Lösung

Zunächst ein Bild zur Verdeutlichung:

Polynom ersten Grades:

Der Aufwand ist der gleiche wie bei der linken und rechten Dreiecksregel, wir gewinnen aber eine Ordnung bei den Polynomen, die exakt integriert werden können.

Um eine Approximation von zu bekommen, kann man auch das Integral (*) mittels numerischer Quadratur berechnen. Als Stützstellen wählt man und schreibt:

Benützen Sie dazu linke und rechte Rechtecksregel, sowie Trapezregel, und stellen Sie einen Zusammenhang zu Verfahren aus Kapitel 1 her.

Lösung

Die Verfahren aus Kapitel 1 waren das Explizite und das Implizite Eulerverfahren.

Explizites Eulerverfahren:

Implizites Eulerverfahren:

Dies ist ein größerer Aufwand, da die Gleichung noch umgestellt werden muss. Dies lohnt sich aber, da das Verfahren eine bessere Stabilität besitzt und schneller konvergiert.

Linke Rechtecksregel:

Für den ersten Wert schreiben wir:

Allgemein:

Dies entspricht dem expliziten Eulerverfahren.

Rechte Rechtecksregel:

Allgemein:

Dies entspricht dem impliziten Eulerverfahren.

Trapezregel:

Allgemein:

Dies entspricht dem Heun-Verfahren. Im Gegensatz zum impliziten und expliziten Eulerverfahren (Ordnung 1) ist dies ein Verfahren der Ordnung 2. Das bessere Integrationsverfahren schlägt sich also in der Qualität des Lösungsverfahrens nieder.

Lösung

Trapezregel:

Simpsonregel:

Wir haben einen quadratischen Interpolanten mit Stützstellen , das heißt es ist

Dabei müssen so gewählt werden, dass

Einsetzen:

Die 3/8-Regel ergibt sich analog.

a )

Bestimmen Sie die Funktion

mit .

b )

Nehmen Sie die Kantenmittelpunkte

hinzu und bestimmen Sie die Funktion

mit .

Lösung

a )

b )

Es ergibt sich ein Gleichungssystem für 6 Koeffizienten analog zu Aufgabe a).

heißt C¹-Hermite Interpolante. In jedem Teilintervall ist diese ein Polynom der Form

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten .

a )

Bestimmen Sie die Koeffizienten in Abhängigkeit von .

b )

Ordnet man in (2) die rechte Seite nach den Koeffizienten und normiert das Teilintervall auf , so ergibt sich für die Darstellung

mit .

Bestimmen und skizzieren Sie die Basisfunktionen

Lösung

a )

Abkürzungen:

Gesucht:

Bestimmungsgleichungen:

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das wir nun lösen wollen.

I,II:

III:

Es können also alle Koeffizienten einzeln bestimmt werden. Bei der Hermite-Interpolation hängen die Koeffizienten der verschiedenen Splines nicht zusammen.

b )

Wir formen das Ergebnis der ersten Teilaufgabe um, nachdem wir die oben bestimmten Koeffizienten eingesetzt haben:

Mit wird auf normiert. Daraus folgen die Polynome:

heißen Tschebyscheff-Polynome.

a )

Zeigen Sie, dass die Funktionen Polynome vom Grad sind, indem Sie folgende Rekursion beweisen:

b )

Zeigen Sie, dass

c )

Bestimmen Sie alle Stellen mit , sowie die Nullstellen von

d )

Zeigen Sie, dass die Tschebyscheff-Polynome folgende Orthogonalitätseigenschaft besitzen:

e )

Beweisen Sie folgende Aussage:
Es sei beliebig, aber fest, mit die Nullstellen von und

Dann gilt für alle mit führendem Koeffizienten 1 die Ungleichung

mit Gleichheit genau dann, wenn

f )

Warum eignen sich die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome besonders als Stützstellen bei der Polynominterpolation?

Lösung

a )

Additionstheorem:

Es handelt sich also tatsächlich um Polynome.

b )

c )

Wir suchen nun die Extremstellen:

Nullstellen:

d )

Substitution:

Es gilt:

Daher können wir kürzen und erhalten:

Fallunterscheidung:

1. :

2. :

3. :

e )

Zeige:

Für mit führendem Koeffizienten 1 gilt:

Beweis:

Dies gilt, da der führende Koeffizient von ist (vergleiche Rekursion).

In Aufgabe c) wurde gezeigt, dass das Maximum des Tschebyscheff-Polynoms 1 ist:

Indirekter Beweis für die Optimalität:

Sei mit führendem Koeffizienten 1 und

(Annahme gilt nicht, soll später auf Widerspruch führen)

Wir betrachten nun die Differenz zwischen dem und dem :

Da beide den führenden Koeffizienten 1 haben, fallen die höchsten Terme weg, die Differenz wird zu einem Polynom n-ten Grades:

Jetzt nutzen wir das Ergebnis von Aufgabe d). Für gilt:

Wegen der Annahme gilt:

Daraus folgt, dass mindestens ein Mal das Vorzeichen wechselt. Die Funktion hat daher mindestens eine Nullstelle. Daraus folgt, dass das Nullpolynom ist (Fundamentalsatz der Algebra).

Dies steht im Gegensatz zu

und

f )

Folgt aus e) und der Fehlerdarstellung aus Aufgabe 1 d).

Nach Satz 3, Seite 41 der Vorlesung von Professor Greither hat das Interpolationspolynom in dieser Basis die Darstellung

wobei die Koeffizienten der Rekursionsformel

genügen.

a )

Geben Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten an und lösen Sie es für den Fall .

b )

Geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung der Koeffizienten (dividierte Differenzen) des Interpolationspolynoms an.

c )

Wir betrachten im Folgenden die Funktion

Berechnen Sie die Koeffizienten des Newton’schen Interpolationspolynoms ausgehend von den Stützstellen und geben Sie das Polynom an.

d )

Für existiert ein mit

Schätzen Sie mit Hilfe dieser Fehlerformel den Fehler in Aufgabe c) ab

Lösung

a )

Aus folgen n+1 Gleichungen für die gegebenen Stützstellen :

In Matrixschreibweise:

Es gilt allerdings . Die Matrix ist damit eine untere linke Dreiecksmatrix. Speziell für den Fall gilt:

Aus der ersten Zeile folgt sofort:

Dies können wir in der zweiten Zeile einsetzen und auflösen:

Damit erhalten wir aus der letzten Zeile:

b )

Schema zur Veranschaulichung der Rekursionsformel:

Das Tableau wird also spaltenweise aufgebaut.

Zusätzliche Stützstellen können durch zusätzliche Zeilen berücksichtigt werden. Dadurch können alle bisherigen Ergebnisse wieder verwendet werden.

Algorithmus:

for i = 0 : n
	f(x(i)) = f(i)
end
for k = 1 : n
	for i = k : n
		f(x(i-k),...,x(i)) = (f(x(i-k+1),...,x(i)) - f(x(i-k),...,x(i-1))) / (x(i)-x(i-k))
	end
end

c )

Unser Polynom lautet damit:

d )

Die n+1-te Ableitung (in unserem Fall die dritte) lautet .

Da , folgt

Wir bestimmen die globalen Extremstellen von :

An den Rändern gilt:

Schreiben Sie ein m-file (’spline.m’), in dem zu gegebenen Stützstellen und entsprechenden Werten die Koeffizienten des natürlichen kubischen Interpolationssplines berechnet werden. Verwenden Sie dazu folgenden Programmkopf:

function [C,D,M] = spline(x,y)
%x Stützstellen des Polynoms
%y Funktionswerte an den Stützstellen
%C,D,M Koeffizienten f¨ ur Sˆ2_4 Spline

b )

Schreiben Sie ein m-file (’evaluate.m’), in dem die Splinefunktion aus a) an vorgegebenen Stellen ausgewertet wird. Verwenden Sie dazu folgenden Programmkopf:

function z= evaluate(w,x,C,D,M)
%w Stellen an denen Spline ausgewertet werden soll (aufsteigend sortiert)
%x Stützstellen
%C,D,M Koeffizienten f¨ ur Sˆ2_4 Spline

c )

Schreiben Sie ein m-File (’u91.m’), in dem die Funktion

im Intervall interpoliert wird. Verwenden Sie dazu äquidistante Stützstellen

Zeichnen Sie anschließend die Werte der Interpolationssplines zusammen mit der exakten Funktion in ein Diagramm, wobei diese an den Stellen

ausgewertet werden sollen.

Lösung

u91.m

clear;
tic

% Exakte Funktion:
xe = -1 : .01 : 1;
fe = 1 ./ (1 + 25 .* xe .* xe);

% Stützstellen mit Abstand 0.2:
x = -1 : .2 : 1
y = 1 ./ (1 + 25 .* x .* x)

[C D M] = spline(x,y)
z = evaluate(xe, x, C, D, M);

plot(xe, fe , xe, z)
legend('exakt', 'Splines')

toc

spline.m

function [C, D, M] = spline(x,y)
% x: Stuetzstellen des Polynoms
% y: Funktionswerte an den Stuetzstellen
% C, D, M: Koeffizienten des S2_4 Splines

n = length(x) - 1;
h = zeros(n, 1);
for i = 1 : n
    h(i) = x(i + 1) - x(i);
end

% Aufstellen des Gleichungssystems
diag = ones(n - 1, 1);
for i = 1 : n - 1
    diag(i) = 2 * (h(i) + h(i + 1));
end

v2 = h(1 : n - 1);
A = spdiags([v2, diag, v2], -1: 1, n - 1, n - 1);

b = ones(n - 1, 1);
for i = 1 : n - 1
    b(i) = 6 * ((y(i + 2) - y(i + 1)) / h(i + 1) - (y(i + 1) - y(i)) / h(i));
end

M = A \ b;
M = [0; M; 0]; % natürliche Splines

C = zeros(n - 1, 1);
D = zeros(n - 1, 1);
for i = 1 : n
    C(i) = 1/2 * (y(i) + y(i + 1)) - h(i) * h(i) / 12 * (M(i) + M(i + 1));
    D(i) = 1/h(i) * (y(i + 1) - y(i)) - h(i) / 6 * (M(i + 1) - M(i));
end

evaluate.m

function z = evaluate(w, x, C, D, M)
% w: Stellen, an denen Spline ausgewertet werden soll
% x: Stuetzstellen
% C, D, M: Koeffizienten des S2_4 Splines

stellen = length(w);
z = zeros(stellen, 1);

n = length(x) - 1;
h = zeros(n, 1);
for i = 1 : n
    h(i) = x(i + 1) - x(i);
end

akt = 1;

for i = 1 : stellen
    while w(i) > x(akt + 1)
        akt = akt + 1;
    end
    z(i) = C(akt) + D(akt)*(w(i) -  (x(akt) + x(akt + 1)) / 2) ...
        + M(akt + 1) * (w(i) - x(akt))^3 / 6 / h(akt) ...
        - M(akt) * (w(i) - x(akt + 1))^3 / 6 / h(akt);
end

z

a )

Schreiben Sie ein m-File (’divdiff.m’), in dem die Koe?zienten des Interpolationspolynoms
mittels dividierter Differenzen bestimmt werden. Dabei sollen die Stützstellen
und Funktionswerte vektoriell übergeben werden. Verwenden Sie dazu folgenden Programmkopf:

function a=divdiff(x,y)
%x Stuetzstellen
%y Funktionswerte an den Stuetzstellen
%a Polynomkoeffizienten (dividierte Differenzen)

b )

Schreiben Sie ein m-File (’horner.m’), in dem das Interpolationspolynom mit dem Hornerschema an der Stelle ausgewertet wird. Verwenden Sie dabei die Terme als Faktoren. Es soll mit folgenden Zeilen beginnen:

function f=horner(x,a,xi)
%x Stuetzstellen des Polynoms
%a Polynomkoeffizienten (dividierte Differenzen)
% xi Auswertungsstelle
%f Ergebnis der Auswertung

c )

Schreiben Sie ein m-File (’u81.m’), in dem die Funktion

im Intervall interpoliert wird. Bestimmen Sie die Koe?zienten für das Polynom mit

1. den Stützstellen
2. den Stützstellen

3. den Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms T₁₁ als Stützstellen

Zeichnen Sie anschließend die Werte der Interpolationspolynome zusammen mit der exakten Funktion in ein Diagramm, wobei diese an den Stellen

ausgewertet werden sollen.

Lösung

u81.m

clear;
tic

% Exakte Funktion:
xe = -1 : .01 : 1;
fe = 1 ./ (1 + 25 .* xe .* xe);

% Stützstellen mit Abstand 0.2:
x1 = -1 : 0.2 : 1;
y1 = 1 ./ (1 + 25 .* x1 .* x1);
a1 = divdiff(x1, y1);
f1 = ones(length(xe), 1);

% Stützstellen mit variablem Abstand:
x2 = [-1, -6/5 + 1/4, -6/5 + 1/3, -6/5 + 1/2, -6/5 + 1, ...
    6/5 - 1, 6/5 - 1/2, 6/5 - 1/3, 6/5 - 1/4, 1];
y2 = 1 ./ (1 + 25 .* x2 .* x2);
a2 = divdiff(x2, y2);
f2 = ones(length(xe), 1);

% Tschebyscheff-Nullstellen
x3 = 11 : -1 : 1;
x3 = cos((2 .* x3 - 1) / 22 * pi);
y3 = 1 ./ (1 + 25 .* x3 .* x3);
a3 = divdiff(x3, y3);
f3 = ones(length(xe), 1);

for i = 1 : length(xe)
    f1(i) = horner(x1, a1, xe(i));
    f2(i) = horner(x2, a2, xe(i));
    f3(i) = horner(x3, a3, xe(i));
end

plot(xe, fe , xe, f1, xe, f2, xe, f3)
legend('exakt', 'gleiche Abstaende', 'variable Abstaende', 'Tschebyscheff')

toc % Rechenzeit: 0.093344 Sekunden

divdiff.m

% Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe dividierter Differenzen

function a = divdiff(x, y)
% x: Stuetzstellen
% y: Funktionswerte an den Stuetzstellen
% a: Polynomkoeffizienten (dividierte Differenzen)

n = length(x);
f = zeros(n, n);

for i = 1 : n
    f(i,i) = y(i);
end

for k = 2 : n % Zeile
    for i = 1 : n - k + 1
        % disp(['f[' num2str(i) ', ' num2str(i+k-1) '] = (f[' num2str(i+1) ...
        %    ', ' num2str(i+k-1) '] - f[' num2str(i) ', ' num2str(i+k-2) ...
        %    ']) / (x(' num2str(i+k-1) ') - x(' num2str(i) '))'])
        f(i, i+k-1) = (f(i+1, i+k-1) - f(i, i+k-2)) / (x(i+k-1) - x(i));
    end
end

a = f(1,  ';

horner.m

% Auswertung eines Polynoms mit dem Hornerschema

function f = horner(x, a, xi)
% x: Stuetzstellen des Polynoms
% a: Polynomkoeffizienten (dividierte Differenzen)
% xi: Auswertungsstelle
% f: Ergebnis der Auswertung

f = a(length(a));

for j = length(a) : -1 : 2
    f = f * (xi - x(j - 1)) + a(j - 1);
end

Nachdem das Bundesumweltamt die Quelle der Verunreinigung noch nicht entdeckt hat, ist die Landeswasserversorgung, welche üblicherweise Isarwasser für die Trinkwasseraufbereitung nutzt, besorgt, ob sie Isarwasser auch im Monat Juni verwenden darf, da der zulässige Grenzwert bei liegt.

a )

Fertigen Sie eine Skizze der Daten an

b )

Bestimmen Sie eine lineare und eine quadratische Funktion, so dass der quadratische Abstand zu den Messdaten minimiert wird, d.h. Gleichung jeweils erfüllt ist und zeichnen Sie diese in die Skizze aus a).

c )

Was prognostizieren Sie für die Wasserqualität im März 2010 für die beiden Ansätze aus b)? Ist die Trinkwasseraufbereitung jeweils zulässig?

Die Aufgabe soll in einem m-File („u71.m“) gelöst werden.

Lösung

u71.m

clear;
tic

x = [1 2 3 4 5];
f = [83 89 93 102 111];

hold off;
plot(x,f,'*')

% Lineare Approximation

A1 = [length(x) sum(x); sum(x) x*x'];
b1 = [sum(f); f*x'];
c1 = A1 \ b1;
fi1 = c1(1) + c1(2) * x;
prognose1 = c1(1) + c1(2) * 6;
hold on;
plot(x,fi1,'r')

% Quadratische Approximation

A2 = [length(x) sum(x) x*x'
      sum(x) x*x' sum(x.^3)
      x*x' sum(x.^3) (x.^2*x'.^2)];
b2 = [sum(f); f*x'; f*(x.^2)'];
c2 = A2 \ b2;
fi2 = c2(1) + c2(2) * x + c2(3) * x.^2;
prognose2 = c2(1) + c2(2) * 6 + c2(3) * 6^2;

plot(x,fi2,'b')

disp('März 2010:')
disp(['linear: ' num2str(prognose1)])
disp(['quadratisch: ' num2str(prognose2)])

toc % Rechenzeit: 0.039704 Sekunden

% Prognose März 2010:
% linear: 116.3 < 120 -> zulässig
% quadratisch: 121.8 > 120 -> nicht zulässig