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U09.1 – Laplacetransformation

JK — Wed, 17 Mar 2010 16:46:59 +0000

Das System

mit dem Anfangswert wird mit der im folgenden Bild dargestellten Sinusfunktion als Störgröße beaufschlagt:

1. Geben Sie u(t) im t- und im s-Bereich an.

2. Bestimmen Sie x(s) in Abhängigkeit von u(s) und x₀.

3. Geben Sie x(t) an.

(Abkürzungen dürfen eingeführt werden; der Bezug muss aber klar ersichtlich sein: z.B.
)

Lösung

Die Funktion u(t) können wir direkt aus der Grafik aufstellen:

Zur Transformation benötigen wir den Rechtsverschiebungssatz, sowie Korrespondenz Nr. 21:

Für den ersten Term gilt:

RVS:\quad f\left( {t-a} \right) \cdot 1\left( {t-a} \right)\quad \leftrightarrow \quad {e^{-as}}\cdot F\left( s \right)
" title="
RVS:\quad f\left( {t-a} \right) \cdot 1\left( {t-a} \right)\quad \leftrightarrow \quad {e^{-as}}\cdot F\left( s \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \omega \cdot \underbrace {\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}\quad \leftrightarrow \quad \underbrace {\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}
" title="
\Rightarrow \quad \omega \cdot \underbrace {\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}\quad \leftrightarrow \quad \underbrace {\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}
" style="vertical-align: -42px; border: none;"/>

Damit folgt:

u\left( t \right) = \sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)
" title="
u\left( t \right) = \sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\downarrow
" title="
\downarrow
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}
" style="vertical-align: -15px; border: none;"/>

Wir nehmen die Ausgangsgleichung

und transponieren sie mit Hilfe der Definition und dem Differentiationssatz:

\to \quad \tau X\left( s \right)s-{x_0}\tau +X\left( s \right) = \kappa \cdot U\left( s \right)
" title="
\to \quad \tau X\left( s \right)s-{x_0}\tau +X\left( s \right) = \kappa \cdot U\left( s \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad X\left( s \right) \cdot \left[ {\tau \cdot s+1} \right] = \kappa \cdot U\left( s \right)+{x_0}\tau
" title="
\Rightarrow \quad X\left( s \right) \cdot \left[ {\tau \cdot s+1} \right] = \kappa \cdot U\left( s \right)+{x_0}\tau
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {X\left( s \right) = \frac{\kappa }{{\tau \cdot s+1}}U\left( s \right)+\frac{{\tau {x_0}}}{{\tau \cdot s+1}}}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {X\left( s \right) = \frac{\kappa }{{\tau \cdot s+1}}U\left( s \right)+\frac{{\tau {x_0}}}{{\tau \cdot s+1}}}}
" style="vertical-align: -14px; border: none;"/>

Mit folgt:

So dass:

Nun folgt wieder mal eine Partialbruchentwicklung:

Der zweite Teilterm hat nur komplexe Nullstellen. Für solche gilt wie auch schon in Aufgabe 5.1.c der folgende Ansatz:

\boxed{\frac{{{a_1}}}{{{{(x-{z_i})}^j}}}+\frac{{{a_2}}}{{{{(x-\overline {{z_i}} )}^j}}} = \frac{{{b_{ij}}x+{c_{ij}}}}{{{{(x-{z_i})}^j}{{(x-{{\bar z}_i})}^j}}}}
" title="
\boxed{\frac{{{a_1}}}{{{{(x-{z_i})}^j}}}+\frac{{{a_2}}}{{{{(x-\overline {{z_i}} )}^j}}} = \frac{{{b_{ij}}x+{c_{ij}}}}{{{{(x-{z_i})}^j}{{(x-{{\bar z}_i})}^j}}}}
" style="vertical-align: -25px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{1}{{s+j\omega }} \cdot \frac{\omega }{{s-j\omega }} = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2}}}{{s+j\omega }}+\frac{{{C_3}\omega }}{{s-j\omega }}
" title="
\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{1}{{s+j\omega }} \cdot \frac{\omega }{{s-j\omega }} = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2}}}{{s+j\omega }}+\frac{{{C_3}\omega }}{{s-j\omega }}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \underline{\underline {\frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}}}
" title="
\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \underline{\underline {\frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}}}
" style="vertical-align: -15px; border: none;"/>

Die Bestimmung der Koeffizienten folgt analog zu Aufgabe 3:

Die restlichen Koeffizienten werden wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmt:

a \cdot \kappa \cdot \omega = {C_1}\left( {{s^2}+{\omega ^2}} \right)+{C_2} \cdot {\text{s}}\left( {s+a} \right)+{C_3} \cdot \omega \cdot \left( {s+a} \right)
" title="
a \cdot \kappa \cdot \omega = {C_1}\left( {{s^2}+{\omega ^2}} \right)+{C_2} \cdot {\text{s}}\left( {s+a} \right)+{C_3} \cdot \omega \cdot \left( {s+a} \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\quad {s^2}:\quad 0 = {C_1}+{C_2}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = -{C_1}
" title="
\quad {s^2}:\quad 0 = {C_1}+{C_2}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = -{C_1}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\quad {s^1}:\quad 0 = a \cdot {C_2}+\omega \cdot {C_3}\quad \Rightarrow \quad {C_3} = -\frac{a}{\omega }{C_2} = \frac{a}{\omega }{C_1}
" title="
\quad {s^1}:\quad 0 = a \cdot {C_2}+\omega \cdot {C_3}\quad \Rightarrow \quad {C_3} = -\frac{a}{\omega }{C_2} = \frac{a}{\omega }{C_1}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\quad {s^0}:\quad a\kappa \omega = {\omega ^2}{C_1}+\omega a{C_3}
" title="
\quad {s^0}:\quad a\kappa \omega = {\omega ^2}{C_1}+\omega a{C_3}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Durch Einsetzen der Koeffizienten erhalten wir:

X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}
" title="
X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\qquad = {C_1} \cdot \frac{1}{{s+a}}-{C_1} \cdot \frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot {C_1} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}
" title="
\qquad = {C_1} \cdot \frac{1}{{s+a}}-{C_1} \cdot \frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot {C_1} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\qquad = {C_1} \cdot \left( {\frac{1}{{s+a}}-\frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}} \right)
" title="
\qquad = {C_1} \cdot \left( {\frac{1}{{s+a}}-\frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Nun führen wir die Rücktransformation mit Hilfe der Korrespondenzen 3, 21 und 22 durch:

\to \quad x_1^\prime \left( t \right) = {C_1} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)
" title="
\to \quad x_1^\prime \left( t \right) = {C_1} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad x_1^\prime \left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)
" title="
\Rightarrow \quad x_1^\prime \left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

Dies war allerdings nur ein Teilterm der eigentlichen Lösung. Für die vollständige Lösung müssen wir noch folgenden Term auswerten:

" title="{X_1} = X_1^\prime \cdot \left( {1-{e^{-Ts}}} \right) \cdot {e^{-{T_1}s}}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {X_1} = X_1^\prime \cdot {e^{-{T_1}s}}+X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}
" title="
\Rightarrow \quad {X_1} = X_1^\prime \cdot {e^{-{T_1}s}}+X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Die Transformation erfolgt wieder mit Hilfe des Rechtsverschiebungssatzes:

\underbrace {X_1^\prime }_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}\quad \to \quad \underbrace {x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}
" title="
\underbrace {X_1^\prime }_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}\quad \to \quad \underbrace {x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}
" style="vertical-align: -33px; border: none;"/>

X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}\quad \to \quad x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)
" title="
X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}\quad \to \quad x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot \left( {t-{T_1}-T} \right)
" title="
\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot \left( {t-{T_1}-T} \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right)
" title="
\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right)
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.
" title="
\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\qquad \left. {-\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]
" title="
\qquad \left. {-\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

Als letztes fehlt nun noch der X₂ Term, welche mittels Korrespondenz Nr. 3 rücktransformiert wird:

" title="{X_2}\left( s \right) = \frac{{{x_0}}}{{s+a}}
" style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\downarrow
" title="
\downarrow
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

" title="{x_2}\left( t \right) = {x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Insgesamt erhalten wir also:

x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right)+{x_2}\left( t \right)
" title="
x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right)+{x_2}\left( t \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.
" title="
\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\qquad \left. {\qquad -\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]
" title="
\qquad \left. {\qquad -\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\qquad \qquad +{x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)
" title="
\qquad \qquad +{x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U08.2 – Regelkreisanalyse

JK — Sat, 13 Mar 2010 10:35:29 +0000

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

2.1 – Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion mit dem noch freien Parameter k.

2.2 – Ermitteln Sie mit dem Hurwitz-Kriterium den k-Bereich, für den das System asymptotisch stabil ist.

2.3 – Überprüfen Sie das Ergebnis mit dem Routh-Kriterium

2.4 – Wie viele Pole mit positivem Realteil hat das System, wenn der oben ermittelte k-Bereich unterschritten bzw. überschritten wird?

2.5 – Bestimmen Sie den stationären Endwert für den Fall

und

mit aus Teil 2.2.

Was können Sie für den Fall bezüglich aussagen?

Lösung

2.1-Übertragungsfunktion

Zum Aufstellen der Übertragungsfunktion wenden wir wie in den vorherigen Aufgaben die Regeln zur Blockschaltbildalgebra an.

Daraus ergibt sich schließlich:

" title="{G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right)}}{{1+\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right) \cdot \left( {2s+k} \right)}}
" style="vertical-align: -33px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} = \frac{{{Z_{yu}}\left( s \right)}}{{{N_{yu}}\left( s \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad {G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} = \frac{{{Z_{yu}}\left( s \right)}}{{{N_{yu}}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

2.2 – k-Bereich

1. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{a_4},{a_3},{a_2},{a_1} > 0}} " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad k > 0" title="{a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad k > 0" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

2. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{H_1} = {a_3} > 0}} " style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

1 & {56} \\

\end{array} } \right| = 562 > 0" title="{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} \\
1 & {56} \\

\end{array} } \right| = 562 > 0" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

1 & {50} & {16k} \\
0 & {13} & {88} \\

\end{array} } \right| = 88 \cdot 562-{13^2} \cdot 16k\mathop > \limits^! 0
" title="{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} & 0 \\
1 & {50} & {16k} \\
0 & {13} & {88} \\

\end{array} } \right| = 88 \cdot 562-{13^2} \cdot 16k\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

2.3 – Überprüfung mit Routh

\hline{{a_3} = 13} &\vline & {{a_1} = 88} &\vline & {} \\
\hline{{A_1} = \frac{{13 \cdot 50-1 \cdot 88}}{{13}}} &\vline & {{B_1} = {a_0} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ = \underline{\underline {43,23 > 0}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = 88-\frac{{13 \cdot 16k}}{{43,23}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {\underline{\underline {{B_2} = 0}} } &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}} } &\vline & {} &\vline & {} \\
\hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-0}}{{{A_2}}} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} &\vline & {} \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 1} &\vline & {{a_2} = 50} &\vline & {{a_0} = 16k} \\
\hline{{a_3} = 13} &\vline & {{a_1} = 88} &\vline & {} \\
\hline{{A_1} = \frac{{13 \cdot 50-1 \cdot 88}}{{13}}} &\vline & {{B_1} = {a_0} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ = \underline{\underline {43,23 > 0}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = 88-\frac{{13 \cdot 16k}}{{43,23}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {\underline{\underline {{B_2} = 0}} } &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}} } &\vline & {} &\vline & {} \\
\hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-0}}{{{A_2}}} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} &\vline & {} \\

\end{array} " style="vertical-align: -107px; border: none;"/>

2.4 – Anzahl der Pole

Folgende Werte bekommen wir für Einhalten, Unterschreiten und Überschreiten des k-Bereichs in der ersten Spalte:

18,29} \\
\hline
1 &\vline & 1 &\vline & {1 > 0} \\
\hline{13} &\vline & {13} &\vline & {13 > 0} \\
\hline{43,23} &\vline & {43,23} &\vline & {43,23 > 0} \\
\hline{k < 18,29} &\vline & {k < 18,29 \Rightarrow {A_2} > 0} &\vline & {k > 18,29 \Rightarrow \underline{\underline {{A_2} < 0}} } \\
\hline{k > 0} &\vline & {k < 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} < 0}} } &\vline & {k > 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} > 0}} } \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{0 < k < 18,29} &\vline & {k < 0} &\vline & {k > 18,29} \\
\hline
1 &\vline & 1 &\vline & {1 > 0} \\
\hline{13} &\vline & {13} &\vline & {13 > 0} \\
\hline{43,23} &\vline & {43,23} &\vline & {43,23 > 0} \\
\hline{k < 18,29} &\vline & {k < 18,29 \Rightarrow {A_2} > 0} &\vline & {k > 18,29 \Rightarrow \underline{\underline {{A_2} < 0}} } \\
\hline{k > 0} &\vline & {k < 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} < 0}} } &\vline & {k > 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} > 0}} } \\

\end{array} " style="vertical-align: -68px; border: none;"/>

Das bedeutet:

Beim Einhalten des k-Bereichs bekommen wir 0 Pole.

Beim Unterschreiten des k-Bereichs bekommen wir einen Vorzeichenwechsel und somit einen Pol mit positivem Realteil:

k < 0
" title="
k < 0
" style="vertical-align: 0px; border: none;"/>

\Downarrow
" title="
\Downarrow
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

0
" title="{A_1} > 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

0
" title="{A_2} > 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

" title="{A_3} < 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

Beim Überschreiten des k-Bereichs bekommen wir zwei Vorzeichenwechsel und somit zwei Pole mit positivem Realteil:

k > 18,29
" title="
k > 18,29
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Downarrow
" title="
\Downarrow
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

0
" title="{A_1} > 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

" title="{A_2} < 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

0
" title="{A_3} > 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

2.5 – stationärer Endwert

Um den stationären Endwert zu bestimmen benötigen wir den Endwertsatz aus der Tabelle „Definition, Eigenschaften, der Laplacetransformation“:

Damit folgt:

" title="{y_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} \cdot \frac{1}{s}
" title="
Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} \cdot \frac{1}{s}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s} \cdot {G_{yu}}\left( s \right) = \underline{\underline {\frac{1}{k}}}
" title="
\Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s} \cdot {G_{yu}}\left( s \right) = \underline{\underline {\frac{1}{k}}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Im ersten Fall befinden wir uns mit dem angegebenen k immer noch innerhalb des stabilen Bereichs. Durch Einsetzen von k folgt also:

k = \frac{{{k_{\max }}}}{4} = \frac{{18,3}}{4}
" title="
k = \frac{{{k_{\max }}}}{4} = \frac{{18,3}}{4}
" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{y_\infty } = \frac{4}{{18,3}} = 0,219}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{y_\infty } = \frac{4}{{18,3}} = 0,219}}
" style="vertical-align: -15px; border: none;"/>

Im zweiten Fall ist zu beachten, dass wir mit dem angegebenen k außerhalb des stabilen Bereichs sind, deshalb gilt:

Es existiert in diesem Fall also kein stationärer Endwert!

U08.1 – Regelkreisanalyse

JK — Fri, 12 Mar 2010 22:26:27 +0000

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild (geschlossener Regelkreis in allgemeiner Form)

mit der Reglerübertragungsfunktion und der Streckenübertragungsfunktion .

1.1

Gegeben sind die Streckenübertragungsfunktionen:

Schließen Sie den Regelkreis mit einem P-Regler mit der Übertragungsfunktion und überprüfen Sie für a) und b) mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche der Regelkreis stabil ist.

1.2

Gegeben ist die Streckenübertragungsfunktion

Schließen Sie den Regelkreis mit einem PDT₁-Regler mit der Übertragungsfunktion

und überprüfen Sie mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche der Regelkreis stabil ist.

Lösung

1.1.a)

Bisher galt für die komplexe Übertragungsfunktion:

Für die Berechnung brauchen wir hier nun die Führungsübertragungsfunktion. Diese berechnet man wie folgt:

Y\left( s \right) = \left( {{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {W\left( s \right)-Y\left( s \right)} \right)
" title="
Y\left( s \right) = \left( {{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {W\left( s \right)-Y\left( s \right)} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = \underbrace {\frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}}_{{G_W}\left( s \right)} \cdot W\left( s \right)
" title="
\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = \underbrace {\frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}}_{{G_W}\left( s \right)} \cdot W\left( s \right)
" style="vertical-align: -45px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{W\left( s \right)}} = \frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{W\left( s \right)}} = \frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Mit

" title="{G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

" title="{G_R}\left( s \right) = {K_R}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

folgt:

" title="{G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{W\left( s \right)}} = \frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}} = \frac{{\frac{{{Z_R}}}{{{N_R}}} \cdot \frac{{{Z_S}}}{{{N_S}}}}}{{1+\frac{{{Z_R}}}{{{N_R}}} \cdot \frac{{{Z_S}}}{{{N_S}}}}} = \frac{{{Z_R} \cdot {Z_S}}}{{{N_R} \cdot {N_S}+{Z_R} \cdot {Z_S}}} = \frac{{{Z_W}}}{{{N_W}}}
" style="vertical-align: -20px; border: none;"/>

" title="{G_W}\left( s \right) = \frac{{{K_R} \cdot 10}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Nun wenden wir das Hurwitz-Kriterium an:

Soweit sind also schon mal alle Koeffizienten vorhanden.

Es muss nun gelten:

\limits^! 0" title="{a_3},{a_2},{a_1}\mathop > \limits^! 0" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+{K_R} \cdot 10 > 0
" title="{a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+{K_R} \cdot 10 > 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{10}} = -0,6}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{10}} = -0,6}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Mit dieser Bedingung für K_R sind auch alle Koeffizienten größer als Null. Damit ist die notwendige Bedingung des Hurwitz-Kriteriums erfüllt. Es folgt die Überprüfung der hinreichenden Bedingung:

0}} " title="{H_1} = {a_2}\underline{\underline { > 0}} " style="vertical-align: -7px; border: none;"/>

\end{array} } \right| > 0\quad ,\quad n = 3
" title="{H_{n-1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} \\

\end{array} } \right| > 0\quad ,\quad n = 3
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}} & {{a_0}} \\{{a_3}} & {{a_1}} \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {6+10{K_R}} \\
1 & {11} \\

\end{array} } \right| = 66-6-10{K_R}\mathop > \limits^! 0
" title="
\Rightarrow \quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}} & {{a_0}} \\{{a_3}} & {{a_1}} \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {6+10{K_R}} \\
1 & {11} \\

\end{array} } \right| = 66-6-10{K_R}\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Damit der Regelkreis stabil ist muss also insgesamt gelten:

Nun folgt die Anwendung des Routh-Kriteriums:

\hline{{a_{n-1}}} &\vline & {{a_{n-3}}} &\vline & {{a_{n-5}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-2}}-{a_n}{a_{n-3}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{B_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-4}}-{a_n}{a_{n-5}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{C_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-6}}-{a_n}{a_{n-7}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-3}}-{a_{n-1}}{B_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{B_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-5}}-{a_{n-1}}{C_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{C_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-7}}-{a_{n-1}}{D_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-{A_1}{B_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & {{B_3} = \frac{{{A_2}{C_1}-{A_1}{C_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\
\hline{{A_4} = \frac{{{A_3}{B_2}-{A_2}{B_3}}}{{{A_3}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{{a_n}} &\vline & {{a_{n-2}}} &\vline & {{a_{n-4}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{a_{n-1}}} &\vline & {{a_{n-3}}} &\vline & {{a_{n-5}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-2}}-{a_n}{a_{n-3}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{B_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-4}}-{a_n}{a_{n-5}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{C_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-6}}-{a_n}{a_{n-7}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-3}}-{a_{n-1}}{B_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{B_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-5}}-{a_{n-1}}{C_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{C_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-7}}-{a_{n-1}}{D_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & \cdots \\
\hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-{A_1}{B_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & {{B_3} = \frac{{{A_2}{C_1}-{A_1}{C_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\
\hline{{A_4} = \frac{{{A_3}{B_2}-{A_2}{B_3}}}{{{A_3}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\

\end{array} " style="vertical-align: -71px; border: none;"/>

Durch Einsetzen erhalten wir:

\hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+10{K_R}} \\
\hline{{A_1} = \frac{{66-6-10{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = {a_0} = 6+10{K_R}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,6}} } &\vline & {} \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3} = 1} &\vline & {{a_1} = 11} \\
\hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+10{K_R}} \\
\hline{{A_1} = \frac{{66-6-10{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = {a_0} = 6+10{K_R}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,6}} } &\vline & {} \\

\end{array} " style="vertical-align: -77px; border: none;"/>

Damit haben wir erreicht, dass es keine Vorzeichenwechsel der Einträge in der ersten Spalte und somit keine positiven Realteile bei den Wurzeln gibt. Damit haben wir einen stabilen Regelkreis.

1.1.b)

Analog zu a) gilt hier:

" title="{G_S}\left( s \right) = \frac{{10\left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

" title="{G_R}\left( s \right) = {K_R}
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}} = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}} = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

1. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{a_3},{a_2} > 0}} " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 11+10{K_R} > 0
" title="{a_1}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 11+10{K_R} > 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{{11}}{{10}} = -1,1}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{{11}}{{10}} = -1,1}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+50{K_R} > 0
" title="{a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+50{K_R} > 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{50}} = -0,12}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{50}} = -0,12}}
" style="vertical-align: -13px; border: none;"/>

Insgesamt muss also gelten:

2. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{H_1} = {a_2} > 0}} " style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {6+50{K_R}} \\
1 & {11+10{K_R}} \\

\end{array} } \right| = 66+60{K_R}-6-50{K_R}\mathop > \limits^! 0
" title="{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}} & {{a_0}} \\{{a_3}} & {{a_1}} \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6 & {6+50{K_R}} \\
1 & {11+10{K_R}} \\

\end{array} } \right| = 66+60{K_R}-6-50{K_R}\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Dies ändert die Bisherige Bedingung für K_R nicht.

Das Routh-Kriterium liefert:

\hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+50{K_R}} \\
\hline{{A_1} = \frac{{66+60{K_R}-6-50{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,12}} } &\vline & {} \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3} = 1} &\vline & {{a_1} = 11+10{K_R}} \\
\hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+50{K_R}} \\
\hline{{A_1} = \frac{{66+60{K_R}-6-50{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,12}} } &\vline & {} \\

\end{array} " style="vertical-align: -77px; border: none;"/>

1.2)

Analog zur ersten Aufgabe folgt:

" title="{G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

" title="{G_R}\left( s \right) = \frac{{{K_R}\left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)+10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)+10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

1. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{a_4},{a_3},{a_2} > 0}} " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 50+10{K_R} > 0
" title="{a_1}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 50+10{K_R} > 0
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -5}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -5}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 24+15{K_R} > 0
" title="{a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 24+15{K_R} > 0
" style="vertical-align: -3px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

2. Bedingung:

0}} " title="\underline{\underline {{H_1} = {a_3} > 0}} " style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {50+10{K_R}} \\
1 & {35} \\

\end{array} } \right| = 300-10{K_R}\mathop > \limits^! 0
" title="{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}} & {{a_1}} \\{{a_4}} & {{a_2}} \\

\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {50+10{K_R}} \\
1 & {35} \\

\end{array} } \right| = 300-10{K_R}\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}}
" title="
\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

1 & {35} &\vline & {24+15{K_R}} \\
\hline
0 & {10} &\vline & {50+10{K_R}} \\

\end{array} } \right|
" title="{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {50+10{K_R}} &\vline & 0 \\
1 & {35} &\vline & {24+15{K_R}} \\
\hline
0 & {10} &\vline & {50+10{K_R}} \\

\end{array} } \right|
" style="vertical-align: -30px; border: none;"/>

= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot {H_2}-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)
" title="
= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot {H_2}-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot \left( {300-10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)
" title="
= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot \left( {300-10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

= -100K_R^2+1000{K_R}+12600\mathop > \limits^! 0
" title="
= -100K_R^2+1000{K_R}+12600\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad -K_R^2+10{K_R}+126 > 0
" title="
\Rightarrow \quad -K_R^2+10{K_R}+126 > 0
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {\left( {{K_R}-5} \right)^2} < 151\quad \Rightarrow \quad \left| {{K_R}-5} \right| < \sqrt {151}
" title="
\Rightarrow \quad {\left( {{K_R}-5} \right)^2} < 151\quad \Rightarrow \quad \left| {{K_R}-5} \right| < \sqrt {151}
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

1. 0:\quad \underline{\underline {{K_R} < +5+\sqrt {151} = 17,3}} " title="{K_R}-5 > 0:\quad \underline{\underline {{K_R} < +5+\sqrt {151} = 17,3}} " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

2. -7,28}} " title="{K_R}-5 < 0:\quad -\left( {{K_R}-5} \right) < \sqrt {151} \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -7,28}} " style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Insgesamt also:

Nun wieder zum Routh-Kriterium:

\hline{{a_3} = 10} &\vline & {{a_1} = 50+10{K_R}} &\vline & {} \\
\hline{{A_1} = \frac{{350-50-10{K_R}}}{{10}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = \frac{{\left( {30-{K_R}} \right) \cdot \left( {50+10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > \ldots }} } &\vline & {} &\vline & {} \\

\end{array} " title="\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 1} &\vline & {{a_2} = 35} &\vline & {{a_0} = 24+15{K_R}} \\
\hline{{a_3} = 10} &\vline & {{a_1} = 50+10{K_R}} &\vline & {} \\
\hline{{A_1} = \frac{{350-50-10{K_R}}}{{10}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}} } &\vline & {} \\
\hline{{A_2} = \frac{{\left( {30-{K_R}} \right) \cdot \left( {50+10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > \ldots }} } &\vline & {} &\vline & {} \\

\end{array} " style="vertical-align: -75px; border: none;"/>

Zu A₂:

" title="{A_2} = \frac{{\left( {30-{K_R}} \right) \cdot \left( {50+10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

= \frac{{-10K_R^2+250{K_R}+1500-240-150{K_R}}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}\mathop > \limits^! 0
" title="
= \frac{{-10K_R^2+250{K_R}+1500-240-150{K_R}}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}\mathop > \limits^! 0
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \frac{{-K_R^2+10{K_R}+126}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}} > 0
" title="
\Rightarrow \quad \frac{{-K_R^2+10{K_R}+126}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}} > 0
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Nenner positiv oder negativ ist:

1.\quad {K_R} < 30:\quad K_R^2-10{K_R}-126 < 0
" title="
1.\quad {K_R} < 30:\quad K_R^2-10{K_R}-126 < 0
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\quad \Rightarrow \quad {\left( {{K_R}-5} \right)^2} < 151\quad \Rightarrow \quad \left| {{K_R}-5} \right| < \sqrt {151}
" title="
\quad \Rightarrow \quad {\left( {{K_R}-5} \right)^2} < 151\quad \Rightarrow \quad \left| {{K_R}-5} \right| < \sqrt {151}
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\quad 1.1\quad {K_R} > 5:\quad {K_R} < 17,28
" title="
\quad 1.1\quad {K_R} > 5:\quad {K_R} < 17,28
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\quad 1.2\quad {K_R} < 5:\quad {K_R} > -7,28
" title="
\quad 1.2\quad {K_R} < 5:\quad {K_R} > -7,28
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

2.\quad {K_R} > 30:\quad K_R^2-10{K_R}-126 > 0
" title="
2.\quad {K_R} > 30:\quad K_R^2-10{K_R}-126 > 0
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

\quad 2.1\quad {K_R} > 5:\quad {K_R} > 17,28
" title="
\quad 2.1\quad {K_R} > 5:\quad {K_R} > 17,28
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\quad 2.2\quad {K_R} < 5:\quad {K_R} < -7,28
" title="
\quad 2.2\quad {K_R} < 5:\quad {K_R} < -7,28
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

U08.0 – Algebraische Stabilitätskriterien

JK — Fri, 12 Mar 2010 22:10:42 +0000

Die komplexe Übertragungsfunktion lässt allgemein wie folgt schreiben:

Y(s): Ausgangsfunktion

U(s): Eingangsfunktion

Z(s): Zählerpolynom

N(s): Nennerpolynom

n_i: Nullstellen

p_i: Polstellen

Das Nennerpolynom einer Übertragungsfunktion G(s) bezeichnet man als charakteristisches Polynom. Die Gleichung zur Bestimmung der Polstellen (N(s) = 0) nennt man die charakteristische Gleichung. Ihre Lösungen werden auch als „Wurzeln“ bezeichnet.

Ein lineares System ist nun genau dann stabil, wenn alle Nullstellen/Wurzeln des charakteristischen Polynoms in der linken s-Halbebene liegen, also wenn sie alle negative Realteile besitzen.

Pol-Nullstellen-Bild:

Ein bekanntes Stabilitätskriterium ist das so genannte Hurwitz-Kriterium:

Es ermöglicht zu entscheiden, ob sämtliche Nullstellen eines Polynoms

negative Realteile haben, ohne dass die Nullstellen im Einzelnen berechnet werden müssen.

Notwendige Bedingung:

Alle Koeffizienten des Polynoms müssen vorhanden sein und das gleiche Vorzeichen besitzen. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so ist P(s) kein Hurwitz-Polynom.

Hinreichende Bedingung:

Die Hurwitzdeterminante H_n-1 und alle ihre Hauptdeterminanten sind positiv.

mit für

wobei n der Grad des Polynoms ist.

Also muss gelten:

\end{array} } \right| > 0\quad ,\quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} \\

\end{array} } \right| > 0\quad ,
" title="{H_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} \\

\end{array} } \right| > 0\quad ,\quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} \\

\end{array} } \right| > 0\quad ,
" style="vertical-align: -18px; border: none;"/>

{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} & {{a_{n-5}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} & {{a_{n-4}}} \\
0 & {{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\

\end{array} } \right| > 0" title="
{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} & {{a_{n-5}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} & {{a_{n-4}}} \\
0 & {{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\

\end{array} } \right| > 0" style="vertical-align: -29px; border: none;"/>

Das Routh-Kriterium:

Während das Hurwitz-Kriterium nur eine Ja/Nein-Entscheidung bezüglich der Stabilität eines linearen Systems erlaub, kann mittels des Routh-Kriteriums auch eine Aussage über die Zahl der instabilen Eigenwerte gemacht werden.

Es gilt:

Sämtliche Nullstellen des Polynoms haben genau dann negative Realteile, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Notwendige Bedingung:

Alle a_i sind vorhanden und besitzen das gleiche Vorzeichen.

Notwendige und hinreichende Bedingung:

Alle Elemente der ersten Spalte des Routh-Schemas (die sog. Routh-Probekoeffizienten) sind positiv.

Die Zahl der Vorzeichenwechsel der Routh-Probekoeffizienten ist gleich der Zahl der Wurzeln mit positivem Realteil.

U07.4 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

JK — Wed, 03 Mar 2010 18:10:06 +0000

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion

{{U\left( s \right)}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

in allgemeiner Form.

Lösung

Wir formen das Schaltbild folgendermaßen um:

Schritt 1:

Schritt 2:

Schritt 3:

Schritt 4:

Optionaler Schritt:

Berechnung:
G = \frac{Y}
{U} = \frac{{\left( {\frac{{{G_1}}}
{{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}}
{{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}}
{{1+{G_3}}}} \right)}}
{{1+\left( {\frac{{{G_1}}}
{{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}}
{{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}}
{{1+{G_3}}}} \right) \cdot \left( {{G_5} \cdot {G_6}} \right)}}
" title="
G = \frac{Y}
{U} = \frac{{\left( {\frac{{{G_1}}}
{{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}}
{{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}}
{{1+{G_3}}}} \right)}}
{{1+\left( {\frac{{{G_1}}}
{{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}}
{{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}}
{{1+{G_3}}}} \right) \cdot \left( {{G_5} \cdot {G_6}} \right)}}
" style="vertical-align: -23px; border: none;"/>

= \frac{{\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}}
{{1+\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}}
" title="
= \frac{{\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}}
{{1+\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}}
" style="vertical-align: -20px; border: none;"/>

= \frac{{\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot \left( {1+{G_3}} \right)+\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}}
" title="
= \frac{{\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}}
{{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot \left( {1+{G_3}} \right)+\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right)}}
{{\left( {1+{G_1}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {1+{G_3}\left( s \right)} \right)+\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right) \cdot {G_6}\left( s \right)}}
" title="
\Rightarrow \quad G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right)}}
{{\left( {1+{G_1}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {1+{G_3}\left( s \right)} \right)+\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right) \cdot {G_6}\left( s \right)}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

U07.3 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

JK — Wed, 03 Mar 2010 17:43:29 +0000

Gegeben ist das folgende Blockschaltbild:

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion

{{U\left( s \right)}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

in allgemeiner Form.

Lösung

Auf den ersten Blick können wir nichts vereinfachen, da das Blockschaltbild sehr stark vernetzt ist. Wir verfahren daher wie schon bei der ersten Aufgabe und führen zwei Hilfssignale ein:

Daraus folgt:

A = U{G_1}+\left( {U-A{G_3}} \right){G_2} = U\left( {\frac{{{G_1}+{G_2}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)
" title="
A = U{G_1}+\left( {U-A{G_3}} \right){G_2} = U\left( {\frac{{{G_1}+{G_2}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

B = A{G_5}+U{G_1}{G_4} = U\left( {{G_1}{G_4}+\frac{{\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)
" title="
B = A{G_5}+U{G_1}{G_4} = U\left( {{G_1}{G_4}+\frac{{\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

Y = B+A\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)
" title="
Y = B+A\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Y = U\left( {{G_1}{G_4}+\frac{{\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)+U\left( {\frac{{{G_1}+{G_2}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)
" title="
Y = U\left( {{G_1}{G_4}+\frac{{\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)+U\left( {\frac{{{G_1}+{G_2}}}
{{1+{G_2}{G_3}}}} \right)\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)
" style="vertical-align: -12px; border: none;"/>

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_1}{G_4}\left( {1+{G_2}{G_3}} \right)+\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}+\left( {{G_1}+{G_2}} \right)\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)}}
{{1+{G_2}{G_3}}}
" title="
G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_1}{G_4}\left( {1+{G_2}{G_3}} \right)+\left( {{G_1}+{G_2}} \right){G_5}+\left( {{G_1}+{G_2}} \right)\left( {{G_6}+{G_3}{G_7}} \right)}}
{{1+{G_2}{G_3}}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

U07.2 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

JK — Wed, 03 Mar 2010 17:37:33 +0000

Gegeben ist das folgende Blockschaltbild:

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion

{{U\left( s \right)}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

und

{{Z\left( s \right)}}" title="{G_Z}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{Z\left( s \right)}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Lösung

Wir führen zunächst folgende Vereinfachungen durch:

Schritt 2:

Schritt 3:

Entscheidend ist nun, was mit und passiert. Das Eingangssignal ist bei beiden gleich. Es folgt:

Schritt 4:

Schritt 5:

G(s) ist die von U abhängige Übertragungsfunktion:

{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_A}{G_B}}}
{{1+{G_A}{B_B}}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_A}{G_B}}}
{{1+{G_A}{B_B}}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

G_Z(s) ist die von der Störgröße Z abhängige Übertragungsfunktion:

{{Z\left( s \right)}} = \frac{{-\left( {-{G_{Z1}}{G_B}+{G_{Z2}}} \right)}}
{{1+{G_A}{G_B}}}" title="{G_Z}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{Z\left( s \right)}} = \frac{{-\left( {-{G_{Z1}}{G_B}+{G_{Z2}}} \right)}}
{{1+{G_A}{G_B}}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

U07.1 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

JK — Wed, 03 Mar 2010 17:35:51 +0000

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion {{U\left( s \right)}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/> in allgemeiner Form.

Lösung

Möglichkeit 1 (Hilfssignal einführen):

Dazu führen wir im Blockschaltbild ein Hilfssignal ein:

Das Hilfssignal setzt man am Besten nach einer Summation. Es setzt sich zusammen aus den folgenden Bestandteilen:

A = \left( {U-A{G_2}} \right){G_1}-\frac{1}
{{{G_4}}}Y
" title="
A = \left( {U-A{G_2}} \right){G_1}-\frac{1}
{{{G_4}}}Y
" style="vertical-align: -8px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad A = \frac{{U{G_1}-\frac{1}
{{{G_4}}}Y}}
{{1+{G_1}{G_2}}}
" title="
\Rightarrow \quad A = \frac{{U{G_1}-\frac{1}
{{{G_4}}}Y}}
{{1+{G_1}{G_2}}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

Für das Signal gilt:

{{{G_4}}}Y}}
{{1+{G_1}{G_2}}}} \right){G_2}{G_3}{G_4}+Y{G_3}{G_4}" title="Y = \left( {A{G_2}+Y} \right){G_3}{G_4} = \left( {\frac{{U{G_1}-\frac{1}
{{{G_4}}}Y}}
{{1+{G_1}{G_2}}}} \right){G_2}{G_3}{G_4}+Y{G_3}{G_4}" style="vertical-align: -17px; border: none;"/>
Y = \frac{{U{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
" title="
Y = \frac{{U{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
" title="
G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Möglichkeit 2 (Blockschaltbild vereinfachen):

Wir Formen das Ursprüngliche Blockschaltbild mit Hilfe der Regeln zur Blockschaltbildalgebra um.

Wir können dies weiter vereinfachen zu:

„Man macht erst den Vorwärtszweig, dann den ganzen“

{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_A}{G_B}}}
{{1+{G_A}{G_B}{G_C}}} = \ldots = G\left( s \right) = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_A}{G_B}}}
{{1+{G_A}{G_B}{G_C}}} = \ldots = G\left( s \right) = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}
{{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Dies entspricht natürlich dem Ergebnis aus Möglichkeit 1.

U07.0 – Regeln zur Blockschaltbildalgebra & Beispiel zur Blockschaltbilderstellung

JK — Wed, 03 Mar 2010 17:32:51 +0000

Für die Bearbeitung der folgenden Aufgaben führen wir zunächst die Regeln zur Blockschaltbildalgebra auf:

1. Zusammenfassung zweier in Reihe liegender Blöcke:

{U} = {G_1} \cdot {G_2}" title="{G_{ges}} = \frac{Y}
{U} = {G_1} \cdot {G_2}" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

2. Zusammenfassung zweier parallel liegender Blöcke:

{U} = {G_1} \pm {G_2}" title="{G_{ges}} = \frac{Y}
{U} = {G_1} \pm {G_2}" style="vertical-align: -6px; border: none;"/>

3. Elimination einer Rückführschleife:

{{1 \mp {G_1} \cdot {G_2}}}\quad \Rightarrow \quad {G_{ges}} = \frac{Y}
{U} = \frac{{{G_1}}}
{{1 \mp {G_1} \cdot {G_2}}}" title="Y = {G_1}\left( {U \pm {G_2}Y} \right) = {G_1} \cdot U \pm {G_1} \cdot {G_2} \cdot Y\quad \Rightarrow \quad Y = \frac{{{G_1} \cdot U}}
{{1 \mp {G_1} \cdot {G_2}}}\quad \Rightarrow \quad {G_{ges}} = \frac{Y}
{U} = \frac{{{G_1}}}
{{1 \mp {G_1} \cdot {G_2}}}" style="vertical-align: -9px; border: none;"/>

4. Verlegung einer Verzweigungsstelle vor einen Block:

5. Verlegung einer Additionsstelle vor einen Block:

Beispiel zur Erstellung eines Blockschaltbildes

Als Beispiel verwenden wir nun einen Integrierer:

Gegeben ist die folgende Differentialgleichung:

Gesucht sind die Übertragungsfunktion und das zugehörige Blockschaltbild.

Wir führen nun eine Laplacetransformation mit Hilfe des Differentiationssatzes durch (siehe vorherige Aufgaben):

{s^2}Y\left( s \right)-\underbrace {\dot y\left( 0 \right)}_0-\underbrace {sy\left( 0 \right)}_0+{a_1}sY\left( s \right)-\underbrace {{a_1}y\left( 0 \right)}_0+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)-\underbrace {u\left( 0 \right)}_0
" title="
{s^2}Y\left( s \right)-\underbrace {\dot y\left( 0 \right)}_0-\underbrace {sy\left( 0 \right)}_0+{a_1}sY\left( s \right)-\underbrace {{a_1}y\left( 0 \right)}_0+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)-\underbrace {u\left( 0 \right)}_0
" style="vertical-align: -28px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad {s^2}Y\left( s \right)+{a_1}sY\left( s \right)+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)
" title="
\Rightarrow \quad {s^2}Y\left( s \right)+{a_1}sY\left( s \right)+{a_0}Y\left( s \right) = {b_0}U\left( s \right)+{b_1}sU\left( s \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

Durch Umformen folgt daraus schließlich die Übertragungsfunktion:

{{U\left( s \right)}} = \frac{{{b_0}+{b_1}s}}
{{{a_0}+{a_1}s+{s^2}}}" title="G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}
{{U\left( s \right)}} = \frac{{{b_0}+{b_1}s}}
{{{a_0}+{a_1}s+{s^2}}}" style="vertical-align: -10px; border: none;"/>

Ein System mit einer solchen Übertragungsfunktion nennt man ein PDT₂-System.

Nun zur Erstellung des Blockschaltbildes. Wir sehen, dass in der gegebenen Differentialgleichung ist ein enthalten ist. Dieses können wir jedoch für unser Blockschaltbild nicht gebrauchen, da ein ideales differenzierendes Übertragungsglied physikalisch nicht realisierbar ist. Zur Lösung dieses Problems integrieren wir einfach die Gleichung, um somit Integrationsblöcke verwenden zu können:

\ddot y\left( t \right)+{a_1}\dot y\left( t \right)+{a_0}y\left( t \right) = {b_0}u\left( t \right)+{b_1}\dot u\left( t \right)
" title="
\ddot y\left( t \right)+{a_1}\dot y\left( t \right)+{a_0}y\left( t \right) = {b_0}u\left( t \right)+{b_1}\dot u\left( t \right)
" style="vertical-align: -4px; border: none;"/>

\Rightarrow \quad \dot y\left( t \right)+{a_1}y\left( t \right)+\int {{a_0}y\left( t \right)dt} = \int {{b_0}u\left( t \right)dt} +{b_1}u\left( t \right)
" title="
\Rightarrow \quad \dot y\left( t \right)+{a_1}y\left( t \right)+\int {{a_0}y\left( t \right)dt} = \int {{b_0}u\left( t \right)dt} +{b_1}u\left( t \right)
" style="vertical-align: -5px; border: none;"/>

Zur einfachen Erstellung des Blockschaltbildes formen wir nun noch nach der höchsten Ableitung von y um:

Daraus folgt das Blockschaltbild:

U04 – Äquivalenz eines elektrischen und mechanischen Systems

admin2 — Wed, 03 Mar 2010 17:12:16 +0000

Untersuchung der Äquivalenz eines mechanischen Systems (Ersatzschaltbild einer Fahrzeug-Radaufhängung) zu einem elektrischen Netzwerk.

Mechanisches System A:

Elektrisches System B:

Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung und Darstellen des mathematischen Modells für A in der Form

(Die s-Koordinaten beginnen jeweils in der Ruhelage der Massen bei vorgespannten Federn.)
Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung und Darstellen des mathematischen Modells für B in der Form
Für das System A sind die neuen Zustandsgrößen einzuführen.
Durch Vergleich von in b) und c) sind alle äquivalenten Größen beim elektrischen und mechanischen System einander zuzuordnen.
Zeichnen des gemeinsamen Blockschaltbildes für die Systeme A und B

Lösung

a )

Freischnitt des ersten Teilsystems:

Freischnitt des zweiten Teilsystems:

Schwerpunktsatz:

Es gelten die Zusammenhänge:

Gleichung für die Bewegung der ersten Masse:

Gleichung für die Bewegung der zweiten Masse:

Wir definieren nun den Zustandsvektor:

Nun wollen wir schon auf den Aufgabenteil c) vorgreifen.

c )

Wir definieren gemäß den neuen Vorgaben (siehe Aufgabenstellung):

Der neue Zustandsvektor sieht wie folgt aus:

b )

Das Vorgehen entspricht der Stromkreisanalyse aus der Elektrotechnik, wie sie in diesem Artikel ausführlich erklärt wird.

Es gelten die Beziehungen:

Wir stellen die Maschengleichungen auf:

1. Masche:
2. Masche:
3. Masche:

Außerdem brauchen wir die Knotengleichungen:

1. Knoten:
2. Knoten:

Daraus erhalten wir den Zustandsvektor:

Wir schreiben als Matrix:

d )

Die folgenden Matrixelemente entsprechen einander:

e )

Die Matrix und der Vektor enthalten einige Nullelemente:

Es ergibt sich das Blockschaltbild: