Mathematical Engineering - LRT » Technische Mechanik I http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Fri, 27 Jan 2012 09:41:37 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 11.3 – Federsteifigkeit und Torsion einer Spiralfeder http://me-lrt.de/113-federsteifigkeit-torsion-spiralfeder http://me-lrt.de/113-federsteifigkeit-torsion-spiralfeder#comments Fri, 06 Mar 2009 14:59:30 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=1479 Für die dargestellte Schraubenfeder mit-Windungen soll die Federsteifigkeit berechnet werden. Der Federdraht hat den Durchmesser 2r und aus der Gleichgewichtsbetrachtung ergibt sich MT = F R.

Gegeben: R, R, r, n, G

Lösung

Wir stellen zunächst die Material-Struktur-Gleichung auf:

M_T = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

Die Variablen stehen für das Schubmodul (G), das Flächenträgheitsmoment (IT) und die Ableitung der Winkelfunktion nach x.

Berechnet werden soll die Federsteifigkeit C. Es gilt:

F = C \cdot \Delta l\quad \quad \Rightarrow \quad \quad C = \frac{F} {{\Delta l}}

Wir müssen also die aus der Kraft resultierende Längenänderung berechnen.

Dafür setzen wir zunächst das aus der Gleichgewichtsbetrachtung resultierende Torsionsmoment in die Material-Struktur-Gleichung ein:

M_T = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

RF = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

Die Ableitung des Winkels schreiben wir aus:

RF = GI_T \frac{{d\theta }} {{ds}}

Nun betrachten wir die Längenänderung des Federdrahtes:

Wird die Feder um den Winkel dθ verdreht, ändert sich die Länge des Drahtes um die gelb eingezeichnete Strecke dl.
Wäre θ = 2π, also 360°, dann wäre dl genau der Umfang des Kreises, also 2 π R. Es gilt aber:

dl = 2\pi R\frac{{d\theta }} {{2\pi }}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{{dl}} {R} = d\theta

eingesetzt:

RF = GI_T \frac{{d\theta }} {{ds}}

RF = \frac{{GI_T }} {R}\frac{{dl}} {{ds}}

\frac{{R^2 F}} {{GI_T }} = \frac{{dl}} {{ds}}

Die Ableitung der Länge nach der Strecke (mit anderen Worten: die Längenänderung pro Längeneinheit) ist die Deformation:

\frac{{dl}} {{ds}} = \varepsilon = \frac{{\Delta l}} {l}

\frac{{R^2 Fl}} {{GI_T }} = \Delta l

Die Länge der Spiralfeder ist der Umfang mal die Anzahl der Windungen:

l = 2\pi Rn

\frac{{2R^3 F\pi n}} {{GI_T }} = \Delta l

Das Flächenträgheitsmoment ist das eines Vollzylinders:

I_T = \frac{\pi } {2}r^4

F\frac{{4R^3 n}} {{Gr^4 }} = \Delta l

\frac{F} {{\Delta l}} = \frac{{Gr^4 }} {{4R^3 n}} = C

]]> http://me-lrt.de/113-federsteifigkeit-torsion-spiralfeder/feed 2 10.2 – Biegelinie eines Balkens http://me-lrt.de/102-biegelinie-balken http://me-lrt.de/102-biegelinie-balken#comments Wed, 25 Feb 2009 21:34:29 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=1426 Für das skizzierte System bestimme man die Biegelinie. Zur Beschreibung sollen die eingeführten Koordinaten verwendet werden.

Gegeben:

l, q0, EI=const

Lösung

Die Material- und Strukturgleichung des Balkens lautet:

EI\omega ^{\prime\prime}\left( x \right) = -M\left( x \right)

In diesem Fall ist das Problem statisch unbestimmt, wir müssen daher das Moment ersetzen:

M^{\prime}\left( x \right) = Q\left( x \right)

Q^{\prime}\left( x \right) = -q\left( x \right)

M^{\prime\prime}\left( x \right) = -q\left( x \right)

In der Material- und Strukturgleichung kommt aber nicht die zweite Ableitung des Momentes vor, sondern das Moment selbst. Wir müssen die Material- und Strukturgleichung daher noch zwei Mal ableiten:

EI\omega ^{\prime\prime}\left( x \right) = -M\left( x \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime}\left( x \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime\prime}\left( x \right)

Nun setzen wir ein:

EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime\prime}\left( x \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = q\left( x \right)

Nun teilen wir das System in eine linke und eine rechte Hälfte. Links ist die Funktion der Streckenlast q(x) gegeben durch den linearen Zusammenhang:

q\left( x \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

Rechts ist die Streckenlast konstant und gegeben durch die Funktion:

q\left( x \right) = q_0

Nun setzen wir in die Gleichung für die linke Seite ein:

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

Hier müssen wir ωl schreiben, da die Funktion nur für die linke Seite definiert ist. Es wird also nicht eine Funktion gesucht, die die gesamte Biegelinie interpoliert, sondern mehrere Funktionen (in diesem Fall 2) für die einzelnen Intervalle. Intervallgrenzen sind immer bei Änderungen der Streckenlastfunktion.

Wir haben nun die vierte Ableitung der gesuchten Funktion. Daher müssen wir vier mal integrieren, um die Funktion selbst zu erhalten:

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^2 }} {{2l}}+C_1

EI\omega _l ^{\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^3 }} {{6l}}+C_1 x_1 +C_2

EI\omega _l ^{\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^4 }} {{24l}}+\frac{{C_1 }} {2}x_1 ^2 +C_2 x_1 +C_3

EI\omega _l \left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^5 }} {{120l}}+\frac{{C_1 }} {6}x_1 ^3 +\frac{{C_2 }} {2}x_1 ^2 +C_3 x_1 +C_4

Und für die rechte Hälfte:

EI\omega _r ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = q_0

EI\omega _r ^{\prime\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = q_0 x_2 +D_1

EI\omega _r ^{\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {2}x_2 ^2 +D_1 x_2 +D_2

EI\omega _r ^{\prime}\left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {6}x_2 ^3 +\frac{{D_1 }} {2}x_2 ^2 +D_2 x_2 +D_3

EI\omega _r \left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {{24}}x_2 ^4 +\frac{{D_1 }} {6}x_2 ^3 +\frac{{D_2 }} {2}x_2 ^2 +D_3 x_2 +D_4

Wir müssen nun also die acht (!) Integrationskonstanten bestimmen.
Dafür suchen wir uns 8 Bedingungen, nämlich 4 Randbedingungen und 4 Kompatibilitätsbedingungen.

Randbedingungen
Am Anfang und am Ende des Balkens tritt keine Biegung auf, da der Balken ja an der Wand fest ist.
Auch die erste Ableitung der Biegung ist am Rand gleich 0. Das liegt am Typ der Lagerung.
In diesem Fall ist der Balken direkt an den Wänden so fixiert, dass er senkrecht darauf steht.
Die daraus folgenden Randbedingungen:

\omega _l \left( 0 \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{0} {{120l}}+\frac{{C_1 }} {6}0+\frac{{C_2 }} {2}0+C_3 0+C_4 = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_4 = 0

\omega _l ^{\prime}\left( 0 \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{0} {{24l}}+\frac{{C_1 }} {2}0+C_2 0+C_3 = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_3 = 0

\omega _r \left( l \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +D_1 \frac{{l^3 }} {6}+D_2 \frac{{l^2 }} {2}+D_3 l+D_4 = 0

\omega _r ^{\prime}\left( l \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{{q_0 }} {6}l^3 +D_1 \frac{{l^2 }} {2}+D_2 l+D_3 = 0

Kompatibilitätsbedingungen
In der Mitte müssen die Funktionen genau ineinander übergehen. Wenn sie nur im Funktionswert übereinstimmen, könnte die Biegelinie einen Knick haben. Wenn auch die Ableitung stimmt, könnte sich immernoch die Krümmung unterscheiden. Es müssen also für einen “glatten” Übergang folgende Kompatibilitätsbedingungen gelten:

\omega _l \left( l \right) = \omega _r \left( 0 \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2} = D_4

\omega _l ^{\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime}\left( 0 \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l = D_3

\omega _l ^{\prime\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime\prime}\left( 0 \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 = D_2

\omega _l ^{\prime\prime\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime\prime\prime}\left( 0 \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{l} {2}+C_1 = D_1

Die Gleichungen sind günstigerweise direkt nach den Konstanten Di aufgelöst, wir müssen sie also nur noch in die beiden Randbedingungen einsetzen, in denen die Ds vorkommen und vereinfachen:

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +D_1 \frac{{l^3 }} {6}+D_2 \frac{{l^2 }} {2}+D_3 l+D_4

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +\left( {q_0 \frac{l} {2}+C_1 } \right)\frac{{l^3 }} {6}+\left( {q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 } \right)\frac{{l^2 }} {2}+\left( {q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l} \right)l

+\left( {q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}} \right)

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +q_0 \frac{{l^4 }} {{12}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+q_0 \frac{{l^4 }} {{12}}+C_1 \frac{{l^3 }} {2}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}+q_0 \frac{{l^4 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^3 }} {2}+C_2 l^2

+q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}

0 = q_0 l^4 \left( {\frac{1} {{24}}+\frac{1} {{12}}+\frac{1} {{12}}+\frac{1} {{24}}+\frac{1} {{120}}} \right)+C_1 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {2}+\frac{1} {2}+\frac{1} {6}} \right)+C_2 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)

0 = \frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l+2C_2

Die andere Gleichung:

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +D_1 \frac{{l^2 }} {2}+D_2 l+D_3

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +\left( {q_0 \frac{l} {2}+C_1 } \right)\frac{{l^2 }} {2}+\left( {q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 } \right)l+\left( {q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l} \right)

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +q_0 \frac{{l^3 }} {4}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+q_0 \frac{{l^3 }} {6}+C_1 l^2 +C_2 l+q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l

0 = q_0 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {4}+\frac{1} {6}+\frac{1} {{24}}} \right)+C_1 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)+C_2 l\left( {1+1} \right)

0 = q_0 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {4}+\frac{1} {6}+\frac{1} {{24}}} \right)+C_1 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)+C_2 l\left( {1+1} \right)

0 = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l+2C_2

Die so erhaltenen Gleichungen sind beide =0 und enthalten den Summanden 2C2, daher können wir sie gleichsetzen, so dass C2 wegfällt:

\frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l+2C_2 = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l+2C_2

\frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l

\left( {\frac{{31}} {{120}}-\frac{5} {8}} \right)q_0 l^2 = C_1 l\left( {2-\frac{4} {3}} \right)

-\frac{{11}} {{30}}q_0 l = \frac{2} {3}C_1

C_1 = -\frac{{33}} {{60}} = -\frac{{11}} {{20}}q_0 l

Für C2 setzen wir das eben berechnete C1 oben ein:

0 = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2\left( {-\frac{{11}} {{20}}q_0 l} \right)l+2C_2

-\frac{5} {8}q_0 l^2 +\frac{{22}} {{20}}lq_0 l = 2C_2

-\frac{5} {{16}}q_0 l^2 +\frac{{11}} {{20}}q_0 l^2 = C_2

\frac{{19}} {{80}}q_0 l^2 = C_2

Nun sind alle Parameter für die linke Funktion bekannt. Mit Hilfe der Kompatibilitätsbedingungen berechnen wir noch die Parameter für die rechte Funktion:

q_0 \frac{l} {2}+C_1 = D_1 = q_0 l\frac{1} {2}-\frac{{11}} {{20}}q_0 l\quad \quad \Rightarrow \quad \quad D_1 = -\frac{1} {{20}}q_0 l

q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 = D_2 = q_0 l^2 \frac{1} {6}-\frac{{11}} {{20}}q_0 l^2 +\frac{{19}} {{80}}q_0 l^2 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad D_2 = -\frac{7} {{48}}q_0 l^2

q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l = D_3 = q_0 l^3 \frac{1} {{24}}-\frac{{11}} {{40}}q_0 l^3 +\frac{{19}} {{80}}q_0 l^3 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad D_3 = \frac{1} {{240}}q_0 l^3

q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2} = D_4 = q_0 l^4 \frac{1} {{120}}-\frac{{11}} {{120}}q_0 l^4 +\frac{{19}} {{160}}q_0 l^4 \quad \Rightarrow \quad D_4 = \frac{{17}} {{480}}q_0 l^4

Die beiden resultierenden Funktionen sind also:

\omega _l \left( {x_1 } \right) = \frac{{q_0 l^4 }} {{480 \cdot EI}}\left( {4\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^5 -44\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^3 +57\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^2 } \right)

\omega _r \left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 l^4 }} {{480 \cdot EI}}\left( {20\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^4 -4\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^3 -35\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^2 +2\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)+17} \right)

]]> http://me-lrt.de/102-biegelinie-balken/feed 0 03.1 – Äquivalente Kraftschraube http://me-lrt.de/beschreibung-aequivalente-kraftschraube http://me-lrt.de/beschreibung-aequivalente-kraftschraube#comments Sun, 08 Feb 2009 18:56:21 +0000 JK http://lrt.phynet.de/?p=1218 An einem starren Körper greifen die folgenden Kräfte an:

\vec F_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\quad \quad \vec F_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} } \right)\quad \quad \vec F_3 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 8 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

Sie haben die folgenden Angriffsvektoren:

\vec r_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array} } \right)\quad \quad \vec r_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\quad \quad \vec r_3 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

Man bestimme

  1. die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment M bezüglich des Koordinatenursprungs O
  2. die äquivalente Kraftschraube durch Angabe eines Ortsvektors a und des Momentes MR in Richtung von R

Lösung

Die resultierende Kraft FR ergibt sich als Summe der drei Einzelkräfte:

\vec F_R = \vec F_1 +\vec F_2 +\vec F_3 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 8 \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right)

Das resultierende Moment ergibt sich aus den Kreuzprodukten der Angriffsvektoren mit den Kräften:

\vec M_0 = \vec r_1 \times \vec F_1 +\vec r_2 \times \vec F_2 +\vec r_3 \times \vec F_3

\vec M_0 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 10 \\ 0 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 16 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 26 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

Nun zur äquivalenten Kraftschraube.

Zunächst die Definition des Begriffes “äquivalent”:
Zwei Kraftsysteme heißen äquivalent, wenn sie in Bezug auf einen Bezugspunkt \vec c das gleiche resultierende Moment liefern.

Kraftschraube_1

Die Vektoren F1, F2 und F3 ergeben eine resultierende Kraft FR.
Diese Kraft greift am Koordinatenursprung an und bewirkt eine reine Verschiebung.

Zusätzlich erhalten wir durch die Angriffspunkte der Kräfte ein Moment (in Bezug auf den Punkt O). \Rightarrow M_0

Nun suchen wir das Moment, welches in dieselbe Richtung wie die resultierende Kraft FR wirkt. \Rightarrow M_R

M_R \parallel F_R

Wenn sich die Richtung des Moments ändert, ändert sich natürlich auch das resultierende Moment, das System ist daher nicht mehr äquivalent. Zum Ausgleich benötigen wir einen neuen Ortsvektor \vec a für die resultierende Kraft FR, so dass diese ein zusätzliches Moment erzeugt \left( {M_ \bot } \right), welches mit dem zur Kraft FR parallelen Moment MR zusammen das ursprüngliche Moment M0 ergibt.

M_ \bot +M_R = M_0

Dabei sollen a und R senkrecht zueinander sein.

Kraftschraube_2

Wir müssen nun den Verschiebungsvektor a bestimmen. Hierzu benutzen wir den folgenden Zusammenhang:

M_ \bot = \vec a \times \vec F_R \quad und\quad M_ \bot = \vec M_0 -\vec M_R

gleichsetzen:

\vec a \times \vec F_R = \vec M_0 -\vec M_R

Diese Gleichung ist nicht ohne weiteres nach a aufzulösen. Wir verwenden einen kleinen “Trick” und multiplizieren kreuzweise mit FR:

\vec F_R \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \vec F_R \times \left\{ {\vec M_0 -\vec M_R } \right\}

\vec F_R \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \vec F_R \times \vec M_0 -\underbrace {\vec F_R \times \vec M_R }_{\vec F_R \parallel \vec M_R \Rightarrow 0}

Für den linken Teil betrachten wir die Umformung eines doppelten Kreuzproduktes:

\vec x \times \left\{ {\vec y \times \vec z} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} } \right) \times \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ \end{array} } \right)} \right\}

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_2 z_3 -y_3 z_2 \\ y_3 z_1 -y_1 z_3 \\ y_1 z_2 -y_2 z_1 \\ \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_2 \left( {y_1 z_2 -y_2 z_1 } \right)-x_3 \left( {y_3 z_1 -y_1 z_3 } \right) \\ x_3 \left( {y_2 z_3 -y_3 z_2 } \right)-x_1 \left( {y_1 z_2 -y_2 z_1 } \right) \\ x_1 \left( {y_3 z_1 -y_1 z_3 } \right)-x_2 \left( {y_2 z_3 -y_3 z_2 } \right) \\ \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_2 y_1 z_2 -x_2 y_2 z_1 -x_3 y_3 z_1 +x_3 y_1 z_3 \\ x_3 y_2 z_3 -x_3 y_3 z_2 -x_1 y_1 z_2 +x_1 y_2 z_1 \\ x_1 y_3 z_1 -x_1 y_1 z_3 -x_2 y_2 z_3 +x_2 y_3 z_2 \\ \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 } \right)-z_1 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 } \right) \\ y_2 \left( {x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_2 \left( {x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right) \\ y_3 \left( {x_1 z_1 +x_2 z_2 } \right)-z_3 \left( {x_1 y_1 +x_2 y_2 } \right) \\ \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_1 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right) \\ y_2 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_2 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right) \\ y_3 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_3 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right) \\ \end{array} } \right)

\vec x \times \left\{ {\vec y \times \vec z} \right\} = \left( {x_1 z_1 +x_2 z_2 +x_3 z_3 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} } \right)-\left( {x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ \end{array} } \right)

= \left( {\vec x \cdot \vec z} \right)\vec y-\left( {\vec x \cdot \vec y} \right)\vec z

Dieses Prinzip wenden wir auf unsere Gleichung an:

\vec F_R \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \left( {\vec F_R \cdot \vec F_R } \right)\vec a-\underbrace {\left( {\vec F_R \cdot \vec a} \right)}_{\vec F_R \bot \vec a \to 0}\vec F_R

Es bleibt übrig:

\vec F_R ^2 \cdot \vec a = \vec F_R \times \vec M_0 \quad \Rightarrow \quad \vec a = \frac{{\vec F_R \times \vec M_0 }} {{\vec F_R ^2 }}

Werte einsetzen:

\vec a = \frac{{\vec F_R \times \vec M_0 }} {{\vec F_R ^2 }} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 26 \\ 0 \\ \end{array} } \right)}} {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right)}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -104 \\ 0 \\ 130 \\ \end{array} } \right)}} {105} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -\frac{{104}} {{105}} \\ 0 \\ \frac{{130}} {{105}} \\ \end{array} } \right)

Zuletzt muss noch das Drehmoment MR in Richtung von FR ausgerechnet werden. Dieses ist einfach die Projektion des Vektors M0 auf FR (sieht Abbildung).

Die Projektion ist das Skalarprodukt aus M0 und dem Normalenvektor in Richtung FR:

\left| {\vec M_R } \right| = \vec M_0 \cdot \frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}}

Wir brauchen allerdings nicht nur den Betrag des Momentenvektors, sondern den Vektor selber. Um die Richtung zu ermitteln, multiplizieren wir mit dem normalisierten Richtungsvektor:

\vec M_R = \left( {\vec M_0 \cdot \frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}}} \right)\frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}} = \frac{{\vec M_0 \cdot \vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|^2 }}\vec F_R = \frac{{208}} {{105}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right)

]]> http://me-lrt.de/beschreibung-aequivalente-kraftschraube/feed 0 07.4 – Temperaturdehnung eines Bolzen http://me-lrt.de/7-4-bolzen-wand-temperatur-kuehlung http://me-lrt.de/7-4-bolzen-wand-temperatur-kuehlung#comments Sat, 07 Feb 2009 11:12:43 +0000 JK http://lrt.phynet.de/?p=1213 Ein zylindrischer Bolzen der Länge l+\Delta l wird zwischen zwei starren Wänden eingepasst, indem er mit flüssiger Luft abgekühlt wird.

Bolzen

Man berechne:
1. Die Temperatur, auf die der Bolzen mindesten abgekühlt werden muss, und
2. die Kraft, mit der der Bolzen bei Raumtemperatur auf die Wand drückt.
Gegeben:

l = 100\:mm = 0,1\:m

\Delta l = 100\:\mu m = 100 \cdot 10^{-6} m

\Theta _0 = 293\:K

E = 206000\:\frac{N} {{mm^2 }}

\alpha _\Theta = 12,2 \cdot 10^{-6} \:\frac{1} {K}

A = 500\:mm^2 = 0,0005\:m^2

Lösung 1

Damit der Bolzen in die Wand hineinpasst, muss sich seine Länge um Δl verändern. Genauer gesagt um – Δl, denn der Bolzen muss ja kürzer werden.

Wir wissen, dass ɛ die Dehnung angibt und zwar die Dehnung pro Längeneinheit.

Heißt: \varepsilon l_0 = \Delta l\quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{{\Delta l}} {{l_0 }}

l_0 ist hier die Ausgangslänge.

Für unseren Fall also: \varepsilon = \frac{{-\Delta l}} {{l+\Delta l}}

Die Dehnung, die eine Temperaturänderung bewirkt ist definiert als:
\varepsilon = \alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)

Daraus ergibt sich schließlich:

\frac{{-\Delta l}} {{l+\Delta l}} = \alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)

\frac{{-\Delta l}} {{\left( {l+\Delta l} \right)\alpha _\Theta }}+\Theta _0 = \Theta

\Theta = -\frac{{0,1mm}} {{100,1mm \cdot 12,2 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K}}}+293K \approx 211,1146722K \approx 211K

Lösung 2

Berechnung der Kraft, mit welcher der Bolzen letztendlich bei Raumtemperatur gegen die Wand drückt:

Die Differentialgleichung für die Verschiebungsverteilung lautet:
N ^{\prime}\left( x \right) = \left[ {EA\left( {u ^{\prime}\left( x \right)-\alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)} \right)} \right]^\prime = -n\left( x \right)

u’(x) ist in diesem Falle = 0 , da der Bolzen lediglich einer Temperaturdehnung und keiner mechanischen Dehnung unterliegt!
Somit ist –n(x) ebenfalls = 0 , was auch einleuchtet, da keine Streckenlasten (z.B. durch das Eigengewicht des Stabes) vorhanden sind!

N(x) ist die gesuchte Normalkraft, mit der der Bolzen gegen die Wand drücken wird.

Somit erhält man:

N ^{\prime}\left( x \right) = \left[ {EA\alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)} \right]^\prime = 0

N\left( x \right) = EA\alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)

N\left( x \right) = 206000\frac{N} {{mm^2 }} \cdot 500mm^2 \cdot 12,2 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K} \cdot \left( {293K-211,1146722K} \right) \approx

102897,1029N \approx 103KN

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