Mathematical Engineering - LRT » Strömungsmechanik http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Fri, 27 Jan 2012 09:41:37 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 10.3 – Rohrleitung und Meniskenverschiebung http://me-lrt.de/10-3-rohrleitung-meniskenverschiebung http://me-lrt.de/10-3-rohrleitung-meniskenverschiebung#comments Sat, 06 Feb 2010 11:18:00 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4094 Über eine Rohrleitung wird Luft mit konstanter Geschwindigkeit {{u_\infty }} und konstantem Druck p_a angesaugt. In dieser Rohrleitung, die von links nach rechts reibungsfrei durchströmt wird, werden an den Stellen 1, 2, 3 und 4 Drücke mittels U-Rohr-Manometer gemessen.

Rohrleitung Meniskenverschiebung

a )

Man zeichne die sich in den U-Rohren einstellende Meniskenverschiebung der Manometerflüssigkeit qualitativ ein. Der Ausgangszustand bei der Anströmgeschwindigkeit {{u_\infty }} = 0 ist als gestrichelte Linie (Nullniveau) dargestellt.

b )

Aus welcher oder welchen Meniskendifferenzen (a, b, c, d) kann die Anströmgeschwindigkeit {{u_\infty }} bestimmt werden?

Lösung

a )

Die Meniskenverschiebungen sind im Vergleich zur Nulllinie:
höher, tiefer, noch tiefer, am höchsten, gleichbleibend, wie das dritte, wie das zweite, wie das erste

Es gilt:

{p_2} = {p_4} = {p_{stat}}+\frac{\rho } {2}u_\infty ^2,\quad {p_a} = {p_1} = {p_{stat,1}},\quad {p_3} < {p_1}

\Delta {h_1} = \Delta {h_4} < \Delta {h_2} = \Delta {h_3}

b )

Man kann die Anströmgeschwindigkeit an der ersten und an der vierten Meniskendifferenz bestimmen. An den beiden anderen Meniskendifferenzen kann man nur die Geschwindigkeit bei Punkt 4 ermitteln.

]]> http://me-lrt.de/10-3-rohrleitung-meniskenverschiebung/feed 0 10.2 – Propeller in Luftströmung http://me-lrt.de/10-2-propeller-in-luftstromung http://me-lrt.de/10-2-propeller-in-luftstromung#comments Sat, 06 Feb 2010 11:16:31 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4091 Ein Propeller wird über einen Elektromotor angetrieben. Vor dem Propeller ist die Geschwindigkeit u_\infty konstant über die gesamte Ansaugfläche (Radius R_1). Die Strömung wird beschleunigt, schnürt sich zusammen und hat schließlich ein parabolisches Profil u\left(r\right).

Berechnen Sie die Leistung des Elektromotors, die benötigt wird, um die angesaugte Luft auf u\left(r\right) zu beschleunigen.

Propeller in Luftströmung Aufgabe

Hinweis:

u\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+{u_{max}},} & {\left| r \right| \leq {R_2}} \\ {{u_\infty },} & {\left| r \right| \geq {R_2}} \\ \end{array} } \right.

Wirkungsgrad des Motors: \eta = 0,85

Gegeben:

{R_1} = 2{R_2} = 10cm,\quad {u_\infty } = 2\frac{m} {s},\quad {\rho _{Luft}} = 1,2\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Lösung

Wir zeichnen zunächst die Geschwindigkeiten und Normalenvektoren ein. Dabei ist Position 1 links, Position 2 rechts und Position 3 oben. Wir berechnen nun {u_{max}} mit der Kontinuitätsgleichung:

{u_\infty }R_1^2\pi = {{\bar u}_2}R_2^2\pi \quad \Rightarrow \quad {{\bar u}_2} = \frac{{{u_\infty }R_1^2}} {{R_2^2}}

Für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

{{\bar u}_2} = \int\limits_A {u\left( r \right)dA} \frac{1} {A} = \int_0^{2\pi } {\int_0^{{R_2}} {\left[ {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+{u_{max}}} \right]rdr} d\varphi }

= \frac{{2\pi }} {{R_2^2\pi }}\left[ {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{R_2^4}} {{4R_2^2}}+{u_{max}}\frac{{R_2^2}} {2}} \right]

= \frac{{{u_\infty }-{u_{max}}}} {2}+{u_{max}}

= \frac{{{u_\infty }+{u_{max}}}} {2}

Daraus folgt direkt:

{u_{max}} = {u_\infty }\left( {\frac{{2R_1^2}} {{R_2^2}}-1} \right)

und mit {R_1} = 2{R_2}

{u_{max}} = 7{u_\infty }

Das Geschwindigkeitsprofil ist dann:

u\left( t \right) = \left( {{u_\infty }-7{u_\infty }} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+7{u_\infty } = {u_\infty }\left( {7-6\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}} \right)

Für die Kraft F schreiben wir:

F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}} \\ {{F_y}} \\ \end{array} } \right)

mit {F_y} = 0 weil {u_y} = 0,\quad {{\vec u}_3}{{\vec n}_3} = 0

Berechnung der Kraft in x-Richtung:

{F_x} = \int\limits_O {\rho {u_x}\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA}

= \rho \left[ {-u_\infty ^2R_1^2\pi +\int_0^{2\pi } {\int_0^{{R_2}} {u_x^2\left( r \right)rdr} d\varphi } } \right]

= \rho u_\infty ^2\pi \left( {-R_1^2+19R_2^2} \right) = 15\rho u_\infty ^2\pi R_2^2

= 0,56N

Wenn der Motor einen Wirkungsgrad von 85% hat, gilt für die Leistung:

P = \frac{{S \cdot {u_\infty }}} {\eta } = \frac{{0,56N \cdot 2\frac{m} {s}}} {{0,85}} = 1,32W

]]> http://me-lrt.de/10-2-propeller-in-luftstromung/feed 2 10.1 – Umlenkung eines Flüssigkeitsstrahls http://me-lrt.de/10-1-umlenkung-eines-flussigkeitsstrahls http://me-lrt.de/10-1-umlenkung-eines-flussigkeitsstrahls#comments Sat, 06 Feb 2010 11:13:42 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4088 Aus einem Düsenschlitz (Höhe h_1, Breite b) tritt ein Flüssigkeitsstrahl mit konstanter Geschwindigkeit c_1 in die freie Umgebung (Druck p_a) aus. Der Strahl trifft auf eine Umlenkschaufel und verlässt diese mit geänderter Richtung (Winkel \alpha) und geändertem Rechteckquerschnitt (Höhe h_2, Breite b). Das Geschwindigkeitsprofil an dieser Stelle lässt sich näherungsweise durch eine lineare Funktion mit den Werten c=0 an der Schaufelwand und c=c_{max} an der Strahloberfläche darstellen.

Unter Voraussetzung stationärer Strömung und unter Vernachlässigung der Erdschwere bestimme man in Abhängigkeit gegebener Größen die Horizontal- und Vertikalkomponente der Haltekraft \vec F_H, die an der Schaufel angreifen muss, damit diese im Gleichgewicht ist.

Umlenkung Flüssigkeitsstrahl Schaufel Impulssatz Aufgabe

Gegeben:

\rho = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {c_1} = 1\frac{m} {s},\quad b = 0,1,\quad {h_1} = 0,1m = 2{h_2},\quad \alpha = 30^\circ

Lösung

Vorbetrachtung zum Impulssatz

Es gilt:

\vec F = \dot{ \vec P} = \frac{d} {{dt}}\left( {mv} \right) = \dot m v+m\dot v

Bei stationären Strömungen können wir den Term m\dot v vernachlässigen, es gilt daher:

\vec F = \dot{ \vec P} = \frac{d} {{dt}}\left( {mv} \right) = \dot mv

\vec F = \int\limits_O {\rho \vec u\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA}

mit

\vec u \cdot \vec n = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|\cos \left( {\measuredangle \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right)

Der Winkel zwischen Normalenvektor und Geschwindigkeitsvektor ist meist 180°, daher ist:

\vec u \cdot \vec n = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|\cos \left( {\measuredangle \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right) = 1

{{\vec u}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} \\ 0 \\ \end{array} } \right),\quad \vec u \cdot \vec n = {c_1} \cdot \cos \left( \pi \right) = -{c_1}

{{\vec u}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-\cos \alpha \left| {{{\vec u}_2}} \right|} \\ {-\sin \alpha \left| {{{\vec u}_2}} \right|} \\ \end{array} } \right),\quad \left| {{{\vec u}_2}\left( {{x_2}} \right)} \right| = \frac{{{x_2}{c_{max}}}} {{{h_2}}}

Die maximale Geschwindigkeit c_{max} folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

{h_1}b{c_1} = {h_2}b\frac{{{c_{max}}}} {2}\quad \Rightarrow \quad {c_{max}} = \frac{{2{c_1}{h_1}}} {{{h_2}}}

{{\vec u}_2}{{\vec n}_2} = \left| {{{\vec u}_2}} \right|

Bei Positionen 3, 4 und 5 gilt:

{{\vec n}_i} \cdot {{\vec u}_i} = 0

Es ist allgemein

\vec F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}} \\ {{F_y}} \\ \end{array} } \right)

mit

{F_x} = \int\limits_O {\rho {u_x}\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA} = \rho \left[ {{u_{{1_x}}}\left( {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1}+\int\limits_{{A_2}} {{u_{{2_x}}}\left( {{{\vec u}_2} \cdot {{\vec n}_2}} \right)dA} } \right]

= \rho \left[ {-c_1^2{h_1}b+\int_0^b {\int_0^{{h_2}} {-\cos \alpha {{\left( {\frac{{2{x_2}{c_1}{h_1}}} {{{h_2}{h_2}}}} \right)}^2}d{x_2}} dz} } \right]

= \rho \left( {-c_1^2{h_1}b+b\left[ {-\cos \alpha \frac{{4c_1^2h_1^2}} {{h_2^4}} \cdot \frac{{h_2^3}} {3}} \right]} \right)

= \rho c_1^2{h_1}b\left( {-1-\frac{{4{h_1}}} {{3{h_2}}}\cos \alpha } \right) = -33,1N

und

{F_y} = \int\limits_{{A_2}} {{u_{{2_y}}}\left( {{{\vec u}_2} \cdot {{\vec n}_2}} \right)dA} = -b\rho \sin \alpha \int_0^{{h_2}} {\frac{{x_2^2c_{max}^2}} {{h_2^2}}dx}

= -b\rho \sin \alpha \cdot \frac{{4c_1^2h_1^2}} {{h_2^4}} \cdot \frac{{h_2^3}} {3}

= -{b_c}_1^2sin\alpha \cdot \frac{{4\rho h_1^2}} {{3{h_2}}} = -13,3N

]]> http://me-lrt.de/10-1-umlenkung-eines-flussigkeitsstrahls/feed 0 09.3 – Kurzfragen (wie in Klausur) http://me-lrt.de/09-3-kurzfragen-stromungsmechanik-klausur http://me-lrt.de/09-3-kurzfragen-stromungsmechanik-klausur#comments Tue, 01 Dec 2009 10:12:50 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4043 a )

Nennen Sie zwei dimensionsbehaftete Einflussgrößen auf die Dicke \delta der Grenzschicht einer längsangeströmten ebenen Platte. Wie ändert sich die Grenzschichtdicke \delta bei einer Vergrößerung der jeweiligen Einflussgröße?

b )

Wasserkreisel Aufgabe

Am dargestellten Wasserrad tritt aus den beiden Rohren (Durchmesser D) jeweils ein Wasserstrahl mit dem Volumenstrom \dot V in die Atmosphäre aus. Die beiden Rohre sind so gefertigt, dass der Freistrahl das Rohr über einen 90°-Krümmer (Verluste an den Krümmern werden nicht berücksichtigt) tangential zum mit R gebildeten Drehkreis des Rades verlässt. Die Strömungsgeschwindigkeit sei konstant über den Austrittsquerschnitt. Die Drehachse, in welcher das Wasser zugeführt wird, liegt parallel zum Gravitationsvektor.
Wie groß ist zum Zeitpunkt des Anfahrens das Drehmoment M, das das ausströmende Wasser auf das Wasserrad ausübt?

Gegeben: \dot V = 0,75\frac{l} {s},\quad D = 0,015m,\quad R = 0,25m,\quad \rho = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Lösung

a )

Die Grenzschichtdicke steigt mit der Länge.
Sie steigt auch mit der Rauheit der Oberfläche.
Sie sinkt mit der Geschwindigkeit.

b )

\vec M = \vec F \times \vec r\quad \Rightarrow \quad u = \frac{{4\dot V}} {{\pi {D^2}}} = 4,24\frac{m} {s}

mit

\dot V = uA

\vec F = \dot {\vec p} = \frac{\partial}{\partial t}\left({m\vec u}\right)

F = \dot mu+m\underbrace {\dot u}_0 = \rho A{u^2} = \rho \frac{{\pi {D^2}}} {4}{u^2} = 3183N

M = 2FR = 1,592Nm

]]> http://me-lrt.de/09-3-kurzfragen-stromungsmechanik-klausur/feed 2 09.2 – Rohrsystem mit unterschiedlichen Durchmessern und Pumpe http://me-lrt.de/09-2-rohrsystem-mit-unterschiedlichen-durchmessern-und-pumpe http://me-lrt.de/09-2-rohrsystem-mit-unterschiedlichen-durchmessern-und-pumpe#comments Tue, 01 Dec 2009 10:12:36 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4040 In einem Rohrsystem wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Am U-Rohr-Manometer (gefüllt mit Quecksilber) wird bei der eingestellten Strömung eine Höhendifferenz von \Delta h abgelesen. In den Steigrohren am Anfang und am Ende des Rohrleitungs-Systems wird jeweils die gleiche Füllhöhe abgelesen. Die beiden Krümmer haben jeweils einen Verlustbeiwert {\xi _K}.

Rohrsystem Pumpe Aufgabe

Hinweise:
Verluste durch Strömungserweiterungen und -verengungen werden nicht berücksichtigt. Verluste durch Rohrreibung werden nur in den Rohren mit dem kleinern Durchmesser d_2 berücksichtigt. Druckverlust in Rohrströmungen:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Gegeben:

Rohrleitungen: {d_1} = 1m,\quad {d_2} = 0,5m,\quad {L_2} = 4m

Höhenunterschiede: \Delta h = 0,3m,\quad {h_1} = 1,8m,\quad {h_2} = 0,8m

Umgebung: g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}},\quad \eta = 0,95

Konstanten:

{\xi _K} = 0,2

{\rho _W} = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {\rho _{Hg}} = 13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}

{\nu _W} = 1,75 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}

{\lambda _{laminar}} = 0,03,\quad {\lambda _{turbulent}} = 0,02

Aufgaben:

  1. Berechnen Sie die Änderung des statischen Druckes p_{12}-p_9 mit Hilfe des Höhenunterschiedes der Quecksilbersäule. Der Druckverlust durch Reibung zwischen den Punkten 9 und 12 kann vernachlässigt werden.
  2. Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit u_2.
  3. Herrscht laminare Strömung im Rohr mit dem Durchmesser d_2?
  4. Wie groß ist der Volumenstrom durch das Rohrsystem?
  5. Welcher Druckanstieg muss durch die Pumpe erzeugt werden? Nur Reibungsverluste im Rohr mit dem Durchmesser d_2 werden berücksichtigt.
  6. Welche Wellenleistung (Wirkungsgrad \eta) muss an der Pumpe dafür aufgebracht werden?
  7. Skizzieren Sie den Ort des maximalen statischen Druckes p_{\max} zwischen den Punkten 1 und 12 und tragen Sie anschließend qualitativ den Verlauf des statischen Druckes entlang des eingezeichneten Stromfadens zwischen den Punkten 1 und 12 in ein Diagramm ein.
    Parallele Abschnitte des Druckverlaufs sind als solche zu kennzeichnen.

Lösung

a )

Quecksilber Manometer Veranschaulichung

{p_{12}}+{\rho _W}g\Delta h = {p_g}+{\rho _{Hg}}g\Delta {\text{h}}

Damit ergibt sich für die Druckdifferenz:

{p_{12}}-{p_g} = g \Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = 36788Pa = 36,8kPa

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung 12\to 9 auf:

{p_9}+\frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2 = {p_{12}}+\frac{1} {2}{\rho _W}u_1^2

{p_{12}}-{p_9} = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}u_1^2

Kontinuitätsgleichung:

{A_1}{u_1} = {A_2}{u_2}\quad \Rightarrow \quad {u_1} = \frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}

einsetzen:

{p_{12}}-{p_9} = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}} \right)^2}

gleichsetzen mit Ergebnis aus a):

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}} \right)^2}

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}\left[ {u_2^2-{{\left( {\frac{{\pi {{\left( {\frac{{{d_2}}} {2}} \right)}^2}}} {{\pi {{\left( {\frac{{{d_1}}} {2}} \right)}^2}}}{u_2}} \right)}^2}} \right]

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}\left[ {u_2^2-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}{u_2}} \right)}^2}} \right]

\frac{{2g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right)}} {{{\rho _W}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}} \right)}^2}} \right]}} = u_2^2\quad \Rightarrow \quad {u_2} = \sqrt {\frac{{2g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right)}} {{{\rho _W}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}} \right)}^2}} \right]}}}

= \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}} \cdot 0,3m \cdot \left( {13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}-1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)}} {{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot \frac{{15}} {{16}}}}}

= \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}} \cdot 0,3m \cdot \left( {13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}-1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)}} {{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot \frac{{15}} {{16}}}}} = 8,857\frac{m} {s}

c )

Die kritische Reynoldszahl ist {\operatorname{Re} _{krit}} = 2300

Es gilt:

{\operatorname{Re} _2} = \frac{{{u_2}{d_2}}} {\nu } = 2,5 \cdot {10^6} > 2300\quad \Rightarrow \quad turbulent

d )

\dot V = {A_2}{u_2} = \frac{\pi } {4}d_2^2{u_2} = 1,74\frac{{{m^3}}} {s}

e )

Wir stellen die Bernoulligleichung 1\to 12 auf und betrachten dabei die Punkte jeweils an der Wasseroberfläche der Steigrohre (daher Umgebungsdruck):

{p_0}+\rho {\text{g}}{{\text{h}}_{St}}+\frac{\rho } {2}u_{st}^2 = {p_0}+\rho g{h_{St}}+\rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\frac{\rho } {2}u_{st}^2+\Delta {p_{1-12}}-\Delta {{\text{p}}_P}

Dabei ist h_{St} die Höhe im Steigrohr. Es folgt:

\Delta {p_P} = \rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\Delta {p_{1-12}}

= \rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\frac{\rho } {2}u_2^2\left( {2{\xi _K}+\frac{{{L_2}}} {{{d_2}}}{\lambda _t}} \right) = 3,96 \cdot {10^4}Pa = 47,462kPa

(Laut Seminarübung: 39,6kPa)

f )

Die Leistung der Pumpe ist:

{P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}} {\eta }

Der Volumenstrom ist:

\dot V = {u_1}{A_1} = {u_2}{A_2} = 8,857\frac{m} {s} \cdot \frac{\pi } {{16}}{m^2} = 1,739\frac{{{m^3}}} {s}

Wir können den Volumenstrom im Querschnitt mit der bekannten Geschwindigkeit u_2 benutzen, obwohl die Pumpe im größeren Querschnitt eingebaut ist. Das liegt daran, dass der Volumenstrom überall gleich ist (Kontinuitätsgleichung!).

{P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}} {\eta } = \frac{{1,739\frac{{{m^3}}} {s} \cdot 47,462kPa}} {{0,95}} = 86,88kW

(Laut Seminarübung: {P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}}{\eta } = 76,6kW)

g )

Diagramm Druckverlauf im Rohrsystem

Da wir die Reibung in den dicken Rohren vernachlässigen, und es am Anfang auch keine Krümmung oder ähnliches gibt, ist der Druck zwischen 1 und 2 konstant. Zwischen 2 und 3 steigt der Druck auf seinen maximalen Wert (bedingt durch die Pumpe). Anschließend (3 nach 4) geht die Strömung durch die Verengung. Dadurch steigt die Geschwindigkeit, der Druck sinkt. Zwischen 4 und 5 gibt es einen Reibungsverlust aufgrund der Reibung im kleinen Rohrquerschnitt. Zwischen 5 und 6 gibt es einen stärkeren Druckabfall durch den Krümmer. Zwischen 6 und 7 gibt es wieder einen Druckverlust durch Reibung und zusätzlich durch die Höhendifferenz. Zwischen 7 und 8 gibt es wieder einen Krümmer. Zwischen 8 und 9 gibt es wieder Druckverlust durch Reibung im engen Rohrquerschnitt. Zwischen 9 und 10 sinkt der Druck weiter. Zwischen 10 und 11 steigt der Druck wieder, da sich der Rohrquerschnitt vergrößert und die Geschwindigkeit sinkt. Zwischen 11 und 12 bleibt der Druck wieder konstant.

]]> http://me-lrt.de/09-2-rohrsystem-mit-unterschiedlichen-durchmessern-und-pumpe/feed 0 09.1 – Wasserförderung mit Kreiselpumpe http://me-lrt.de/09-1-wasserforderung-mit-kreiselpumpe http://me-lrt.de/09-1-wasserforderung-mit-kreiselpumpe#comments Tue, 01 Dec 2009 10:08:16 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=4037 Wasserförderung Kreiselpumpe Aufgabe

Mit einer Kreiselpumpe wird aus einem Brunnen Wasser in ein höher gelegenes Becken gefördert. Dem Brunnen fließt seinerseits Wasser über einen Filter aus einem See durch eine Rohrleitung zu. In den Rohren bilden sich turbulente Strömungen aus. Die entsprechenden Druckverluste können aus dem Moody-Diagramm entnommen werden. Der geförderte Volumenstrom ist relativ klein, so dass die jeweiligen Wasserhöhen im See, im Brunnen und im Becken als konstant angesehen werden können. Der geförderte Volumenstrom ist \dot V = 550\frac{{{m^3}}}{h}, die Dichte des Wassers ist {\rho _W} = \rho = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}, die kinematische Viskosität des Wassers ist {\nu _W} = \nu = 1,01 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}. Der Umgebungsdruck ist {p_\infty } = {10^5}Pa. Der Verlustfaktor für die Filter ist {\xi _F} = 0,3, für die gekrümmten Stücke der Rohrleitung ist ein Verlustfaktor von je {\xi _K} = 0,3 anzusetzen. Die Höhe der Pumpe über dem Wasserspiegel des Sees ist {h_P} = 2m, die Höhe des Wasserspiegels im Becken liegt {h_B} = 10m über der Pumpe. Das Rohr vom See in den Brunnen hat einen Durchmesser von {d_1} = 0,2m, und ist {l_1} = 20m lang. Die Rauigkeit des Rohres ist mit {k_{S1}} = 1,6mm angegeben. Für das Rohr 2 gilt {d_2} = 0,25m, {l_2} = 10m, für das Rohr 3 {d_3} = 0,2m, {l_3} = 20m, sowie {\lambda _2} = {\lambda _3} = 0,012.

Zu berechnen sind die Ausdrücke und Zahlenwerte für

  1. die Höhendifferenz z der Wasserspiegel in See und Brunnen.
  2. den Druck p_S unmittelbar vor der Pumpe.
  3. Den Drucksprung \Delta p_S über die Pumpe hinweg.

Lösung

Druckverlust durch Reibung:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\frac{L} {D}\lambda

Im laminaren Fall gilt:

\lambda = \frac{{64}} {{{{\operatorname{Re} }_D}}}

Allgemeiner mit Verlustfaktoren:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Die Verlustfaktoren \xi treten an Kanten, Ecken, Rohrkrümmern und ähnlichem auf.

Moody-Diagramm:

(zum Vergrößern anklicken)
Moody Diagramm
(zum Vergrößern anklicken)

a )

Bernoulligleichung: 0\to 5

{p_0}+\frac{\rho } {2}u_0^2+\rho g{h_0} = {p_5}+\frac{\rho } {2}u_5^2+\rho g{h_5}+\Delta p

Dabei steht der Druckverlust auf der Seite, zu der die Strömung hinfließt.

Einschub: Berechnung des Verlustfaktors

Verlustfaktor Bestimmung

Anwendung von Bernoulli:

{p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho g\underbrace {{h_E}}_0 = {p_5}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g{h_5}+\Delta p

Umstellen:

\Delta p = {p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2

Gleichsetzen:

{p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Da wir die Strömung hinter dem Rohr betrachten, sind alle Faktoren \lambda = 0. Für die Faktoren \xi gibt es nur einen Wert. Es folgt:

\underbrace {{p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}}_0+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2{\xi _E}\quad \Rightarrow \quad {\xi _E} = 1

Für die erste Bernoulligleichung kennen wir:

\underbrace {{p_0}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{h_0}}_0 = \underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_{-z}+\Delta p

\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right) = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {{\xi _F}+{\lambda _1}\frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+{\xi _E}} \right)

Wir bestimmen die Geschwindigkeit:

{u_1} = \frac{{\dot V}} {A} = \frac{{4\dot V}} {{d_1^2\pi }} = 4,86\frac{m} {s}

Die zugehörige Reynoldszahl ist:

{\operatorname{Re} _1} = \frac{{{u_1}{d_1}}} {\nu } = 9,64 \cdot {10^5}

ab 2300 ist eine Strömung turbulent!

Rauhigkeit durch Rohrdurchmesser für Moody-Diagramm:

\frac{{{\kappa _s}}} {{{d_1}}} = 8 \cdot {10^{-3}}

Wir lesen in dem Moody-Diagramm ab:

{\lambda _1} = 0,035

In die Ausgangsgleichung eingesetzt:

\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {0,3+0,035 \cdot \frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+1} \right) = 56,7kPa

Damit können wir nun z bestimmen:

z = \frac{{\Delta p}} {{\rho g}} = 5,78m

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung 5\to S auf:

{p_\infty }-\rho gz = {p_S}+\frac{\rho } {2}u_S^2+\rho g{h_P}+\Delta p

Hier ist:

\Delta p = \frac{\rho } {2}u_S^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{L_2}}} {{{d_2}}}} \right)

Das \lambda müssen wir hier nicht berechnen, da es in der Aufgabenstellung als \lambda_2=0,012 gegeben ist. Die angegebene Länge bezieht sich auf das ganze Rohr, nicht nur auf den waagerechten Teil.

Es ist

{u_S} = \frac{{\dot V}} {{{A_2}}} = 3,11\frac{m} {s}

Daraus folgt für den Druck vor der Pumpe:

{p_S} = {p_\infty }-\rho g\left( {z+{h_P}} \right)-\frac{\rho } {2}u_S^2\left( {1+1,08} \right) = 13,619kPa

c )

In der Pumpe wird der Druck erhöht. Gesucht ist der Drucksprung

Wir stellen die Bernoulligleichung 5\to 4 auf:

\underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_z = \underbrace {{p_4}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_4^2}_0+\rho g\underbrace {{h_4}}_{{h_P}+{h_B}}+\Delta {p_{2-4}}-\Delta {p_P}

Der letzte “Druckverlust” ist dabei negativ, da die Pumpe dem System Energie zuführt. Für den Druckverlust auf der Strecke 2\to 4 gilt:

\Delta {p_{2-4}} = \frac{\rho } {2}u_2^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{l_2}}} {{{d_2}}}} \right)+\frac{\rho } {2}u_3^2\left( {3{\xi _K}+{\lambda _3}\frac{{{l_3}}} {{{d_3}}}+{\xi _E}} \right)

mit {u_2} = {u_S},\quad {u_3} = {u_1} folgt:

\Delta {p_{2-4}} = 41,8kPa

Der negative Druckverlust (= die Druckzunahme) hinter der Pumpe ist:

\Delta {p_P} = \Delta {p_{2-4}}+\rho g\left( {{h_P}+{h_B}+z} \right) = 216kPa

]]> http://me-lrt.de/09-1-wasserforderung-mit-kreiselpumpe/feed 2 04.3 – in Strömung schwebende Kugel http://me-lrt.de/04-3-stromung-schwebende-kugel http://me-lrt.de/04-3-stromung-schwebende-kugel#comments Tue, 24 Nov 2009 16:08:33 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=3581 Eine Kugel erfährt durch einen sie an der Oberseite umströmenden Freistrahl eine Kraft, die bei richtiger Abstimmung aller Größen in der Lage ist, das Kugelgewicht zu kompensieren und die Kugel in der Schwebe zu halten. Das Gewicht des Strahles kann in der Impulsbilanz vernachlässigt werden. Die Strömung kann als stationär und inkompressibel angesehen werden.

Kugel in Strömung Aufgabe

Berechnen Sie die Geschwindigkeit w und den Winkel \alpha_2 des Strahles hinter dem Ball, wenn der
Eintrittsquerschnitt A_1, die Geschwindigkeit u, der Winkel \alpha_1 und das Gewicht F_G=mg der Kugel bekannt sind!

Lösung

Erklärung zum Normalenvektor

Wir stellen als erstes die Kontinuitätsgleichung auf:

{A_1}u = {A_2}w\quad \Rightarrow \quad w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}}

Impulssatz:

{{\dot J}_{ein}}-{{\dot J}_{aus}} = \sum\limits_i {{{\vec F}_i}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{F_G}} \\ \end{array} } \right)

Die Druckkräfte fallen alle weg, da überall der Umgebungsdruck herrscht.

\rho \vec u\left( {\vec u \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1}-\rho \vec w\left( {\vec w \cdot {{\vec n}_2}} \right){A_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{F_G}} \\ \end{array} } \right)

\left( {\vec u \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ {u\sin \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ {{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ \end{array} } \right)

= u{A_1}{\cos ^2}\left( {{\alpha _1}} \right)+u{A_1}{\sin ^2}\left( {{\alpha _1}} \right) = u{A_1}

Analog dazu:

\left( {\vec w \cdot {{\vec n}_2}} \right){A_2} = w{A_2}

Daraus folgt:

\rho u{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ {u\sin \left( {{\alpha _1}} \right)} \\ \end{array} } \right)-\rho w{A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {w\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \\ {w\sin \left( {{\alpha _2}} \right)} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {mg} \\ \end{array} } \right)

Komponente x_1:

\rho u{A_1}u\cos \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho w{A_2}w\cos \left( {{\alpha _2}} \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {w^2}{A_2}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

mit der Kontinuitätsgleichung:

w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}}

\to {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {u^2}\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

\to {A_2}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = {A_1}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)

es ergibt sich:

{A_2} = {A_1}\frac{{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

Für die Komponente x_2:

\rho {u^2}{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho {w^2}{A_2}\sin \left( {{\alpha _2}} \right) = mg

\rho {u^2}{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\rho {u^2}\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\sin \left( {{\alpha _2}} \right) = mg

{A_1}\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{A_1^2}} {{{A_2}}}\sin \left( {{\alpha _2}} \right)\frac{{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}}}

\sin \left( {{\alpha _1}} \right)-\tan \left( {{\alpha _2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}}}

\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

Es folgt daher für den Winkel \alpha_2:

{\alpha _2} = \arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)

Diesen Wert setzen wir in die Gleichung ein, die sich aus der Komponente x_1 ergeben hat. Dadurch erhalten wir die Austrittsfläche des Strahls und können die Austrittsgeschwindigkeit berechnen:

{A_2} = {A_1}\frac{{\cos \left( {{\alpha _2}} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}} = {A_1}\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}

w = u\frac{{{A_1}}} {{{A_2}}} = u\frac{{{A_1}}} {{{A_1}\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}}}

w = \frac{1} {{\frac{{\cos \left( {\arctan \left( {\tan \left( {{\alpha _1}} \right)-\frac{{mg}} {{\rho {u^2}{A_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}} \right)} \right)}} {{\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}}}

]]> http://me-lrt.de/04-3-stromung-schwebende-kugel/feed 0 04.2 – 90° Krümmer (Rückstoß durch Strömung) http://me-lrt.de/04-2-krummer-ruckstos-stromung http://me-lrt.de/04-2-krummer-ruckstos-stromung#comments Tue, 24 Nov 2009 15:38:20 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=3579 Ein 90°-Krümmer mit einem lichten Querschnitt A_1=0,1m^2 ist auf der einen Seite als Düse ausgebildet, durch die ein Wasserstrahl (Dichte des Wassers ist {\rho _W} = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}) ins Freie austritt (Druck der Atmosphäre p_0). Der Düsenquerschnitt ist A_2 = 0,05m^2.

Krümmer Rückstoß Skizze

Wie groß ist bei einer Strahlgeschwindigkeit {c_2} = 8\frac{m}{s} die x- und die y-Komponente der auf den Krümmer wirkenden Kraft?

Hinweis: Die Schwerkraft wird vernachlässigt. (Annahme: reibungsfreie Strömung)

Lösung

Wir betrachten zunächst den Impulserhaltungssatz für Strömungen

\dot J = \sum\limits_i {{F_i}} = \sum\limits_i {{p_i}{A_i}} +\sum\limits_i {{F_{{A_i}}}}

Bei der letzten Summe handelt es sich dabei um Auflagen und Haltekräfte.

J = mu

\frac{{dJ}} {{dt}} = \dot J = \dot mu+m\dot u

Für stationäre Strömungen gilt:

\dot u = 0

\dot J = \dot mu = \rho \dot Vu = \rho uAu = \rho A{u^2}

Da die Strömungsgeschwindigkeit über den Rohrquerschnitt nicht konstant ist, benutzen wir ein Integral:

\dot J = \int\limits_A {\rho {u^2}dA}

In Vektorschreibweise ergibt sich:

\dot {\vec J} = \rho \vec u\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)A

Wir betrachten nun die Haltekräfte, die auf den Krümmer wirken:

Haltekräfte und Druckverteilung im Krümmer

Für die aus dem in x-Richtung ausströmenden Gas resultierende Kraft gilt:

-{{\dot J}_{aus}} = -{F_x}

Die Druckkräfte gleichen sich alle aus:

Es gilt also:

{F_x} = \rho {A_2}u_2^2 = 3200N

Für die Kraft in y-Richtung ergibt sich eine Druckkraft, da der Druck oben und unten unterschiedlich groß ist:

Es gilt also:

\rho {A_1}u_A^2 = {F_y}+\left( {{p_1}-{p_0}} \right){A_1}

Um die erste Strömungsgeschwindigkeit zu erhalten, stellen wir eine Kontinuitätsgleichung auf:

{A_1}{u_1} = {A_2}{u_2}\quad \Rightarrow \quad {u_1} = {u_2}\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}

Bernoulligleichung für 1 \to 2:

{p_1}+\frac{\rho } {2}u_1^2 = {p_2}+\frac{\rho } {2}u_2^2

Dabei ist {p_2} = {p_0}

{p_1}+\frac{\rho } {2}u_2^2{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)^2} = {p_0}+\frac{\rho } {2}u_2^2

umgestellt:

{p_1}-{p_0} = \frac{\rho } {2}u_2^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}} \right]

Für die Kraft ergibt sich damit:

{F_y} = \left\{ {\rho u_2^2{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}-\frac{\rho } {2}u_2^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}} \right)}^2}} \right]} \right\}{A_1}

{F_y} = -800N

]]> http://me-lrt.de/04-2-krummer-ruckstos-stromung/feed 0 08.2 – Behälter mit Rohrleitungssystem http://me-lrt.de/08-2-behalter-mit-rohrleitungssystem http://me-lrt.de/08-2-behalter-mit-rohrleitungssystem#comments Tue, 24 Nov 2009 15:08:52 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=3979 An einem großen Behälter ist ein zylindrisches Rohrleitungssystem mit dem konstanten Durchmesser d=2r angeschlossen. Die Höhendifferenz zwischen dem konstanten Flüssigkeitsspiegel und dem Austritt aus der Rohrleitung beträgt H. Der Druck p_i auf der Flüssigkeitsoberfläche ist über ein Ventil regelbar. Die Strömung durch das Rohrleitungssystem der Länge L ist verlustbehaftet. Die Flüssigkeit tritt am Ende der Rohrleitung in die Umgebung (Umgebungsdruck p_a) als Freistrahl aus. Im Punkt 1 ist im Abstand L_1 vom Rohrende eine Druckbohrung angebracht.

Behälter mit Rohrleitungssystem

Gegeben:

{p_a} = 1bar,\quad r = 0,05m,\quad H = 3m,\quad L = 4m,\quad {L_1} = 2m

\nu = 1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad \rho = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}}

Hinweis:

Druckverlust in vollausgebildeter Rohrströmung: \Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

  1. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit {{\bar u}_2}, mit der die Flüssigkeit am Rohrende in die Umgebung austritt, wenn das Ventil geöffnet wird, so dass auf die Flüssigkeitsoberfläche der Umgebungsdruck p_a wirkt. Die kinematische Viskosität der Flüssigkeit ist \nu. Der Reibungsbeiwert für dieses spezielle, sehr glatte Rohr soll über \lambda = \frac{{1500}}{{\operatorname{Re} }} abgeschätzt werden.
  2. Das Ventil wird nun geschlossen und im Behälter ein konstanter Druck p_i angelegt. An der Druckbohrung im Punkt 1 wird ein Druck p_1=1,05p_a gemessen. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit \bar u_2^* am Austritt. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl der Strömung.

Lösung

a )

Wir stellen zunächst die Bernoulligleichung für den Übergang von Position 0 nach Position 2 auf:

\underbrace {{p_0}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{z_0}}_H = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^2}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\underbrace {\Delta p}_{Reibung}

Der Druckverlust entsteht während der Strömung durch Reibung. Der Term \Delta p muss also immer stromabwärts addiert werden.

\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda ,\quad \quad \lambda = \frac{{1500}} {{\operatorname{Re} }}

Einsetzen:

\rho gH = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}+\frac{\rho } {2}\bar u_2^2\frac{L} {d}\frac{{1500\nu }} {{{{\bar u}_2}d}}\quad \Rightarrow \quad 0 = \bar u_2^2+{{\bar u}_2}\underbrace {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500}_p\underbrace {-2gH}_q

Wir nutzen die pq-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung:

{{\bar u}_2} = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\frac{{{p^2}}} {4}-q}

{{\bar u}_2} = -\frac{{\frac{L} {{{d^2}}}1500}} {2}\nu \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500} \right)}^2}}} {4}+2gH}

{{\bar u}_2} = -\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}3m}

{{\bar u}_2} = -\frac{4} {{0,01}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{m} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{4} {{0,01}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81 \cdot 3} \frac{m} {s}

{{\bar u}_2} = 7,235\frac{m} {s}

(Laut Übungsleiter: {{\bar u}_2} = 7,45\frac{m}{s})

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung von Position 1 nach Position 2 auf:

\underbrace {{p_1}}_{1,05{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_1^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_1}}_0 = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\Delta p

\Delta p = \frac{\rho } {2}\bar u_2^{*2}\frac{L} {d}\lambda ,\quad \lambda = \frac{{1500}} {{\bar u_2^*d}}\nu

\Rightarrow \quad 1,05{p_a} = {p_a}+\frac{\rho } {2}\bar u_2^{*2}\frac{L} {d}\frac{{1500}} {{\bar u_2^*d}}\nu

\bar u_2^* = 0,05{p_a}\frac{2} {\rho }\frac{d} {{{L_1}}}\frac{{2r}} {{1500\nu }} = 22,2\frac{m} {s}

]]> http://me-lrt.de/08-2-behalter-mit-rohrleitungssystem/feed 0 08.1 – Zylinder und Kolben http://me-lrt.de/08-1-zylinder-und-kolben http://me-lrt.de/08-1-zylinder-und-kolben#comments Tue, 24 Nov 2009 14:55:12 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=3976 Ein Zylinder mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser D) wird durch einen reibungsfrei gleitenden, völlig abdichtenden Kolben (Gewichtskraft F) abgeschlossen (siehe Skizze). Durch ein Kreisrohr (Länge L, Durchmesser d) wird Öl (Newtonisches Fluid mit der Dichte \rho und der kinematischen Viskosität \nu) in den Zylinder gedrückt, so dass sich der Kolben mit konstanter Geschwindigkeit w nach oben bewegt.

Zylinder und Kolben Aufgabenstellung

Gegeben:

{p_a} = 1bar,\quad F = 500N,\quad D = 0,2m,\quad d = 0,05m,\quad L = 10m

w = 0,01\frac{m} {s},\quad \nu = 5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad \rho = 950\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}}

Hinweis:

Druckverlust in vollausgebildeter Rohrströmung:

\Delta p = \frac{1} {2}\rho {{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

  1. Bestimmen Sie den Druck p_3 auf der Unterseite des Kolbens, wenn auf der Oberseite der Aussendruck p_a und die Gewichtskraft F des Kolbens wirken, und wenn vorausgesetzt wird, dass p_3 über dem gesamten Querschnitt konstant ist.
  2. Bestimmen Sie den Mittelwert der Geschwindigkeit des Öles im Rohr \bar u , der notwendig ist, um den Kolben mit der konstanten Geschwindigkeit w zu bewegen.
  3. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl im Rohr.
  4. Bestimmen Sie den Druck p_1 am Rohranfang bei 1 unter der Voraussetzung, dass die Rohrströmung auf der ganzen Länge L voll ausgebildet ist, und dass der Druck p_2 am Rohrende bei 2 näherungsweise gleich dem Druck p_3 an der Kolbenunterseite ist.

Lösung

a )

{p_3} = {p_a}+\frac{F} {A} = {p_a}+\frac{{4F}} {{\pi {D^2}}} = 116kPa

b )

Aufstellen der Kontinuitätsgleichung:

\rho \frac{{\pi {D^2}}} {4}w = \rho \frac{{\pi {d^2}}} {4}\bar u\quad \Rightarrow \quad \bar u = w\frac{{{D^2}}} {{{d^2}}} = 0,16\frac{m} {s}

c )

Gleichung für die Reynolds-Zahl:

\operatorname{Re} : = \frac{{UD}} {\nu }

Eigentlich gibt es im Rohr und im Zylinder verschiedene Reynolds-Zahlen. Da aber das Rohr lang im Vergleich zur Höhe des Zylinders ist, benutzen wir die Reynolds-Zahl der Strömung im Rohr:

{\operatorname{Re} _d} = \frac{{\bar ud}} {\nu } = 1600 < {\operatorname{Re} _{krit}}\quad \Rightarrow \quad laminar

d )

Bernoulligleichung von Position 1 nach Position 3:

{p_1}+\frac{\rho } {2}{{\bar u}^2} = {p_3}+\frac{\rho } {2}{w^2}+\rho gl+\Delta p

mit

\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

und dem Strömungsbeiwert \lambda. Dieser ist bei laminarer Strömung:

\lambda = \frac{{64}} {{\operatorname{Re} }}

{p_1} = {p_3}+\frac{\rho } {2}\left( {{w^2}-{{\bar u}^2}} \right)+\rho gL+\frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\frac{{64}} {{\operatorname{Re} }}

= 1,16 \cdot {10^5}Pa+\frac{{950}} {2}\frac{{kg}} {{{m^3}}}\left( {{{\left( {0,01\frac{m} {s}} \right)}^2}-{{\left( {0,16\frac{m} {s}} \right)}^2}} \right)

+950\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot 10m \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}+\frac{{950}} {2}\frac{{kg}} {{{m^3}}}{\left( {0,16\frac{m} {s}} \right)^2}\frac{{10m}} {{0,05m}}\frac{{64}} {{1600}}

= 1,16 \cdot {10^5}Pa+\frac{{950}} {2}\left( {{{\left( {0,01} \right)}^2}-{{\left( {0,16} \right)}^2}} \right)\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}

+950 \cdot 10 \cdot 9,81\frac{{kg}} {{{m^3}}}m\frac{m} {{{s^2}}}+\frac{{950}} {2}{\left( {0,16} \right)^2}\frac{{10}} {{0,05}}\frac{{64}} {{1600}}\frac{{kg}} {{{m^3}}}\frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}

p_1 = 209kPa

]]> http://me-lrt.de/08-1-zylinder-und-kolben/feed 0