Mathematical Engineering - LRT » Technische Mechanik III http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Sun, 13 May 2012 09:26:22 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 39 – Ritz-Verfahren für verschiedene Kontinuumschwinger http://me-lrt.de/ritz-verfahren-kontinuumschwinger-balken-stab-torsion http://me-lrt.de/ritz-verfahren-kontinuumschwinger-balken-stab-torsion#comments Tue, 08 Dec 2009 16:40:48 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2346 Im letzten Artikel wurde das Verfahren nach Ritz zur Berechnung der Eigenkreisfrequenzen eines schwingenden Kontinuums hergeleitet. Hier sind die benötigten Formeln noch ein mal aufgelistet, auch unter Berücksichtigung der Unterschiede bei den verschiedenen Kontinuumschwingern UND Zusatzfedern.

Generell gilt

Die Eigenkreisfrequenzen werden mit der Gleichung

\left| {k_{jk} -\omega ^2 m_{jk} } \right| = 0

berechnet. Wird nur eine Ansatzfunktion \varphi _1 \left( x \right) verwendet (j = k = 1), dann ist die Formänderungsenergie

W = \frac{1} {2}k_{11}

und die kinetische Energie

K = \frac{1} {2}\omega ^2 m_{11}

Die Beziehung

\omega ^2 = \frac{{k_{11} }} {{m_{11} }}

heißt daher “Energiequotient”.

Längselastischer Stab

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat u = \sum\limits_j {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk} = \int_0^l {EA\varphi _j ^{\prime}\left( x \right)\varphi _k ^{\prime}\left( x \right)dx} +\sum\limits_n {k_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk} = \int_0^l {\rho A\varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i {m_i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)}

Torsionsstab

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat \vartheta = \sum\limits_j {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk} = \int_0^l {GI_t \varphi _j ^{\prime}\left( x \right)\varphi _k ^{\prime}\left( x \right)dx} +\sum\limits_n {c_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk} = \int_0^l {\rho I_p \varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i {\theta _x ^i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)}

Balken

Der Balken ist die Kombination aus Stab und Torsionsstab, zusätzlich kann er auch noch verbogen werden. Dementsprechend sind die Gleichungen für die Elemente der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix hier auch am kompliziertesten.

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat w = \sum\limits_j {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

\varphi _j ^{\prime}\left( 0 \right) = ?

\varphi _j ^{\prime}\left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk} = \int_0^l {EI_y \varphi _j^{^{\prime\prime}} \left( x \right)\varphi _k^{^{\prime\prime}} \left( x \right)dx} +\sum\limits_n^\infty {k_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)} +\sum\limits_m {c_m \varphi _j ^{\prime}\left( {x_m } \right)\varphi _k ^{\prime}\left( {x_m } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk} = \int_0^l {\rho A\varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i^\infty {m_i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)} +\sum\limits_i^\infty {\theta _y ^i \varphi _j ^{\prime}\left( {x_i } \right)\varphi _k ^{\prime}\left( {x_i } \right)}

]]> http://me-lrt.de/ritz-verfahren-kontinuumschwinger-balken-stab-torsion/feed 0 .10.1 – Schwingender Balken, nicht-standard Randbedingung http://me-lrt.de/101-schwingender-balken-nicht-standard-randbedingung http://me-lrt.de/101-schwingender-balken-nicht-standard-randbedingung#comments Wed, 24 Jun 2009 19:42:52 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2542 Für den skizzierten transversal schwingenden Kragbalken, der rechts eine ausgedehnte Zusatzmasse trägt und gefedert ist, gebe man die Determinante zur Bestimmung der Eigenwerte an. Für den Sonderfall einer konzentrierten, ungefederten Masse (ΘF = 0, c = 0 und k = 0) gebe man die charakteristische Gleichung an und ermittle numerisch die erste Eigenfrequenz für den Fall m = ρ A L.

Lösung

Eine Masse mit Ausdehnung hat ein Massenträgheitsmoment! Punktmassen nicht.

Herleitung der Differentialgleichung

Wir gehen aus von der Differentialgleichung des Balkens:

-EI_y w^{^{\prime\prime\prime\prime}} = \rho A\ddot w

Produktansatz von Bernoulli:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

(auch in der Klausur beim ersten Mal immer aufschreiben, von welchen Variablen die Funktionen abhängen!)

Einsetzen und Separation der Variablen:

\frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}

Schlussweise von Bernoulli:

- \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = -\omega _j^2 = const

Dies führt auf eine Differentialgleichung vierter Ordnung bezüglich des Ortes:

\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} -\left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^4 \hat w = 0

mit

\lambda _j^4 = \frac{{\rho A}} {{EI_y }}\omega _j^2 L^4

und eine Differentialgleichung zweiter Ordnung bezüglich der Zeit:

\ddot T+\omega _j^2 T = 0

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Lösungsansatz:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

Die einzelnen DGLs können gelöst werden durch

T_j = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)

\hat w_j = C_{1j} \cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)

In den Ansatz eingesetzt:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {C_{1j} \cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]}

Gefragt ist nach der Eigenfrequenz, daher müssen die Randbedingungen einbezogen werden.

Randbedingungen

Wichtig: In der Klausur das Koordinatensystem nicht vergessen!

linkes Ende: Standard-Randbedingung “clamped”
rechtes Ende: Nicht-standard-Randbedingung: ausgedehnte Masse mit zwei Federn

wir geben zuerst die Standard-Randbedingung an:

w\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)\left( {C_{1j} +C_{3j} } \right)} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_{1j} = -C_{3j}

w ^{\prime}\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left( {C_{2j} +C_{4j} } \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_{2j} = -C_{4j} }

Daraus folgt für die Summenfunktion w:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]}

nun kommen wir zur nicht-Standard-Randbedingung:

M_C = c\alpha = cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Bilanzgleichungen

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -F_k-Q\left( {L,t} \right) \cos \alpha

Drallsatz:

\Theta _y \ddot \alpha = M_y \left( L, t \right)-M_c

Wir führen nun die folgenden Vereinfachungen für flache Auslenkungen ein:

\alpha \ll 1

\sin \alpha \approx \alpha

\tan \alpha \approx w ^{\prime}\approx \alpha

\cos \alpha \approx 1

Die Bilanzgleichungen werden damit zu:

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)-Q\left( {L,t} \right)

Drallsatz:

\Theta _y \ddot w ^{\prime}\left( {L,t} \right) = M_y \left( {L,t} \right)-cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Gleichungen für die Schnittlasten:

Q\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

M_y \left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

Einsetzen in die Bilanzgleichungen:

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)+EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( L, t \right)

Drallsatz:

\Theta _y \ddot w ^{\prime}\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( L, t \right)-cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Die benötigten Ableitungen sind also:

\ddot w,\quad \ddot w ^{\prime},\quad w ^{\prime},\quad w^{^{\prime\prime}} ,\quad w^{^{\prime\prime\prime}}

Berechnung der Ableitungen

\ddot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)\ddot T_j \left( t \right)} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j ^2 \hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

w ^{\prime}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime}\left( x \right)T_j \left( t \right)}

w ^{\prime}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

w^{^{\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {-\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {-\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

\ddot w ^{\prime} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime} \left( x \right)\ddot T_j \left( t \right)}

\ddot w ^{\prime} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j^2 T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

In die beiden Bilanzgleichungen

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)+EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

\Theta _y \ddot w ^{\prime} \left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right)-cw ^{\prime} \left( {L,t} \right)

eingesetzt ergibt sich dann

Schwerpunktsatz:

m\sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j ^2 \hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)} = -k\sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)} +EI_y \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)}

Drallsatz:

\Theta _y \sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j ^2 \hat w_j ^{\prime} \left( L \right)T_j \left( t \right)} = -EI_y \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)} -c\sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime} \left( L \right)T_j \left( t \right)}

Was für die aufsummierten Elemente gilt, muss auch für jedes einzelne Element gelten, wir lassen daher die Summenzeichen weg. Anschließend multiplizieren wir mit -1 und stellen ein wenig um:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right) = k\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)-EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \hat w_j ^{\prime} \left( L \right)T_j \left( t \right) = EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)+c\hat w_j ^{\prime} \left( L \right)T_j \left( t \right)

Da in jedem Summand die Zeitfunktion vorkommt, können wir diese wegkürzen:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\hat w_j \left( L \right) = k\hat w_j \left( L \right)-EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \hat w_j ^{\prime} \left( L \right) = EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)+c\hat w_j ^{\prime} \left( L \right)

Nun müssen wir die berechneten Ableitungen einsetzen. Dabei kürzen sich die für das x eingesetzten L’s weg:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

= k\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

-EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {-\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

= EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

+c\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

Der Übersichtlichkeit halber ersetzen wir ab jetzt die folgenden Terme durch ihre Abkürzungen:

c = \cos \lambda _j ,\quad \quad ch = \cosh \lambda _j ,\quad \quad s = \sin \lambda _j ,\quad \quad sh = \sinh \lambda _j

Eingesetzt:

Schwerpunktsatz:

\omega _j^2 m\left\{ {C_{1j} \left[ {c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]} \right\}-k\left\{ {C_{1j} \left[ {c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]} \right\}+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {-c-ch} \right]} \right\} = 0

Drallsatz:

\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {c-ch} \right]} \right\}-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {-s-sh} \right]} \right\}-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {c-ch} \right]} \right\} = 0

Dies müssen wir nun zu einem Gleichungssystem umformen:

Schwerpunktsatz:

C_{1j} \left[ {c-ch} \right]\omega _j^2 m+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]\omega _j^2 m-C_{1j} k\left[ {c-ch} \right]-C_{2j} k\left[ {s-sh} \right]+C_{1j} EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]+C_{2j} EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right] = 0

\left\{ {\left[ {c-ch} \right]\omega _j^2 m-k\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {s-sh} \right]\omega _j^2 m-k\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{2j} = 0

\left\{ {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{2j} = 0

Drallsatz:

C_{1j} \omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]-C_{1j} EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-c-ch} \right]

-C_{2j} EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-s-sh} \right]-C_{1j} c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]-C_{2j} c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right] = 0

\Rightarrow \quad \left\{ {\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-c-ch} \right]-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \right\}C_{1j}

+\left\{ {\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-s-sh} \right]-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]} \right\}C_{2j} = 0

\Rightarrow \quad \left\{ {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \right\}C_{2j} = 0

In Matrixschreibweise zusammengefasst:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right] & {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \\ {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} C_{1j} \\ {C_{2j} } \\ \end{array} } \right)

= 0

Dies ist erfüllt bei der trivialen Lösung C1j = C2j = 0. Für die nichttriviale Lösung muss die Determinante der Matrix null werden. In der Matrix ist die Eigenkreisfrequenz des Kragbalkens noch unbekannt. Um auf die Eigenwerte zu kommen, muss das ωj eliminiert werden.
Aus der Schlussweise von Bernoulli ist bekannt:

\omega _j^2 = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} \left( x \right)}} {{\hat w\left( x \right)}}

Wir setzen die Ableitungen ein und erhalten:

\omega _j^2 = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} \left( x \right)}} {{\hat w\left( x \right)}} = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\frac{{\lambda _j^4 }} {{L^4 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}} {{C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]}}

\omega _j^2 = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{\rho AL^4 }}

Das Volumen des Stabes ist die Querschnittsfläche multipliziert mit der Länge:

\omega _j^2 = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{\rho VL^3 }}

Die Masse des Stabes ist seine Dichte multipliziert mit seinem Volumen:

\omega _j^2 = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}

Dies setzen wir nun in die Matrix ein und bilden die Determinante.

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right] & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \\ {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right|

= 0

Umformungen in der oberen Zeile liefern:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} -k\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {-k\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)} \\ {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right|

= 0

Berechnung von λ1

Hier können wir die in der Aufgabenstellung angegebenen Vereinfachungen treffen:

k = 0,\quad \quad c_F = 0,\quad \quad \Theta _Y = 0

In die Determinante eingesetzt vereinfacht sich die Berechnung erheblich:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} -0\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {-0\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)} \\ {\left[ {0\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}-c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {0\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}-0} \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right|

= 0

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)} \\ {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right| = 0

An dieser Stelle nutzen wir nun eine Eigenschaft der Determinante aus: Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix, normiert durch det I = 1.
Alternierend: Werden zwei Zeilen getauscht, ändert die det das Vorzeichen.
Multilinear: Bei Berechnungen ist die det immer nur in EINER Zeile ODER Spalte linear:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha +\alpha ^{\prime} & {\beta +\beta ^{\prime} } \\ \gamma & \delta \\ \end{array} } \right| = \left( {\alpha +\alpha ^{\prime} } \right) \cdot \delta -\left( {\beta +\beta ^{\prime} } \right) \cdot \gamma = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} } \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha ^{\prime} & {\beta ^{\prime} } \\ \gamma & \delta \\ \end{array} } \right|

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda \alpha & {\lambda \beta } \\ \gamma & \delta \\ \end{array} } \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} } \right|

Angewandt auf unsere Determinante bedeutet das, das wir in der ersten Zeile gleichen Faktoren ausklammern und vor die Determinante ziehen können:

EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)} \\ {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \\ \end{array} } \right| = 0

Da die rechte Seite = 0 ist, teilen wir durch den herausgezogenen Faktor. Ebenso verfahren wir mit der zweiten Zeile:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh & {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \\ {-c-ch} & {-s-sh} \\ \end{array} } \right| = 0

Eigenwertgleichung

Die Eigenwertgleichung ergibt sich, wenn wir die Determinante ausmultiplizieren:

\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right)\left( {-s-sh} \right)-\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)\left( {-c-ch} \right)

= 0

Ausmultiplizieren:

-s\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]-s^2 +s \cdot sh-sh\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]-s \cdot sh+sh^2

+c\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c^2 -c \cdot ch+ch\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c \cdot ch-ch^2 = 0

Zusammenfassen:

-\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]\left( {s+sh} \right)-s^2 +sh^2 +\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]\left( {c+ch} \right)-\left( {c+ch} \right)^2 = 0

sh^2 -s^2 -\left( {c+ch} \right)^2 -\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left( {\left[ {c-ch} \right]\left( {s+sh} \right)+\left[ {s-sh} \right]\left( {c+ch} \right)} \right) = 0

Dies lässt sich umformen zu:

1+\cos \left( {\lambda _j } \right)\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left( {\sinh \left( {\lambda _j } \right)\cos \left( {\lambda _j } \right)-\cosh \left( {\lambda _j } \right)\sin \left( {\lambda _j } \right)} \right) = 0

Die Lösung der Gleichung lässt sich nur numerisch bestimmen. Für m = mst folgt:

\lambda _1 = 1,248

]]> http://me-lrt.de/101-schwingender-balken-nicht-standard-randbedingung/feed 0 33 – Balkenschwingungen 2 – Freie Schwingungen http://me-lrt.de/balkenschwingungen-freie http://me-lrt.de/balkenschwingungen-freie#comments Tue, 23 Jun 2009 22:06:44 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2395 Freie Schwingung bedeutet, dass keine eingeprägte Streckenlast auf den Balken wirkt: qz = 0

Vereinfachende Annahmen:

  • konstante Biegesteifigkeit (EIy = const)
  • konstante Massenbelegung (ρA = const)
  • rotatorische Trägheit wird vernachlässigt
  • es wirken keine Kräfte in Normalrichtung

Die Differentialgleichung vereinfacht sich somit zu

-EI_y w^{\prime\prime\prime\prime} = \rho A\ddot w

Im Gegensatz zu bisher behandelten Kontinuumschwingern ist die DGL bezüglich des Ortes also von vierter Ordnung!

Der Bernoulli’sche Produktansatz wird wie folgt auf die Problemstellung angewandt:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

wird abgeleitet und in die DGL eingesetzt. Durch Umstellen erhalten wir:

\frac{{-EI_y \hat w^{\prime\prime\prime\prime} }} {{\rho A\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = -\omega _j^2

Nach der Schlussweise von Bernoulli kann eine Ortsfunktion nur dann immer und überall gleich einer Zeitfunktion sein, wenn beide konstant sind. Die Konstante wird mit-ω j2 bezeichnet. Auf diese Weise gelingt die Separation der Variablen, wir erhalten zwei Differentialgleichungen:

\ddot T+\omega _j^2 T = 0

und

w^{\prime\prime\prime\prime} -\frac{{\rho A}} {{EI_y }}\omega _j^2 \hat w = 0

Die Zeitfunktion, d.h. die Lösung der zeitlichen DGL, ist bekanntlich

T_j \left( t \right) = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)

Zur Lösung der “örtlichen” DGL vierter Ordnung führen wir die folgende Abkürzung ein:

\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4 = \omega _j^2 \frac{{\rho A}} {{EI_y }}

Einsetzen:

\hat w^{\prime\prime\prime\prime} -\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4 \hat w = 0

Nun verwenden wir den Exponentialansatz

\hat w = const \cdot e^{\beta x}

und kommen auf die charakteristische Gleichung

\beta ^4 -\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4 = 0

mit den vier Lösungen

\beta _{1,2} = \pm i\frac{{\lambda _j }} {l}

\beta _{3,4} = \pm \frac{{\lambda _j }} {l}

Für die Ortsfunktion folgt damit:

\hat w_j \left( x \right) = D_{1j} e^{+i\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{2j} e^{-i\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{3j} e^{+\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{4j} e^{-\lambda _j \frac{x} {l}} ,\quad \quad D_{ij} \in \mathbb{C}

Nun nutzen wir die Eulersche Formel und erhalten die Ortsfunktion in hyperbolischer Schreibweise:

\hat w_j \left( x \right) = C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)

Die Gesamtlösung ist als Summe der Einzellösungen:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)T_j }

oder ausgeschrieben:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)} \right)\left( {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

Um die 6 Konstanten zu bestimmen, verfahren wir analog zu der Saitenschwingung und der Stabschwingung, nämlich indem wir die Randbedingungen und Anfangsbedingungen betrachten.

]]> http://me-lrt.de/balkenschwingungen-freie/feed 0 31 – Stabtorsionsschwingungen 2 – Freie Schwingungen http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-freie http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-freie#comments Tue, 23 Jun 2009 21:31:07 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2392 Wir gehen von einem Stab mit konstanter Torsionssteifigkeit aus, also GIp = const.
Aus der freien Schwingung folgt mT = 0.

Die Differentialgleichung vereinfacht sich damit wie folgt:

GI_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \rho I_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Wir setzen

c_T^2 = \frac{{GI_p }} {{\rho I_p }} = \frac{G} {\rho }

und erhalten

c_T^2 \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Dabei ist cT die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Torsionswellen. Wir können das Schubmodul ersetzen:

c_T = \sqrt {\frac{G} {\rho }} = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {1+\nu } \right)\rho }}}

Behandlung der Funktion für den Torsionswinkel analog zum Stab:

\vartheta \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat \vartheta _j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

= \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_j \cos K_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

Vergleich der Ausbreitungsgeschwindigkeiten

Hier sollen abschließend noch die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellen in verschiedenen Kontinuumsschwingern verglichen werden.

Allgemein für freie Schwingungen:

c^2 \frac{{\partial ^2 }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 }} {{\partial t^2 }}

Transversalwellen in einer Saite:

c_s^2 \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}

c_s = \sqrt {\frac{S} {\mu }} = \sqrt {\frac{S} {{\rho A}}}

Dehnwellen im Stab:

c_D^2 \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

c_D = \sqrt {\frac{E} {\rho }}

Torsionswellen im Torsionsstab:

c_T^2 \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

c_T = \sqrt {\frac{G} {\rho }} = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {\nu +1} \right)\rho }}}

Zahlenbeispiel

Stahl:

E = 206 · 109 Pa
ρ = 7850 kg/m3
ν = 0,3

c_D = \sqrt {\frac{E} {\rho }} = 5123\frac{m} {s}

c_T = \sqrt {\frac{G} {\rho }} = \sqrt {\frac{E} {{2\left( {\nu +1} \right)\rho }}} = 3177\frac{m} {s}

Für die Saite gehen wir von einer Gitarrensaite aus, die auf 110 Hz gestimmt ist:

f_1 = 110Hz

l = 0,7m

f_1 = \frac{1} {{2l}}\underbrace {\sqrt {\frac{S} {\mu }} }_{c_S }

c_S = 2lf_1 = 1,4m \cdot 110\frac{1} {s} = 154\frac{m} {s}

Die Saitenschwingung breitet sich also sehr viel langsamer aus als die Torsions- oder Dehnschwingung.

]]> http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-freie/feed 0 30 – Stabtorsionsschwingungen 1 – Herleitung der DGL http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-herleitung-differentialgleichung http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-herleitung-differentialgleichung#comments Tue, 23 Jun 2009 21:05:54 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2390 Wir betrachten ausschließlich Stäbe mit Kreis- oder geschlossenem Kreisringquerschnitt.

Herleitung der DGL

Der Drallsatz um die x-Achse lautet:

d\Theta \ddot \vartheta = M_T +dM_T -M_T +m_T dx

mit

d\Theta = \rho I_p dx

und

dM_T = \frac{{\partial M_T }} {{\partial x}}dx

sowie der Materialgleichung für das Torsionsmoment

M_T = GI_p \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial x}}

ergibt

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {GI_p \frac{{\partial \vartheta }} {{\partial x}}} \right)+m_T = \rho I_p \frac{{\partial ^2 \vartheta }} {{\partial t^2 }}

Ip: polares Flächenträgheitsmoment
GIp: Torsionssteifigkeit
ρ: Dichte
mT(x, t): eingeprägtes Torsionsmoment pro Längeneinheit
θ(x, t): Torsionswinkel

]]> http://me-lrt.de/stabtorsionsschwingungen-herleitung-differentialgleichung/feed 0 29 – Stablängsschwingungen 3 – Anfangsbedingungen http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-anfangsbedingungen http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-anfangsbedingungen#comments Tue, 23 Jun 2009 20:05:12 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2388 Die Eigenfunktionen sind orthogonal.

\int_0^l {\hat u_j \hat u_k dx} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {j \ne k} \\ {\frac{l} {2}} & {j = k} \\ \end{array} } \right.

Anfangsauslenkung:

u\left( {x,0} \right) = \phi \left( x \right)

Anfangsgeschwindigkeit:

\dot u\left( {x,0} \right) = \psi \left( x \right)

Wir müssen nun eine Entwicklung nach den Eigenfunktionen durchführen.

\phi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \hat u_j \left( x \right)}

\psi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)}

Multiplikation mit einer weiteren Ortsfunktion:

\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}

\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}

Integration unter Nutzung der Orthogonalität der Eigenfunktionen:

\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }

\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }

Es fallen alle Summanden der Summe weg, bis auf den Fall k = j:

\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\underbrace {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}

\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = A_j^* \frac{l} {2}

\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\underbrace {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}

\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \omega _j B_j^* \frac{l} {2}

mit den Koeffizienten

A_j^* = \frac{2} {l}\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

und

B_j^* = \frac{2} {{\omega _j l}}\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

erhalten wir die Gesamtlösung:

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat u_j \left( x \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

Die Eigenfunktionen sind dabei von der Art der Einspannung abhängig:

tabelle eigenfunktionen

Sie folgen aus der Anfangsauslenkung und der Anfangsgeschwindigkeit:

A_j^* = \frac{1} {{K_j }}\int_0^l {u\left( {x,0} \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

B_j^* = \frac{1} {{\omega _j K_j }}\int_0^l {\dot u\left( {x,0} \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

mit

K_j = \int_0^l {\hat u_j^2 dx} = \frac{l} {2}

Wenn die Anfangsverteilungen als Fourier-Reihe vorliegen, folgen die Konstanten A* und B* sofort aus einem Koeffizientenvergleich.

]]> http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-anfangsbedingungen/feed 0 28 – Stablängsschwingungen 2 – Randbedingungen http://me-lrt.de/28-stablangsschwingungen-2-randbedingungen http://me-lrt.de/28-stablangsschwingungen-2-randbedingungen#comments Tue, 23 Jun 2009 19:37:56 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2516 Im letzten Artikel wurde die Herleitung der Differentialgleichung für Stablängsschwingungen besprochen. Diese lautet:

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

mit der Wellenzahl k_j = \frac{{\omega _j }} {{c_D }}

Nun betrachten wir die Randbedingungen. Es müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

Einspannung (clamped)

Abkürzung: c

Es gilt:

u\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0

Freies Ende (free):

Abkürzung: f

Es gilt:

N\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0

Beispiel für Standard-Randbedingungen

Stab c-c (beidseitig eingespannt, Länge l)

Ortsfunktion

\hat u_j \left( x \right) = C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x

Randbedingungen:

\hat u_j \left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_j = 0

\hat u_j \left( l \right) = 0

Eigenwertgleichung:

\Rightarrow \quad \sin \left( {k_j l} \right) = 0

Aus der Eigenwertgleichung folgen die Eigenwerte:

\sin \left( {k_j l} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad k_j l = j\pi ,\quad \quad j \in \mathbb{N}

Für die Eigenkreisfrequenzen folgt:

\omega _j = k_j c_D = \frac{{k_j l}} {l}c_D = \frac{{j\pi }} {l}\sqrt {\frac{E} {\rho }}

und die Eigenfrequenzen:

f_j = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} = \frac{j} {{2l}}\sqrt {\frac{E} {\rho }}

und die Eigenfunktionen (Eigenschwingungsform):

\hat u\left( x \right) = \sin \left( {k_j l\frac{x} {l}} \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

]]> http://me-lrt.de/28-stablangsschwingungen-2-randbedingungen/feed 0 27 – Stablängsschwingungen 1 – Herleitung der DGL http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-herleitung-dgl http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-herleitung-dgl#comments Tue, 23 Jun 2009 19:36:46 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2385 Wir betrachten ein kleines Stück aus dem schwingenden Dehnstab:

Stablängsschwingung herleitung dgl

EA: Dehnsteifigkeit
ρA = µ: Masse pro Längeneinheit
qx(x, t): eingeprägte Normalkraft pro Längeneinheit
u(x, t): Verschiebung in Stablängsrichtung

Es kommt zu Dehnschwingungen in Richtung der Stabachse, die vor allem longitudinale Anteile haben.

Herleitung der DGL

Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes in x-Richtung schließen wir auf die Differentialgleichung.

dm\ddot u = N+dN-N+q_x dx

mit

dm = \rho dV = \rho Adx

und

dN = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx

ergibt

\rho Adx\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx+q_x dx

Mit Materialgleichung

N = EA\varepsilon _x

EA ist die Längssteifigkeit. Wir können schreiben:

N = EA\frac{{\partial u}} {{\partial x}}

Wir erhalten damit

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {EA\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)+q_x = \rho A\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Im Gegensatz zur Saite muss hier also das Material berücksichtigt werden. EA hängt möglicherweise von x ab. Ist dies nicht der Fall, kann EA vor die Ableitung gezogen werden.

Die DGL soll nun zunächst für freie Schwingungen gelöst werden. Wir betrachten einen Stab konstanter Längssteifigkeit (EA = const). Die DGL vereinfacht sich wie folgt:

EA\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \rho A\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Wir bringen die Konstanten auf eine Seite:

\frac{{EA}} {{\rho A}}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Die Querschnittsfläche kürzt sich heraus, für den restlichen Quotienten schreiben wir

c_D = \sqrt {\frac{E} {\rho }}

(Ausbreitungsgeschwindigkeit von Dehnwellen in Stäben). Eingesetzt ergibt sich

c_D^2 \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Lösung der Differentialgleichung

Bernoulli-Ansatz

u\left( {x,t} \right) = \hat u\left( x \right)T\left( t \right)

Wir erhalten zwei gewöhnliche Differentialgleichungen und kommen auf die Gesamtlösung

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

mit der Wellenzahl k_j = \frac{{\omega _j }} {{c_D }}

Die weitere Behandlung erfolgt analog zur Saite. Neu ist, dass es verschiedene Randbedingungen geben kann.

]]> http://me-lrt.de/stablangsschwingungen-herleitung-dgl/feed 0 26 – Saitenschwingungen 5 – Anfangsbedingungen http://me-lrt.de/anfangsbedingungen-saitenschwingungen http://me-lrt.de/anfangsbedingungen-saitenschwingungen#comments Tue, 23 Jun 2009 18:20:36 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2150 Im Artikel über die Randbedingungen haben wir die Funktion für die Auslenkung der Saite auf die folgende Form gebracht:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

Es müssen die Konstanten A* und B* berechnet werden.

Erste Ableitung nach der Zeit:

\dot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)\left( {-A_j ^* \omega _j \sin \omega _j t+B_j ^* \omega _j \sin \omega _j t} \right)}

Anfangsauslenkung:

w\left( {x,t = 0} \right) = \varphi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j ^* \hat w_j \left( x \right)}

Anfangsgeschwindigkeit:

\dot w\left( {x,t = 0} \right) = \psi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {B_j ^* \omega _j \hat w_j \left( x \right)}

Das bedeutet, die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit müssen nach den Eigenfunktionen entwickelt werden. Aus den Orthogonalitätsbeziehungen folgen die Konstanten

A_j ^* = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {\int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }

B_j ^* = \frac{{\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {\omega _j \int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }

Wir müssen nun nur noch die unbekannten Funktionen in diesen Ausdrücken berechnen.

Gemäß

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

gilt für die beidseitig festgehaltene Saite die Eigenfunktion

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingung gilt weiterhin:

\int_0^l {\hat w_j^2 dx} = \frac{l} {2}

Nun betrachten wir die Anfangsauslenkung

Die Auslenkungsfunktion ist stückweise linear, denn sie steigt in der ersten Hälfte bis zur maximalen Auslenkung und fällt danach wieder bis zum Nullpunkt ab. Die Funktion lautet (stückweise definiert):

\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 2f_0 \frac{x} {l} \\ {2f_0 \left( {1-\frac{x} {l}} \right)} \\ \end{array} } \right.\forall \begin{array}{*{20}{c}} 0 \leq x \leq \frac{l} {2} \\ {\frac{l} {2} \leq x \leq l} \\ \end{array}

Da die Saite festgehalten wird und sich nicht bewegt, gilt für die Anfangsgeschwindigkeit:

\psi \left( x \right) = 0

Wir setzen nun in die Gleichungen für die Berechnung der Konstanten ein:

B_j^* = 0

A_j^* = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {{\int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }} = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)dx} }} {{\frac{l} {2}}}

Die Berechnung des Integrals soll hier nicht weiter vertieft werden, das Ergebnis ist:

w\left( {x,t} \right) = \frac{{8f_0 }} {{\pi ^2 }}\sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{1} {{j^2 }}\sin \left( {j\frac{\pi } {2}} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)\cos \left( {j\pi \frac{{c_s }} {l}t} \right)}

]]> http://me-lrt.de/anfangsbedingungen-saitenschwingungen/feed 0 25 – Saitenschwingungen 4 – Orthogonalität der Eigenfunktionen http://me-lrt.de/orthogonalitat-eigenfunktionen-saitenschwingungen http://me-lrt.de/orthogonalitat-eigenfunktionen-saitenschwingungen#comments Tue, 23 Jun 2009 17:07:21 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2145 Im letzten Artikel wurde damit begonnen, die Differentialgleichung der Saitenschwingung zu lösen. Mit den Randbedingungen konnten allerdings nur zwei der Unbekannten bestimmt werden. Um das Problem vollständig lösen zu können, müssen wir noch die Anfangsbedingungen betrachten. Um die dabei durchgeführte Rechnung nachvollziehen zu können, benötigen wir einige Informationen über die Orthogonalität der Eigenfunktionen. Diese Beziehungen sollen in diesem Artikel erläutert werden.

Die Differentialgleichung der Saitenschwingung lautet für qz = 0

Sw^{\prime\prime} = \mu \ddot w

und hat die Gesamtlösung

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

mit den Ableitungen

w^{\prime\prime} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j^{\prime\prime} \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

und

\ddot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( {-\omega _j^2 } \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

Einsetzen in die Differentialgleichung:

S \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right) \cdot \left( {A_j^* \cos \omega _j t+B_j^* \sin \omega _j t} \right)}

= \mu \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right) \cdot \left( {-\omega _j^2 } \right)\left( {A_j^* \cos \omega _j t+B_j^* \sin \omega _j t} \right)}

Wir teilen auf beiden Seiten in der Summe durch den identischen Ausdruck in der Klammer:

S \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right)} = \mu \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j^2 \hat w_j \left( x \right)}

Was für die gesamte Summe gilt, muss auch für jedes einzelne Glied der Summe gelten, wir lassen daher das Summenzeichen weg:

S\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right) = -\omega _j^2 \mu \hat w_j \left( x \right)

Dies entspricht der örtlichen DGL. Da wir das Verhalten von miteinander kombinierten Eigenfunktionen testen wollen, multiplizieren wir auf beiden Seiten mit \hat w_k

Über die gesamte Länge l der Saite integriert liefert dies

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

Die linke Seite wird partiell integriert und es werden die Randbedingungen der beidseitig festgehaltenen Saite eingesetzt, so dass man

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

erhält.

Nebenrechnung: partielle Integration

\int_0^l {S \underbrace {\hat w_j ^{\prime\prime} }_{g^{\prime} }\underbrace {\hat w_k }_f dx} = S\left[ {\left. {\hat w_k \hat w_j^{\prime} } \right|_0^l -\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} } dx} \right]

Randbedingungen einsetzen:

\hat w_k \left( 0 \right) = \hat w_k \left( l \right) = \hat w_j \left( 0 \right) = \hat w_j \left( l \right) = 0

Ergebnis:

\int_0^l {S\hat w_j ^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\int_0^l { S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx}

Für zwei verschiedene Eigenkreisfrequenzen \omega _j ,\omega _k muss gelten:

\int_0^l {S\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

\int_0^l {S\hat w_k^{\prime} \hat w_j^{\prime} dx} = \omega _k^2 \int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx}

Wir subtrahieren die Gleichungen voneinander und erhalten:

0 = \left( {\omega _j^2 -\omega _k^2 } \right)\int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx}

Da für unterschiedliche Werte k ≠ j gilt

\omega _j^2 \ne \omega _k^2

folgt daraus, dass der andere Faktor 0 werden muss:

\int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx} = 0

Dieses Ergebnis setzen wir oben in die integrierten Gleichungen ein:

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx} \quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = 0

\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx} \quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \int_0^l {S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = 0

Für zwei gleiche Eigenkreisfrequenzen (k = j) gilt:

\int_0^l {S\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_j dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j^2 dx}

In diesen Beziehungen können prinzipiell die Vorspannkraft S und die Massenbelegung μ vom Ort abhängig sein. Nimmt man beide als konstant an, so lassen sie sich vor das Integral ziehen.

Das Ergebnis der Orthogonalitätsbeziehungen ist dann:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} \int_0^l {\hat w_j \hat w_k dx} \\ {\int_0^l {\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} } \\ {\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} } \\ \end{array} } \right\}\begin{array}{*{20}{c}} = 0\quad \forall j \ne k \\ { \ne 0\quad \forall j = k} \\ \end{array}

\int_0^l {\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_j dx} = -k_j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j^2 dx}

Bei der beidseitig festgehaltenen Saite gilt immer:

\int_0^l {\hat w_j^2 dx} = \frac{l} {2}

Also:

Eine Eigenfunktion mit einer anderen multipliziert und über die Saite integriert ergibt 0.
Mit sich selber multipliziert und integriert ergibt sich ein endlicher Wert ungleich 0, bei der Saite l/2.

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