Mathematical Engineering - LRT » Thermodynamik http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Sun, 13 May 2012 09:26:22 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 Thermodynamik Fragenkatalog zur Klausurvorbereitung http://me-lrt.de/thermodynamik-fragenkatalog-klausur http://me-lrt.de/thermodynamik-fragenkatalog-klausur#comments Sun, 27 Feb 2011 16:04:21 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=7020 Frage 1

Definieren Sie den Begriff Energie. Welche Einheiten sind Ihnen zur Messung der Energie bekannt?

Antwort 1

Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu leisten. Einheiten: J,Nm,Ws,kWh

Frage 2

Definieren Sie die Begriffe

  1. offenes System
  2. geschlossenes System
  3. adiabates System / abgeschlossenes System

Antwort 2

offen: Massen- und Energiestrom möglich
geschlossen: Nur Energiestrom möglich
adiabat / abgeschlossen: Weder Energie- noch Massenstrom

Frage 3

Wie errechnet sich die spezifische Energie im Nassdampfgebiet und woher bezieht man die notwendigen Größen?

Antwort 3

u = {u^\prime }+x \cdot \left( {{u^{\prime \prime }}-{u^\prime }} \right)
mit {u^\prime } und {u^{\prime \prime }} aus der internationalen Dampftafel

Frage 4

Nennen Sie Zustandsgrößen und Prozessgrößen.

Antwort 4

Zustandsgrößen: Energie, Volumen, Enthalpie (direkt oder indirekt messbar)
Prozessgrößen: Wärme, Arbeit

Frage 5

Definieren Sie Entropie mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Antwort 5

dS = \frac{{\delta Q}}{T}+\frac{{\delta {W_{diss}}}}{T}

Bei jedem realen Vorgang eines Systems tritt eine Entropiezunahme \Delta S > 0 auf. Die Zunahme der Entropie ist die Zunahme der Nichtumwandelbarkeit der Energie des Systems.

Frage 6

Nennen Sie thermische und kalorische Zustandsgrößen.

Antwort 6

thermisch: p,v,T
kalorisch: u,h,s

Frage 7

Wie lautet der dritte Hauptsatz der Thermodynamik und wie weit ist er praktisch umsetzbar?

Antwort 7

Der absolute Nullpunkt ist nicht erreichbar. Praktisch möglich: T = {10^{-4}}K

Frage 8

Definieren Sie den energetischen Wirkungsgrad.

Antwort 8

\eta = \frac{W}{E}

Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von gewonnener Arbeit zu aufgewandter Energie

Frage 9

Was versteht man unter einer polytropen Zustandsänderung?

Antwort 9

Die Polytrope ist der verallgemeinerte Fall einer Zustandsänderung, bei der sich alle Zustandsgrößen ändern können.

Frage 10

Wie bezeichnet man die verschiedenen Zustandsgrößenänderungen?

Antwort 10

p = const\quad \Rightarrow \quad isobar
v = const\quad \Rightarrow \quad isochor
T = const\quad \Rightarrow \quad isotherm
s = const\quad \Rightarrow \quad isentrop

Frage 11

Zeichnen Sie im (T, s)-Diagramm für Wasser das Nassdampfgebiet ein und eine Isobare, die durch das Nassdampfgebiet verläuft.

Antwort 11

ts-diagramm-wasser-nassdampfgebiet-isobare

Frage 12

Zeichnen Sie ein h-p-Diagramm für Wasser.

Antwort 12

hp-diagramm-wasser

Frage 13

Was heißt isentrop?

Antwort 13

Die Entropie des Systems ist konstant. Es gibt also keinen Wärmetausch mit der Umgebung und keine Reibungsverluste, was typisch für schnelle Zustandsänderungen ist. Ein adiabatisch reversibler Prozess ist immer auch isentrop, die Umkehrung gilt aber nicht.

Frage 14

Wie lautet die Formel für die polytrope Zustandsänderung? Nennen Sie Sonderfälle.

Antwort 14

{p_1} \cdot V_1^n = {p_2} \cdot V_2^n,\quad {p_1} \cdot T_2^{\frac{n}{{n-1}}} = {p_2} \cdot T_1^{\frac{n}{{n-1}}}

Sonderfälle:

n = 0\quad \Rightarrow \quadisobar
n = 1\quad \Rightarrow \quadisotherm
n = \infty \quad \Rightarrow \quadisochor
n = \kappa \quad \Rightarrow \quadisentrop

Frage 15

Wo liegt die Polytrope im Nassdampfgebiet?

Antwort 15

Die Polytrope liegt im Allgemeinen zwischen der Isothermen und der Isentropen. Während der Zustandsänderung findet eine Wärmeeinwirkung statt.

Frage 16

Wie lautet der isentrope Wirkungsgrad einer polytropen Verdichtung?

Antwort 16

\eta = \frac{{{\omega _{t,s}}}}{{{\omega _{t,p}}}} = \frac{{isentrope\:\:techn.\:\:Arbeit}}{{polytrope\:\:techn.\:\:Arbeit}}

Frage 17

Wie kann man am Diagramm eines Kreisprozesses erkennen, ob Arbeit gewonnen werden kann, oder Arbeit hineingesteckt werden muss?

Antwort 17

Rechtsläufiger Prozess (im Uhrzeigersinn): Arbeit kann gewonnen werden
Linksläufiger Prozess: Arbeit muss investiert werden

Frage 18

Warum ist die Kombination von Kältemaschine und Wärmepumpe in der Praxis besonders wirtschaftlich?

Antwort 18

Weil die Abwärme der Kältemaschine für die Wärmepumpe genutzt werden kann. (Wärmerückgewinnung)

Frage 19

Bezeichnen Sie die einzelnen Zustandsänderungen des offenen Gasturbinenprozesses mit Wärmerückgewinnung.

Antwort 19

1. Ansaugen von Frischluft aus der Atmosphäre in den Verdichter. Verdichtung
2. Vorwärmung der komprimierten Luft mit Hilfe von Abgasen (isobar)
3. Weitere Erhitzung in der Brennkammer durch Verbrennung von Brennstoff
4. Expansion in der Turbine unter Abgabe von Arbeit
5. Rückgewinnung eines Teils der Abgasenthalpie an Frischluft mit Wärmetauscher
6. Abgase aus dem Wärmetauscher gelangen in die Atmosphäre

Frage 20

Beschreiben Sie das Energieflussdiagramm einer Dampfkältemaschine.

Antwort 20

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{q_{zu}}} \\{{W_{ti}}} \\ \end{array} } \right) \to {q_{ab}}

Frage 21

Nennen Sie das wesentliche Merkmal eines Stirling-Motors.

Antwort 21

Heißluftmotor mit äußerer Verbrennung

Frage 22

Wie ist das Stufenverhältnis eines Verdichters definiert?

Antwort 22

\frac{{{p_2}}}{{{p_i}}} = \frac{{{p_i}}}{{{p_1}}} = \varphi

Frage 23

Nennen Sie konstruktive Gleichungen für Einkomponentensysteme (perfektes Gas).

Antwort 23

u = {c_v} \cdot \Delta T+{u_0}

h = {c_p} \cdot \Delta T+{h_0}

p \cdot V = m \cdot R \cdot T

Frage 24

Wie berechnen Sie Temperatur und Druck aus der kanonischen inneren Energie?

Antwort 24

T = {\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial s}}} \right)_{V,nk}},\quad \quad p = -{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial v}}} \right)_{S,nk}}

Frage 25

Wie viele Atome sind in einem Behälter V = 5d{m^3} mit Argongas (ideales Gas, p = 0,5mbar,\:T = 300K)?

Antwort 25

p \cdot V = n \cdot R \cdot T\quad \Rightarrow \quad n = \frac{{p \cdot V}}{{R \cdot T}},\quad \quad N = n \cdot {N_A} = 6,04 \cdot {10^{19}}

Frage 26

Kennzeichnet der Ausdruck \int {vdp} immer eine technische Arbeit?

Antwort 26

Nein. In Rohren kommt es zu Druckverlust, obwohl keine Vorrichtung vorhanden ist. Es ist also {w_t} = 0, aber \int {vdp} \ne 0.

Frage 27

Ein Erfinder bietet einen Schiffsantrieb an, dessen Energie aus dem Meer entnommen werden soll. Begründen Sie Ihre Ablehnung.

Antwort 27

Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (es ist kein Perpetuum Mobile zweiter Art möglich).

Frage 28

Nennen Sie die bei der Berechnung der spezifischen Wärme von Molekülgasen zu berücksichtigenden Freiheitsgrade.

Antwort 28

Translation, Rotation, Vibration

Frage 29

Die Entropie eines Systems ist in Abhängigkeit der Variablensätze T,p,{n_k} bzw. U,V,{n_k} gegeben. Welcher funktionale Zusammenhang ist zur Beschreibung von Nichtgleichgewichtszuständen heranzuziehen?

Antwort 29

S\left( {T,p,{n_k}} \right) ist ungeeignet, da T und p nur im Gleichgewicht definiert sind.
S\left( {U,V,{n_k}} \right) muss verwendet werden.

Frage 30

Zeichnen Sie einen zweistufigen Verdichtungsvorgang mit Zwischenkühlung für ideales Gas im (h, s)-Diagramm inklusive der gesparten Arbeit, im (p, v)- Diagramm und im (T, s)-Diagramm.

Antwort 30

zweistufiger-verdichtungsvorgang-zwischenkuhlung-ideales-gas

Frage 31

Zeichnen Sie einen zweistufigen Jouleprozess (Gasturbine) im (T, s)-Diagramm (Zwischenkühlen, Aufheizen und Regeneration).

Antwort 31

zweistufiger-jouleprozess-gasturbine-zwischenkuhlen-regeneration

Frage 32

Zeichnen und beschriften sie ein (lg p, h)-Diagramm eines realen Gases.

Antwort 32

ph-diagramm-reales-gas-taulinie-nassdampfgebiet

Frage 33

Skizzieren Sie in einem (h, s)-Diagramm folgende Vorgänge:

  1. irreversibel adiabate Strömung in einem Diffusor
  2. reversibel adiabate Strömung in einem Diffusor
  3. adiabate Drosselung
  4. irreversibel adiabate Expansion in einer Düse
  5. reversibel adiabate Expansion in einer Düse

Antwort 33

irreversibel-adiabat-diffusor-drossel-expansion-duse

Frage 34

Zeichnen Sie Isobaren und Nassdampfgebiet im (h, s)-Diagramm.

Antwort 34

isobaren-nassdampfgebiet-hs-diagramm

Frage 35

Was ist Drosselung bei technischen Prozessen? Was ist die thermodynamische Bedingung für eine adiabate Drossel?

Antwort 35

Drosselung ist eine Druckabsenkung ohne Arbeitsverrichtung. Bedingung: \Delta h = 0,\quad \Delta T = 0

Frage 36

Erläutern Sie den Effekt der Zwischenkühlung bei einer mehrstufigen Kompressionsanlage anhand eines (p, v)-Diagramms. Tragen Sie den Unterschied an aufzuwendender technischer Arbeit im Vergleich zur Kompression ohne Zwischenkühlung als Fläche in das Diagramm ein.

Antwort 36

zwischenkuhlung-mehrstufige-kompression-technische-arbeit

ohne Zwischenkühlung: 1 \to 2' , ({p_2},{T_{2'}} > {T_2})

mit Zwischenkühlung: 1 \to A \to B \to 2 , ({p_{2,}}{T_2})

W_{12}^t= Fläche zwischen p-Achse unter der Kurve [1,A,B,2]

W_{12'}^t= Fläche zwischen p-Achse unter der Kurve [1,A,2’]

Mehrarbeit im Fall ohne Zwischenkühlung = Fläche [2,2’,A,B]

mit Zwischenkühlung: weitere Kompression bei kleinerem spezifischen Volumen

Frage 37

Was ist die Viralform der thermischen Zustandsgleichung eines realen Fluids?

Antwort 37

Z = \frac{{p \cdot v}}{{R \cdot T}} = 1+B\left( T \right) \cdot p+C\left( T \right) \cdot {p^2}+ \ldots

Frage 38

In einem durch einen verschiebbaren Kolben verschlossenen Zylinder befindet sich ein ideales Gas. Widerspricht die Abnahme der Entropie bei einer Expansion dem zweiten Hauptsatz?

Antwort 38

Nein, denn die Entropie kann zwar im Gesamtsystem nicht abnehmen, in Teilsystemen ist dies jedoch möglich.

Frage 39

Stellt das Differential -pdv im offenen System eine Arbeit dar?

Antwort 39

Nein, nur eine Volumenänderung.

Frage 40

Welche zwei Bedingungen sind für einen stationären Zustand maßgeblich?

Antwort 40

\frac{{dS}}{{dt}} = 0,\quad \quad \frac{{d{{\dot S}_Q}}}{{dt}} \leq 0,\quad \quad \dot \psi = 0,\quad \quad u = const,

Frage 41

Welche Leistung muss mindestens aufgebracht werden, um bei {T_0} = 10K eine Kälteleistung von 1kW zur Verfügung zu stellen? (Umgebungstemperatur {T_u} = 310K)

Antwort 41

{P_{erf}} = \frac{{{{\dot Q}_{kalt}}}}{\eta } = {\dot Q_{kalt}} \cdot \frac{{{T_u}-{T_0}}}{{{T_0}}} = 1kW \cdot \frac{{310K-10K}}{{10K}} = 30kW

Frage 42

Zeichnen Sie in ein geeignetes Zustandsdiagramm die Kurven des Joule-Thomson-Effektes ein.

Antwort 42

joule-thomson-effekt-zustandsdiagramm

Frage 43

Welcher Anteil einer Wärme Q, die bei der Temperatur T frei wird, lässt sich in jede andere Energieform umwandeln? Wie heißt dieser Anteil?

Antwort 43

{E_x} = Q\left( {1-\frac{{{T_u}}}{T}} \right), die so genannte Exergie

Frage 44

Erklären Sie folgende Begriffe:

  1. thermodynamisches System
  2. Phase
  3. Komponente

Antwort 44

System: Ein thermodynamisches System ist ein räumlich eingegrenzt betrachtetes physikalisches System, für das eine Energiebilanz – beim offenen System zusammen mit einer Stoffbilanz – erstellt werden kann.

Phase: ein räumlicher Bereich, in dem die bestimmenden physikalischen Parameter (Ordnungsparameter) und die chemische Zusammensetzung der Materie homogen sind

Komponente: voneinander unabhängige Teile eines thermodynamischen Systems

Frage 45

Wie sind Dichte und spezifisches Volumen definiert?

Antwort 45

\rho = \frac{m}{V},\quad v = \frac{V}{m}

Frage 46

Was versteht man unter der universellen Gaskonstante?

Antwort 46

Die universelle, ideale, molare oder auch allgemeine Gaskonstante (Formelzeichen: R) ist das Produkt aus Avogadro-Konstante und Boltzmann-Konstante.

Frage 47

Welche Einheiten sind richtig angegeben?

1kJ = 1\frac{{kg}}{{{s^2}m}}

1Pa = 1\frac{{kg}}{{{s^2}m}}

1bar = {10^5}\frac{N}{{{m^2}}}

1GJ = {10^3}kJ

Antwort 47

1kJ = 1\frac{{kg}}{{{s^2}m}}\quad \Rightarrow \quad falsch

1Pa = 1\frac{{kg}}{{{s^2}m}}\quad \Rightarrow \quad stimmt

1bar = {10^5}\frac{N}{{{m^2}}}\quad \Rightarrow \quad stimmt

1GJ = {10^3}kJ\quad \Rightarrow \quad falsch

Frage 48

Was besagt der 0. Hauptsatz der Thermodynamik?

Antwort 48

Wenn Körper A und B, sowie B und C in thermischem Gleichgewicht sind, so sind auch A und C im thermischen Gleichgewicht.

Frage 49

Warum ist das Volumen eine extensive thermodynamische Größe und die Dichte eine intensive thermodynamische Größe? Ordnen Sie die Ihnen bekannten thermodynamischen Größen den Begriffen extensiv und intensiv zu. Nennen Sie verschiedene spezifische Größen!

Antwort 49

intensiv: können nicht additiv verknüpft werden (Druck, Temperatur)

extensiv: Proportional zur Systemgröße (Masse, Volumen, Energie)

Frage 50

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Masse eines Stoffes und der Molzahl des Stoffes?

Antwort 50

m = M \cdot n

Frage 51

Erklären Sie den Begriff “Thermisches Gleichgewicht”!

Antwort 51

Es befindet sich im thermischen Gleichgewicht, wenn es durch einige wenige makroskopische Größen beschrieben werden kann und wenn sich diese Größen zeitlich nicht ändern.

Frage 52

Für dh gilt: dh = {c_p}dT+\left[ {v-T{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right)}_T}} \right]dp. Was folgt aus dieser Beziehung für das ideale Gas?

Antwort 52

Es ist dh = {c_p}\left( T \right)dT

Frage 53

Was verstehen Sie unter innerer Energie und wie wird deren Änderung berechnet?

Antwort 53

Die Energie eines Körpers aufgrund von Translation, Rotation und Schwingung seiner Moleküle.

du = c \cdot d\left( {m \cdot T} \right)

Frage 54

Ein ideales Gas soll in einem offenen System bei konstanter Temperatur verdichtet werden. Wie viel Wärme ist dabei abzuführen?

Antwort 54

{Q_{12}} = -{W_{12}} = m \cdot R \cdot {T_1} \cdot \ln \left( {\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}} \right)

Frage 55

Einem Gas wird bei konstantem Volumen (geschlossenes System) Wärme zugeführt. Wie ändert sich die innere Energie?

Antwort 55

Sie steigt.

Frage 56

Der thermische Wirkungsgrad einer Dampfkraftanlage ist im Winter höher als im Sommer. Wie kommt das?

Antwort 56

Weil der Temperaturunterschied zwischen Innen- und Außentemperatur größer ist.

Frage 57

Führt eine Drosselung eines Gases zu einem Anstieg oder zu einer Abnahme der Gastemperatur?

Antwort 57

Unterhalb der Inversionstemperatur sinkt die Temperatur. Oberhalb steigt sie.

Frage 58

Wie ist die spezifische Wärmekapazität c im Zusammenhang mit der Erwärmung eines Stoffes definiert und wovon hängt sie ab?

Antwort 58

Die spezifische Wärmekapazität gibt an, welche Wärmemenge einem Stoff pro Kilogramm zugeführt werden muss, um seine Temperatur um ein Kelvin zu erhöhen.

Frage 59

Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Arbeit und technischer Arbeit!

Antwort 59

Während es sich bei der Volumenänderungsarbeit um eine einmalig am geschlossenen System verrichtete Arbeit handelt, wird die technische Arbeit kontinuierlich bzw. periodisch übertragen. Zur Volumenänderungsarbeit kommen dabei die Verschiebearbeiten am Ein- und Austritt des Systems hinzu.

Frage 60

Was versteht man unter Enthalpie und wie wird deren Änderung berechnet?

Antwort 60

Maß für die Energie eines Thermodynamischen Systems.

h = u+pv

{\text{d}}H = {\text{d}}U+d(pV) = T\cdot dS-p\cdot dV+p\cdot dV+V\cdot dp = T\cdot dS+V\cdot dp

Frage 61

Erläutern Sie den Unterschied zwischen cp und cv und setzen Sie beide in Beziehung zueinander. Für welche Stoffe sind sie konstant?

Antwort 61

cp: spezifische Wärmekapazität von Gasen für konstanten Druck
cv: spezifische Wärmekapazität von Gasen für konstantes Volumen

{c_p} = \kappa \cdot {c_v}

{c_p} = {c_v}+{R_s}

{R_s} = \frac{R}{M}

M: Molmasse

Frage 62

Wie lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für das offene System?

Antwort 62

\frac{{dE}}{{d\tau }} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\sum\limits_j {\dot W_j^t} +\sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}}

Frage 63

Wie lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für das geschlossene System?

Antwort 63

\frac{{dE}}{{d\tau }} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\sum\limits_j {\dot W_j^t}

Frage 64

Wie lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für stationäre Fließprozesse?

Antwort 64

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}}{2}} \right)+g{\Delta _{12}}z

Frage 65

Wie ist die Enthalpie definiert und wie lautet der allgemeine Berechnungsansatz?

Antwort 65

H = U+pV

Die bei p = const. einem System zugeführte Wärme wird als Enthalpie H bezeichnet

Frage 66

Wie lautet die allgemeine Formulierung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik?

Antwort 66

  • Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
  • Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis das Abkühlen eines Körpers und das Heben eines Gewichtes sind.
  • Eine Perpetuum mobile zweiter Art ist unmöglich.

Frage 67

Wie ist die Entropieänderung von festen Körpern und Flüssigkeiten definiert?

Antwort 67

{S_2}-{S_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{\delta {Q^R}}}{T}}

Frage 68

Definieren Sie die Volumenänderungsarbeit bei dp = 0 !

Antwort 68

{W_{V,12}} = -\int\limits_1^2 {p\left( V \right)dV}

Frage 69

Zeichnen Sie eine Isobare, Isochore, Isotherme und Isentrope ins T-S-Diagramm!

Antwort 69

isobare-isochore-isotherme-isentrope-ts-diagramm

Frage 70

Leiten Sie anhand der Gasgleichung eine Beziehung für W12 der Isothermen her, die nur von V abhängig ist.

Antwort 70

pV = mRT\quad \Rightarrow \quad p = \frac{{mRT}}{V}

{W_{V,12}} = -\int\limits_1^2 {p\left( V \right)dV}

\Rightarrow \quad {W_{V,12}} = -\int\limits_1^2 {\frac{{mRT}}{V}dV} = -mRT \cdot \int\limits_1^2 {\frac{1}{V}dV} = \underline{\underline {-mRT \cdot \ln \left( {\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}} \right)}}

Frage 71

Gegeben: {W_{V,12}} = -mRT \cdot \ln \left( {\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}} \right)
Stellen Sie die Gleichung so um, dass sie nur von p1, p2 und V1 bei dT = 0 abhängt!

Antwort 71

dT = 0\quad \Rightarrow isotherm \Rightarrow \quad pV = const\quad \Rightarrow \quad {p_1}{V_1} = {p_2}{V_2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}

{p_1}{V_1} = mRT\quad \Rightarrow \quad \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}

{W_{V,12}} = -{p_1}{V_1} \cdot \ln \left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)

Frage 72

Was heißt adiabat?

Antwort 72

ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung

Frage 73

Wie lautet die Isentropengleichung für ideale Gase?

Antwort 73

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{\rho _2}}}{{{\rho _1}}}} \right)^\kappa } = {\left( {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}} \right)^{\frac{\kappa }{{\kappa -1}}}}

Frage 74

Wie sieht die Arbeitsersparnis bei isothermer Verdichtung gegenüber isentroper Verdichtung aus?

Antwort 74

arbeitsersparnis-isotherme-verdichtung-isentrop
Vergleiche Flächen nach links (Integral): W_{12}^t = \int\limits_1^2 {V\left( p \right)dp}

Frage 75

Welches ist der wesentliche Unterschied des h-s-Diagramms zum T-S-Diagramm und warum?

Antwort 75

Weil h proportional zur Temperatur ist mit dh = {c_p}\:dT ist das h-s-Diagramm ein linear in der Ordinate verzerrtes T-S-Diagramm.

Frage 76

Wie errechnet sich die Enthalpie im Nassdampfgebiet?

Antwort 76

h = {h^\prime }+x \cdot \left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)
{h^\prime }: Enthalpie flüssig
{h^{\prime \prime }}: Enthalpie gasförmig
x: Dampfgehalt

Frage 77

Erläutern Sie das Prinzip der Dampf-Kältemaschine anhand des T-s-Diagramms für den Vergleichsprozess!

Antwort 77

dampf-kaltemaschine-vergleichsprozess-drossel

Frage 78

Skizzieren sie folgende Kreisprozesse: Carnot, Otto, Diesel, Stirling, Ericsson, Joule

Antwort 78

carnot-otto-diesel-stirling-ericsson-joule-kreisprozess

Frage 79

Wie lautet die Gleichung für den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses?

Antwort 79

{\eta _{th,\max }} = {\eta _C} = 1-\frac{{{T_L}}}{{{T_H}}} = 1-\frac{{{T_{\min }}}}{{{T_{\max }}}}

Gibt an, welcher Anteil der zugeführten Wärme maximal in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann.

Frage 80

Erläutern sie die Begriffe gesättigter Dampf und Nassdampf.

Antwort 80

Gesättigter Dampf: Zustand eines zwei Phasen-Gemisches, in dem Gleichgewicht zwischen verdampfenden Flüssigkeitsteilchen und kondensierenden Dampf-Teilchen besteht.

Nassdampf: Gesamtsystem aus koexistierender Flüssigkeit und Dampf (es liegt noch eine Flüssigkeitsschicht vor.)

Frage 81

Nennen Sie vier Prinzipien der Temperaturermittlung!

Antwort 81

  • Volumenausdehnung
  • elektrisches Widerstandsthermometer
  • Thermoelement
  • Berührungsfreie Temperaturmessung (Strahlungspyrometer)

Frage 82

Nennen Sie die SI-Einheit des Druckes und ihre Umwandlung in bar!

Antwort 82

Pascal, {10^5}Pa = 1\:bar

Frage 83

Nennen Sie die Zustandsgrößen für den Normzustand!

Antwort 83

{P_n} = 1,013\:bar\quad ,\quad {T_n} = 273,15K

Frage 84

Nennen Sie die Zustandsgleichung des idealen Gases in drei Formen!

Antwort 84

pV = mRT

pV = \frac{m}{M}{R_m}T

p = \rho RT

R: spezifische Gaskonstante
Rm: allgemeine Gaskonstante

Frage 85

Was sagt das Gesetz von Dalton hinsichtlich des Gesamtdruckes und der Partialdrücke eines Gasgemisches aus?

Antwort 85

{p_{ges}} = \sum {{p_i}}

Frage 86

Nennen Sie die Zusammensetzung der Atmosphäre in %!

Antwort 86

\begin{array}{*{20}{c}}{Gas} &\vline & {{N_2}} &\vline & {{O_2}} &\vline & {Ar} &\vline & {C{O_2}} \\ \hline{{x_i}\left( {Vol-\% } \right)} &\vline & {78,09} &\vline & {20,95} &\vline & {0,93} &\vline & {0,03} \\ \hline{{y_i}\left( {Gew-\% } \right)} &\vline & {75,48} &\vline & {23,14} &\vline & {1,28} &\vline & {0,046} \\ \end{array}

Wasserstoff, Neon, Helium in vernachlässigbaren Anteilen.

Frage 87

Geben Sie die Formel zur Ermittlung der Längenausdehnung eines Festkörpers an, wenn a näherungsweise als Konstant angesehen werden kann. Welche Einheit hat a?

Antwort 87

\Delta l = {l_0} \cdot \alpha \cdot \Delta T\quad ,\quad \alpha = \left[ {\frac{1}{K}} \right]

Frage 88

Wie ist bei idealen Gasen der Zusammenhang zwischen Molanteilen und Raumanteilen?

Antwort 88

{x_i} = {r_i}

Frage 89

Skizzieren Sie den Temperaturverlauf eines Reinstoffes bei der Erwärmung bis zur Gasphase. Benennen Sie Phasen und Punkte.

Antwort 89

temperaturverlauf-erwarmung-gasphase

Frage 90

Nennen Sie die ihnen bekannten kanonischen Energiefunktionen. Mit welcher mathematischen Transformation kann man diese Funktionen aus einer bekannten kanonischen Funktion berechnen?

Antwort 90

u = u\left( {s,v} \right),\quad h = h\left( {s,p} \right),\quad f = f\left( {T,v} \right),\quad g = g\left( {T,p} \right)
Legendre-Transformation

Frage 91

Man begründe in einem P-T-Diagramm, warum Eislaufen nur mit H2O und nicht z.B. mit CO2 möglich ist und beschrifte das Diagramm.

Antwort 91

pt-diagramm-eislaufen-wasser-co2

Weil durch das Körpergewicht der Druck erhöht und das Eis verflüssigt wird. Bei CO2 ist dies aufgrund der anders verlaufenden Schmelzdruckkurve nicht möglich.

Frage 92

Durch welche Bedingungen können die drei Konstanten der Van-der-Waals-Gleichung bei der Anpassung an den kritischen Punkt festgelegt werden.

Antwort 92

Van-der-Waals-Gleichung: \left( {p+\frac{a}{{{v^2}}}} \right)\left( {v-b} \right) = RT
a, b: Gasabhängige Konstanten

Bedingungen:

  • Zustandsgleichung
  • {\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial v}}} \right)_{{T_k}}}\mathop = \limits^! 0
  • {\left( {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {v^2}}}} \right)_{{T_k}}}\mathop = \limits^! 0
    vkrit, pkrit, Tkrit bekannt. D.h. 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Frage 93

Wie lautet die Bedingung für eine quasistatische Zustandsänderung?

Antwort 93

Eine langsame Änderung von Zuständen wird als quasistatischer Prozess bezeichnet. D.h. Zwischenzustände eines Prozesses können durch Gleichgewichtszustände, z.B. Zustandsgleichungen, beschrieben werden.

Frage 94

Wie lautet die Bedingung für das Phasengleichgewicht in einem 1-Komponenten 2-Phasen-System?

Antwort 94

{\mu _I} = {\mu _{II}},\quad {T_1} = {T_2}\quad \vee \quad {\mu _I} = {\mu _{II}},\quad {p_1} = {p_2}\quad \vee \quad {T_1} = {T_2},\quad {p_1} = {p_2}
Joule-Thomson-Koeffizient: {\mu _j} = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_h}

Frage 95

Luft (perfektes Gas, ? = 1,4) wird bei einer Anfangstemperatur von 20°C von 1bar auf 10 bar verdichtet, und zwar

  1. isochor
  2. isotherm
  3. reversibel-adiabat
  4. polytrop mit n = 1,3

Zeichen Sie die Vorgänge in eine p-v-Diagramm ein!

Antwort 95

arbeitsersparnis-isotherme-verdichtung-isentrop

Frage 96

Skizzieren Sie im p-v-Diagramm die Phasengrenzkurve, die Isothermen für T < {T_k},\quad T = {T_k},\quad T > {T_k} und beschriften Sie alle Linien!

Antwort 96

phasengrenzkurve-isotherme-pv-diagramm

Frage 97

Zeichnen Sie in ein T-s-Diagramm Isothermen, Isobaren, Isochore und Isenthalpen inklusive Nassdampfgebiet ein!

Antwort 97

isotherme-isobare-isochore-isenthalpe-nassdampfgebiet

Frage 98

Skizzieren Sie einen einfachen Rankine-Prozess (ohne Überhitzung) im p-v-Diagramm sowie im T-s-Diagramm!

Antwort 98

rankine-prozess-überhitzung-diagramm

Frage 99

Skizzieren Sie einen Rankine-Prozess mit Überhitzung im p-v-Diagramm sowie im T-s-Diagramm!

Antwort 99

rankine-prozess-uberhitzen-pv-diagramm-ts

Frage 100

Zeichnen Sie in das h-s-Diagramm eines realen Gases den kritischem Punkt, die
Phasengrenzkurve sowie den Verlauf der Isobaren, Isochoren und Isothermen im unkritischen Bereich!

Antwort 100

reales-gas-kritischer-punkt-phasengrenzkurve-isobare-isochore-isotherme

Frage 101

Ein ideales Gas befindet sich in einem-durch einen Kolben verschlossenen-Zylinder. Widerspricht die Abnahme der Entropie bei einer Expansion dem 2. Hauptsatz?

Antwort 101

2. HS:

dS = \delta {S_Q}+\delta {S_{irr}}

\quad \delta {S_{irr}} \geq 0

\quad {s_2} = \underbrace {\int\limits_{{T_1}}^{{T_2}} {\frac{{{c_v}\left( T \right)}}{T}dT} }_{ \ll 0}+R\underbrace {\ln \left( {\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}}} \right)}_{ > 0}+{s_1}

D.h. die Entropie kann auch abnehmen. Es widerspricht dem 2. HS also nicht. (?)

Frage 102

Eine Firma bietet ein Auto mit 55% Gesamtwirkungsgrad an. Die Verbrennungstemperatur im Motor beträgt 400°C. Die mittlere Umgebungstemperatur liegt bei 300 K. Würden sie das Auto kaufen?

Antwort 102

{\eta _{tot}} = {\eta _{th}} \cdot {\eta _{mech}}

Annahme: {\eta _{th}} > 0,55

{\eta _C} = 1-\frac{{{T_{\min }}}}{{{T_{\max }}}} = 1-\frac{{300\:K}}{{673,15\:K}} = 0,554

{\eta _{th}} < {\eta _C}\quad \Rightarrow möglich

D.h. man könnte das Auto kaufen.

]]> http://me-lrt.de/thermodynamik-fragenkatalog-klausur/feed 10 U10 – Gegenstrom-Wärmeübertrager http://me-lrt.de/u10-gegenstrom-warmeubertrager http://me-lrt.de/u10-gegenstrom-warmeubertrager#comments Sat, 06 Mar 2010 00:01:56 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4938 In einem adiabaten Gegenstrom-Wärmeübertrager wird ein Luftstrom {\dot m_L} = 1,1\:kg/s von tL1 = 16°C auf tL2 = 55°C erwärmt. Dabei sinkt der Druck im Luftstrom von pL1 = 1,036 bar auf pL2 = 1 bar.

Die Luft wird von Abhitzewasser mit einem Massenstrom {\dot m_W} erwärmt, das sich dabei von tW2 = 70°C auf tW1 = 48°C abkühlt. Die Zustandsänderung des Wassers kann als isobar angenommen werden.

  1. Bestimmen Sie den erforderlichen Massenstrom r{h_W} des Abhitzewassers.
  2. Wie groß ist der gesamte im Wärmeübertrager erzeugte Entropiestrom?
  3. Wie groß ist der durch Dissipation in der reibungsbehafteten Luftströmung erzeugte Entropiestrom, wie groß ist der in der Wasserströmung erzeugte Entropiestrom?
  4. Wie groß ist der durch den irreversiblen Wärmeübergang erzeugte Entropiestrom?

Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien sollen vernachlässigt werden. Die Luft soll als perfektes Gas, das Wasser als inkompressibles Medium betrachtet werden.

Weiter Angaben:

für Luft: {c_{p.L}} = 1,0\frac{{kJ}} {{kgK}},\quad {R_L} = 0,287\frac{{kJ}} {{kgK}}

für Wasser: {c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}}

Lösung

Zunächst ein Bild:

td-10-gegenstrom-warmeubertrager

a)

Wir stellen den 1. Hautsatz für stationäre Fließprozesse auf:

{q_{12}}+\underbrace {w_{12}^t}_0 = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}{{\left( {\frac{c} {2}} \right)}^2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

Für Luft als perfektes Gas gilt laut Formelsammlung:

dh = {c_p}\:dT

Für Wasser als inkompressibles Medium gilt:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}dT}_{{c_v} \cdot dT}+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}\underbrace {dp}_{0,\:isobar}

\Rightarrow \quad dh = {c_v}\:dT

Damit folgt eingesetzt in den 1. HS:

{{\dot Q}_{12}} = {{\dot m}_L}{c_{p,L}}\left( {{t_{L2}}-{t_{L1}}} \right) = {{\dot m}_W}{c_W}\left( {{t_{W1}}-{t_{W2}}} \right)

\Rightarrow \quad {{\dot m}_W} = \frac{{{{\dot m}_L}{c_{p,L}}\left( {{t_{L2}}-{t_{L1}}} \right)}} {{{c_W}\left( {{t_{W1}}-{t_{W2}}} \right)}} = \underline{\underline {0,465\frac{{kg}} {s}}}

b)

Für den Entropieproduktionsstrom im adiabaten Gesamtsystem gilt:

{\dot S_{irr}} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \Delta {s_k}}

Wir wissen \Delta s = \int {ds} und s können wir über die Gibbs’sche Hauptgleichung bzw. über die Legendre-Transformierte der selbigen bestimmen:

dh = Tds+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}dh-\frac{1} {T}vdp

dh haben wir schon in der Vorherigen Aufgabe bestimmt.
Für v gilt im Falle des perfekten Gases:

v = \frac{{RT}} {p}

\Rightarrow \quad d{s_L} = \frac{1} {T}{c_p}\:dT-\frac{1} {p}R\:dp

\Rightarrow \quad \Delta {s_L} = \int\limits_1^2 {d{s_L}} = \int\limits_1^2 {\frac{1} {T}{c_p}\:dT} -\int\limits_1^2 {\frac{1} {p}R\:dp}

\Rightarrow \quad \Delta {s_L} = {c_p}\ln \left( {\frac{{{t_{L2}}}} {{{t_{L1}}}}} \right)-R\ln \left( {\frac{{{p_{L2}}}} {{{p_{L1}}}}} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\Delta {s_L} = 136,68\frac{J} {{kgK}}}}

Auch das Wasser betrachten wir von links nach rechts. Da das Wasser isobar durch den Wärmeübertrager fließen soll, gilt:

\Rightarrow \quad d{s_W} = \frac{1} {T}dh-\frac{1} {T}v\underbrace {dp}_0

\Rightarrow \quad d{s_W} = \frac{1} {T}{c_W}\:dT

\Rightarrow \quad \Delta {s_W} = \int\limits_2^1 {d{s_L}} = \int\limits_2^1 {\frac{1} {T}{c_W}\:dT}

\Rightarrow \quad \Delta {s_W} = {c_W}\ln \left( {\frac{{{t_{W1}}}} {{{t_{W2}}}}} \right)

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\Delta {s_W} = -277,63\frac{J} {{kgK}}}}

Damit ergibt sich für den gesamten im Wärmeübertrager erzeugten Entropiestrom:

{{\dot S}_{irr}} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \Delta {s_k}} = {{\dot m}_L} \cdot \Delta {s_L}+{{\dot m}_W} \cdot \Delta {s_W}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{{\dot S}_{irr}} = 21,25\frac{W} {K}}}

c)

Soeben haben wir den Entropieproduktionsstrom im adiabaten Gesamtsystem betrachtet.
Nun beschäftigen wir uns mit den Entropieänderungen in den einzelnen Komponenten.

Für die Entropieänderungen der Komponente k gilt:

\Delta {\dot S_k} = \sum\limits_j {{{\left( {\frac{{\dot Q}} {T}} \right)}_j}} +{\dot S_{irr,k}}

Die Temperatur T ist nun allerdings nicht über den ganzen Wärmeübertrager konstant. Wir können jedoch die Temperatur als abschnittsweise konstant betrachten:

td-10-temperaturverlauf

td-10-warmeubertrager

Daher gilt für die Luft:

\frac{{\dot Q}} {T} = {\dot S_Q} = \int\limits_1^2 {\delta {{\dot S}_Q}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\delta \dot Q}} {T}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\dot m \cdot {c_p} \cdot \left( {\left( {T+dT} \right)-T} \right)}} {T}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\dot m \cdot {c_p} \cdot dT}} {T}} = {\dot m_L} \cdot {c_p} \cdot \ln \left( {\frac{{{t_{L2}}}} {{{t_{L1}}}}} \right)

Mit Hilfe der Lösung aus der vorherigen Aufgabe folgt damit für die Luft:

{{\dot S}_{irr,L}} = \underbrace {\Delta {{\dot S}_L}}_{{{\dot m}_k}\Delta {s_L}}-\sum\limits_j {{{\left( {\frac{{\dot Q}} {T}} \right)}_j}} = {{\dot m}_L} \cdot \left( {{c_p}\ln \left( {\frac{{{t_{L2}}}} {{{t_{L1}}}}} \right)-R\ln \left( {\frac{{{p_{L2}}}} {{{p_{L1}}}}} \right)-{c_p} \cdot \ln \left( {\frac{{{t_{L2}}}} {{{t_{L1}}}}} \right)} \right)

\Rightarrow \quad {{\dot S}_{irr,L}} = -{{\dot m}_L}R\ln \left( {\frac{{{p_{L2}}}} {{{p_{L1}}}}} \right) = \underline{\underline {11,17\frac{W} {K}}} > 0

Für die Wasserströmung gilt dementsprechend:

{{\dot S}_{irr,W}} = \underbrace {\Delta {{\dot S}_W}}_{{{\dot m}_W}\Delta {s_W}}-\sum\limits_j {{{\left( {\frac{{\dot Q}} {T}} \right)}_j}} = {{\dot m}_W} \cdot \left( {{c_W}\ln \left( {\frac{{{t_{W1}}}} {{{t_{W2}}}}} \right)-{c_W}\ln \left( {\frac{{{t_{W1}}}} {{{t_{W2}}}}} \right)} \right)

\Rightarrow \quad {{\dot S}_{irr,W}} = \underline{\underline {0\:\frac{W} {K}}}

Dies ist auch plausibel, da wir von einer isobaren und reibungsfreien Strömung für das Wasser ausgegangen sind. Daher findet keine Entropieerzeugung durch Dissipation statt. Ansonsten würden wir durch die Reibung, wie bei der Luft, einen Druckverlust feststellen.

Alternative Erklärung.
Durch die Dissipation (z.B. Reibung) entsteht in der Luftströmung ein Druckverlust.
Beim Wasser ist dies nicht der Fall, daher wird dort auch kein Entropiestrom durch Reibung erzeugt
Das bedeutet, aus dem Druckverlust können wir direkt die Entropieänderung bestimmen:

dh = Tds+\boxed{vdp}\quad \Rightarrow \quad ds = \frac{{dh}}{T}\boxed{-\frac{v}{T}dp}

-\frac{v}{T}dp = -\frac{1}{p}R\:dp

\Rightarrow \quad \Delta {s_p} = -\int\limits_1^2 {\frac{1}{p}R\:dp} = -R\ln \left( {\frac{{{p_{L2}}}}{{{p_{L1}}}}} \right)

{{\dot S}_{irr,L}} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \Delta {s_k}} = -{{\dot m}_L}R\ln \left( {\frac{{{p_{L2}}}}{{{p_{L1}}}}} \right) = \underline{\underline {11,17\frac{W}{K}}}

Zu beachten ist hier allerdings das „-“. Irreversible Entropieänderungen können nur positiv sein!

d)

Hier können wir nun ganz einfach die Gesamtbilanz aufstellen um den in der Wand erzeugten Entropiestrom zu ermitteln:

{{\dot S}_{irr}} = {{\dot S}_{irr,Wand}}+{{\dot S}_{irr,L}}+{{\dot S}_{irr,W}}

\Rightarrow \quad {{\dot S}_{irr,Wand}} = {{\dot S}_{irr}}-{{\dot S}_{irr,L}}-{{\dot S}_{irr,W}} = 21,25\frac{W} {K}-11,17\frac{W} {K}-0 = \underline{\underline {10,08\frac{W} {K}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/u10-gegenstrom-warmeubertrager/feed 2 U09 – Schmelzen von Eis http://me-lrt.de/u09-schmelzen-von-eis http://me-lrt.de/u09-schmelzen-von-eis#comments Fri, 05 Mar 2010 20:07:29 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4932 2 kg Eis von –40°C, die sich in einem wärmeisolierten Gefäß befinden, sollen durch eine konstante Wärmezufuhr {\dot Q_{el}} = 1\:kW erwärmt, vollständig verflüssigt und schließlich auf 80°C erhitzt werden.

  1. Skizzieren Sie den Verlauf der Temperatur t des Eises bzw. Wassers über der Zeit J während des gesamten Prozesses für die bekannten kalorischen Werte von Wasser.
  2. Welche Zeit Δτges wird für den Gesamtprozess benötigt?
  3. Welche Entropie wird dabei dem Eis bzw. dem Wasser mindestens zugeführt?

Hinweis: Dichteänderungen während der Umwandlung des Eises in Wasser sollen vernachlässigt werden.

{c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}},\quad {c_E} = 2,108\frac{{kJ}} {{kgK}},\quad {r_E} = 333,4\frac{{kJ}} {{kg}}

Lösung

td-09-behalter-eis-wasser

a)

Der Temperaturverlauf sieht aus wie folgt:

td-09-temperaturverlauf

Erklärung:

Das Eis erwärmt sich solange, bis es den Schmelzpunkt erreicht hat. Danach bleibt die Temperatur solange konstant, bis das Eis vollständig geschmolzen ist. Anschließend heizt sich das Wasser weiter auf. Allerdings nur noch halb so schnell, wie das Eis. Dies liegt daran, dass der kalorische Wert von Wasser doppelt so groß ist, wie der von Eis.

Ersichtlich wird dieser Zusammenhang noch im nächsten Aufgabenteil.

b)

Wir stellen als erstes den 1. Hauptsatz für instationäre Vorgänge auf:

\frac{{\partial {U^\Sigma }}} {{\partial \tau }} = \dot Q+\underbrace {\dot W}_0

Diesen Stellen wir nach der Zeit um

\Rightarrow \quad d\tau = \frac{{d{U^\Sigma }}} {{\dot Q}}

Aus dem totalen Differential von u folgt für die Bereiche 1 und 3:

du = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial T}}} \right)}_v}dT}_{{c_v} \cdot dT}+{\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial v}}} \right)_T}\underbrace {dv}_0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {dU = {m_E} \cdot du = {m_E} \cdot {c_v} \cdot dT}}

Für den Schmelzbereich folgt aus der Gibbs’schen Hauptgleichung:

dU = \underbrace {TdS}_{r \cdot dm}-\underbrace {pdV}_0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {dU = {r_E} \cdot d{m_W}}}

Hierbei ist rE die Schmelzenthalpie und dmW die Änderung der Wassermasse. Da wir das Eis komplett in Wasser umwandeln beträgt sie in diesem Falle mE = 2kg.

Damit folgt insgesamt:

d{U^\Sigma } = {m_E} \cdot {c_E} \cdot \left( {{T_2}-{T_1}} \right)+{r_E} \cdot d{m_W}+{m_E} \cdot {c_W} \cdot \left( {{T_3}-{T_2}} \right)

= {m_E}\left[ {{c_E} \cdot \left( {{T_2}-{T_1}} \right)+{r_E}+{c_W} \cdot \left( {{T_3}-{T_2}} \right)} \right]

= 2\:kg \cdot \left[ {2108\frac{J} {{kg}} \cdot 40\:K+333400\frac{J} {{kg}}+4190\frac{J} {{kg}} \cdot 80\:K} \right]

= \underline{\underline {1505,8\:kJ}}

\Rightarrow \quad d\tau = \frac{{d{U^\Sigma }}} {{{{\dot Q}_{el}}}} = \frac{{1505,8\:kJ}} {{1000\:W}} = 1505,8\:s = \underline{\underline {25\:min}}

Erklärung zum Anstieg des Graphen:

Es ist gilt:

d\tau = \frac{{d{U^\Sigma }}} {{{{\dot Q}_{el}}}} \approx {m_E} \cdot {c_v} \cdot dT\quad \Rightarrow \quad \frac{{dT}} {{d\tau }} \approx \frac{1} {{{c_v}}}

Das heißt also mit doppelt so großem c ist die Steigung der Temperatur nur noch halb so groß.

c)

Für die Entropieänderung gilt:

dS = \delta {S_Q}+\delta {S_{irr}}

mit:

\delta {S_Q} = \frac{{\delta Q}} {T}

\delta {S_{irr}} \geq 0

In diesem Fall ist die irreversible Entropieänderung = 0, da es sich um einen reversiblen Vorgang handelt.

Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes aus b) folgt:

dS = \delta {S_Q} = \frac{{\delta Q}} {T} = \frac{{\dot Q \cdot d\tau }} {T} = \frac{{d{U^\Sigma }}} {T}

Durch Integration erhalten wir:

\Delta S = \int\limits_1^3 {dS} = \int\limits_1^3 {\frac{{d{U^\Sigma }}} {T}} = \int\limits_1^{{2^\prime }} {{m_E} \cdot {c_E} \cdot \frac{1} {T} \cdot dT} +\int\limits_{{2^\prime }}^{{2^\prime }^\prime } {{r_E} \cdot \frac{1} {T} \cdot d{m_W}} +\int\limits_{{2^\prime }^\prime }^3 {{m_E} \cdot {c_W} \cdot \frac{1} {T} \cdot dT}

= \ln \left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right) \cdot {m_E} \cdot {c_E}+{r_E} \cdot \frac{{{m_E}}} {{{T_2}}}+\ln \left( {\frac{{{T_3}}} {{{T_2}}}} \right) \cdot {m_E} \cdot {c_W}

= \ln \left( {\frac{{273,15K}} {{237,15K}}} \right) \cdot 2kg \cdot 2108\frac{J} {{kgK}}+333400\frac{J} {{kg}} \cdot \frac{{2kg}} {T}+\ln \left( {\frac{{353,15K}} {{273,15K}}} \right) \cdot 2kg \cdot 4190\frac{J} {{kgK}}

= 5261,29\:\frac{J} {K}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\Delta S = 5,26\:\frac{{kJ}} {K}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/u09-schmelzen-von-eis/feed 0 U06 – Druckluftanlage http://me-lrt.de/u06-druckluftanlage http://me-lrt.de/u06-druckluftanlage#comments Sat, 13 Feb 2010 12:24:27 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4541 druckluftanlage

Zustände:

{p_1} = 1bar\quad {t_1} = 15^\circ C

{p_2} = 5bar

{p_3} = 5bar\quad {t_3} = 15^\circ C

Die skizzierte Druckluftanlage soll 80\frac{{{m^3}}} {h} Luft vom Zustand (3) liefern. Dazu wird Luft vom Zustand (1) (=Umgebungszustand) angesaugt, auf den Zustand (2) verdichtet und danach in einem wärmeisolierten Wärmeübertrager isobar auf die Temperatur {t_a} zurückgekühlt. Die Verdichtung erfolgt irreversibel adiabat. Der isentrope Wirkungsgrad beträgt dabei {\eta _{s,V}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = 0,8.

  1. Skizzieren Sie die Zustandsänderungen der Luft in einem p,v-Diagramm.
  2. Berechnen Sie die Temperatur t2 der Luft nach der irreversibel adiabaten Verdichtung.
  3. Wie groß ist der Volumenstrom {\dot V_1} (in m³/h) der angesaugten Luft?
  4. Welcher Wärmestrom \dot Q (in kJ/h) wird im Wärmeübertrager von der Druckluft an das Kühlwasser abgegeben?

Weitere Angaben:
Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien sollen bei der Verdichtung vernachlässigt
werden.
Luft soll als perfektes Gas mit der Gaskonstanten R = 0,287 kJ/(kgK)
und der spezifischen Wärmekapazität cp = 1,0 kJ/(kgK)
betrachtet werden.

Lösung

druckluftanlage

\begin{array}{*{20}{c}} {Zustand} &\vline & {Druck} &\vline & {Temperatur} &\vline & {\ddot Ubergang} \\ \hline 1 &\vline & {{p_1} = 1bar} &\vline & {{t_1} = 15^\circ C} &\vline & {irr.\:ad.\:{\eta _{s,V}} = 0,8} \\ 2 &\vline & {{p_2} = 5bar} &\vline & {} &\vline & {isobar} \\ 3 &\vline & {{p_3} = 5bar} &\vline & {{t_3} = 15^\circ C} &\vline & {} \\ \end{array}

a)

p-v-diagramm"

Für den isentropen Verdichterwirkungsgrad gilt laut Aufgabenstellung:

{\eta _{s,V}} = \frac{{min\:aufzuwendende\:Arbeit}} {{real\:notwendige\:Arbeit}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = \frac{{rev.\:Grenzfall}} {{reale\:Zustands\ddot anderung}} = 0,8

b)

Gesucht: Temperatur {T_2}

Weg: Wir bestimmen w_{12,rev}^t und w_{12,irr}^t. Über den Wirkungsgrad erhält man anschließend {T_2}

1. reale Verdichtung (Zustand 1 → 2)
1. Hauptsatz für statische Fließprozesse (gilt immer, auch für irreversible Vorgänge)

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z

\Rightarrow \quad \underline{\underline {w_{12}^t = {\Delta _{12}}h = {c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right) = w_{12,\:irr}^t}}

2. ideale Verdichtung (Zustand 1 → 2*)
Laut Formelsammlung gilt:

w_{{{12}^*},\:rev}^t = \int_1^{{2^*}} {v\left( p \right)dp} +{\Delta _{{{12}^*}}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{{{12}^*}}}z

Bei Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie folgt:

w_{{{12}^*},\:rev}^t = \int_1^{{2^*}} {v\left( p \right)dp}

Wir gehen hier wegen der Reversibilität vom isentropen Grenzfall aus:

p{v^\kappa } = {p_1}v_1^\kappa \quad \Rightarrow \quad v = {\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)^{\frac{1} {\kappa }}}{v_1}

w_{{{12}^*}}^t = \int_1^{{2^*}} {{{\left( {\frac{{{p_1}}} {p}} \right)}^{\frac{1} {\kappa }}}{v_1}dp} = p_1^{\frac{1} {\kappa }}{v_1}\int_1^{{2^*}} {{{\left( {\frac{1} {p}} \right)}^{\frac{1} {\kappa }}}dp}

= \frac{\kappa } {{\kappa -1}}{v_1}{p_1}^{\frac{1} {\kappa }}\left[ {{p_{{2^*}}}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}-{p_1}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}} \right] = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}{v_1}{p_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{{2^*}}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{{2^*}}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

Diese Formel können wir auch der Formelsammlung entnehmen.
Für das ideale Gas gilt:

{p_1}{v_1} = R{T_1}

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = \frac{\kappa } {{\kappa -1}}R{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_{2*}}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}} {\kappa }}}-1} \right]

Festgelegte Arbeitsbelastung der Verdichtung:

p_2^* = {p_2}

Nun müssen wir noch den Term mit κ aus der Angabe berechnen. Es gilt:

\frac{\kappa } {{\kappa -1}} = \frac{{{c_p}}} {R}

\Rightarrow \quad w_{{{12}^*}}^t = {c_p}{T_1}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)}^{\frac{R} {{{c_p}}}}}-1} \right] = \underline{\underline {169,17\frac{{kJ}} {{kg}}}}

Für den reversibel adiabaten Grenzfall gilt also (nach Umformung) ebenfalls die Beziehung:

w_{12*}^t = {c_p}\left( {T_2^*-{T_1}} \right) = {\Delta _{12*}}h

und T_2^* lässt sich wegen p_2^* = {p_2} aus T \cdot {p^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}} = const. bestimmen:

T_2^* = {T_1} \cdot {\left( {\frac{{{p_1}}} {{{p_2}}}} \right)^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}} = 456,38K

Damit folgt nun:

{\eta _{s,V}} = \frac{{w_{rev}^t}} {{w_{irr}^t}} = \frac{{w_{12*}^t}} {{w_{12}^t}} = \frac{{{c_p}\left( {T_2^*-{T_1}} \right)}} {{{c_p}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{T_2} = \frac{{T_2^*-{T_1}}} {{{\eta _{s,V}}}}+{T_1} = 498,43K = 225,28^\circ C}}

c)

Berechnung des Volumenstroms {\dot V_1}

Wir betrachten das stationär durchströmte System:

{\dot m_1} = {\dot m_3} = {\rho _1}{\dot V_1} = {\rho _3}{\dot V_3}

Daraus folgt mit T1 = T3:

{\dot V_1} = \frac{{{\rho _3}}} {{{\rho _1}}}{\dot V_3} = \frac{{R{T_1}}} {{{p_1}}} \cdot \frac{{{p_3}}} {{R{T_3}}}{\dot V_3} = 5{\dot V_3} = \underline{\underline {400\frac{{{m^3}}} {h}}}

d)

Berechnung des Wärmestroms

gesucht: v in \frac{{kJ}} {h}

kuhlung-wasser-luft

Möglichkeit 1:
Wir betrachten das System II und stellen den ersten Hauptsatz für statische Fließprozesse auf:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+\underbrace {{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g{\Delta _{12}}z}_0

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{ = {c_p} = {c_w}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}\underbrace {dp}_0

\Rightarrow \quad {\Delta _{ae}}h = {c_W}{\Delta _{ae}}T = {q_{ae}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_{zu}} = {{\dot m}_{H2O}}{q_{ae}} = {{\dot m}_{H2O}}{c_W}{T_{ae}}

Da in der Aufgabenstellung die Angaben über den Massenstrom des Wassers und cw fehlen, können wir hier nicht weiterrechnen.

Möglichkeit 2:
Wir betrachten nur die Luft im Wärmetauscher, und nicht das Wasser.
1. Hauptsatz:

{q_{23}}+w_{23}^t = {\Delta _{23}}h = {c_p}{\Delta _{23}}T

\quad \Rightarrow \quad {q_{23}} = {c_p}{\Delta _{23}}T = -211,47\frac{{kJ}} {{kg}}

\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_{23}} = {q_{23}}\dot m = {q_{23}}{\rho _3}{{\dot V}_3} = {q_{23}}{{\dot V}_3}\frac{{{p_3}}} {{R{T_3}}} = -28,41kW = -28,41\frac{{kJ}} {s} = \underline{\underline {3600 \cdot \left( {-28,41} \right)\frac{{kJ}} {h}}}

Möglichkeit 3:
Wir betrachten die Luft in der Gesamtanlage
druckluftanlage

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

{q_{13}}+w_{13}^t = {c_p}\underbrace {\left( {{T_3}-{T_1}} \right)}_{ = 0} = {\Delta _{13}}h = 0

w_{13}^t = w_{12}^t+\underbrace {w_{23}^t}_{ = 0} = w_{12}^t

{q_{13}} = {q_{23}}+\underbrace {{q_{12}}}_{ = 0} = {q_{23}}

\quad \Rightarrow \quad {q_{23}} = -w_{12}^t = -211,47\frac{{kJ}} {{kg}}

Der Rest folgt analog zu Möglichkeit 2

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

]]> http://me-lrt.de/u06-druckluftanlage/feed 0 U08 – Kältemaschine http://me-lrt.de/u08-kaltemaschine http://me-lrt.de/u08-kaltemaschine#comments Fri, 12 Feb 2010 15:12:10 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4509 Ein dünnwandiger, vollkommen wärmeisolierter Behälter enthält ein Eis-Wasser-Gemisch ({m_E} = 0,6kg Eis und {m_W} = 0,4kgWasser) der Temperatur {T_0} = 0^\circ C . Durch eine stationär arbeitende Kältemaschine wird dem Eis-Wasser-Gemisch ein Wärmestrom {\dot Q_{ab}} = 100W entzogen, so dass es nach einer Zeit \Delta {\tau _E} seit Beginn des Prozesses vollständig gefroren ist. Die Temperatur des Kältemittels im Verdampfer beträgt dabei {T_v} = -10^\circ C .

  1. Welche Wärmemenge {Q_{12}} muss dem Eis-Wasser-Gemisch während des Gefriervorgangs entzogen werden (Zeit \tau = 0bis \tau = {\tau _E})?
  2. In welcher Zeit \Delta \tau ist das Eis-Wasser-Gemisch vollständig gefroren?
  3. Wie groß ist der Entropiestrom, der während des eigentlichen Gefriervorgangs aus dem Eis-Wasser Gemisch strömt?
  4. Welcher Entropiestrom strömt während dieser Zeit in das Kältemittel im Verdampfer der Kältemaschine?
  5. Wie groß ist der während des eigentlichen Gefriervorgangs in der Verdampferwand produzierte Entropiestrom {\dot S_{irr}}?

Thermodynamische Daten von Wasser:
\begin{array}{*{20}{c}} {{M_w} = 18,015\frac{{kg}} {{mol}}} & {{c_{pD}} = 1,852\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {{r_0} = 2500,5\frac{{kJ}} {{kg}}} \\ {} & {{c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {{r_E} = 334,4\frac{{kJ}} {{kg}}} \\ {} & {{c_E} = 2,108\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {} \\ \end{array}

Lösung

kaltemaschine-eis-wasser

Gegeben:

{m_E} = 0,6kg,\quad {m_W} = 0,4kg

{T_0} = 0^\circ C

{{\dot Q}_{ab}} = 100W

{T_V} = -10^\circ C

Allgemeine Betrachtung:
temperaturverlauf-wand

Es gilt:

\left| {{{\dot Q}_{ab}}} \right| = \left| {{{\dot Q}_{zu}}} \right|

\left| {{{\dot S}_{ab}}} \right| \ne \left| {{{\dot S}_{zu}}} \right|

Wir stellen den zweiten Hauptsatz auf:

dS = \underbrace {\delta {S_Q}}_{\frac{{\delta Q}} {T}}+\underbrace {\delta {S_{irr}}}_{ \geq 0}

Für den reversiblen adiabaten Grenzfall gilt:

dS = \frac{{\overbrace {\delta Q}^{ = 0}}} {T}+\underbrace {\delta {S_{irr}}}_{ = 0} = 0

\frac{{dS}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {\frac{{\delta {S_{Qi}}}} {{\delta \tau }}} +\frac{{\delta {S_{irr}}}} {{\delta \tau }} = \sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} +{{\dot S}_{irr}}

Da es sich um einen stationären Fließprozess handelt, muss gelten:

\frac{{dS}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {\frac{{\delta {S_{Qi}}}} {{\delta \tau }}} +\frac{{\delta {S_{irr}}}} {{\delta \tau }} = \sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} +{\dot S_{irr}} = 0\quad \Rightarrow \quad \boxed{{{\dot S}_{irr}} = -\sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} }

Wir kommen nun zu der Beantwortung der Aufgabenstellungen.


a )

Wir stellen den ersten Hauptsatz für das System EW auf:

{Q_{12}}+{W_{12}} = \Delta {U_{12}}

Da keine Volumenänderung vorliegt, gibt es keine Volumenarbeit:

{W_{12}} = \int {p\left( V \right)\underbrace {dV}_{ = 0}} = 0

Es folgt:

{Q_{12}} = \Delta {U_{12}} = \Delta _{12}^wU = TdS-p\underbrace {dV}_0 = m\underbrace {Tds}_r = -{m_W}{r_E} = -0,4 \cdot 333,4\frac{{kJ}} {{kg}} = -133,36kJ

r ist hierbei die so genannte Verdampfungsenthalpie.


b )

Gesucht ist die Zeitdauer des Prozesses:

\Delta \tau = \frac{{\left| {{Q_{12}}} \right|}} {{\left| {{{\dot Q}_{ab}}} \right|}} = 1333,6s \overset{\wedge}{=}22\min ,13\sec


c )

Gesucht ist der an den Wärmestrom {\dot Q_{ab}} gebundene Entropiestrom {\dot S_{EW}}.
Es gilt:

{\dot S_{EW}} = -\frac{{{{\dot Q}_{ab}}}} {T} = -\frac{{100\frac{J} {s}}} {{273,15K}} = -0,366\frac{W} {K}


d )

Gesucht ist der Entropiestrom im Kältemittel.
Es gilt:

{\dot S_{KM}} = \frac{{{{\dot Q}_{ab}}}} {{{T_{KM}}}} = \frac{{100\frac{J} {s}}} {{263,15K}} = 0,380\frac{W} {K}

Der Entropiestrom in das Kältemittel ist also größer als der Entropiestrom, der das Eiswasser verlässt. Daher muss in der Wand Entropie erzeugt werden! (vgl. Skript S. 57 ff.)


e )

{\dot S_{irr}} = -\sum\limits_i {{{\dot S}_{Qi}}}

Veranschaulichung:

entropie-erzeugung-wand

Es ist also:

{\dot S_{irr}} = -\sum\limits_i {{{\dot S}_{Qi}}} = -\left( {\left| {{{\dot S}_{EW}}} \right|-\left| {{{\dot S}_{KM}}} \right|} \right) = \underline{\underline {0,014\frac{W} {K}}}

Dieser Entropiestrom wird also in der Wand erzeugt.

\mathcal{J}\mathcal{K}/\mathcal{F}\mathcal{W}/\mathcal{G}\mathcal{H}

]]> http://me-lrt.de/u08-kaltemaschine/feed 0 U07 – Wärmeisolierte Rohrleitung http://me-lrt.de/u07-warmeisolierte-rohrleitung http://me-lrt.de/u07-warmeisolierte-rohrleitung#comments Fri, 12 Feb 2010 13:46:07 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4503 Durch eine horizontale, wärmeisolierte Rohrleitung, deren Querschnitt sich kontinuierlich vom Anfangsquerschnitt A1 auf A2 = 2A1 erweitert, strömt Wasser. Die Querschnittserweiterung bewirkt eine Erhöhung des Wasserdrucks von p1 = 2,0 bar auf p2 = 2,1 bar.

  1. Bestimmen Sie die Änderung der Temperatur und der spezifischen Entropie des Wassers beim Durchströmen der Querschnittserweiterung, wenn das Wasser im Eintrittszustand eine Temperatur T1 = 300 K und eine Strömungsgeschwindigkeit c1 = 10 m/s besitzt.
  2. Ermitteln Sie anhand einer Abschätzung der Entropieänderung, ob für Luft anstelle von Wasser im Endquerschnitt grundsätzlich dieselben Werte der Zustandsgrößen erreicht werden können, wenn man für Luft dieselben Werte der Zustandsgrößen und der Strömungsgeschwindigkeit im Anfangsquerschnitt wie für Wasser voraussetzt.

Weitere Angaben:
Wasser soll als inkompressibles Medium angesehen werden mit:
ρ = 1000 kg/m3 und cp = cv = cW = 4,19 kJ/(kgK).
Luft soll als perfektes Gas betrachtet werden mit:
cp = 1,0 kJ/(kgK) und R = 0,287 kJ/(kgK).

Lösung

rohrleitung-diffusor-luft-wasser

Gegeben:

{A_2} = 2{A_1}

{p_1} = 2bar

{p_2} = 2,1bar

{T_1} = 300K

{c_1} = 10\frac{m} {s}

Für Wasser gilt: {\rho _{H2O}} = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}}

Für Luft gilt: {c_p} = 1\frac{{kJ}} {{kgK}},\quad R = 0,287\frac{{kJ}} {{kgh}}

a )

Wir stellen den ersten Hauptsatz für statische Fließprozesse auf:

\underbrace {{q_{12}}}_{adiabat = 0}+\underbrace {w_{12}^t}_{keine\:Vorr = 0} = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)+g\underbrace {{\Delta _{12}}z}_{ = 0}

{\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right) = 0

Weiter mit Hilfe des totalen Differentials:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{{c_W}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp

mit\quad {\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T} = v-\underbrace {{{\left( {\frac{{\partial v}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{inkompr. = 0}

\Rightarrow \quad dh = {c_W}dT+vdp

Damit folgt:

{\Delta _{12}}h = \int\limits_1^2 {dh} = {c_W}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)+v\left( {{p_2}-{p_1}} \right)

Einsetzen in den ersten Hauptsatz liefert:

{c_W}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)+v\left( {{p_2}-{p_1}} \right) = \left( {\frac{{c_1^2}} {2}-\frac{{c_2^2}} {2}} \right)

\left( {{T_2}-{T_1}} \right) = \Delta T = \frac{1} {{2{c_W}}}\left( {c_1^2-c_2^2} \right)-\frac{v} {{{c_W}}}\left( {{p_2}-{p_1}} \right)

Die Geschwindigkeit {c_2} berechnen wir mit der Kontinuitätsgleichung.

{{\dot m}_1} = {\rho _1}{c_1}{A_1} = {{\dot m}_2} = {\rho _2}{c_2}{A_2} = {\rho _1}{c_2} \cdot 2{A_1}

\quad \Rightarrow \quad {T_2}-{T_1} = \Delta T = 6,6 \cdot {10^{-3}}K = \underline{\underline {6,6mK}}

Der Term \left( {c_1^2-c_2^2} \right) bedeutet eine Temperaturerhöhung wegen Geschwindigkeitsreduktion.
Aus \left( {{p_2}-{p_1}} \right) folgt eine Temperaturreduktion wegen Druckerhöhung.

Änderung der Entropie von Zustand 1 zu Zustand 2:

Die Gibbs’sche Hauptgleichung lautet:

dh = Tds+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}\left( {dh-vdp} \right)

mit\quad dh = {c_W}dT+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}{c_W}dT

\Delta {s_{12}} = {c_W}\ln \left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right) = {c_W}\ln \left( {\frac{{{T_1}+\Delta T}} {{{T_1}}}} \right) = \underline{\underline {0,092\frac{J} {{kgK}}}}

Wir könnten auch eine Abschätzung nach Taylor durchführen:

\Delta {s_{12}} = {c_W}\ln \left( {1+\frac{{\Delta T}} {{{T_1}}}} \right) = {c_W}\frac{{\Delta T}} {{{T_1}}} = \underline{\underline {0,092\frac{J} {{kgK}}}}

Dabei haben wir verwendet, dass \ln \left( {1+x} \right) \approx x für kleine x.

b )

zu prüfen: Erreichbarkeit von Zustand 1 nach 2 für Luft

Entropieänderung für {T_1} \to {T_2},\quad {p_1} \to {p_2}

Gibbs’sche Hauptgleichung:

dh = Tds+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}dh-\frac{v} {T}dp

Für perfektes Gas gilt:

ds = \frac{1} {T}{c_p}dT-\frac{R} {p}dp

Daraus erhalten wir:

{\Delta _{12}}s = {c_p}\ln \left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right)-\ln \left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)R = \underline{\underline {-0,0139\frac{{kJ}} {{kgK}} < 0}}

Der Wert ist kleiner als 0. Das darf nicht sein, da sich die Entropie eines geschlossenen Systems bei einer adiabaten Zustandsänderung niemals verkleinern kann.
Das bedeutet also, der Zustand {T_2},{p_2} kann von der Luft von {T_1},{p_1} aus nicht erreicht werden.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

]]> http://me-lrt.de/u07-warmeisolierte-rohrleitung/feed 0 U05 – Kühlanlage auf den kanarischen Inseln http://me-lrt.de/u05-kuhlanlage-auf-den-kanarischen-inseln http://me-lrt.de/u05-kuhlanlage-auf-den-kanarischen-inseln#comments Thu, 11 Feb 2010 17:22:03 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4492 Auf den windreichen Kanarischen Inseln ist eine Kühlanlage geplant, die Kaltwasser (Massenstrom {\dot m_w} = 5\frac{{kg}} {s}) von {t_{aus}} = 18^\circ C liefern soll. Das Wasser wird der Umgebung entnommen und hat eine Temperatur {t_{ein}} = 26^\circ C . Die Kühlanlage soll nach folgendem Prinzip arbeiten:
Die in die Kühlanlage (Eintrittsquerschnitt {A_1} = 1,2{m^2} ) mit der Geschwindigkeit {c_1} einströmende Luft der Umgebung \left( {{p_1} = {p_u} = 1bar,\quad {t_1} = {t_u} = 28^\circ C} \right) soll zunächst mit einem Gebläse reversibel adiabatisch komprimiert und anschließend isobar auf die Umgebungstemperatur {t_u} abgekühlt werden. In einer adiabaten Düse soll die Luft dann reversibel auf {p_4} = {p_u} entspannt werden und die Kühlanlage – nach der Kühlung des Wassers in einem vollkommenen isolierten Wärmeübertrager – mit der Temperatur {t_5} = 16^\circ C verlassen.

kuhlanlage-wasser-luft

  1. Skizzieren Sie die Zustandsänderungen der Luft in einem T,s- und einem p-h-Diagramm.
  2. Welche Temperatur {t_4} muss die Luft beim Eintritt in den Wärmeübertrager mindestens angenommen haben, wenn für die Auslegung eine Luftgeschwindigkeit {c_1} = 72\frac{{km}} {h} zugrunde gelegt werden soll?
  3. Auf welchen Druck {p_2} muss die Luft dafür komprimiert werden?
  4. Mit welcher Geschwindigkeit {c_5} verlässt die Luft die Kühlanlage? Diskutieren Sie das Ergebnis.

Weitere Angaben:

- Die Luft ist als perfektes Gas mit {c_{p,L}} = 1,0\frac{{kJ}} {{kg \cdot K}} und {R_l} = 0,187\frac{{kJ}} {{kg \cdot K}} zu behandeln.

- Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt {c_w} = 4,2\frac{{kJ}} {{kg \cdot K}}

- Änderungen der kinetischen Energien sind ausschließlich in der Düse zu berücksichtigen.
- Änderungen der potentiellen Energien sind zu vernachlässigen.

Lösung

Gegeben

{{\dot w}_{H2O}} = 5\frac{{kg}} {s},\quad {t_{aus}} = 18^\circ C,\quad {t_{ein}} = 26^\circ C,\quad {A_1} = 1,2{m^2}

{p_1} = {p_u} = 1bar,\quad {t_1} = {t_u} = 28^\circ C

\begin{array}{*{20}{c}} {} &\vline & {Druck} &\vline & {Temperatur} &\vline & {\ddot Ubergang} \\ \hline 1 &\vline & {{p_1} = 1bar} &\vline & {{t_1} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 2 &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {isobar} \\ \hline 3 &\vline & {} &\vline & {{t_3} = {t_u} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 4 &\vline & {{p_u} = {p_4} = 1bar} &\vline & {} &\vline & {isobar} \\ \hline 5 &\vline & {{p_5} = 1bar} &\vline & {{t_5} = 16^\circ C} &\vline & {} \\ \end{array}

Da die Luft ein perfektes Gas ist, gilt:

dh = {c_p} \cdot dT

\Rightarrow \quad {\Delta _{13}}h = {c_p}\left( {{T_3}-{T_1}} \right) = 0

t-s-diagramm

p-h-diagramm

b)

ges.: {t_4}

geg.: {c_1} = 72\frac{{km}} {h}

Es gibt nun 2 Möglichkeiten, diese Teilaufgabe zu lösen.

Möglichkeit 1:

Wir teilen das System in 2 Teilsysteme auf:
kuhlung-wasser-luft
Es muss gelten:

\left| {\dot Q_{45}^I} \right| = \left| {\dot Q_{45}^{II}} \right|
\Rightarrow \quad \left| {\dot m \cdot q_{45}^I} \right| = \left| {{{\dot m}_{H2O}} \cdot q_{45}^{II}} \right|

\Rightarrow \quad \dot m \cdot \left| {q_{45}^I} \right| = {{\dot m}_{H2O}} \cdot \left| {q_{45}^{II}} \right|

Zur Bestimmung der q benötigen wir den 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

{q_{12}}+w_{12}^t = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\frac{{{c^2}}} {2}+g{\Delta _{12}}z

damit folgt für das System I mit Hilfe der Angaben:

q_{45}^I+\underbrace {w{{_{45}^t}^I}}_0 = \Delta _{45}^Ih+\underbrace {\Delta _{45}^I\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g\Delta _{45}^Iz}_0

Da die Luft als perfektes Gas angenommen werden soll, gilt:

\underline{\underline {q_{45}^I = \Delta _{45}^Ih = {c_p}\left( {{T_5}-{T_4}} \right)}}

Für das System II folgt:

q_{45}^{II}+\underbrace {w{{_{45}^t}^{II}}}_0 = \Delta _{45}^{II}h+\underbrace {\Delta _{45}^{II}\frac{{{c^2}}} {2}}_0+\underbrace {g\Delta _{45}^{II}z}_0

\Rightarrow \quad q_{45}^{II} = \Delta _{45}^{II}h

Da es sich hier um Wasser handelt, welches nicht als perfektes Gas angesehen werden kann, benötigen wir für die Enthalpiedifferenz das totale Differential:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{{c_p}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp

= {c_p}dT+\left( {v-T{{\left( {\frac{{\partial v}} {{\partial T}}} \right)}_p}} \right)dp

Da der Übergang von 4 nach 5 isobar ist, gilt dp = 0 und somit:

dh = {c_p}dT

Zudem ist bei Wasser aufgrund der Inkompressibilität cp = cw.

\Rightarrow \quad \underline{\underline {q_{45}^{II} = \Delta _{45}^{II}h = {c_w}\left( {{t_{ein}}-{t_{aus}}} \right)}}

Kommen wir nun zur Gesamtbilanz:

\dot m \cdot \left| {q_{45}^I} \right| = {{\dot m}_{H2O}} \cdot \left| {q_{45}^{II}} \right|

\Rightarrow \quad \dot m \cdot \left| {{c_p}\left( {{T_5}-{T_4}} \right)} \right| = {{\dot m}_{{H_2}O}}\left| {{c_w}\left( {{t_{ein}}-{t_{aus}}} \right)} \right|

\Rightarrow \quad \dot m \cdot {c_p}\left( {{T_5}-{T_4}} \right) = {{\dot m}_{{H_2}O}}\left| {{c_w}\left( {{t_{ein}}-{t_{aus}}} \right)} \right|

\Rightarrow \quad {T_4} = -\frac{{{{\dot m}_{H{\,_2}O}} \cdot {c_w}}} {{{{\dot m}_c} \cdot {c_p}}} \cdot \left| {{t_{ein}}-{t_{aus}}} \right|+{T_5}

Nun benötigen wir noch den Massenstrom der Luft:

{\dot m_c} = {\rho _1}{c_1}{A_1} = \frac{{{p_1}}} {{R{T_1}}}{c_1}{A_1} = 27,6\frac{{kg}} {s}

Damit folgt:

\underline{\underline {{T_4} = 283,1K = 9,95^\circ C}}

Möglichkeit 2:

Wir betrachten das ganze als ein einziges System:
kuhlung-wasser-luft
Der 1. HS für stationäre Fließprozesse gesamtes System von 4 nach 5 lautet:

{\dot Q_{45}}+\dot W_{45}^t = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \Delta {h_{k,tot}}}

In unserem Fall gilt speziell:

\underbrace {{{\dot Q}_{45}}}_0+\underbrace {\dot W_{45}^t}_0 = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \Delta {h_{k,tot}}}

\Rightarrow \quad 0 = \sum\limits_k {{{\dot m}_k} \cdot \left( {{\Delta _{45}}h+{\Delta _{45}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)+g{\Delta _{45}}z} \right)}

= {{\dot m}_2} \cdot \left( {{\Delta _{45}}{h_c}} \right)+{{\dot m}_{{H_2}O}}\left( {{\Delta _{45}}{h_{{H_2}O}}} \right)

wieder mit:

{\Delta _{45}}{h_c} = {c_p}\left( {{T_5}-{T_4}} \right)

und:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{ = {c_p} = {c_w}}dt+\underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)}_T}dp}_0

\Rightarrow {\Delta _{45}}{h_{{H_2}O}} = {c_w}\left( {{T_{aus}}-{T_{ein}}} \right)

Somit folgt:

0 = {\dot m_c} \cdot {c_p}\left( {{T_5}-{T_4}} \right)+{\dot m_{{H_2}O}} \cdot {c_w}\left( {{T_{aus}}-{T_{ein}}} \right)

Die restliche Berechnung entspricht der Gesamtbilanz von Möglichkeit 1.

Damit können wir die Tabelle um einen Eintrag ergänzen:

\begin{array}{*{20}{c}} {} &\vline & {Druck} &\vline & {Temperatur} &\vline & {\ddot Ubergang} \\ \hline 1 &\vline & {{p_1} = 1bar} &\vline & {{t_1} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 2 &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {isobar} \\ \hline 3 &\vline & {} &\vline & {{t_3} = {t_u} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 4 &\vline & {{p_u} = {p_4} = 1bar} &\vline & {{t_4} = 9,91^\circ C} &\vline & {isobar} \\ \hline 5 &\vline & {{p_5} = 1bar} &\vline & {{t_5} = 16^\circ C} &\vline & {} \\ \end{array}

c)

gesucht: {p_2}

Da der Übergang von 2 nach 3 isobar erfolgt, gilt: {p_2} = {p_3}

Der Übergang von 3 nach 4 ist dagegen reversibel und adiabat. Daher können wir p3 mit Hilfe der Isentropenbeziehung aus 4 berechnen. Es gilt:

T{p^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}} = const.

\Rightarrow \quad {T_3} \cdot {p_3}^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }} = {T_4} \cdot {p_4}^{\frac{{1-\kappa }} {\kappa }}

\Rightarrow \quad {p_3} = {\left( {\frac{{{T_4}}} {{{T_3}}}} \right)^{\frac{\kappa } {{1-\kappa }}}} \cdot {p_4}

Nun benötigen wir noch das κ. Es gilt:

\kappa = \frac{{{c_p}}} {{{c_v}}} = \frac{{{c_p}}} {{{c_p}-R}}

Nachweis:

h = u+pv = u+RT

\Rightarrow \quad \frac{{\partial h}} {{\partial T}} = \frac{{\partial u}} {{\partial T}}+\frac{{\partial \left( {RT} \right)}} {{\partial T}}

\Rightarrow {c_p} = {c_v}+R

Damit erhalten wir:

\underline{\underline {\kappa = 1,4}}

Und somit:

\underline{\underline {{p_2} = {p_3} = {{\left( {\frac{{{T_4}}}{{{T_3}}}} \right)}^{\frac{\kappa }{{1-\kappa }}}} \cdot {p_4} = 1,24\:bar}}

\begin{array}{*{20}{c}} {} &\vline & {Druck} &\vline & {Temperatur} &\vline & {\ddot Ubergang} \\ \hline 1 &\vline & {{p_1} = 1bar} &\vline & {{t_1} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 2 &\vline & {{p_2} = 1,24bar} &\vline & {} &\vline & {isobar} \\ \hline 3 &\vline & {{p_3} = 1,24bar} &\vline & {{t_3} = {t_u} = 28^\circ C} &\vline & {rev.ad.} \\ \hline 4 &\vline & {{p_u} = {p_4} = 1bar} &\vline & {{t_4} = 9,91^\circ C} &\vline & {isobar} \\ \hline 5 &\vline & {{p_5} = 1bar} &\vline & {{t_5} = 16^\circ C} &\vline & {} \\ \end{array}

d)

ges.: {c_5}

Der Übergang von 3 nach 4 ist reversibel und adiabat. Laut Aufgabenstellung ist hier (und nur hier) auch noch die Geschwindigkeitsänderung in der Düse zu berücksichtigen!
Somit gilt:

{c_5} = {c_4}\:,\quad \:{c_3} = {c_1}

Als nächstes benötigen wir wieder den 1. HS:

\underbrace {{q_{34}}}_0+\underbrace {w_{34}^t}_0 = {\Delta _{34}}h+{\Delta _{34}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)+\underbrace {g{\Delta _{34}}z}_0

\Rightarrow \quad 0 = {\Delta _{34}}h+{\Delta _{34}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)

\Rightarrow \quad -{c_p}\left( {{T_4}-{T_3}} \right) = \left( {\frac{{c_4^2}} {2}-\frac{{c_3^2}} {2}} \right)

\Rightarrow \quad {c_p}\left( {{T_3}-{T_4}} \right) = \frac{{c_5^2}} {2}-\frac{{c_1^2}} {2}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{c_5} = \sqrt {2{c_p}\left( {{T_3}-{T_4}} \right)+c_1^2} = 191,3\frac{m} {s}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{G}\mathcal{H}

]]> http://me-lrt.de/u05-kuhlanlage-auf-den-kanarischen-inseln/feed 2 Z16 – Zylinder und Behälter mit Stickstoff http://me-lrt.de/z16-zylinder-und-behalter-mit-stickstoff http://me-lrt.de/z16-zylinder-und-behalter-mit-stickstoff#comments Wed, 10 Feb 2010 17:30:30 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4488 Der dargestellte Zylinder A und der zugehörige bis zum Ventil reichende Leitungsabschnitt enthalten Stickstoff. Dieser nimmt im Ausgangszustand ein Volumen V1 = 5,0 dm³ ein. Der reibungsfrei bewegliche Kolben hat eine Masse von mK = 17, 94 kg und einen Durchmesser dK von 8 cm. Der Umgebungsdruck beträgt pU = 1bar. Der rechte Behälter und der zugehörige Leitungsabschnitt haben das konstante Volumen VB = 10,0 dm³; sie sind ebenfalls mit Stickstoff gefüllt, der unter dem Druck pB = 650kPa steht. Das ganze System hat die Anfangstemperatur t1 = 20,0°C. Nach dem ¨Offnen des Ventils strömt Stickstoff aus dem Behälter langsam in den Zylinder über; der Kolben hebt sich, bis der Druck im ganzen System denselben Wert erreicht.

  1. Für diesen Zustand berechne man die Temperatur t2 sowie das Volumen V2 des Stickstoffes im Zylinder unter der Annahme, dass der Stickstoff während des Prozesses 1-2 ein adiabates System ist.
  2. Danach wird Wärme zwischen der Luft und ihrer Umgebung übertragen, so dass die Luft schließlich die Temperatur t3 = t1 = 20,0°C erreicht. Wie groß ist die bei diesem Prozess 2-3 übertragene Wärme Q23?

Hinweise:
Stickstoff soll hier als ideales Gas mit einer spezifischen Gaskonstante von R = 0,297 kJ/kgK betrachtet werden. Die spezifische Wärmekapazität von Stickstoff wird als konstant angenommen und soll einen Wert von cv,0 = 0,744 kJ/kgK .

stickstoff-behalter-zylinder-masse

Lösung

1.

Hier benötigen wir den 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme bei instationärem Vorgang:

dU = {Q_{12}}+{W_{12}}

Im ersten Fall ist Q12 = 0, da es sich um ein adiabates System handeln soll.
Die Formel für die Volumenänderungsarbeit lässt sich hier nicht ohne weiteres anwenden, da das System aufgrund der unterschiedlichen Teilsysteme inhomogen ist.
Stattdessen setzt sich hier die Arbeit zusammen aus der Volumenänderungsarbeit an der Umgebung sowie der Hubarbeit, die am Kolben verrichtet werden muss:

{W_{12}} = -W_{12}^U-W_{12}^K

Da wir nicht das System, sondern die Umgebung betrachten, sind die Vorzeichen negativ.

W_{12}^U = -\int {{p^U}dV = -{p_U}\left( {V_2^U-V_1^U} \right)} = {p_U} \cdot \Delta V

da sich das Umgebungsvolumen verkleinert gilt: V_2^U = V_1^U-\Delta V

W_{12}^K = mg\Delta h = mg\frac{{4 \cdot \Delta V}} {{\pi \cdot {d^2}}}

Eingesetzt folgt:

{W_{12}} = -\left( {{p_U}+mg\frac{4} {{\pi \cdot {d^2}}}} \right) \cdot \Delta V

Beim idealen Gas gilt für dU:

dU = m \cdot {c_v} \cdot dT

Für die Masse des Gesamtsystems gilt:

m = {m_1}+{m_B} = {\rho _1}{V_1}+{\rho _B}{V_B} = \frac{{{p_1}{V_1}}} {{R{T_1}}}+\frac{{{p_B}{V_B}}} {{R{T_1}}} = 0,0824kg

mit {p_1} = {p_U}+\frac{F} {A} = 1\:bar+\frac{{4 \cdot 17,94kg \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}}} {{\pi \cdot 0,08{m^2}}} = 135kPa

Alles eingesetzt ergibt:

dU = {W_{12}}\quad \Rightarrow \quad m \cdot {c_v} \cdot dT = -\underbrace {\left( {{p_U}+mg\frac{4} {{\pi \cdot {d^2}}}} \right)}_{{p_1}} \cdot \Delta V

\Rightarrow \quad m \cdot {c_v} \cdot dT = -{p_1} \cdot \left( {V_1^U-V_2^U} \right)

Zur weiteren Berechnung benötigen wir nun noch die Temperaturdifferenz.
Da es sich um ein ideales Gas handelt gilt:

pV = mRT

\Rightarrow \quad {p_1}\left( {{V_2}+{V_B}} \right) = mR{T_2}

Als nächstes benötigen wir folgende Beziehung:

V_1^U-V_2^U = {V_2}-{V_1}

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen addieren bekommen wir somit:

{p_1}\left( {{V_2}+{V_B}+{V_1}-{V_2}} \right) = mR{T_2}+m \cdot {c_v} \cdot \left( {{T_2}-{T_1}} \right)

\Rightarrow \quad {p_1}\left( {{V_B}+{V_1}} \right) = \left( {R+{c_v}} \right) \cdot m \cdot {T_2}-m \cdot {c_v} \cdot {T_1}

\Rightarrow \quad {T_2} = \frac{{{p_1}\left( {{V_B}+{V_1}} \right)+m \cdot {c_v} \cdot {T_1}}} {{\left( {R+{c_v}} \right) \cdot m}} = \underline{\underline {233,12K}}

Damit folgt:

{V_2} = \frac{{mR{T_2}}} {{{p_1}}}-{V_B} = \underline{\underline {32,26d{m^3}}}

2.

Hier finden 2 Vorgänge gleichzeitig statt. Das Ändern der Temperatur des Stickstoffes und die daraus resultierende Volumenänderungsarbeit:

dU = {U_3}-{U_2} = {Q_{23}}+{W_{23}}

{W_{23}} = -\int\limits_2^3 {pdV} = -p\left( {{V_3}-{V_2}} \right)

{U_3}-{U_2} = m \cdot {c_v} \cdot \left( {{T_3}-{T_2}} \right)

\Rightarrow \quad {Q_{23}} = {U_3}-{U_2}-{W_{23}} = m \cdot {c_v} \cdot \left( {{T_3}-{T_2}} \right)+p\left( {{V_3}-{V_2}} \right)

Wobei:

{V_3} = \frac{{mR{T_3}}} {p}-{V_B}

mit {T_3} = {T_1}

Damit folgt schließlich:

{Q_{23}} = \underline{\underline {5,15kJ}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/z16-zylinder-und-behalter-mit-stickstoff/feed 0 Z13 – Evakuierte Gasflasche http://me-lrt.de/z13-evakuierte-gasflasche http://me-lrt.de/z13-evakuierte-gasflasche#comments Wed, 10 Feb 2010 17:23:18 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4483 Eine sehr gut isolierte Gasflasche sei vollkommen evakuiert. Nach dem Öffnen des Ventils strömt die Luftmenge m = 10 kg aus der Umgebung in die Flasche. Der Druck in der Umgebung soll pU = 1 bar betragen und das spezifische Volumen soll bei {v_U} = 0,86\frac{{{m^3}}} {{kg}} liegen. Die spezifische Enthalpie der Luft in der Umgebung sei {h_U} = 300\frac{{kJ}} {{kg}}.

1. Welche Arbeit W12 leistet die Umgebung während des Einströmens der Luft?

2. Wie groß ist die innere Energie U2 der Luft im Behälter nach dem Einströmen?

Lösung

gasflasche-luftblase

1.

Da keine technische Vorrichtung existiert wird lediglich Volumenänderungsarbeit verrichtet. Für diese gilt laut Formelsammlung:

{W_{12}} = \dot m \cdot {w_{12}} = -\dot m \cdot \int\limits_1^2 {p\left( v \right)dv}

Nach dem Öffnen des Ventils wird sich der Umgebungsdruck nicht verändern und daher als von v unabhängige Konstante betrachtet. Lediglich das Umgebungsvolumen bzw. die Umgebungsmasse wird um den Betrag der in die Flasche einströmenden Masse verringert:

{W_{12}} = -\int\limits_1^2 {p\left( V \right)dV} = -p \cdot \Delta V = -p \cdot \Delta m \cdot v = \underline{\underline {-860kJ}}

2.

Zur Bestimmung der Inneren Energie der Luft im Behälter nach dem Einströmen benötigen wir den 1. Hauptsatz für offene Systeme:

\frac{{d{E_{kin}}}} {{d\tau }}+\frac{{d{E_{pot}}}} {{d\tau }}+\frac{{dU}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\sum\limits_j {\dot W_j^t} +\sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}}

In unserem Fall gilt:

\underbrace {\frac{{d{E_{kin}}}} {{d\tau }}}_0+\underbrace {\frac{{d{E_{pot}}}} {{d\tau }}}_0+\frac{{dU}} {{d\tau }} = \underbrace {\sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} }_{0,\:adiabat}+\underbrace {\sum\limits_j {\dot W_j^t} }_{0,\:keine\:technische\:Arbeit}+\sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}}

\Rightarrow \quad \frac{{dU}} {{d\tau }} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}} \quad \Rightarrow \quad \Delta U = \Delta m \cdot h = \underline{\underline {3MJ}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

]]> http://me-lrt.de/z13-evakuierte-gasflasche/feed 0 Z18 – Luftblase in Schwimmbecken mit Wärmeberg http://me-lrt.de/z18-luftblase-in-schwimmbecken-mit-warmeberg http://me-lrt.de/z18-luftblase-in-schwimmbecken-mit-warmeberg#comments Wed, 10 Feb 2010 17:17:19 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=4478 schwimmbecken-lampe-luftblase

temperaturverteilung-wasser-warmeberg

In einem Schwimmbecken mit einer Wassertiefe von hmax = 2m sind auf der Höhe y0 = 1,5m kreisförmige Lampen mit einem Radius r0 = 10cm installiert. Die Wassertemperatur im Schwimmbecken hat in den Bereichen außerhalb der Lampen eine Temperatur T0 von 20°C. In einem Abstand von 20 cm zur Beckenwand steigt die Temperatur des Beckenwassers im Bereich der Lampen lokal um ΔTmax = 20°C an. Die Temperaturverteilung in Abhängigkeit der Koordinaten x und y kann hier über den unten stehenden Ausdruck beschrieben werden. Der Umgebungsdruck an der Wasseroberfläche pU soll 1 bar betragen.

T\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_0}} & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ {{T_0}+\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left( {\cos \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)+1} \right)} & {f\ddot ur\:r \leq {r_0}} \\ \end{array} } \right.

mit r = \sqrt {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^2}+{{\left( {y-{y_0}} \right)}^2}}

Eine Luftblase soll nun parallel zur Beckenwand in einem Abstand von 20 cm vom linken unteren Eck einer Lampe mit dem Mittelpunkt x0 = 3m und y0 = 1,5m aus dem Zustand 1 in der Position x1 = 2,8m und y1 = 1,3m über den Weg y(x) = x − 1,5m in einen Zustand 2 (x2 = 3, 2m, y2 = 1, 7m) überführt werden.

Aufgabe:
Geben Sie die Änderung der spezifischen Enthalpie der Luft in der Blase für jede beliebige Position 2’ auf dem Weg (1-2) an und berechnen Sie deren Wert explizit im Mittelpunkt der Lampe und im Zustand 2. Verfolgen Sie hierbei einmal den in der Aufgabenstellung gegebenen Weg und entwickeln Sie falls möglich eine zweite einfachere Variante der Lösung des Problems.

Hinweise:
Die Luft in der Blase soll als perfektes Gas angenommen werden. (R = 0, 287 kJ/kgK , cp = 1,004 kJ/kgK)
Die Temperatur der Luft in der Blase soll immer gleich der Wassertemperatur in der jeweiligen Position sein.
Die Dichte des Wassers soll ρH2O = 1000 kg/m³ betragen.

Lösung

Spezifische Enthalpie: h\left( {T,p} \right)

Nun leiten wir h ab:

\Rightarrow \quad dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{{c_p}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp

Integration von h über den gegebenen Weg liefert die Änderung von h:

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = \int\limits_1^{{2^\prime }} {dh} = \int\limits_1^{{2^\prime }} {\left( {{c_p}\left( {T,p} \right)dT+{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)}_T}dp} \right)}

Nun benötigen wir noch:

dT,\quad {\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}\quad und\quad dp

Da es sich um ein perfektes Gas handelt soll gilt:

{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T} = 0

Somit würden wir auch dp nicht benötigen. Der Übung halber bestimmen wir es aber trotzdem.
Für den Druck in Abhängigkeit von der Tiefe gilt der aus der Strömungsmechanik bekannte Bernoulli:

p = {p_U}+\rho gh

Da wir als Nullniveau den Beckenboden definieren wollen, formen wir um zu:

p = {p_U}+\rho g\left( {{y_{\max }}-y} \right)

Ableiten ergibt:

dp\left( {x,y} \right) = {\left( {\frac{{\partial p}} {{\partial x}}} \right)_y}dx+{\left( {\frac{{\partial p}} {{\partial y}}} \right)_x}dy

mit\quad p = {p_U}+\rho g\left( {{y_{\max }}-y} \right)

\Rightarrow \quad {\left( {\frac{{\partial p}} {{\partial x}}} \right)_y} = 0\quad ;\quad {\left( {\frac{{\partial p}} {{\partial y}}} \right)_x} = -\rho g

\Rightarrow \quad \underline{\underline {dp\left( y \right) = -\rho g\:dy}}

Nun zur Bestimmung von dT.
Da die Temperatur abhängig von x und y ist, gilt:

dT\left( {x,y} \right) = {\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial x}}} \right)_y}dx+{\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial y}}} \right)_x}dy

Mit:

r = \sqrt {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^2}+{{\left( {y-{y_0}} \right)}^2}}

\frac{{\partial r}} {{\partial x}} = \frac{1} {2}\frac{{2\left( {x-{x_0}} \right) \cdot 1}} {{\sqrt {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^2}+{{\left( {y-{y_0}} \right)}^2}} }}

Folgt:

{\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial x}}} \right)_y} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ {\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left( {-\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\pi \frac{{x-{x_0}}} {{{r_0} \cdot r}}} \right)} & {f\ddot ur\:r \leq {r_0}} \\ \end{array} } \right.

{\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial y}}} \right)_x} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ {\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left( {-\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\pi \frac{{y-{y_0}}} {{{r_0} \cdot r}}} \right)} & {f\ddot ur\:r \leq {r_0}} \\ \end{array} } \right.

Für den Weg gilt nach Angabe:

y\left( x \right) = x-1,5m

\Rightarrow \quad \frac{{dy}} {{dx}} = 1\quad \Rightarrow \quad dx = dy

Damit folgt:

dT\left( {x,y} \right) = {\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial x}}} \right)_y}dx+{\left( {\frac{{\partial T}} {{\partial y}}} \right)_x}dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\:dx} & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ {-\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{2 \cdot {r_0}}}\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\frac{1} {r} \cdot \left( {x-{x_0}+y-{y_0}} \right)dx\quad \left( * \right)} & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ \end{array} } \right.

Zudem gilt:

{x_0}-{y_0} = 1,5m\quad \Rightarrow \quad y\left( x \right) = y = x-1,5m = x-{x_0}+{y_0}

Damit folgt:

\left( * \right) = -\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{2 \cdot {r_0}}}\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\frac{1} {r} \cdot \left( {x-{x_0}+x-{x_0}+{y_0}-{y_0}} \right)dx

= -\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{2 \cdot {r_0}}}\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\frac{1} {r} \cdot \left( {2x-2{x_0}} \right)dx

= -\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}}}\sin \left( {\pi \frac{r} {{{r_0}}}} \right)\frac{1} {r} \cdot \left( {x-{x_0}} \right)dx

mit r = \sqrt {{{\left( {x-{x_0}} \right)}^2}+{{\left( {y-{y_0}} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {x-{x_0}} \right)}^2}} = \sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right) folgt:
= -\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}}}\sin \left( {\pi \frac{{\sqrt 2 }} {{{r_0}}}\left( {x-{x_0}} \right)} \right)\frac{1} {{\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)}} \cdot \left( {x-{x_0}} \right)dx

= -\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)dx

\Rightarrow \quad \underline{\underline {dT\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\:dx} & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ {-\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)dx} & {f\ddot ur\:r > {r_0}} \\ \end{array} } \right.}}

Damit lässt sich nun endlich h bestimmen:

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = \int\limits_1^{{2^\prime }} {\left( {{c_p}\left( {T,p} \right)dT+\underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)}_T}}_{0,\:id.\:Gas}dp} \right)} \\ = \int\limits_1^{{2^\prime }} {\left( {{c_p}\left( {T,p} \right)dT} \right)} \\

schwimmbecken-lampe-luftblase

x_1^* = {x_0}-\Delta x

x_2^* = {x_0}+\Delta x

\Delta {x^2}+\Delta {x^2} = r_0^2 \Rightarrow \quad \Delta x = \sqrt {\frac{{r_0^2}} {2}} = \frac{{{r_0}}} {{\sqrt 2 }}

\Rightarrow \quad x_1^* = {x_0}-\frac{{{r_0}}} {{\sqrt 2 }}

\Rightarrow \quad x_2^* = {x_0}+\frac{{{r_0}}} {{\sqrt 2 }}

für {x^\prime } < x_1^*:

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = {c_p}\int\limits_{{x_1}}^{{x^\prime }} {0\:dx = \underline{\underline 0} }

für x_1^* \leq {x^\prime } \leq x_2^*:

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = {c_p}\int\limits_{{x_1}}^{{x^\prime }} {0\:dx} = 0

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = {c_p}\int\limits_{{x_1}}^{x_1^*} {0\:dx} +{c_p}\int\limits_{x_1^*}^{{x^\prime }} {-\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)dx}

= {c_p}\left[ {\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}\sqrt 2 }}\frac{{{r_0}}} {{\pi \sqrt 2 }}\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)} \right]

= {c_p}\left[ {\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)} \right]_{x_1^*}^{{x^\prime }}

= {c_p}\left[ {\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {{x^\prime }-{x_0}} \right)} \right)-\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x_1^*-{x_0}} \right)} \right)} \right]

mit\quad x_1^* = {x_0}-\frac{{{r_0}}} {{\sqrt 2 }}

= {c_p}\left[ {\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {{x^\prime }-{x_0}} \right)} \right)-\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\cos \left( {-\pi } \right)} \right]

= \underline{\underline {{c_p}\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {{x^\prime }-{x_0}} \right)} \right)+1} \right]}}

für {x^\prime } > x_2^*:

{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = {c_p}\int\limits_{{x_1}}^{x_1^*} {0\:dx} +{c_p}\int\limits_{x_1^*}^{x_2^*} {-\frac{{\Delta {T_{\max }} \cdot \pi }} {{{r_0}\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x-{x_0}} \right)} \right)dx} +{c_p}\int\limits_{x_2^*}^{{x^\prime }} {0\:dx}

= {c_p}\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( {x_2^*-{x_0}} \right)} \right)+1} \right]

mit\quad x_2^* = {x_0}+\frac{{{r_0}}} {{\sqrt 2 }}

= {c_p}\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left[ {-1+1} \right] = \underline{\underline 0}

Im Mittelpunkt der Lampe gilt:

{x^\prime } = {x_0}

\Rightarrow \quad {\Delta _{{{12}^\prime }}}h = {c_p}\frac{{\Delta {T_{\max }}}} {2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi } {{{r_0}}}\sqrt 2 \left( 0 \right)} \right)+1} \right] = {c_p}\Delta {T_{\max }} = \underline{\underline {20,080\frac{{kJ}} {{kg}}}}

und im Zustand 2 gilt:

\underline{\underline {{\Delta _{{{12}^\prime }}}h = 0}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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