Flächeninhalt eines Kreises

Aufstellen der Funktion

Wie auf dem Bild zu sehen ist, hängen die X-Koordinate und die Y-Koordinate über den Radius zusammen und es gilt:

Nach y umgestellt ergibt sich die Formel für die Kreisfunktion:

Anmerkung: Diese Funktion stellt natürlich keinen kompletten Kreis dar, da sie dann nicht mehr eindeutig wäre. Im Intervall zwischen -r und r ergibt sich durch die Funktion nur ein Halbkreis im positiven y-Bereich, der erst an der x-Achse gespiegelt zu einem Kreis wird.

Berechnung des Flächeninhalts

Um den Flächeninhalt eines kompletten Kreises zu berechnen, muss die oben angegebene Kreisfunktion von -r bis r integriert werden und anschließend das Ergebnis mit 2 multipliziert, da sonst wie gesagt nur ein Halbkreis entsteht:

Das Integral zu berechnen ist nicht trivial, wir nehmen eine Integraltabelle zu Hilfe und erhalten:

Einsetzen ergibt:

Es gilt:

Also folgt die bekannte Formel:

Die Berechnung des komplizierten Integrals kann man vermeiden, indem man Polarkoordinaten verwendet.

Berechnung mit Polarkoordinaten

Wenn hier bei konstantem Radius der Winkel von 0 bis 2p (360°) läuft, so entsteht ein Kreis. Wenn nun für jeden Punkt auf dem Kreis der Radius variiert, ist die ganze Kreisfläche abgedeckt. Verwirklichen kann man das mit einem Doppelintegral. Das eine Integral läuft von 0 bis 2p, das andere von 0 bis r. Beide Integrale zusammen nennt man das Flächenintegral über der Fläche des Kreises:

Nun muss noch das dA, das infinitesimal kleine Flächenelement, berechnet werden.
Im kartesischen Koordinatensystem gilt:

Die Variablen x und y müssen nun im Polarkoordinatensystem ausgedrückt werden. Es gilt:

Um nun aber das dA für das transformierte Integral zu berechnen, braucht man die Jakobi-Determinante J. Hierbei handelt es sich um die Determinante (den Betrag) der Jakobimatrix:

Die Jakobimatrix enthält sämtliche partielle Ableitungen der Transformationsgleichungen nach den neuen Variablen. Es werden also

und

nach r und f abgeleitet. So entsteht eine Matrix mit 2×2 Einträgen:

Daraus folgt:

Dies kann nun in das Integral eingesetzt werden:

Das Integral lässt sich viel leichter lösen als das oben gezeigte Integral der Wurzelfunktion:

Das Ergebnis ist die bekannte Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises.

Volumen einer Kugel

Analog zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises kann auch das Volumen einer Kugel im kartesischen Koordinatensystem ausgerechnet werden. Dieser Ansatz führt zu einer noch komplizierteren Gleichung als oben dargestellt und wird hier nicht weiter besprochen.
Die Koordinaten werden statt dessen zunächst in das Kugelkoordinatensystem übertragen:

Transformation der Koordinaten

Man sieht leicht, dass hier gilt:

Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnet man nun nicht das Volumen der gesamten Kugel, sondern das Volumen eines Achtels der Kugel:

Da die Kugel symmetrisch ist, muss das Ergebnis anschließend nur mit 8 multipliziert werden.

Aufstellen des Integrals

Um jeden Punkt innerhalb der Achtel-Kugel abzudecken, benötigt man drei Integrale. Das erste (für den einen Winkel) läuft von 0 bis p/2 und erzeugt so bei konstantem anderen Winkel und konstantem Radius eine Viertelkreisbahn. Das zweite Integral (für den zweiten Winkel läuft von jedem Punkt dieser Kreisbahn ausgehend den zweiten Winkel von 0 bis p/2 ab. So entsteht eine Achtel-Kreisschale. Das letzte Integral läuft nun vom Ursprung des Koordinatensystems am Radius entlang zu jedem Punkt dieser Kreisschale. So entsteht ein massiver Kugelausschnitt:

Jetzt muss wieder ein Ersatz für das infinitesimal kleine Volumenelement her, da wir das kartesische dV = dxdydz hier nicht integrieren können.

Die Funktionaldeterminante ist in diesem Fall ein bisschen komplizierter, da die Jakobimatrix dreidimensional ist:

Eingesetzt ergibt sich:

Dieses Integral lässt sich wieder relativ leicht berechnen:

Das Ergebnis ist das Volumen das Achtel-Kugelschnittes. Um auf das gesamte Volumen zu kommen, multipliziert man mit 8:

Das kartesische Koordinatensystem

Das am weitesten verbreitete Koordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. Hier werden Punkte als Kombination aus einer X-Koordinate in die eine Richtung und einer Y-Koordinate senkrecht dazu dargestellt. Im Raum kommt eine dritte Koordinate, die auf den beiden anderen Achsen senkrecht steht, dazu.

Möchte man in diesem Koordinatensystem eine (infinitesimal kleine) Fläche berechnen, so tut man das mit der Formel dA = dxdy:

Polarkoordinaten

Ein anderes System, Koordinaten darzustellen, ist das Polarkoordinatensystem. Hier wird ein Punkt auf der Fläche durch seinen Abstand zum Ursprung und den Winkel, auf dem dieser Radius (r oder Rho) liegt, definiert:

0<ρ, 0<φ<2π

Die beiden Koordinatensysteme können ineinander umgewandelt werden mit folgender Transformation:

Hier noch ein mal zur Verdeutlichung der Vorteile von Polarkoordinaten: Die blaue Fläche soll berechnet werden:

Hierfür wäre eine Integration der Funktion über x notwendig. Nun wird die selbe Fläche im Polarkoordinatensystem dargestellt:

Diese ist nun viel einfache zu berechnen, da es sich um ein simples Rechteck handelt.

Die dritte Dimension

Im kartesischen Koordinatensystem wird die dritte Dimension durch eine dritte Achse dargestellt:

Nun soll ein Rauminhalt berechnet werden. Dies geschieht mit der Formel dxdydz:

Zylinderkoordinaten

Schwierig wird es, wenn in diesem Koordinatensystem ein zylindrischer Rauminhalt berechnet werden soll. Hierfür benutzt man das an den dreidimensionalen Raum angepasste Polarkoordinatensystem. Es wird einfach eine Variable für die Höhe eingeführt, Abstand und Winkel bleiben gleich:

Transformation:

Noch komplizierter wird es, wenn der zu berechnende Raum nicht zylindrisch sondern kugelförmig (oder Teil einer Kugel) ist. Hierfür gibt es noch ein neues Koordinatensystem.

Kugelkoordinaten

Hier wird statt der Höhe noch ein dritter Winkel eingeführt, um einen Punkt im Raum zu beschreiben. Dadurch wird es einfacher, kugelförmige Gebilde zu berechnen, da man nicht von einer Höhe abhängng ist.

Transformation in Kugelkoordinaten:

2. Funktionen zweier Variablen

Beispiel: Funktion für den Druck:

Die Funktion wird nur in einem bestimmten Gebiet definiert:

Die Gesamtheit der Punkte, die auf der Funktion über dem definierten Gebiet liegen, bilden die Oberfläche der Funktion:

Linien, die den gleichen Funktionswert in x-Richtung haben, können auf dem Gebiet als ISO-Linien dargestellt werden. Sie entsprechen den Höhenlinien auf einer Landkarte:

Änderung von Funktionen zweier Variablen

Es entsteht ein vernachlässigbar kleiner Fehler, der kleiner wird, je kleiner Delta X wird.

Die gesamte Änderung der Funktion ist die Änderung in x-Richtung+die Änderung in y-Richtung.

Abgekürzte Schreibweisen:

Die Verschiebungen dx und dy können Zusammengefasst und in einen Verschiebungsvektor geschrieben werden:

Der erste Vektor kann noch zusammengefasst werden zum Nabla-Operator, oder zum Gradient von f:

Beispiel:

Wenn die Funktion stetig und differenzierbar sind, dann sind die gemischten partiellen Ableitungen gleich.

Die Annäherung der Funktion durch eine Gerade im Bereich des Punktes entspricht im dreidimensionalen Raum der Annäherung der Funktion durch eine Ebene an dem Punkt.

Integration von Funktionen zweier Variablen

Dreidimensional:

Berechnung des Volumens:

Variablensubstitution:

Bei 2 Variablen:

Der Betrag der Matrix

wird aus Jakobideterminante bezeichnet. Es gilt:

Beispiel:

Es soll das Volumen eines Kugelausschnittes berechnet werden, der 1/8 einer Kugel beträgt, also der Teil einer Kugel, der in einem der 8 dreidimensionalen Quadranten liegt:

Beispiel:
3×2 Matrix

In dieser 3×2 Matrix ist der Wert A_3,2 = 7

3×1 Matrix (”Spaltenvektor”)

1×3 Matrix (”Zeilenvektor”)

2×2 Matrix (allgemein: N=M, “quadratische Matrix”)

1. Addition:

2. Multiplikation mit Skalaren

Beispiel:

3. Multiplikation von Matrizen

Beispiel: 1×2 Matrix x 2×1 Matrix

Beispiel: 2×2 Matrix x 2×1 Matrix

Beispiel: 2×2 Matrix x 2×2 Matrix

Die eine Matrix muss immer so viele Zeilen haben wie die andere Spalten.
Die Ergebnismatrix hat die folgende Größe:

Die Reihenfolge spielt bei dieser Multiplikation eine Rolle!

Ein weiteres Beispiel:

Spur: Summe der Diagonalen

Symmetrische Matrix: Werte sind an der Diagonalen gespiegelt

Antisymmetrische Matrix

Einheitssymmetrische Matrix

Transponieren von Matrizen

Multiplikation von Vektor und Matrix

Die Wirkung einer Matrix auf einen Vektor ist eine Drehstreckung.

Es kann vom Einheitsvektor auf jeden beliebigen Vektor geschlossen werden:

Besondere Matrizen

Die Matrix ist isotop, da bei einer Veränderung von a die beiden enthaltenen Einheitsvektoren gleichmäßig größer werden. Bei einer Multiplikation dieser Matrix mit einem Vektor werden x- und y- Koordinate gleichmäßig gestreckt.

Die Matrix ist spurfrei. Das heißt, die Summe der Diagonalelemente ist gleich 0.

Determinanten

Einer quadratischen Matrix soll eine Zahl zugeordnet werden. Diese Zahl nennt man die Determinante.

Beispiel:

Beispiel 2:

Die Vorzeichen resultieren aus der Formel für die Determinante nach Laplace (Laplacescher Entwicklungssatz):

Durch die -1 in der Basis ändert sich das Vorzeichen für jedes j, es wird also immer abwechselnd addiert und substrahiert.

Mit Hilfe der Determinante kann das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spat) bestimmt werden. Außerdem kann bestimmt werden, ob ein als Matrix dargestelltes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Die Determinante der Matrix ist in diesem Fall ungleich 0.

Bogenlänge einer Kurve

Übergang zu differentiellen Größen:

gesuchte Bogenlänge: f ^{\prime}(x)

Mehrfachintegrale

Es soll die Fläche einesKreises berechnet werden. Dazu verwendet man die Polarkoordinaten, so dass ein Radius r von 0 bis R variiert und ein Winkel φ von 0 bis 2π.

Kugelkoordinaten

Die Kugelkoordinaten geben eine Position im Raum durch die Entfernung zum Ursprung (Radius) und den Winkel zu zwei der Achsen an.

Volumen eines Körpers im Kugel-Kordinatensystem:

Reihenentwicklung

Man kann komplexe analytische Ausdrücke häufig örtlich begrenz durch einen simplen Ausdruck annähren. Einen solchen Ausdruck erhält man zum Beispiel mit der Taylorreihe:

Eine Funktion f sei in (x₀-a; x₀+a) (n+1) mal differenzierbar. Dann gilt:

oder

wird die Stammfunktion F(x) gesucht.

Beispiel:

F(x) ist die Stammfunktion der gegebenen Funktion f(x). Es gilt: F ^{\prime}(x) = f(x)
Beim Integrieren ist zu beachten, dass zu der Funktion noch ein konstanter Faktor kommt und somit eigentlich jedes Integral eine Funktionsschar bildet:

Man schreibt in der Integralschreibweise:

Der konstante Faktor c darf nur weggelassen werden, wenn es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (also wenn keine Integrationsgrenzen vorgegeben sind).

Beispiel aus der Physik:

(v: Geschwindigkeit, t: Zeit, a: Beschleunigung = konstant)

Es soll die Fläche unter der Funktion berechnet werden.

“Fläche” wird gewonnen aus s = vt

Es gilt:

Für die Fläche zwischen zwei Begrenzungen:

Zu beachten beim Umgang mit Integralen

Ein Integral kann in mehrere Einzelintegrale aufgeteilt werden. So kann der Bereich von a über b bis c entweder in einem oder in mehreren Integralen geschrieben werden:

Wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen vor dem berechneten Flächeninhalt unter der Funktion:

Die Variable muss nicht x sein, sie kann auch durch eine andere ersetzt werden:

Es gibt auch verschiedene Schreibweisen für den hinteren Teil:

Eine Konstante im Integral kann auch vor das Integral gezogen werden:

Integrationsverfahren

1. Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel:
Lässt sich ein Integral auf die Form

bringen, so erhält man mit der Substitution

und daher

die Form

Beispiele:

Rücksubstitution:

Beispiel 2:

Abschließend muss nur noch substituiert werden.

Sonderfälle bei der Integration von Brüchen

Bei bestimmten Integralen verschieben sich die Integrationsgrenzen:

Dies kann umgangen werden, wenn am Schluss die Variable resubstituiert wird.

noch ein Beispiel:

Partielle Integration

Die Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel:

Die Rechenregel für die partielle Integration lautet also:

Beispiel:

Einsetzen:

Das Verfahren muss nun noch ein Mal angewendet werden:

In der Physik braucht man häufig bestimmte Integrale, wie zum Beispiel ein Arbeitsintegral. Eine besondere Form sind die Linienintegrale:

oder geschlossene Integrale.

Berechnung der Fläche einer Ellipse

Formel für eine Ellipse:

Y muss ausgerechnet und eingesetzt werden, anschließend lässt sich das Integral lösen. Dieser Vorgang ist sehr mühsam und soll hier nicht weiter vertieft werden.

Alternative: Parameterdarstellung

Die neue Variable ist φ.

Volumen von Rotationskörpern

Volumen einer Ellipse (eines Rotationsellipsoids)

Rotation um die y-Achse:

Der Einfachste Fall eines linearen Gleichungssystems ist ein System mit n Gleichungen und n Unbekannten. Dieses kann mit Verfahren wie der Cramerschen Regel (praktikabel nur bis n=3) oder der Gaußschen Elimination gelöst werden.
Die Idee der Gaußschen Elimination ist, alle Gleichungen in eine Matrix zu schreiben und miteinander zu kombinieren, bis eine Gleichung mit einer Unbekannten herauskommt, die man dann in die anderen Gleichungen einsetzen kann, um die anderen Unbekannten zu bestimmen.

Ein einfaches Beispiel für ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:

Die 2u links oben bezeichnet man als “Pivot-Element”. Dieses wird später noch eine Rolle
spielen.

Dieses System wird mit folgenden Einzelschritten gelöst:
a) Subtrahiere das 2-fache der I. Gleichung von der II.
b) Subtrahiere das (-1)-fache der I. Gleichung von der III.

Das Pivotelement ist nun das -v vorne in der II. Gleichung.
c) Subtrahiere das (-3)-fache der II. Gleichung von der III.

Die letzte Gleichung liefert: w = 1
Eingesetzt in die II. Gleichung liefert das: v = 2
Eingesetzt in die I. Gleichung liefert das: u = -1

Wann bricht der Gaußsche Algorithmus vorzeitig ab?
Obiges Beispiel hatte die Pivots 2 und -1, also beide ungleich 0. Dabei konnte man die -1 nicht sofort sehen, da sie erst im Laufe des Verfahrens zustande kam. Falls einer der auftretenden Einträge auf der Diagonalen = 0 ist, stoppt der Eliminationsprozess.
Eine eventuelle Abhilfe bringt das Vertauschen von Zeilen.

1.2. Matrixschreibweise mit Matrixmultiplikation

Die Unbekannten können in einen Vektor zusammengefasst werden:

die hinter dem = stehenden Ergebnisse in einen anderen:

Die Gleichungen selbst können als eine Matrix dargestellt werden, wobei die Einträge die Faktoren vor den Unbekannten sind:

Diese Matrix nennt man Koeffizientenmatrix.
Um die beiden Vektoren und die Matrix nun kombinieren zu können, benötigt man ein paar Grundrechenoperationen mit Vektoren und Matrizen.

Elementweise Addition von Matrizen

Die Dimensionen der Matrizen müssen für diese Operation gleich sein.

oder

kann nicht berechnet werden.

Skalare Multiplikation von Matrizen

Multiplikation von Matrix und Vektor

Das Ziel ist es, das Gleichungssystem mit Vektoren und Matrizen darzustellen in der Form

Dies bedeutet ausgeschrieben:

An dieser Stelle zwei Definitionen:

Ein n-dimensionaler Spaltenvektor ist eine (n x 1)-Matrix.
Beispiel:

Ein n-dimensionaler Zeilenvektor ist eine (1 x n)-Matrix.
Beispiel:

Wir wenden uns nun wieder dem Gleichungssystem zu. Die 1. Komponente des Produktes Ax muss entstehen durch eine “Multiplikation” der ersten Zeile in A mit dem Spaltenvektor x:

Dementsprechend verhält es sich mit den anderen Komponenten. Man erhält also das skalare Produkt (”innere Produkt”) immer durch die Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor. Das Produkt aus der mehrzeiligen Matrix A und dem Vektor x kombiniert drei solche inneren Produkte und ist daher ein dreidimensionaler Spaltenvektor:

Wir betrachten die Multiplikation von einer Matrix und einem Vektor noch ein mal etwas genauer an Hand eines Zahlenbeispiels:

Das Produkt Ax ist also eine Linearkombination der Spalten von A, wobei jede Spalte von A durch die jeweilige Komponente von x gewichtet wird. Im Beispiel:

Wir verallgemeinern nun weiter und suchen eine allgemein gültige Formel für das Produkt von A und x. Dazu verwenden wir die folgenden Bezeichnungen:

Die Matrix A enthält die Einträge a_ij. Diese stehen in der i-ten Zeile in der j-ten Spalte. Dies ist wichtig zu beachten, da es gegen die Gewohnheit verstößt, dass die erste Koordinate die Horizontale und die Zweite die Vertikale bedeutet.
Wir schreiben kurz für eine m x n Matrix:

Dabei läuft i von 1 bis m und j von 1 bis n. Die Formel in Indexschreibweise:

Folgerung:
Die durch eine Matrix A definierte Abbildung

ist linear, das heißt es gilt:

und

Dies gilt für alle Vektoren x, y mit Skalaren &alpha.

Die Matrixform eines Eliminationsschrittes

Wir gehen nun der Rechenoperation auf den Grund, auf der der Eliminationsschritt aufbaut.
Im Beispiel der Einzelschritt a), “Subtrahiere das 2-fache der I. Gleichung von der II. Gleichung”.
Dies bedeutet, dass auf der rechten Seite das 2-fache der 1. Komponente von b subtrahiert wird von der 2. Komponente. Dies lässt sich auch erreichen, indem wir den Vektor b mit folgender elementaren Matrix E multiplizieren:

Dies funktioniert, denn:

Um Gleichheit zu erhalten, muss die selbe Operation auf beiden Seiten durchgeführt werden. Der Vektor Ax muss daher mit E erweitert (multipliziert) werden. Es entsteht:

Wir wollen uns an dieser Stelle von den Klammern lösen und schreiben:

Für diese Operation brauchen wir die Matrixmultiplikation.

Matrixmultiplikation

Es gibt drei Zugänge zur Matrixmultiplikation.

1. aus der Gaußschen Elimination ist bekannt:
- die ursprüngliche Koeffizientenmatrix, die Matrix nach dem Eliminationsschritt a) und die Matrix E, die den Schritt durchführt.

In unserem Beispiel gilt offenbar für

und

Damit ist die Matrixmultiplikation konsistent mit den Zeilenoperationen des Eliminationsschrittes a)

2. Zugang: Hierfür benötigen wir eine weitere Anforderung an die Matrixmultiplikation, nämlich konsistenz mit der alten Definitino, das heißt ist B eine Matrix mit einer einzigen Spalte x, dann soll AB = Ax gelten.

Besteht B aus mehreren Spalten, z.B. x₁, x₂, x₃, dann sollen die Spalten von AB gerade Ax₁, Ax₂, Ax₃ sein.

Damit ist klar, wie die Matrixmultiplikation abzulaufen hat:
Arbeite das Matrixprodukt AB spaltenweise mit den Spalten von B ab. (Jede Zeile von A muss mit jeder Zeile von B zu einem inneren Produkt kombiniert werden. Die sich ergebenden Skalare sind die Einträge in die neue Matrix)

Zahlenbeispiel:
erste Spalte von EA = E “mal” die erste Spalte von A

Entsprechend werden die anderen Spalten berechnet.

3. Zugang mit den einzelnen Einträgen der Matrix

Hier geht es um eine allgemeine Formel für die Berechnung des neuen Eintrags:
(AB)_ij = inneres Produkt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B

Damit das gut geht, muss die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B sein.

Ein Vektor ist ein Pfeil im 2- oder 3-dimensionalen Raum, der eine Richtung und eine Länge, aber keine Position hat. Vektoren können mit anderen Vektoren addiert und mit Skalaren multipliziert werden.

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat die Form

Der Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt, ist

Die Länge des Vektors ist sein Betrag. Man berechnet diesen mit der Formel:

Ortsvektor:
Ein Ortsvektor, zum Beispiel

bezeichnet den Vektor vom Koordinatenursprung (0,0,0) zu dem Punkt P(1,2,3).

Grundrechenoperationen mit Vektoren

1. Addition

Bei der Addition von Vektoren werden einfach alle einzelnen Komponenten addiert:

2. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Der Vektor wird dadurch verlängert oder verkürzt (gestreckt oder gestaucht), seine Richtung bleibt aber erhalten.

Mit zwei Vektoren kann eine Gerade im Raum definiert werden. Die Gerade hat den Aufbau

3. Multiplikation von zwei Vektoren

Eine allgemeine Multiplikation von Vektoren ist nicht definiert. Es gibt zwei Möglichkeiten, die verschiedene Geometrische Bedeutungen haben.

a. Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist definiert als das Produkt der Länge des einen Vektors und der Länge der Strecke, die der Vektor auf den anderen projeziert.
Dementsprechend berechnet man das Skalarprodukt:

Eine andere Möglichkeit, das Skalarprofukt zu berechnen, geht über die einzelnen Komponenten der Vektoren:

Diese Möglichkeit empfiehlt sich, wenn der von den Vektoren eingeschlossene Winkel nicht bekannt ist.
Skalare Multiplikation braucht man zum Beispiel, um Anteile von Kräften in eine bestimmte Richtung zu berechnen.

Sonderfälle
1. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander:
Wenn die zwei skalar multiplizierten Vektoren senkrecht aufeinander stehen, dann ist das Skalarprodukt gleich 0.

2. Die Vektoren verlaufen parallel:
Wenn die Vektoren parallel verlaufen, so ist das Skalarprodukt das Produkt der Beträge der beiden Vektoren.

b. Vektorprodukt
Das Vektorprodukt liefert als Ergebnis der Multiplikation von zwei Vektoren wieder einen Vektor. Dieser hat zwei wichtige Eigenschaften:
1. Er steht senkrecht auf den beiden anderen Vektoren
2. Der Betrag des neuen Vektors ist gleich des Flächeninhalts des von den beiden multiplizierten Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

c. Spatprodukt
Das Spatprodukt kombiniert das Skalarprodukt mit dem Vektorprodukt. Es werden drei Vektoren zu einem Spat (Parallelepiped) zusammengefasst, das Ergebnis des Skalarproduktes ist das Volumen des Spats.

Berechnung:

Spatprodukt

Die Steigung wird berechnet, indem die Differenz der Y-Werte in einem Intervall um den Punkt durch die Differenz der X-Werte geteilt wird:

Man nennt das Ergebnis den Differenzenquotient. Wenn nun das Intervall um den Punkt immer weiter verkleinert wird, bis es gegen 0 strebt, so erhält man den Grenzwert für den Differenzenquotient:

Für die Breite des Intervalls, dass von x und x₀ eingeschlossen wird schreibt man:
x = x₀+h
h = x-x₀

Eingesetzt:

Diesen Grenzwert, den Differentialquotient definiert man als die Steigung der Funktion. Die Funktion, die durch die Steigung gebildet wird, ist die Ableitung.
Es können nur stetige und differenzierbare Funktionen abgeleitet werden. Eine Funktion heißt stetig, wenn verschwindend kleine Änderungen des Argumentes nur zu verschwindend kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das heißt insbesondere, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten.

Eine Ausnahme von dieser Regel ist die folgende Funktion:

Sie ist überall stetig aber bei (0,0) nicht differenzierbar.
Wenn eine Funktion stetig ist, muss sie also nicht auch differenzierbar sein. Es gibt auch Funktionen, die überall stetig aber nirgendwo differenzierbar sind, so zum Beispiel die Weierstraß-Funktion:

Dabei muss a eine ungerade Zahl sein und b zwischen 0 und 1. Außerdem muss gelten:

Es soll nun an einem Beispiel die Berechnung der Ableitungsfunktion veranschaulicht werden:

Beispiel 2:

Hier noch einige einfach Ableitungsfunktionen:

Bei einer Geraden gilt an jeder Stelle für die Steigung a:

bei jeder differenzierbaren Funktion gilt an jeder Stelle für die Steigung a:

Man schreibt:

Beispiel aus der Physik:
Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist die Geschwindigkeit:

Ableitungsregeln

Produktregel

Beispiel:

Quotientenregel

Beweis:

Zusammengesetzte Funktionen

Beispiel:

Es muss die Kettenregel angewendet werden:

Ableitung der ersten Funktion:

Ableitung der zweiten Funktion:

Ableitung von tan(x):

Einige spezielle Funktionen

1. Die e-Funktion

Die e-Funktion beruht auf der Eulerschen Zahl e, die wie folgt definiert ist:

Die Funktion ändert sich beim Ableiten nicht:

Bei konstanten Faktoren verfährt man nach der Kettenregel:

2. a^x

x^x

Logarithmische Ableitung

f sei eine differenzierbare Funktion f(x)>0
Die Ableitung der Funktion (ln f) ist:

Beispiel:

Implizite Ableitung

Die implizite Ableitung wird benötigt, wenn die abzuleitende Funktion nicht ohne weiteres nach y aufzulösen ist. Die implizite Funktionsgleichung muss dann gliedweise abgeleitet werden. Dabei muss man darauf achten, dass y weiterhin von x abhängig ist und daher nach der Kettenregel abgeleitet werden muss:

Partielle Ableitung

Wenn eine Funktion wie

abgeleitet werden soll (Funktion im Raum), so werden stets zwei Variablen konstant gehalten. Dies nennt man partielle Ableitung. Die partielle Ableitung ist definiert als:

Beispiel:

Die Umkehrfunktionen der periodischen trigonometrischen Funktionen können nicht komplett definiert werden, da sonst jedem Wert für X mehrere Y-Werte zugeordnet würden. Man definiert die Funktionen daher nur in einem Intervall.

Arcussinus
Definitionsbereich: [-1; 1]
Wertebereich: [-π/2; π/2]

Arcussosinus
Definitionsbereich: [-1; 1]
Wertebereich: [0; π]

Arcustangens
Definitionsbereich: Reelle Zahlen
Wertebereich: [-π/2; π/2]

Arcuscotangens
Definitionsbereich: Reelle Zahlen
Wertebereich: [0; π]

Die Funktionen sind alle weder ungerade noch gerade. Sie sind streng monoton steigend bzw fallend.

2. Potenzgesetze

Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden:

Das a bezeichnet man dabei als Basis und die 5 als Exponent. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

3. Exponential- und Logarithmusfunktion

Sei a eine positive reelle Zahl ungleich 1. Eine Exponentialfunktion hat dann den Aufbau:

Der Definitionsbereich von Exponentialfunktionen ist der Raum der reellen Zahlen, der Wertebereich ist von 0 bis unendlich. Da a⁰ = 1 ist, verlaufen alle Graphen durch den Y-Achsenabschnitt (0;1). Jede Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, wenn a > 1 ist, bzw streng monoton fallend, wenn a < 1 ist. Die X-Achse ist eine Asymptote, an die sich die Funktion bei x = -∞ bzw bei x = ∞ für a < 1 annährt. Es gilt weiterhin:

Logarithmusfunktion

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Die Funktion lautet:

Dabei muss a ungleich 1 und > 0 sein.
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist D={0, +∞}
Im Wertebereich befinden sich alle reellen Zahlen.

Die Funktion ist streng monoton steigend für a > 1 und streng monoton fallend für a < 1.

Rechenregeln für den Logarithmus:

Es gibt zwei häufig benutzte Formen der Logarithmusfunktion.

Dekadischer Logarithmus:

Natürlicher Logarithmus:

4. Komplexe Zahlen

Die Gleichung

hat im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Um dieses Problem zu lösen, hat man den reellen Zahlenkörper erweitert und die Zahl hinzugefügt, für die gilt:

In diesem erweiterten Zahlenraum sollen alle Grundaxiome, die für reelle Zahlen bestehen, weiter gelten. Man kann also zu reelle Zahlen addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Dadurch entstehen komplexe Zahlen, die sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammensetzen. Sie haben die Form

.

x ist der Realteil und y der Imaginärteil. Komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil übereinstimmen.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition und Subtraktion
Bei der Addition wird jeweils der Realteil zum Realteil und der Imaginärteil zum Imaginärteil addiert. Bei der Subtraktion wird entsprechend subtrahiert:

Beispiel:

Multiplikation
Fall 1: Multiplikation mit einer reellen Zahl
Die reelle Zahl wird sowohl mit Realteil als auch mit Imaginärteil multipliziert:

Beispiel:

Fall 2: Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Herleitung:

Beispiel:

Division
Für die Division braucht man weitere Grundlagen, nämlich die konjugiert komplexe Zahl. Eine komplexe Zahl kann man sich auch als Vektor in der Ebene vorstellen. Es ist ein Ursprungsvektor mit den Werten des Realteils für x und des Imaginärteils für y. Beispiel:

Vektoren aus komplexen Zahlen

In dem Koordinatensystem sind die komplexen Zahlen

(dunkelblau) und

(ocker) eingezeichnet. Man kann diese addieren, indem man sie hintereinander zeichnet, dargestellt durch die schwach dargestellten Linien. Es entsteht die komplexe Zahl

Die Vektoren können an der y-Achse gespiegelt werden, indem der imaginäre Teil mit -1 multipliziert wird. Aus

entsteht so

und aus

wird

Die komplexen Zahlen der gespiegelten Vektoren nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen, so entsteht immer eine reelle Zahl. Herleitung:

Mit diesem Wissen kann nur eine Division gelöst werden.

Um die komplexe Zahl aus dem Nenner herauszubekommen, wird mit der konjugiert komplexen erweitert:

Etwas schwieriger wird es, wenn man zwei komplexe Zahlen durcheinander teilt. Hier ein Beispiel:

Quadratische Gleichungen mit komplexen Zahlen

Die Gleichung besitzt im komplexen Zahlenbereich genau 2 Lösungen, nämlich und

Ist q eine beliebige reelle Zahl größer oder gleich 0, dann hat die Gleichung die Lösungen:

und

Für die quadratische Gleichung mit dem Aufbau mit gibt es die Lösungen

für d > 0,

für d = 0,

für d < 0.

Mit der Determinanten

Beispiel:

d ist negativ, daher gibt es die Lösungen

Betrag einer komplexen Zahl

Wie oben schon dargestellt, kann man eine komplexe Zahl als Vektor in einer Ebene darstellen. Naturgemäß hat dieser Ursprungsvektor eine Länge, den Betrag des Vektors. Den Betrag einer komplexen Zahl berechnet man mit der Formel

Beispiele:

Nun soll die komplexe Zahl berechnet werden, für die gilt

mit

Das Vorgehen ist wie folgt:

Die Endformel ist aus der analytischen Geometrie bekannt, nämlich als Formel für einen Kreis mit dem Radius 2 und einer Verschiebung von 3 nach rechts und 1 nach oben. Es fällt auf, dass der Mittelpunkt dieses Kreises der Ortsvektor von ist. Die komplexen Zahlen, für die der Betrag der Differenz zu gleich 2 ist, liegen also auf diesem Kreis um . Allgemein gilt: Der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen ist ihr Abstand voneinander.
Der Betrag komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:

Polardarstellung von komplexen Zahlen

Im Gegensatz zu herkömmlichen Vektoren können die Vektoren der komplexen Zahlen miteinander multipliziert werden. Dadurch ergibt sich das Problem der geometrischen Deutung dieser Möglichkeit. Wir benötigen hier eine neue Darstellungsform von komplexen Zahlen in der Gaußschen Ebene. Diese Darstellung, die man Polardarstellung nennt, verwendet den Betrag r der komplexen Zahl als Länge für den Vektor und ein Argument für den Winkel von der positiven reellen Achse aus. Der Winkel wächst dabei von 0 (verläuft genau auf der X-Achse) bis (verläuft nach links auf der X-Achse und unterhalb der Achse von bis 0. Zu einer komplexen Zahl z gibt es genau ein Paar .
Ist und , so gilt:

Hier sind die Beträge und Argumente einiger ausgesuchter komplexer Zahlen:

Es gilt:

Die allgemeine Berechnung erfolgt mit dem Arcuscosinus:

Sei und . Dann gilt:

Eine andere Methode zur Berechnung stützt sich auf die Arcustangensfunktion, diese soll hier aber nicht angesprochen werden.
Im Folgenden wird zur Veranschaulichung die normale Schreibweise für komplexe Zahlen an dem Beispiel z=3+4i in die neue Darstellung umgerechnet und wieder zurückgerechnet:

Die neue Darstellung war allerdings nur ein Zwischenschritt, mit dem man nicht besonders viel anfangen kann. Um zur Polardarstellung zu kommen, brauchen wir nun die Eulersche Formel:

Mit dieser Formel können Zahlen auf dem Einheitskreis erfasst werden. Man könnte also nur komplexe Zahlen mit dem Radius 1 benutzen. Um dieses Problem zu lösen, baut man den Radius mit in die Eulersche Formel ein:

Wegen der Periodität der Winkelfunktionen kann man bei der Polardarstellung einer komplexen Zahl immer ganzzahlige Vielfache von addieren:

Im Folgenden wird das schon bekannte Beispiel in die Polardarstellung
umgerechnet:

Mit dieser Darstellung können nun sehr leicht Multiplikationen und Divisionen durchgeführt werden. Die Beträge werden dabei multipliziert/dividiert und die Winkel addiert/subtrahiert. Die Multiplikation einer Zahl z mit einer Zahl bedeutet, dass der Vektor z um den Winkel gedreht wird. Hier die Rechenregeln im Überblick:

Man kann auch Wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen sowie komplexe Zahlen potenzieren, wobei die Polardarstellung sehr hilfreich ist, aber dieses Themengebiet wird hier nicht weiter vertieft. ]]> http://me-lrt.de/vk2-komplexe-zahlen-arcusfunktionen/feed 0 http://me-lrt.de/vk1-summen-binomialkoeffizient-trigonometrisch http://me-lrt.de/vk1-summen-binomialkoeffizient-trigonometrisch#comments Thu, 25 Sep 2008 19:45:01 +0000 admin http://lrt.phynet.de/?p=20 1. Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen

a₁, a₂, a₃, …, a_n seien beliebige Zahlen. Die Summe aus diesen Zahlen ist a₁+a₂₊a₃₊…+a_n. Dies kann man mathematisch ausdrücken als:

Es werden hier alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und addiert. Allerdings muss nicht zwangsweise bei 1 angefangen werden zu zählen. Es ist auch möglich, Summen von einer beliebigen anderen natürlichen Indexzahl zu einer höheren zu bilden. Der Startindex kann sogar negativ sein.

Ein einfaches Beispiel:

Analog zum Summenzeichen funktioniert das Produktzeichen für Produkte von Zahlen oder Termen. Für a₁ · a₂ · a₃ · … · a_n kann man mathematisch schreiben:

Auch hierzu ein einfaches Beispiel:

Ein Sonderfall des Produktzeichens ist das Fakultätzeichen. Es wird dargestellt durch ein Ausrufezeichen und ist definiert als:

Ein Beispiel:

2. Binomische Formeln

Die Binomischen Formeln sind dafür da, Ausdrücke wie (a+b)² zu berechnen. Wenn n den Grad des Exponenten darstellt, gilt für solche Potenzen:

Die ganzzahligen Faktoren in den einzelnen Produkten bilden das Pascalsche Dreieck. Man erhält eine Zahl, indem man die beiden schräg über ihr stehenden addiert:

3. Binomiallehrsatz

Wie kann man nun eine einzelne Zahl aus dem Pascalschen Dreieck ausrechnen, ohne vorher den gesamten darüberliegenden Teil des Dreiecks aufzuzeichnen?

Die Lösung ist der Binomialkoeffizient.

Beispiel: Der ganzzahlige Faktor für den dritten Summanden bei n=4 soll berechnet werden. Im Pascalschen Dreieck sieht man sofort: Der dritte Wert in der Zeile für n=4 beträgt 6, die Summe aus den darüberstehenden Dreien.

Wenn nun die Information “der Wert für den dritten Summanden” als k=2 (man fängt eigentlich bei 0 an zu zählen) festgelegt wird, gilt für den gesuchten Faktor f:

Dieses Konstrukt nennt man Binomialkoeffizient und schreibt kurz:

Man kann jetzt mit dieser Technik zum Beispiel (a+b)⁴ berechnen, indem man die jeweiligen Binomialkoeffizienten mit den jeweiligen a/b Kombinationen multipliziert:

Gleich auf den ersten Blick wird hier die Ähnlichkeit der Summanden deutlich. Es kann mit dem Summenzeichen geschrieben werden:

Oder verallgemeinert:

Dies ist der Binomiallehrsatz.

Für den Binomialkoeffizienten gilt:

Alle diese Gleichungen können bewiesen werden durch Einsetzen in:

4. Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat den Aufbau y = mx+b. Dabei ist m die Steigung und b der Y-Achsenabschnitt. Es handelt sich immer um eine Gerade, wobei diese bei m < 0 abfällt, bei m = 0 konstant bleibt und bei m > 0 ansteigt. Die Definitionsmenge und die Wertemenge beinhalten alle reellen Zahlen.

Abschnittsform
Für die Abschnittsform der Geraden benötigt man die beiden Schnittstellen der Gerade mit dem Koordinatensystem. Der Schnittpunkt mit der Y-Achse (der Y-Achsenabschnitt) ist immer B = (0;b). Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist die Nullstelle. Sie wird berechnet, indem man in der Formel y = mx+b einsetzt: y = 0. Es ergibt sich der Punkt A = (-b/m ; 0).

Sind diese beiden Punkte bekannt, kann in die Abschnittsform eingesetzt werden:

a₁ bezieht sich hierbei auf die X-Koordinate vom Punkt A, b₁ auf die Y-Koordinate vom Punkt B. Aus dieser Form kann wieder die normale Form gebildet werden, indem man rechnet:

5. Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat den Aufbau ax²+bx+c = 0. Die Lösungen für diese Gleichungen können entweder durch quadratisches Ergänzen oder mit einer Formel (Mitternachtsformel oder PQ-Formel berechnet werden.

Mitternachtsformel:

PQ-Formel:

Die PQ-Formel setzt voraus, dass a = 1 ist. p entspricht dann b und q entspricht c.
Die Anzahl der Lösungen ist bei beiden Ansätzen abhängig von dem Term in der Wurzel.
Bei einer quadratischen Ungleichung verfährt man genau so und bestimmt zum Beispiel mit Hilfe einer Skizze, ob der Lösungsbereich zwischen den beiden gefundenen Lösungen oder außerhalb von ihnen liegt.

6. Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat den Aufbau y = ax²+bx+c. Der zugehörige Graph ist eine Parabel. Wenn a > 0 ist, dann ist sie nach oben geöffnet. Ist a < 0, so ist sie nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt der Parabel ist:

7. Trigonometrische Funktionen

Sinusfunktion:
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
Wertebereich: [-1; 1]
Die Funktion ist ungerade, da sin(-x) = -sin(x) gilt (Punktsymmetrie)
Nullstellen: sin(nπ) = 0

Cosinusfunktion:
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
Wertebereich: [-1; 1]
Die Funktion ist gerade, da cos(-x) = cos(x) gilt (Achsensymmetrie)
Nullstellen: cos(π/2+nπ) = 0

Es gilt:

Additionstheoreme

8. Rechtwinklige Dreiecke

Im rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Formeln:

Satz des Pytagoras:

Formeln für Winkel:

9. Beliebige Dreiecke

Flächenformel:

Sinussatz:

Anwendungsbeispiel zum Sinussatz:
a=4
b=6
γ=25°

Das Ergebnis für den Winkel β
ist nicht eindeutig, da gilt:

Es ergeben sich zwei Lösungen für β:

Daraus ergeben sich auch zwei verschiedene Werte für den noch zu berechnenden Winkel γ:

Die noch zu berechnende Seite c erhält man wie folgt:

Es ergeben sich die Werte:

Der Sinussatz kann prinzipiell in jedem Dreieck angewendet werden, allerdings empfiehlt er sich nicht, wenn der gegebene Winkel von den gegebenen Seiten eingeschlossen ist. In diesem Fall sollte der Cosinussatz angewendet werden:

Cosinussatz:
Das Quadrat einer Seite ist so groß wie die Quadrate der beiden anderen Seiten zusammen, vermindert um das doppelte Produkt dieser Seiten und des Cosinus ihres Zwischenwinkels.

Mathematisch: