Die 3-D-Wellengleichung in Kugelkoordinaten hat die Form

Die Funktionen u₀ und u₁ wollen wir als gerade Funktionen von r auffassen, so dass diese auch für negatives r definiert sind.

a) Nehmen Sie die Transformation v = ru vor, um für v die Gleichung v_tt = v_rr zu erhalten.

b) Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung (für v und u) an.

Lösung

a)

Wir nehmen die Transformation vor und bilden die Ableitungen:

Es ist:

Mit r multipliziert ist damit auch:

Dies ist also das gleiche wie:

Im Übrigen gilt für die Anfangswerte:

b)

ist eine örtliche 1-D-Wellengleichung.

Diese können wir, wie in der Vorlesung beschrieben wurde, mit der D’Alembert’schen Lösungsformel lösen (in unserem Fall wäre das a = 1):

Mit v = ru folgt:

mit einer gegebenen Konstante c.

Definieren Sie und bestimmen Sie so, dass w die Wellengleichung mit c = 1 erfüllt.

Lösung

Wir vergleichen:

Wenn sein soll, dann brauchen wir

Bei c = 1 gilt dementsprechend auch a = 1.

Damit bekommt man eine einfachere Berechnung z.B. in Aufgabe 2.

Wir nehmen an, dass das Problem eine glatte Lösung besitzt.

1. Zeigen Sie zunächst
2. Setzen Sie .

   Welche Gleichung erfüllt v? Zeigen Sie, dass

3. Welche Differentialgleichung erster Ordnung für u müssen Sie noch lösen, wenn Sie v aus der vorhergehenden Teilaufgabe erhalten haben?

4. Lösen Sie die inhomogene Transportgleichung

   

   1. Setzen Sie und berechnen Sie
   2. Drücken Sie durch aus.
   3. Leiten Sie daraus eine Lösungsformel her.
5. Übertragen Sie die Lösung der Transportgleichung aus die Gleichung erster Ordnung für u und zeigen Sie damit

   

6. Drücken Sie die Funktionen a( ) und b( ) durch die Anfangswerte u₀ und v₀ aus.

Lösung

Für Cauchy-Probleme gilt:
Wir beschäftigen uns hier mit d = 1 und stellen uns wie immer eine unendlich lange Saite vor, die schwingt.

a)

-u_xt+u_tx ist 0, da u eine glatte Lösung ist (unendlich oft stetig differenzierbar). Hier würde sogar nur 2 Mal stetig differenzierbar reichen.

b)

Setze

Dann erfüllt v die Gleichung: (aus a) )

Behauptung: löst diese Gleichung.
Anwendung der Kettenregel liefert:

c)

Wir müssen lösen, also nur noch diese PDGL 1. Ordnung.

d)

i)

ii)

Weiter ist:

iii)

Wir formen weiter um:

Wir substituieren:

Damit bekommen wir die Lösungsformel:

e)

Die Übertragung funktioniert für die Gleichung aus c) wie folgt. Gegeben sind:

Durch Vergleich stellen wir fest:

Daraus folgt:

Dass gilt wird in f noch gezeigt.

Wir substituieren:

f)

Wir bestimmen nun a und b so, dass die AW erfüllt werden:

( zu c) )

Die Definition von v lautete bei b) und c):

Mit der Definition von v und den Anfangsbedingungen folgt:

Wir setzen dies wieder ein:

Dies ist die D’Alembertsche Formel wie im Skript (für a = 1).

Daher betrachten wir in dieser Aufgabe:

Beweisen sie das Maximumprinzip.

Hinweis: Man betrachte .

Lösung

k(u): Wärmeleitungskoeffizient (immer positiv und abhängig von der Temperatur u)

Ausdifferenzieren der DGL liefert:

Der Trick besteht nun darin, eine passende Vergleichsfunktion zu wählen.

In der Vorlesung hatten wir: (siehe Beweis 18)

Hier nehmen wir stattdessen: (siehe Hinweis)

Ableitungen von lauten:

Einsetzen von u_t in die Vergleichsfunktion liefert:

Mit folgt:

Angenommen nimmt das Maximum an in , dann muss gelten:

Dies sind notwendige Bedingungen an das Maximum im Inneren
(1. Ableitung = 0; 2. Ableitung ≤ 0)

Durch Einsetzen in (*) bekommen wir:

Dies ist ein Widerspruch!

Also befindet sich das Maximum irgendwo auf

Nun zeigen wir noch, dass das Maximum zum Zeitpunkt T nicht im Inneren von Ω liegt. Dies ist auch logisch, wenn man annimmt, dass sich in dem betrachteten Objekt keine Wärmequellen (oder -senken) befinden.

Für ein Maximum am Punkt mit lauten die notwendigen Bedingungen:

Wir stellen nun (*) um und setzen ein:

Dies ist ein Widerspruch!

Daher gilt also:

mit folgt auch

Analog gilt:

Wozu das Ganze?

Wann es ausreicht nur die oder nur die auszurechnen, wurde bereits auf Blatt 10 diskutiert.

Aufgabenstellung Teil 1

Wie ist

1. punktweise Konvergenz
2. gleichmäßige Konvergenz
3. Konvergenz im einer Funktionenfolge mit Grenzfunktion definiert?

Welche Beziehung besteht zwischen den einzelnen Konvergenzarten?

Aufgabenstellung Teil 2

Zeigen Sie

Die Partialsummen der Fourierreihen lassen sich auch als Faltung darstellen:

Bemerkung: heißt Dirichletkern, man kann mit vollständiger Induktion zeigen, dass

gilt.

Aufgabenstellung Teil 3

Sei eine Riemann-integrierbare -periodische Funktion.

1. Existieren im Punkt die einseitigen Grenzwerte und die einseitigen Ableitungen von , so konvergiert die zugehörige Fourierreihe im Punkt gegen

   

   wobei und den rechts- und linksseitigen Grenzwert bezeichnen.

   Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung als Faltung und das Riemann’sche Lemma, das besagt:

   

   falls Riemann-integrierbar ist.

2. Fordert man nun, auch noch, dass eine stetige und stückweiße differenzierbare Funktion ist, dann konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig gegen .

   Wir veranschaulichen uns, dass diese Voraussetzungen wirklich notwendig sind:

   Ist beschränkt, stückweise stetig differenzierbar und an nur einem Punkt in unstetig, so konvergiert die Fourierreihe nicht gleichmäßig.

   Hinweis: Plotten Sie die Partialsummen der Heavysidefunktion.

Aufgabenstellung Teil 4

Sei eine -periodische Funktion mit .

1. Dann lässt sich als Fourierreihe darstellen. Zeigen Sie dazu, dass ein vollständiges Orthogonalsystem bildet.
2. Die Fourierreihenentwicklung, die jeder Funktion ihre Fourierkoeffizienten zuordnet, ist ein isometrischer Isomorphismus zwischen und . Was folgt also für die Fourierkoeffizienten einer Funktion?
3. Ist nun . Was kann man über die Fourierkoeffizienten weiter sagen?

Lösung Teil 1

a )

Punktweise Konvergenz, die „schwächste“ Aussage:

Beispiel:

b )

Gleichmäßige Konvergenz:

c )

-Konvergenz:

Dies entspricht einen „wanderten“ Buckel. Wir können nur mehrere Funktionen aufstellen:

Es gilt:

Aus Gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise und -Konvergenz.
Aus Punktweiser Konvergenz folgt -Konvergenz.
Aus der -Konvergenz folgt keine andere Konvergenz.

Diese Funktionenreihe konvergiert also zwar in L² gegen 0, aber nicht gleichmäßig gegen 0 und in keinem Punkt gleichmäßig gegen 0

Lösung Teil 2

Zur Umformung haben wir im ersten Schritt die Definition der Funktion eingesetzt, im zweiten Schritt die Summation und Integration vertauscht, und im dritten Schritt ein Additionstheorem angewendet:

Jetzt substituieren wir

Nun sind wir fertig.

Da die Funktion 2 periodisch ist können wir das x in der Integrationsgrenze weglassen.

Lösung Teil 3

hier haben wir das Integral aufgeteilt und betrachten nun die Einzelnen Integrale für den Linkseitigen Grenzwert und den Rechtsseitigen Grenzwert. Diese müssen je gegen die Formel unter dem Integral gehen.
Wir überprüfen das mit punktweiser Konvergenz:

Betrachte:

mit

ergibt sich weiter:

Daraus folgt, dass beschränkt ist und damit ist Riemann-integrierbar.

Analog verläuft der Nachweise für das zweite Integral.

Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass

gilt.

Wenn wir auch noch fordern, dass stetig und stückweiße stetig differenzierbar ist könne wir Gleichmäßige Konvergenz Nachweißen, das wollen wir aber nicht tun und nur nachweißen, dass diese Bedingungen notwendig sind.

Lösung Teil 4

b )

da wir hier ein Orthogonalsystem haben verschwinden die Anteil Sinus mal Cosinus (Definition Orthogonalsystem. Es bleiben nur noch die Summen gleichartiger Funktionen übrig.

Die Folge der Koeffizienten.

c )

Wir differenzieren Gliederweise:

Wenn wir das nun m-Mal differenzieren erhalten wir:

Damit ist die Folge .

Dass diese Funktion quadratintegrierbar ist, müssen die Vorfaktoren und schnell gegen Null konvergieren. Nur so können die großen ausgeglichen werden. Eine Funktion, deren Vorfaktoren und sehr schnell gegen Null konvergieren kann gut durch eine Fourierreihe dargestellt werden.

a )

soll vollständig in sein. Wir beweisen dies durch einen Widerspruchsbeweis.

Angenommen, ist nicht vollständig im , dann gibt es eine Funktion mit

Für gilt dann:

(**)

Setze:

, diese Funktion ist wohldefiniert, weil integrierbar ist.

dies gilt wegen der Bemerkung (**) und der partiellen Integration

Setzt nun:

Mit dem Satz von Weierstraß (Approximation stetiger Funktionen)

damit folgt mit (**) und der CSU:

mit gegeben konstanten (über das Vorzeichen von wollen wir keine Aussage treffen). Zeigen Sie

Hinweis: Betrachten Sie die Funktion

Lösung

Multipliziere die Partielle Differentialgleichung mit

Wir setzten nur die Abschätzung aus Aufgabe 2 eine:

Wurzel:

die Abschätzung

für verschiedene Randbedingungen zeigen.

a )

Zeigen Sie die Abschätzungen für homogene Dirichletrandbedingungen

indem Sie nach differenzieren.

b )

Zeigen Sie die Abschätzung für homogene Neumannrandbedingungen

indem Sie nach differenzieren.

Lösung

a )

für Dirichlet RBs

b )

Neumann Randbedingungen

Die Rechnung bleibt gleich. Das Randintegral ist wieder gleich Null wegen der RB

Wofür ist das Ganze jetzt nützlich?

Dann ist

kann nicht kleiner 0 werden, da nie kleiner 0 werden kann und gilt kann nur gelten. Demnach gibt es nur Lösungen der Art .

Jetzt können wir eine Aussage über die Eindeutigkeit des Neumannproblems mit Nulldaten abgeben.

Aufgrund der Eindeutigkeit folgt für beliebig:
Seien Lösungen zum Anfangswert , Neumann RB
Dann ist:

v-w:

Damit ist das Neumannproblem eindeutig Lösbar für parabolische Partielle Differentialgleichungen.
Bei elliptischen Partiellen Differentialgleichungen mit ist dies nicht der Fall, dort haben wir mit gebraucht.

In der Vorlesung wurden die Energieabschätzungen

durch Testen der schwachen Form mit bzw. gezeigt. Zeigen Sie mit Hilfe der Energiemethode, dass es eine Konstante gibt mit

Lösung

Energieabschätzungen von

Vorgehen: Wähle geeignet und schätze ab.

Mithilfe dieser Formel können wie die Lösung abschätzen und damit kann auch bei nichtlinearen Problemen Eindeutigkeit gezeigt werden.

Zeige:

Integriere die schwache Form von bis .

Teste diese Gleichung mit

Es bleibt noch die rechte Seite:

Zunächst

Fehlt noch:

Dabei haben wir partiell integriert und die Energieabschätzung aus der Vorlesung verwendet.

nun setzen wir alle Teile zusammen und die Abschätzung ist fertig.

Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht im Finden der richtigen Testfunktion. Es ist außerdem sinnvoll andere Energieabschätzungen zu kennen. Ansonsten braucht man noch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, , sowie die Poincaré-Ungleichung.

a )

Wiederholung: Geben Sie eine Lösung für an, wenn als Sinus-Fourierreihe gegeben ist.
Hinweis: Im Rahmen der Theorie der Hilberträume werden auch Entwicklungen nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem als Fourrierreihe bezeichnet.

b )

Seien nun und beliebige Konstanten. Beschreiben Sie, wie Sie eine Lösung zu diesem Problem finden können.

Hinweis: Sei u die Lösung von Teilaufgabe a). Betrachten Sie die Funktion

Welche Differentialgleichung mit welchen Anfangs und Randwerten erfüllt ?

Lösung

a )

mit

(aus Vorlesung bekannt!)

b )

also

Löse also:

Dies können wir lösen.

Setze

a) Lösen die das Problem mit einem Separationsansatz

b) Wie gehen Sie vor, wenn außer einer inhomogenen rechten Seite eine inhomogene Anfangsbedingung gegeben ist?

Lösung

a )

Ansatz:

Zu den Eigenfunktionen zu Dirichlet RB vergleiche mit den Vorlesungen.

Stecke Ansatz in DGL

jetzt machen wir einen Koeffizientenvergleich zwischen Links und Rechs:

Löse also:

Lösungszusammenhang mit homogener DGL:

Lösung der inhomogenen DLG:
Summe aus allgemeiner Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung:

• Variation der Konstanten
• „Qualifiziertes Raten“

Vermutung:

Einsetzten:

also:

mit den Anfangswerten:

Und so:

b )

Was machen wir, wenn wir außer der inhomogenen rechten Seite auch eine inhomogene AB gegeben haben?

wir haben ein Problem, das wir nicht lösen können, auf zwei bekannte Probleme zurückgeführt.