspolare-des-eurofighters#comments Tue, 01 Jun 2010 19:28:24 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=5278 Die Polare eines Flugzeuges beschreibt die Abhängigkeit des Widerstandes vom jeweiligen Flugzustand. Sie zeigt in Abhängigkeit vom Auftriebsbeiwert den Widerstand (Nullwiderstand und induzierten Widerstand), und stellt damit eine wichtige Darstellungsform zur Bewertung der Aerodynamik eines Flugzeugs dar. Zudem wird sie oftmals im Rahmen von Leistungsrechnungen als Eingabe der Aerodynamik benötigt.

  1. Ermitteln Sie die Polare des Eurofighters für Ma = 0,7 ohne den „Polar-Break“ zu berücksichtigen und schätzen Sie die Saugkraft ab! Welche Werte kann der Oswaldfaktor (efficiency factor) annehmen?

  2. Wie sieht die Polare für Ma = 0,7 mit „Polar-Break“ aus?

  3. Berücksichtigen Sie den Einfluss der Profilbeiwerte.

  4. Berechnen Sie die Polare im Überschall für Ma = 1,8.

  5. Bestimmen Sie die maximale aerodynamische Güte bei Ma = 0,7, den zugehörigen Auftriebsbeiwert und die zugehörige Flächenbelastung! Um welchen Faktor muss der Schub bei gleicher Flächenbelastung und Ma = 1,8 höher sein?

Technische Daten Eurofighter:

Spannweite: b = 10,95m

Flügelfläche: S = 55{m^2}

Nullwiderstandsbeiwert (US): {C_{W0}} = 0,015

Profil: NACA\:64\:A\:004.6\:\bmod

Maximaler Auftriebsbeiwert (Ma = 0,7): {C_{A,{max} }} = 0,8

Lösung

1) Polare, Saugkraft, Oswaldfaktor

Für den Widerstandsbeiwert gilt:

\boxed{{C_W} = {C_{W0}}+{C_{Wi}}} = 0,015+k \cdot C_A^2

(vgl. Ü3: dort war Cw0 = 0,0112)

lfs-u04-k-faktor

Zum k-Faktor:

Der k-Faktor des Flugzeugs zeigt bei höherem {C_A} eine Abhängigkeit vom Auftriebsbeiwert. Bei dünnen Profilen bildet sich an der Vorderkante eine Ablöseblase. Gleichzeitig nimmt der Formwiderstand zu (auftriebsabhängiger Formwiderstand). Dies führt zu einer Reduzierung der Nettosaugkraft. Der k-Faktor geht daher mit steigendem {C_A} bis auf den Wert {k_0} zurück.

Der Beginn des Einbruchs wird als „polar break“ bezeichnet. Dieser ist abhängig von der Umströmung der Vorderkante. Wichtigster Einflussparameter ist hier der Nasenradius, der bei NACA-Profilen direkt an die relative Dicke gekoppelt ist.

Für erste Abschätzungen kann der Verlauf nach dem „polar break“ durch eine Geradengleichung angenähert werden.

Für den k-Faktor gilt:

{k_{100}} = \frac{1}{{\pi \Lambda }} (elliptische Auftriebsverteilung; runde Vorderkante)

(Bei einer scharfen Vorderkante funktioniert das ganze nicht.)

Wir gehen von voll ausgeprägter Saugkraft aus \Rightarrow \quad e = 1

{k_{min} } = \frac{1}{{\pi \Lambda e}}

e ist der so genannte Oswaldfaktor. Der minimal induzierte Widerstand ergibt sich laut Prandtl’scher Traglinientheorie für eine elliptische Auftriebsverteilung. Jegliche Abweichung von dieser Verteilung bewirkt eine Erhöhung des induzierten Widerstandes. Um diese berücksichtigen zu können, wird der nach Oswald benannte efficiency faktor e eingeführt.

Die Näherungsformel für einen gepfeilten Flügel lautet dabei:

\boxed{e \approx 4,61\left( {1-0,045 \cdot {\Lambda ^{0,68}}} \right) \cdot {{\left( {\cos {\varphi _0}} \right)}^{0,15}}-3,1} \approx 0,84

Aus den vorherigen Übungen bekommen wir:

\Lambda = 2,2

{\varphi _0} = 53^\circ

\Rightarrow \quad {k_{min} } = 0,172

\Rightarrow \quad {C_w} = 0,015+0,172 \cdot C_A^2

\left( {Ma = 0,7} \right)

lfs-u04-nullwiderstand

\boxed{{k_0} = \frac{1}{{{C_{A\alpha }}}}}

Mit der Formel nach Polhamus folgt:

\boxed{{C_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+ta{n^2}{\varphi _{\delta ,{max} }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}} = 2,735

\beta = \sqrt {1-M{a^2}} = 0,714

K = \frac{{{C_{a\alpha }} \cdot \beta }}{{2\pi }} \approx 1+0,75 \cdot \delta = 1,0345

\delta = 0,046; \lambda = 0,176 (siehe Übung 2)

{\varphi _{\delta ,{max} }} = {\varphi _{\chi = 0,4}} = \arctan \left[ {\tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot 0,4 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}} \right] = 39,26^\circ

\Rightarrow \quad {k_0} = 0,366\quad \left[ {\left[ {0,34} \right]} \right]

Damit bekommen wir für die Saugkraft:

S\left( \% \right) = \frac{{{k_0}-k}}{{{k_0}-{k_{100}}}} = \frac{{0,34-0,172}}{{0,34-0,145}} = 87,78\:\%

{e_{max} } = 1

{k_0} = \frac{1}{{{c_{A\alpha }}}} = \frac{1}{{\pi \Lambda e}}\quad \Rightarrow \quad {e_{min} } = \frac{{{c_{A\alpha }}}}{{\pi \Lambda }} = 0,3957

2) Mit Polarbreak

Polar break (PB): ab dort beginnt die Saugkraft an der Vorderkante stetig abzunehmen.

Am oberen Punkt der Kurve ist sie vollständig eingebrochen.

Es gilt:

\boxed{{C_{A,PB}} \approx 6,5 \cdot \frac{d}{l}}

Aus den vorherigen Übungen ist noch bekannt: \frac{d}{l} = 0,046

\Rightarrow \quad {C_{A,PB}} = 0,3

Unterhalb des Polarbreaks wäre \Delta k = 0

\boxed{\Delta k\left( {{C_A} > {C_{PB}}} \right) = \frac{{{k_0}-\frac{1}{{\pi \Lambda e}}}}{{\underbrace {{C_{A,{max} }}-{C_{A,PB}}}_{Steigung}}}\left( {{C_A}-{C_{A,PB}}} \right)}

= \frac{{0,366-0,172}}{{0,8-0,3}}\left( {{c_A}-0,3} \right) = 0,388\left( {{c_A}-0,3} \right)

lfs-u04-k-faktor

{C_{Wi}}\left( {0,3 < {C_A} < {C_{A,{max} }}} \right) = \underbrace {\left[ {{k_{\min} }+\Delta k} \right]}_k \cdot C_A^2

= \left[ {0,172+0,388\left( {{C_A}-0,3} \right)} \right] \cdot C_A^2 = 0,388 \cdot C_A^3+0,0556 \cdot C_A^2

lfs-u04-symmetrisch-induzierte-polare

3) Berücksichtigung des Einflusses der Profilbeiwerte

lfs-u04-gesamtpolare

Im Falle der Berücksichtigung des Einflusses der Profilbeiwerte gilt die hier angegebene Formel.

4) Überschall

Ma = 1,8

Ma > \boxed{M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}}} = 1,66

Nach Ackeret gilt:

k = {k_0} = \boxed{\frac{1}{{{c_{A\alpha }}}} = \frac{{\sqrt {M{a^2}-1} }}{4}} = 0,3742

lfs-u04-nullwiderstand-b

Verhältnis: 2:1

{C_{W0}}\left( {Ma = 1,8} \right) \approx 2 \cdot {C_{W0}}\left( {Ma = 0,7} \right)

{C_W} = {C_{W0}}+{C_{Wi}} = 0,03+0,3742 \cdot C_A^2

5) Aerodynamische Güte, Auftriebsbeiwert, Flächenbelastung

\underline{\underline {Ma = 0,7}}

Für die Aerodynamische Güte gilt:

\varepsilon = \frac{{{C_W}}}{{{C_A}}} = \frac{{{C_{W0}}+k \cdot C_A^2}}{{{C_A}}} = \frac{{{C_{W0}}}}{{{C_A}}}+k \cdot {C_A}

0\mathop = \limits^! \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {C_A}}} = -\frac{{{C_{W0}}}}{{C_A^{*2}}}+k\quad \Rightarrow \quad C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{W0}}}}{k}} = \sqrt {\frac{{0,015}}{{0,172}}} = \underline{\underline {0,295}} < {C_{A,PB}}

C_A^* ist am effizientesten für die maximale Reichweite.

Vorsicht: Manchmal wird auch der Kehrwert von \varepsilon als Aerodynamische Güte bezeichnet.

{\varepsilon _{{min} \left( {Ma = 0,7} \right)}} = \frac{{{C_{W0}}+k \cdot C_A^{*2}}}{{C_A^*}} = \frac{{2 \cdot {C_{W0}} \cdot \sqrt k }}{{\sqrt {{C_{W0}}} }} = 2 \cdot \sqrt {{C_{W0}} \cdot k} = 2 \cdot \sqrt {0,015 \cdot 0,172} = \underline{\underline {0,102}}

Für die Gleitzahl erhalten wir somit:

\frac{{{C_A}}}{{{C_W}}} = 9,8

Für die optimale Geschwindigkeit gilt:

A = G\quad \Rightarrow \quad {V^*}

lfs-u04-kraefte

\frac{F}{G} = \frac{W}{A} = \underline{\underline {0,102}} \quad \left( {Ma = 0,7} \right)

Nun der Vergleich mit der anderen Machzahl:

\underline{\underline {Ma = 1,8}}

A = G

\frac{G}{S} = C_A^* \cdot \frac{\rho }{2} \cdot {V^2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{2 \cdot G}}{{\rho {V^2}S}} = {C_A}

\frac{{2 \cdot G}}{{\rho S}} = const.\quad \Rightarrow \quad {C_A} = const \cdot \frac{1}{{{V^2}}}\quad \Rightarrow \quad {C_A} \cdot {V^2} = const\quad \Rightarrow \quad {C_A} \cdot M{a^2} = const

\Rightarrow \quad {C_A}\left( {Ma = 1,8} \right) = \underbrace {{C_A}\left( {Ma = 0,7} \right)}_{C_A^* = 0,295} \cdot \frac{{{{0,7}^2}}}{{{{1,8}^2}}} = 0,295 \cdot \frac{{{{0,7}^2}}}{{{{1,8}^2}}} = \underline{\underline {0,045}}

{\varepsilon _{\left( {Ma = 1,8} \right)}} = \frac{{{C_{W0}}}}{{{C_A}}}+k \cdot {C_A} = \frac{{0,03}}{{0,045}}+0,3742 \cdot 0,045 = \underline{\underline {0,68}}

\Rightarrow \quad \frac{1}{\varepsilon } = 1,47Gleitzahl bei Ma = 1,8

Schubbedarf:

Es gilt:

\frac{{{\varepsilon _{\left( {Ma = 1,8} \right)}}}}{{{\varepsilon _{\left( {Ma = 0,7} \right)}}}} = \frac{{0,68}}{{0,102}} = \underline{\underline {6,7}}

Es werden für Ma = 1,8 also 670 % des Schubes für Ma = 0,7 benötigt.

A = G = \underbrace {C_A^*}_{0,295} \cdot \frac{\rho }{2}{V^2} \cdot \underbrace S_{55\:{m^2}} = 20.000\:kg \cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}} = \underline{\underline {196.200\:N}}

Wobei:

\frac{\rho }{2}{V^2} = \frac{G}{{S \cdot C_A^*}} = 12.092\frac{{kg}}{{{s^2}m}}

\rho = 0,66\frac{{kg}}{{{m^3}}} (siehe Übung 2)

V = 191.43\frac{m}{s}

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/u04-widerstandspolare-des-eurofighters/feed 4 U02 – Auftriebsverhalten des Eurofighters http://me-lrt.de/u02-auftriebsverhalten-des-eurofighters http://me-lrt.de/u02-auftriebsverhalten-des-eurofighters#comments Sat, 15 May 2010 15:33:55 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=5175 Das Auftriebsverhalten eines Flugzeugs bestimmt einen großen Teil seines Leistungsvermögens. Dies trifft sowohl auf Transportflugzeuge als auch auf Kampfflugzeuge zu. Das Auftriebsverhalten eines Flugzeuges gibt z.B. direkten Einblick in die Böenempfindlichkeit eines Flugzeuges.

Die Einflüsse des Rumpfes und der Leitwerke können in einer ersten Abschätzung ohne großen Fehler vernachlässigt werden, so dass sich die Betrachtung des Auftriebs lediglich auf den ideellen Flügel bezieht.

  1. Bestimmen Sie die geometrischen Größen des Flügels!
  2. Skizzieren Sie eine Auftriebspolare und benennen Sie alle relevanten Größen!
  3. Bestimmen Sie den Auftriebsanstieg des Eurofighters für den Machzahlbereich von Ma = 0,3 bis Ma = 2,2

    1. Berechnen Sie den Auftriebsanstieg {c_{A\alpha }} für den Unterschall! Bis zu welcher Machzahl ist die verwendete Theorie anwendbar?
    2. Bestimmen Sie das Auftriebsverhalten des Eurofighters im Überschall unter Berücksichtigung der unteren Machzahl-Begrenzung.
    3. Skizzieren Sie den {c_{A\alpha }}-Verlauf über den gesamten Machzahl-Bereich.
  4. Vergleichen Sie die Auftriebspolaren eines Kampfflugzeugs und eines Transportflugzeugs. Zeigen Sie den Einfluss von Streckung, Pfeilung und Profilwölbung!

Abmessungen

Profil: NACA 64 A 004.6 mod

Spannweite: b = 10,95 m

Länge: L = 15,96 m

Höhe: H = 5,28 m

lfs-u02-eurofighter

Lösung

Aufgabe 1

lfs-u02-eurofighter-fluegel

Laut Aufgabenstellung ist b = 10,95\:m.

In der Zeichnung messen wir b = 12\:cm

\Rightarrow \quad 1\:cm \overset{\wedge}{=}\frac{{11}}{{12}}m

Für die anderen Größen bekommen wir durch Messung:

{l_{i,id}} = 8,5\:m,\quad {l_a} = 1,5\:m\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{id}} = \frac{{{l_a}}}{{{l_{i,id}}}} = 0,176 (Deltaflügel)

Als nächstes bestimmen wir die Flügelfläche:

\boxed{S = \int\limits_{-s}^s {l\left( y \right)dy} } = 2 \cdot \int\limits_0^s {l\left( y \right)dy}

Für die Länge in Abhängigkeit von y gilt folgende Beziehung:

l\left( y \right) = {l_i}-\frac{{{l_i}-{l_a}}}{s} \cdot y

\Rightarrow \quad S = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2} \cdot b = 54,75\:{m^2}

lfs-u02-fluegelprofil-2

Nun berechnen wir die Streckung:

\boxed{\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S}} = \frac{{{{10,95}^2}}}{{54,75}} = 2,2

Für die Streckung beträgt im Normalfall für

Fighter: 2-4

Segelflugzeug: > 20, {l_i} = {l_a}

Eine weitere wichtige Größe ist die Bezugsflügeltiefe {l_\mu }, welche die Flügelfläche halbiert:

\boxed{{l_\mu } = \frac{1}{S} \cdot \int\limits_{-s}^s {l{{\left( y \right)}^2}dy} } = \ldots \quad \Rightarrow \quad {l_\mu } = \frac{2}{3} \cdot {l_i} \cdot \frac{{1+\lambda +{\lambda ^2}}}{{1+\lambda }} = \underline{\underline {5,82\:m}}

lfs-u02-bezugsfluegeltiefe

Merke: {l_\mu } \ne {l_m} = \frac{{{l_i}+{l_a}}}{2}

Die Pfeilung φ:

lfs-u02-pfeilung

χ ist hierbei die so genannte Dickenrücklage. Sie bezeichnet den Abstand zwischen Flügelnase und der maximalen Profildicke und wird in Prozent der Profiltiefe (der Länge des Flügels in Flugrichtung) angegeben.

Bsp. (nicht maßstabsgerecht):

\chi = 0,4 = 40\%

lfs-u02-dickenruecklage

Für die Pfeilung gilt:

\tan {\varphi _\chi } = \frac{{\Delta x}}{s} = \frac{{\left( {\tan {\varphi _0} \cdot s+\chi \cdot {l_a}} \right)-\chi \cdot {l_i}}}{s}

= \tan {\varphi _0}+\chi \frac{{{l_a}-{l_i}}}{s}

mit \lambda = \frac{{{l_a}}}{{{l_i}}} folgt:

\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}+\chi \frac{{{l_i}}}{s}\left( {\lambda -1} \right)

Einen Bezug zur Streckung erhält man durch:

\Lambda = \frac{{{b^2}}}{S} = \frac{{{{\left( {2s} \right)}^2}}}{{\frac{{{l_a}+{l_i}}}{2}2s}} = \frac{{4s}}{{{l_i}\left( {\lambda +1} \right)}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{l_i}}}{s} = \frac{4}{\Lambda } \cdot \frac{1}{{\lambda +1}}

Durch Einsetzen folgt:

\boxed{\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}}

Aufgabe 2

lfs-u02-auftriebspolare-5

Beispiel für eine Ablösung:

lfs-u02-hinterkantenabloesung

Aufgabe 3

Es gibt insgesamt 3 Bereiche, die wir betrachten müssen:

Bereich \to \begin{array}{*{20}{c}}{US\quad \left( {Unterschall} \right)} \\{SG\quad \left( {Schallgrenze} \right)} \\{\ddot US\quad \left( {\ddot Uberschall} \right)} \\ \end{array}

Wir haben folgende Profilbezeichnung gegeben: NACA 64A 004.6 mod

Daraus können wir folgendes ablesen:

4\quad \to \quad \frac{{{x_D}}}{l} = \chi \approx 0,4 = 40\:\% = relative Dickenrücklage

004.6\quad \to \quad \frac{d}{l} = \delta = 4,6\:\% = 0,046 = maximale relative Dicke

lfs-u02-fluegelprofil

a)

Bestimmen Sie den Auftriebsanstieg {c_{A\alpha }} für den Unterschall! Bis zu welcher Machzahl ist die verwendete Theorie anwendbar?

Für den Unterschallbereich benötigen wir die Formel nach Polhamus:

\boxed{{c_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+{\tan}^2 {\varphi _{d\max }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}}

Kompressibilitätseinfluss: {\beta ^2} = 1-M{a^2}

Profil-/Dickeneinfluss: K = \frac{{{c_{a\alpha }} \cdot \beta }}{{2\pi }} \approx 1+0,75\frac{d}{l}

Daraus erhalten wir mit der Formel aus Aufgabe 2:

\tan {\varphi _\chi } = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot \chi \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}

\Rightarrow \quad \tan {\varphi _{d\max }} = \tan {\varphi _0}-\frac{4}{\Lambda } \cdot 0,4 \cdot \frac{{1-\lambda }}{{1+\lambda }}

Für den Eurofighter gilt: \boxed{{\varphi _0} = 53^\circ }

\Rightarrow \quad \tan {\varphi _{40}} = 0,8174

Für den Profil-/Dickeneinfluss ergibt sich:

K = 1,035

Die Formel nach Polhamus gilt jedoch nur bis hin zur kritischen Machzahl (Ma*), bei der bedingt durch Übergeschwindigkeit auf der Flügeloberseite Ma = 1 erreicht wird.

Der Auftriebsanstieg im Bereich M{a^*} < Ma < M{a_{SVK}} ist bei einfachen Verfahren nur schwer zu ermitteln, wird im Transsonischen Bereich (bei Ma = 1) jedoch mit der „Slender-Body-Theorie“ angenähert:

\boxed{{c_{A\alpha }}\left( {Ma = 1} \right) = \frac{{\pi \Lambda }}{2}} = 3,46

M{a_{SVK}} ist diejenige Machzahl, mit der das Luftfahrzeug sich bewegen muss, damit die Geschwindigkeit senkrecht zur Flügelvorderkante genau Ma = 1 erreicht.

lfs-u02-senkrechte-vorderkanten-geschwindigkeit

Es gilt:

\boxed{M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}}} = \underline{\underline {1,66}}

Das bedeutet, dass wir ab einer Machzahl von 1,66 mit der Formel für den Überschall rechnen müssen.

Für den Auftriebsanstieg bis Ma = 1,6 erhalten wir:

\begin{array}{*{20}{c}}{Ma} &\vline & {0,3} &\vline & {0,4} &\vline & {0,5} &\vline & {0,6} &\vline & {0,7} &\vline & {0,8} &\vline & {} &\vline & {1,6} &\vline & {\ddot US} \\ \hline \beta &\vline & {0,954} &\vline & {0,917} &\vline & {0,866} &\vline & {0,8} &\vline & {0,714} &\vline & {0,6} &\vline & \ldots &\vline & {1,249} &\vline & {} \\ \hline{{c_{A\alpha }}\left( {1/rad} \right)} &\vline & {2,59} &\vline & {2,613} &\vline & {2,644} &\vline & {2,68} &\vline & {2,73} &\vline & {2,8} &\vline & {} &\vline & {3,203} &\vline & {} \\ \end{array}

(Hinweis: Der Wert für Ma = 1,6 wurde bereits nach Ackeret bestimmt, da nach Polhamus dort ein falscher Wert herauskommen würde. Siehe auch c) )

b)

Überschall

Es gilt nun:

Ma > M{a_{SVK}}

M{a_{SVK}} = \frac{1}{{\cos {\varphi _0}}} = \underline{\underline {1,66}}

Erst ab dieser Machzahl gilt die Formel für den Überschall, da sich erst ab hier der Flügel im Überschall befindet.

Die Formel nach Ackeret gilt für genau diesen Bereich, ab dem der Flügel senkrecht zur Vorderkante (SVK) mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird:

\boxed{{c_{A\alpha }} = \frac{4}{{\sqrt {M{a^2}-1} }}}

Damit erhalten wir:

\begin{array}{*{20}{c}}{Ma} &\vline & {1,7} &\vline & {1,8} &\vline & {1,9} &\vline & {2,2} \\ \hline \beta &\vline & {1,375} &\vline & {1,497} &\vline & {1,616} &\vline & {1,9} \\ \hline{{c_{A\alpha }}\left( {1/rad} \right)} &\vline & {2,910} &\vline & {2,673} &\vline & {2,476} &\vline & {2,041} \\ \end{array}

c)

lfs-u02-auftriebsanstieg

Aufgabe 4

Wir betrachten wieder den Auftriebsanstieg nach Polhamus:

{c_{A\alpha }} = \frac{{2\pi \Lambda }}{{2+\sqrt {{\Lambda ^2}\left( {\frac{{{\beta ^2}+{\tan}^2 {\varphi _{d\max }}}}{{{K^2}}}} \right)+4} }}

Größere Pfeilung wird benötigt, damit die Streckung kleiner wird. Dadurch erhält man ein kleineres {c_a} und das Flugzeug ist bei Böen nicht so anfällig, was man z.B. im schnellen Tiefflug braucht (Tornado).

Der Einfluss der Wölbung wurde bereits in Aufgabe 2 gezeigt. Für die anderen Größen gilt folgende Grafik:

lfs-u02-einfluss-pfeilung-streckung

Zudem gilt:

{c_p}\left( \varphi \right) = {c_p}\left( {\varphi = 0} \right) \cdot \cos \varphi

{c_p}\left( \varphi \right) \downarrow ,\:wenn\:\varphi \uparrow

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/u02-auftriebsverhalten-des-eurofighters/feed 11 U01 – Statischer Auftrieb http://me-lrt.de/u01-statischer-auftrieb http://me-lrt.de/u01-statischer-auftrieb#comments Thu, 29 Apr 2010 21:39:26 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=5164

Aufgabe 1

Untergliedern Sie Fluggeräte nach der Art der Auftriebserzeugung!

Lösung

Es gibt prinzipiell zwei Formen des Auftriebs:

  • Statischer Auftrieb
  • Dynamischer Auftrieb

Statischer Auftrieb:

Der Statische Auftrieb wird verwendet bei:

  • Luftschiff
  • Heißluftballon
  • Gasballon

Dieser funktioniert aufgrund des archimedischen Prinzips, nach dem die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium genauso groß ist, wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. In der „Luftfahrt“ wird dies auch häufig als „leichter als Luft“ (kurz: LAL) bezeichnet.

Dynamischer Auftrieb:

Der dynamische Auftrieb wird verwendet bei:

  • Jeglicher Art von Flugzeug (Segelflieger, Motorsegler, Motorflugzeug, …)
  • Hubschrauber

Aufgabe 2

Unterteilen Sie ein Luftfahrzeug in seine Massenteile!

Lösung

LFS-U01-Unterteilung-Massenteile

Aufgabe 3

Bestimmen Sie allgemein die Tragkraft eines Fluggerätes „leichter als Luft“ (LAL)!

Auf welche Weise wird die Auftriebserzeugung bei verschiedenen Aerostaten jeweils erreicht?

Lösung

Nach dem archimedischen Prinzips gilt bei LAL-Flugkörpern für die „Schwimmkraft“ (engl.: buoyancy):

{F_B} = {\rho _L}\cdot V\cdot g

Mit Luft als realem Gas {\rho _L} = \frac{{{p_L}}}{{{R_{S,L}}\cdot {T_L}}} und V = \frac{{{m_G}}}{{{\rho _G}}} ergibt sich:

{F_B} = {m_G}\cdot g\cdot \left( {\frac{{{p_L}}}{{{p_G}}}\cdot \frac{{{T_G}}}{{{T_L}}}\cdot \frac{{{R_{S,G}}}}{{{R_{S,L}}}}} \right)

Es gilt für die Auftriebskraft: {F_A} = {F_B}-{F_G}

Mit {F_G} = {m_G}\cdot g ergibt sich die Auftriebskraft zu:

{F_A} = {m_G}\cdot g\cdot \left( {\frac{{{p_L}}}{{{p_G}}}\cdot \frac{{{T_G}}}{{{T_L}}}\cdot \frac{{{R_{S,G}}}}{{{R_{S,L}}}}-1} \right)

Die Auftriebserzeugung wird also durch einen Dichteunterschied erreicht. Bei Gasballon und Luftschiff geschieht dies mit Hilfe von Traggasen wie Wasserstoff oder Helium. Bei Heißluftballons wird dies mit Hilfe des Temperaturunterschiedes realisiert.

Aufgabe 4

Vergleichen Sie die spezifische Tragkraft von Wasserstoff, Helium und Heißluft (100°C) in Bodennähe.

Wie groß ist das benötigte Traggasvolumen von Helium und Heißluft im Vergleich zu Wasserstoff?

Lösung

Für LAL gilt allgemein:

{F_A} = {\rho _L}\cdot V\cdot g-{m_G}\cdot g

Da das Volumen, welches in der Umgebung verdrängt wird, das des Ballons ist, gilt für die spezifische Tragfähigkeit:

{F_A} = {\rho _L}\cdot V\cdot g-{\rho _g}\cdot V\cdot g\quad \Rightarrow \quad \frac{{{F_A}}}{V} = \left( {{\rho _L}-{\rho _G}} \right)\cdot g

Wir verwenden die ISA (Internationale Standardatmosphäre):

p\left( {H = 0} \right) = 101325Pa

T\left( {H = 0} \right) = 288,15K = 15^\circ C

{\rho _L}\left( {H = 0} \right) = \frac{{{p_0}}}{{{R_S}\cdot {T_0}}} = \frac{{101325Pa}}{{287\frac{J}{{kg\cdot K}}\cdot 288,15K}} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}

Die spezifische Gaskonstante von Luft beträgt dabei: {R_S} = 287\frac{J}{{kg\cdot K}}

Bei idealen Gasen gilt: \frac{{{\rho _2}}}{{{\rho _1}}} = \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\quad \Rightarrow \quad {\rho _2} = {\rho _1}\cdot \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}

Nun sind die Werte der Dichten von Helium und Wasserstoff bei 0°C bekannt:

{\rho _{He,0}} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{\rho _{{H_2},0}} = 0,09\frac{{kg}}{{{m^3}}}

Damit ergeben sich die Dichten bei Normbedingungen (15°C):

{\rho _{He}} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{\rho _{{H_2}}} = 0,09\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,085\frac{{kg}}{{{m^3}}}

Hieraus ergeben sich nun die spezifischen Tragfähigkeiten für Helium und Wasserstoff:

{\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{He}} = \left( {{\rho _L}-{\rho _{He}}} \right)\cdot g = 1,055\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 10,35\frac{N}{{{m^3}}}

{\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{{H_2}}} = \left( {{\rho _L}-{\rho _{{H_2}}}} \right)\cdot g = 1,14\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 11,18\frac{N}{{{m^3}}}

Nun zum Heißluftballon.

Mit dem idealen Gasgesetz ergibt sich eine Dichte für den Heißluftballon von:

{\rho _{HL}} = {\rho _{L,0}}\cdot \frac{{{T_0}}}{{373,15K}} = 0,946

Damit ist die spezifische Tragfähigkeit für den Heißluftballon:

{\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{HL}} = \left( {{\rho _{L,0}}-{\rho _{HL}}} \right)\cdot g = 0,279\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 9,81\frac{N}{{kg}} = 2,74\frac{N}{{{m^3}}}

Damit nun die Volumina verglichen werden können werden die Auftriebskräfte {F_A} als konstant angenommen und gleichgesetzt:

{\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{He}}\cdot {V_{He}} = {F_A} = {\left( {\frac{{{F_A}}}{V}} \right)_{{H_2}}}\cdot {V_{{H_2}}}

\Rightarrow \quad \frac{{{V_{He}}}}{{{V_{{H_2}}}}} = \frac{{11,18}}{{10,35}} = 1,08\quad \overset{\wedge}{=}\quad 108\%

\Rightarrow \quad \frac{{{V_{HL}}}}{{{V_{{H_2}}}}} = \frac{{11,18}}{{2,74}} = 4,08\quad \overset{\wedge}{=}\quad 408\%

Es zeigt sich, dass Helium und Wasserstoff sehr ähnliche spezifische Tragfähigkeiten besitzen. Die von Heißluft ist um einiges geringer! Dadurch sind auch die Volumina von Helium und Wasserstoff sehr ähnlich. Ein Flugkörper, der mit Heißluft betrieben wird, ist hingegen um ein Vielfaches größer!

Aufgabe 5

Ein Heliumballon mit nicht dehnbarer Hülle habe eine Gesamtmasse (Gondel + Nutzlast + Ausrüstung + Hülle + Traggas) von 500 kg und ein Gesamtvolumen von 700 m³.

  1. Wie hoch steigt der Ballon bei ISA-Normbedingungen?
  2. Wie hoch wäre die Druckdifferenz, welche dann auf die Hülle wirkt?
  3. Wie wird diesem Problem bei Luftschiffen und Gasballons technisch entgegengewirkt?

Lösung

a)

Allgemein gilt: \rho = \frac{m}{V}

Damit ergibt sich die durchschnittliche Dichte des Ballons zu {\rho _G} = \frac{{500kg}}{{700{m^3}}} = 0,714\frac{{kg}}{{{m^3}}}

Wichtig zu beachten ist nun, dass sich die Beziehungen für die ISA bei 11km Höhe sehr stark verändern. Deswegen muss darauf geachtet werden, ob das Ergebnis im Definitionsbereich der Formeln ist.

Wir nehmen an, dass der Ballon nicht über 11km Höhe hinaus geht und berechnen mit der Formel (siehe Skript Kapitel 2 Seite 4)

\rho \left( {H < 11km} \right) = {\rho _0}\cdot {\left( {1+\frac{{{\gamma _H}}}{{{T_0}}}\cdot H} \right)^{4,256}}

die Höhe zu

H = \frac{{{{\left( {\frac{\rho }{{{\rho _0}}}} \right)}^{\frac{1}{{4,256}}}}-1}}{{\frac{{{\gamma _H}}}{{{T_0}}}}} = 5,28km

Hierbei gelten die allgemeinen Werte für {\gamma _H} = -6,5\frac{K}{{km}} und für {\rho _0} = 1,225\frac{{kg}}{{{m^3}}}

b)

Mit den Annahmen {m_G} = konst und V = konst ergibt sich der Druck im Ballon zu

{p_G}\left( {5,28km} \right) = {\rho _G}\cdot {R_{S,G}}\cdot {T_{5,28km}}

Die Beziehungen für {\rho _G} und {T_{5,28km}} sind uns bekannt mit

{\rho _G} = 0,179\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot \frac{{273,15K}}{{288,15K}} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}

(Dies gilt da m und V konst. sind! Siehe Aufgabe 4))

{T_{5,28km}} = {T_0}+{\gamma _H}\cdot H = 288,15K-6,5\frac{K}{{km}}\cdot 5,28km = 253,8K

{R_{S,G}} = 2083\frac{J}{{kg \cdot K}}

Daraus ergibt sich (mit {\rho _{He}} = const\quad \Leftarrow \quad V = const,\quad m = const):

{p_G} = 0,17\frac{{kg}}{{{m^3}}}\cdot 2083\frac{J}{{kg\cdot K}}\cdot 253,8K = 89873Pa

Der Außendruck kann direkt über die ISA-Beziehung (Internationale Standardatmosphäre) bestimmt werden:

{p_{ISA}}\left( {5,28km} \right) = {p_0} \cdot {\left( {\frac{{{T_{5,28\:km}}}}{{{T_G}}}} \right)^{5,256}}

= 101325Pa\cdot {\left( {1-\frac{{6,5\frac{K}{{km}}}}{{288,15K}}\cdot 5,28km} \right)^{5,256}} = 52028Pa

Die Druckdifferenz zwischen Innenseite und Außenseite beträgt also

\Delta p = {p_G}-{p_{ISA}} = 89873Pa-52028Pa = 37845Pa = 0,378bar


c)

Es ist vorgesehen, bei weiterem Steigen des Luftschiffs Gas entweichen zu lassen, um das Platzen der Hülle durch den ansteigenden Hüllenüberdruck zu vermeiden. Zu diesem Zweck sind an den Luftschiffen Sicherheitsventile angebracht, die sich bei zu hohem Überdruck automatisch öffnen und das Gas ausströmen lassen.

Der Gasballon hat kein Sicherheitsventil, sondern einen offenen Füllansatz am tiefsten Punkt des Ballons. Man kann diesen offenen Füllansatz auch als Sicherheitsventil mit dem Ansprechdruck „Null“ betrachten.

Aufgabe 6

Bestimmen Sie allgemein die Prallhöhe abhängig vom Traggasanteil beim Start!

Lösung

Die Prallhöhe eines Aerostaten, wie eines Luftschiffs oder Gasballons ist die Höhe, bei der der maximal zulässige Hüllenüberdruck erreicht wird. (Wir nehmen hier an, dass kein Überdruck erlaubt ist.)

Für das ideale Gas (mit \kappa = 1,41 für Luft) gilt:

p \cdot {V^\kappa } = const.

\Rightarrow \quad \frac{p}{{{p_0}}} = {\left( {\frac{{T\left( H \right)}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}} = {\left( {\frac{{{T_0}+{\gamma _H} \cdot H}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}}

\Rightarrow \quad {\left( {\frac{{{V_0}}}{V}} \right)^\kappa } = \frac{p}{{{p_0}}} = {\left( {1+\frac{{{\gamma _H} \cdot H}}{{{T_0}}}} \right)^{5,256}}

\Rightarrow \quad H = \left( {{{\left( {\frac{{{V_0}}}{V}} \right)}^{\frac{\kappa }{{5,256}}}}-1} \right) \cdot \frac{{{T_0}}}{{{\gamma _H}}}

\Leftrightarrow Innendruck = Außendruck

\mathcal{R}\mathcal{S}\& \mathcal{J}\mathcal{K}

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