Mathematical Engineering - LRT » Wärmeübertragung http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Sun, 13 May 2012 09:26:22 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 Fragenkatalog Grundlagen Wärmeübertragung http://me-lrt.de/fragenkatalog-grundlagen-warmeubertragung http://me-lrt.de/fragenkatalog-grundlagen-warmeubertragung#comments Sun, 14 Nov 2010 09:10:30 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5747 Formelzeichen

Wofür stehen die Formelzeichen \alpha ,{c_p},\dot q,{u_m},D,T,h,\beta ,k,\nu?

Lösung Formelzeichen

\alpha: Temperaturleitfähigkeit
{c_p}: isobare spezifische Wärmekapazität
\dot q: Wärmestromdichte
{u_m}: mittlere Strömungsgeschwindigkeit
D: Diffusionskoeffizient
T: Temperatur
h: Wärmeübergangskoeffizient, Enthalpie
\beta: Stoffübergangskoeffizient
k: Wärmeleitfähigkeit
\nu: kinematische Viskosität

Frage 1

Geben Sie die Formel für den Wasserwert eines strömenden Fluids an.

Lösung 1

W = \dot m{c_P} = \left[ {\frac{{kJ}}{{sK}}} \right]

Dabei ist W der Wasserwert, {c_p} die spezifische isobare Wärmekapazität.

Frage 2

Wie lautet der Fourier-Ansatz der Wärmeleitung durch eine ebene unendliche ausgedehnte Wand?

Lösung 2

\dot q = \frac{{\dot Q}}{A},\quad \dot Q = -k \cdot A \cdot \frac{{\Delta T}}{{\Delta x}}

Differentialgleichung für die Wand:

\frac{1}{a} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Frage 3

Wie lautet das Newtonsche Wärmeübergangsgesetz?

Lösung 3

{\dot q_x} = \frac{{{{\dot Q}_x}}}{A} = {h_x}\left( {{T_W}\left( x \right)-{T_\infty }} \right)

Frage 4

Beschreiben Sie das Verhalten eines Körpers bei einfallender Strahlung, wenn er im Sinne der Klassifizierung der Strahlungstheorie als schwarz, als grau, als weiß oder als diatherm bezeichnet wird.

Lösung 4

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {Absorption/Emission} &\vline & {Transmission} &\vline & {Reflexion} \\ \hline{schwarz} &\vline & {\alpha = 1,\quad \varepsilon = 1} &\vline & {\tau = 0} &\vline & {\rho = 0} \\{grau} &\vline & {\alpha > 0,\quad \varepsilon < 1} &\vline & {\tau \geq 0} &\vline & {\rho = 1-\alpha -\tau } \\{weiss} &\vline & {\alpha = 0,\quad \varepsilon = 0} &\vline & {\tau = 0} &\vline & {\rho = 1} \\{diatherm} &\vline & {\alpha = 0\quad \varepsilon = 0} &\vline & {\tau = 1} &\vline & {\rho = 0} \\ \end{array}

diatherm bedeutet durchsichtig.

Frage 5

Welche Art der Wärmeübertragung wird durch die Kennzahlen Pr, Re, Gr und Nu charakterisiert?

Lösung 5

Pr: Prandtlzahl: Erzwungene Konvektion, freie Konvektion
Re: Reynoldszahl: Erzwungene Konvektion
Gr: Grashofzahl: Freie Konvektion
Nu: Nußeltzahl: Erzwungene Konvektion, freie Konvektion

Frage 6

Geben Sie die Formel für den radialen Wärmeleitwiderstand an! Machen Sie eine Skizze!

Lösung 6

radialer-warmeleitwiderstand-skizze

R = \frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2 \cdot \pi \cdot k \cdot l}} = \frac{{\ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right)}}{{2 \cdot \pi \cdot k \cdot l}}

Frage 7

Welche mathematische Eigenschaft der Wärmeleitungsgleichung erlaubt die Überlagerung von Lösungen zu einer Gesamtlösung?

Lösung 7

Die Linearität der Wärmeleitungsgleichung bei temperaturunabhängiger Wärmeleitfähigkeit erlaubt die Anwendung des Superpositionsprinzips.

Frage 8

Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf durch ein zylindrisches Rohr mit zwei Isolierschichten! Die Rohrinnenseite wird durch heißes Fluid auf einer konstanten Temperatur gehalten. Die Wärmeleitfähigkeit der inneren Isolierschicht soll geringer sein als die der äußeren Isolierschicht. Die Wandtemperatur der Außenseite der äußeren Isolierschicht ist gleich der Umgebungstemperatur.

Lösung 8

warmeubergang-zylindrisches-rohe-verlauf

Je größer die Wärmeleitfähigkeit k, desto besser ist die Wärmeleitung. Desto geringer ist dann der Wärmewiderstand und desto geringer der Temperaturabfall.

Frage 9

Durch welche Maßnahmen wird z.B. in einer Thermoskanne der Wärmetransfer minimiert?

Lösung 9

  • Vakuum als Isolator im Hohlraum
  • Verspiegelte Oberflächen mit hohen Reflexionsgraden ? wenig Strahlungsverluste
  • Guter Isolator als Innenmaterial (kleiner k- Wert), dadurch Wärmeleitungsverluste im Feststoff gering
  • Eventuell Strahlenschutzschilde bei hochwertigen Produkten

Frage 10

Was versteht man unter den folgenden Begriffen (auch Dimensionen angeben)?
Wärmeübergangskoeffizient, Wärmeleitfähigkeit, Wärmedurchgangszahl

Lösung 10

Wärmeübergangskoeffizient: h = \left[ {\frac{W}{{{m^2}K}}} \right]. Maß dafür, wie viel Wärme von einem Feststoff auf ein Fluid übertragen wird (und anders herum). Die Größe wird beim konvektiven Wärmeübergang genutzt.

Wärmeleitfähigkeit: \lambda ,k = \left[ {\frac{W}{{m \cdot K}}} \right]. Maß dafür, wie gut Wärme in einen Feststoff übertragen bzw. weitergeleitet wird. Die Größe wird bei der Wärmeleitung genutzt.

Wärmedurchgangszahl: u = \left[ {\frac{W}{{{m^2}K}}} \right]. Beschreibt den gesamten Wärmedurchgang zwischen durch Wänden getrennten Medien (Konvektion und Wärmeleitung).

Frage 11

Charakterisieren Sie die Effizienz eines Gegenstrom-Wärmeübertragers und eines Gleichstrom-Wärmeübertragers! Vergleichen Sie beide!

Lösung 11

Gegenstrom kann nie schlechter sein als Gleichstrom, denn bei Gegenstrom ist die logarithmische Temperaturdifferenz größer, daher ist auch der Wärmestrom größer, denn

{\dot Q_{ges}} = \Delta {T_{\log }} \cdot \frac{1}{{{R_{ges}}}}

Der Gegenstrom-Wärmeübertragers ist bis zu einem Faktor 2 besser.

Frage 12

Erklären Sie das Wiensche Verschiebungsgesetz mit Hilfe des Planckschen Strahlungsgesetzes!

Lösung 12

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die Temperatur- und Frequenzabhängigkeit der spektralen Strahlungsenergiedichte der Hohlraumstrahlung.

{B_\lambda }\left( T \right) = f\left( {T,\lambda } \right)

\frac{{{B_\lambda }\left( T \right)}}{{{T^s}}} = f\left( {\lambda \cdot T} \right) = f\left( x \right),\quad {x_{\max} } = 2900\mu m \cdot K = const

spektrale-verteilung-strahlungsenergie-schwarzer-korper

Wiensches Verschiebungsgesetz:
Das Maximum der Strahlungsintensität liegt stets bei \lambda \cdot T = 2900\mu m \cdot K. Es verschiebt sich daher mit sinkender Temperatur nach rechts (= größere Wellenlänge).

Frage 13

Was ist die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz, bei welchem Bauelement der Wärmeübertragung spielt sie eine Rolle?

Lösung 13

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}}

Diese Größe ist wichtig beim Wärmeübertrager. Sie gibt die gemittelte Temperaturdifferenz zu den Fluidströmen an, wobei jeweils die Temperaturdifferenzen am Anfang und am Ende des Bauteils eingehen. Da der Temperaturverlauf exponentiell verläuft, muss man den Logarithmus benutzen.

Frage 14

Mit welchen dimensionslosen Größen kann man das zeitabhängige Temperaturfeld in einem Körper beschreiben, der in einem Ölbad abgekühlt wird? Unter welchen Bedingungen bleibt die Temperatur im Körper während des Abkühlvorgangs näherungsweise räumlich konstant?

Lösung 14

Biotzahl: Bi = \frac{{h \cdot d}}{{{k_S}}} = \frac{{konv.\:\:W\ddot arme\ddot ubergang}}{{W\ddot armeleitung\:\:Feststoff}}

Fourierzahl: Fo = \frac{{\alpha \tau }}{{{d^2}}},\quad \alpha = \frac{k}{{\rho {c_p}}} = dimensionslose Zeit bei instationärer WL

Normierte Temperatur: \theta

wand-warmeverlauf-biot-zahl-abkuhlen

Die Temperatur ist räumlich näherungsweise konstant, wenn die Biotzahl gegen 0 geht (Blockkapazität). Richtwert ist Bi \leq 0,1.

Frage 15

Skizzieren Sie den Temperaturverlauf einer langen, ebenen Kühlrippe von der Basis bis zum Rippenende. Die Temperatur quer zur Rippe kann näherungsweise als konstant angesehen werden. Kennzeichnen Sie die thermisch sinnvolle Länge der Rippe und begründen Sie!

Lösung 15

kuhlrippe-warmeverlauf-adiabat-diatherm

Ab einer gewissen Länge ist der Temperaturgradient zu flach, da T \approx {T_\infty }. Durch Leitungswiderstand in der Rippe bleibt viel Wärme „hängen“.

Die sinnvolle Maximallänge der Kühlrippe ist durch m = 5 gegeben.

mit m = \sqrt {\frac{{h \cdot U}}{{k \cdot A}}} \cdot l

(U: Umfang, A: Fläche, l: Länge)

Frage 16

Die Temperatur einer Glühwendel ist T = 2700K. Für welche Wellenlänge \lambda ist die abgegebene Strahlungsleistung maximal? In welchem Bereich müsste die Temperatur liegen, damit die maximale Leistung im Wellenlängenbereich \lambda = \left[ {0,4\mu m \ldots 0,7\mu m} \right] abgestrahlt wird? Betrachten Sie dazu die Glühwendel jeweils als schwarzen Strahler.

Lösung 16

{x_{\max} } = 2900\mu m \cdot K = {\left( {\lambda \cdot T} \right)_{\max} } (Wiensches Verschiebungsgesetz)

Daraus folgt:

\lambda = \frac{{2900\mu m \cdot K}}{{2700K}} = 1,074\mu m = 1074nm

Festlegung des Temperaturbereichs:

{x_{\max} } = 2900\mu m \cdot K = {\left( {\lambda \cdot T} \right)_{\max} }

{T_1} = \frac{{2900\mu m \cdot K}}{{0,4\mu m}} = 7250K

{T_2} = \frac{{2900\mu m \cdot K}}{{0,7\mu m}} = 4140K

\quad \Rightarrow \quad T \in \left[ {4140K \ldots 7250K} \right]

Frage 17

In einem Wasserbad wird ein dünner Draht durch eine steigende Spannung beheizt, bis er schmilzt. Erläutern Sie an einem geeigneten Diagramm die auftretenden Effekte! Was ist der Leidenfrostpunkt und wo liegt er?

Lösung 17

warmeubergang-sieden-film-boiling-radiation

a) freie Konvektion+Verdampfen der freien Oberfläche
b) Blasensieden
c) Filmsieden

Leidenfrostpunkt (grün): Ab diesem Punkt gibt es einen stabilen Dampffilm

Frage 18

Kann die Wärmeübertragung in einem heißen Draht durch Aufbringen einer Isolationsschicht erhöht werden? Gibt es eine kritische Isolationsschichtdicke? Warum?

Lösung 18

Es ist möglich, da es eine kritische Isolationsdicke gibt. Unter dieser ist die Isolationswirkung geringer als die durch steigende Oberfläche mehr abgegebene Wärme:

kritische-isolationsdicke-draht

\frac{{\partial \dot Q}}{{\partial r}} = 0,\quad \frac{{{\partial ^2}Q}}{{\partial {r^2}}} = 0

Es gilt: {r_{\max} } = \frac{{{k_{Iso}}}}{{{h_a}}}

Frage 19

Erläutern Sie die Abhängigkeiten zwischen den dimensionslosen Kennzahlen Re und Pr mit den Temperaturgrenzschichten und Geschwindigkeitsgrenzschichten. Geben Sie die Größenordnung von Pr für Wasser, Öl und Gas an.

Lösung 19

Temperaturgrenzschicht:

\frac{{{\delta _T}}}{L} \sim \frac{1}{{\sqrt {\operatorname{Re} \cdot \Pr } }}

Geschwindigkeitsgrenzschicht:

Laminar: \frac{{{\delta _v}}}{L} \sim \frac{1}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }}

Turbulent: \frac{{{\delta _v}}}{L} \sim \frac{1}{{\sqrt[5]{{\operatorname{Re} }}}}

Größenordnung der Prandtlzahl:

Gas: 0,7 (insbesondere für Luft)
Öl: 500-1000
Wasser: 13,4

Frage 20

Durch welche allgemeinen Abhängigkeiten wird der Wärmeübergang an einer senkrechten Platte bei freier Konvektion aufgrund der Ähnlichkeitstheorie beschrieben?

Lösung 20

Der Wärmeübergang ist abhängig von der Nußeltzahl:

Nu = f\left( {Gr,\Pr } \right)

Die Nußeltzahl ist eine Funktion der Grashofzahl und der Prandtlzahl.

Frage 21

Skizzieren Sie die Temperaturverläufe für Gegenstrom-, Gleichstrom- und Einstromwärmeübertrager!

Lösung 21

warmeubertrager-verlauf-gegenstrom-gleichstrom

Frage 22

Nennen Sie Möglichkeiten, eine Oberfläche zu kühlen!

Lösung 22

  • Rippenkühlung (Konvektion)
  • Erzwungene Konvektion durch Fluidströmungen
  • Kondensation
  • Prallkühlung (Wasserstrahl)
  • Ausblasung (z.B. Kühlung eines PC Gehäuses)
  • Wärmeübertragung in anderen Feststoff

Frage 23

Beschreiben Sie für eine Heizkörperfarbe den günstigen Verlauf des winkelgemittelten Emissionskoeffizienten \varepsilon \left( \lambda \right), des Absorptionskoeffizienten \alpha \left( \lambda \right) und des Reflexionskoeffizienten \rho \left( \lambda \right)!

Lösung 23

Da Heizungen Wärme abstrahlen sollen (und nicht etwa sichtbares Licht oder Röntgenstrahlung) sollte der Emissionskoeffizient im Infrarotbereich (lange Wellenlängen) besonders groß sein.

Es gilt:

\alpha = \varepsilon

1 = \rho +\alpha

Frage 24

Zwei quaderförmige Körper gleicher Größe mit den Wärmeleitfähigkeiten {k_1},{k_2} und den Temperaturen {T_1} > {T_2} werden in Kontakt gebracht.
Skizzieren Sie den Temperaturverlauf in beiden Körpern für einen Zeitpunkt kurz nach ihrem Kontakt und vor dem Temperaturausgleich und formulieren Sie die Kontaktbedingung für den Wärmetransfer.

Lösung 24

Kontaktbedingung: {T_1}\left( {{L_1}} \right) = {T_2}\left( 0 \right)

kontaktbedingung-warmeubertragung

Frage 25

Nennen Sie verschiedene Arten der Wärmeübertragung durch Sieden? Welche ist die effizienteste? Warum?

Lösung 25

Möglich sind Filmsieden und Blasensieden.

Das Blasensieden ist am effizientesten, da die Blasen direkt nach dem Entstehen aufsteigen und somit die Oberfläche des heißen Körpers wieder freigeben.
Beim Filmsieden wird die Heizplatte sprunghaft wärmer, da der Film wie eine Isolationsschicht wirkt.

Frage 26

Nennen Sie verschiedene Arten der Wärmeübertragung durch Kondensation? Welche ist die effizienteste? Warum?

Lösung 26

tropfenkondensation-filmkondensation

Die Tropfenkondensation ist viel effizienter. Der kondensierte Tropfen läuft durch die Schwerkraft an der Fläche herunter und gibt die kalte Fläche wieder frei. Ein Film bildet eine Isolierschicht mit einem relativ flachen Temperaturgradienten.

Frage 27

Skizzieren Sie den Temperaturverlauf durch eine Hauswand!

Lösung 27

warmeverlauf-hauswand-linear

Die Verläufe in der Wand sind linear, da es sich um ebene Flächen handelt und sich daher die Fläche mit der x-Koordinate nicht ändert.

Frage 28

Gegeben ist eine Platte mit konstanter Wärmeleitfähigkeit. Das Temperaturprofil sei gegeben durch

\theta \left( {\xi ,{\tau _0}} \right) = \xi +\sin \left( {\pi \cdot \xi } \right)

\xi = \frac{x}{d},\quad \theta = \frac{{T-{T_1}}}{{{T_2}-{T_1}}},\quad {T_{1,2}} = const,\quad {T_2} > {T_1}

Skizzieren Sie den Temperaturverlauf!

Lösung 28

temperaturprofil-verlauf-aufgabe

Bemerkungen:

  • Soll dieses Profil gehalten werden, muss die Platte geheizt werden
  • Wird die Platte in Ruhe gelassen, kühlt sie ab
  • Der maximale Temperaturgradient ist bei \xi = 0

Frage 29

Was ist der Unterschied zwischen einem stationären Zustand, einem instationären Zustand und einem Gleichgewichtszustand?

Lösung 29

  • Bei einem stationären Zustand sind alle Gradienten konstant.
  • Bei einem instationären zustand sind Zustandsgrößen zeitabhängig.
  • Bei einem Gleichgewichtszustand sind alle Gradienten 0.

Frage 30

Ich habe eine Tasse viel zu heißen Kaffee und eine Wartezeit von drei Minuten. Ist es besser, die Milch vor der Wartezeit in den Kaffee zu gießen, oder sollte ich das erst nach der Wartezeit tun, damit der Kaffee dann möglichst stark abgekühlt ist?

Lösung 30

Temperaturverlauf, wenn die Milch sofort hinzugefügt wird:
Am Anfang gibt es einen Sprung, dann kühlt der Kaffee in einer Exponentialfunktion ab.

Temperaturverlauf, wenn die Milch später hinzugefügt wird:
Am Anfang kühlt der Kaffee in einer Exponentialfunktion ab. Diese hat wegen der höheren Starttemperatur eine größere Steigung als bei dem anderen Verfahren. Am Schluss gibt es einen Sprung:

kaffee-milch-warmeverlauf-warten

Man sollte also mit der Milch warten.

Frage 31

Ein Isolierglasfenster ist aus zwei Glasscheiben aufgebaut, die einen Luftspalt einschließen. An einem sehr kalten Wintertag bildet sich aufgrund des großen Temperaturgradienten zwischen Wohnraum und Fensteraußenseite eine Luftströmung im Luftspalt des Fensters. Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Temperatur und der Geschwindigkeit der Luft im Luftspalt des Fensters.

Lösung 31

luftstromung-fenster-innen-spalt

Frage 32

Wasser strömt laminar durch eine Rohrleitung und wird dabei entlang der Lauflänge x erwärmt. Fertigen Sie zwei Skizzen an, in die Sie den Verlauf der Wandtemperatur {T_W} bzw. den der mittleren Wassertemperatur {T_m} über die Lauflänge eintragen.

Berücksichtigen Sie dabei folgende Annahmen:
konstante Wärmestromdichte an der Wand,konstante Wandtemperatur

Lösung 32

gleichstrom-einstrom-warmeubertrager-konstant

Frage 33

Welche physikalischen Größen nehmen nach der kinetischen Gastheorie Einfluss auf die Wärmeleitfähigkeit eines Gases?

Lösung 33

Temperatur und Druck. Bei anisotropen Materialien auch die Richtung.

Frage 34

Welche physikalischen Phänomene bestimmen die Wärmeübertragung von der Außenseite eines Wohnhauses in das Wohnungsinnere? Nennen Sie die zugehörigen dimensionslosen Kennzahlen!

Lösung 34

Wärmeleitung: Biotzahl, Nußeltzahl
Wärmekonvektion: Reynoldszahl, Grashofzahl (frei), Rayleigh (erzwungen)

Frage 35

Nennen Sie zwei Beispiele für die technische Anwendung von Konvektion mit Phasenübergang und geben Sie darüber die Größenordnung für typische Werte des Wärmeübergangskoeffizienten an.

Lösung 35

Dampf kondensiert an Kühlfläche: 1000 < h < 10000

Flüssigkeit verdampft an Heizfläche: 1000 < h < 10000

Frage 36

Eine aus dem Ofen kommende, quaderförmige Stahlbramme mit den Abmaßen

H \times L \times T = 50cm \times 2cm \times 30cm

soll in ruhender Luft der Temperatur {T_U} ohne weitere Hilfsmittel abgekühlt werden. Welche dimensionslose Kennzahl beschreibt den Vorgang? Wie richten Sie die Bramme aus, um eine möglichst schnelle Abkühlung zu erreichen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung 36

Die Nußeltzahl als Funktion der Grashofzahl und der Prandtlzahl ist relevant, da es sich um freie Konvektion handelt.

Die Platte sollte aufrecht stehen (auf der 2x30cm Fläche), damit die Luft an einer möglichst langen Fläche durch freie Konvektion aufsteigen kann.

Frage 37

Eine Metallplatte (Dicke d, Wärmeleitkoeffizient {k_m}) wird von einem Wärmestrom \dot Q senkrecht zur Oberfläche durchströmt. Auf der Metallplatte ist eine Isolierschicht (Dicke s, Wärmeleitkoeffizient {k_s}) aufgebracht. Wie groß ist der Wärmeleitwiderstand der Isolierschicht?

Lösung 37

{R_{iso}} = \frac{s}{{{k_s} \cdot A}}

A: Oberfläche

Frage 38

Wo liegen das Wellenlängenmaximum, das Strahlenintensitätsmaximum und das Temperaturmaximum bei einem schwarzen Strahler? Aus welchem Naturgesetz folgt dies?

Lösung 38

Nach dem Wienschen Verschiebungssatz ist:

{x_{\max} } = 2900\mu m \cdot K = {\lambda _{\max} } \cdot T

Wellenlängenmaximum: {\lambda _{\max} } = \frac{{{x_{\max} }}}{{{T_{\min} }}}

Intensitätsmaximum: bei {x_{\max} }

Temperaturmaximum: {T_{\max} } = \frac{{{x_{\max} }}}{{{\lambda _{\min} }}}

Frage 39

Was sind Wasserwerte? Was sagen diese aus?

Lösung 39

Der Wasserwert ist das Produkt aus Massenstrom und Wärmekapazität:

W = \dot m \cdot {c_p}

Frage 40

Spielt die Grashofzahl bei Schwerelosigkeit eine Rolle?

Lösung 40

Nein, denn Gr = \frac{{g \cdot \beta \cdot \Delta T \cdot {l^3}}}{{{\gamma ^2}}}. Das g ist bei Schwerelosigkeit gleich 0.

Frage 41

Ist die Nußeltzahl immer eine Konstante?

Lösung 41

Nein, bei freier Konvektion ändert sie sich über die Zeit, da sie eine Funktion der zeitlich veränderlichen Grashofzahl ist.

Frage 42

Welche Aussage macht das Kirchhoffsche Gesetz? Wann gilt es?

Lösung 42

Das Verhältnis von Emissionskoeffizient und Absorptionskoeffizient ist 1, bzw. {\alpha _\lambda } = {\varepsilon _\lambda } im Strahlungsgleichgewicht.

Bedingungen:

  • Strahlungsgleichgewicht
  • Adiabates System, bestehend aus zwei Körpern
  • Kein Zeitversatz zwischen ein- und ausgestrahlter Leistung
  • Energietransport nur durch Strahlung
  • Keine Randeinflüsse

Frage 43

Strahlen Körper in alle Richtungen gleich stark?

Lösung 43

Nein, die Intensität hängt vom Winkel ab. Elektrische Leiter und elektrische Nichtleiter strahlen unterschiedlich.

warmeabstrahlung-richtungsabhangigkeit

winkelabhangigkeit-emissionsfaktor

Frage 44

Berechnen Sie den gesamten Wärmewiderstand der skizzierten Konfiguration. Die schraffierten Wände können als adiabat betrachtet werden, es ist {T_1} > {T_2}.

Lösung 44

warmewiderstand-konstruktion-material-kombiniert

Rechnung:

{R_{ges}} = \underbrace {\frac{b}{{{k_A} \cdot {A_A}}}+\underbrace {{{\left( {\frac{1}{{\frac{b}{{{k_B} \cdot {A_B}}}}}+\frac{1}{{\frac{b}{{{k_C} \cdot {A_C}}}}}} \right)}^{-1}}}_{parallel}}_{\operatorname{Re} ihe} = \frac{1}{{1 \cdot 2}}+{\left( {\frac{1}{{\frac{{1 \cdot 3}}{{1 \cdot 1}}}}+\frac{1}{{\frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 1}}}}} \right)^{-1}}

= \frac{1}{2}+{\left( {\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} \right)^{-1}} = \frac{3}{2}

{R_{ges}} = \frac{3}{2}\frac{K}{W}

Frage 45

Sie sollen einen Luft-Wasser-Wärmeübertrager mit Rippenrohren auslegen. Lassen Sie die Luft oder das Wasser auf der Seite der Rippen vorbeiströmen? Begründen Sie Ihre Antwort!

Lösung 45

Die Luft hat einen kleineren Wärmeübergangskoeffizienten h. Sie benötigt daher die größere Oberfläche für den Wärmeaustausch und sollte auf der Seite der Rippen vorbeiströmen.

Frage 46

Reihen Sie folgende Werkstoffe nach steigender Wärmeleitfähigkeit:
Diamant, Stahl, Kunststoff, Kupfer

Lösung 46

Sortiert von schlecht nach gut Wärme leitend: Kunststoff, Stahl, Kupfer, Diamant

Frage 47

Geben Sie zu den folgenden Bildern jeweils an, ob die Prandtlzahl größer, kleiner oder ungefähr gleich 1 ist. Ordnen Sie die Begriffe „flüssiges Metall“, „Gas“, und „Flüssigkeit“ zu.

Lösung 47

prandtlzahl-metall-gas-flussigkeit-grenzschicht

Fall 1: Flüssiges Metall: \Pr < 1 (Energietransport hier besser als Impulstransport)
Fall 2: Gas: \Pr = 1
Fall 3: Flüssigkeit: \Pr > 1 (z.B. Maschinenöl, Quecksilber)

Frage 48

Ist die Fourierzahl bei instationärer Wärmeleitung eine Konstante?

Lösung 48

Fo = \frac{{geleitete\:\:W\ddot arme}}{{gespeicherte\:\:W\ddot arme}} = \frac{{\alpha \cdot t}}{{{L^2}}}

Ist von der Zeit t abhängig, daher keine Konstante bei instationärer Wärmeleitung.

Frage 49

Welche Einheit hat die spezifische Wärmekapazität c? Was bedeutet ein numerischer Wert von c = 1?

Lösung 49

Es ist c = \left[ {\frac{J}{{kg \cdot K}}} \right].
Bei c = 1\frac{J}{{kg \cdot K}} braucht man genau 1 Joule, um 1kg einer Masse um 1K zu erwärmen.

Frage 50

Zeichnen Sie die spektralen Intensitäten eines schwarzen Strahlers, eines grauen Strahlers und eines realen Strahlers in ein passendes Diagramm ein.

Lösung 50

schwarzer-grauer-realer-korper-emission-spektrum

Frage 51

Nennen Sie zwei Voraussetzungen für die Anwendung des Konzepts der Wärmewiderstände.

Lösung 51

Homogenes Material
Diskrete Oberfläche

Frage 52

Erklären Sie kurz, welchen Einfluss die steigende CO2 Konzentration in der Atmosphäre auf den Treibhauseffekt hat.

Lösung 52

Netto-Wärmeabstrahlung ins All erfolgt im Wesentlichen nicht bodennah, denn in den unteren Luftschichten wird Infrarotstrahlung meist von darüber liegenden Luftschichten wieder absorbiert. Sie erfolgt in einem Bereich, der von bodennahen Gebieten bis in eine Höhe von ca. 15 km reicht und dessen Median in einer Höhe von 5,5 km liegt. Der Treibhauseffekt ist nicht gesättigt. Die Strahlungsgleichgewichtstemperatur der Erde ohne Wirkung von Treibhausgasen läge bei -18°C. Durch Erhöhung der Treibhausgaskonzentration steigt die Höhe der Luftschicht an, in der eine Temperatur von -18° herrscht. Aus Gründen der Thermodynamik steigt die Temperatur auf der Erde um 6,5° pro Kilometer an, den diese Schicht nach oben wandert.

Frage 53

Bei Körpern in einer Umlaufbahn um die Sonne stellt sich im Strahlungsgleichgewicht eine feste Temperatur ein. Nennen Sie möglichst viele Parameter, von denen diese Temperatur abhängig ist. Spielt die Größe und die mittlere Emissionszahl \varepsilon des Körpers dabei eine Rolle?

Lösung 53

Relevante Parameter sind die Entfernung zur Sonne, die momentane Oberflächentemperatur der Sonne und die Geometrie des Körpers. Die Größe spielt z.B. eine Rolle in Bezug auf das Absorptionsverhalten. Die mittlere Emissionszahl spielt keine Rolle (hat nur Einfluss darauf, wie schnell sich das Gleichgewicht einstellt).

Frage 54

Wie berechnet man den mittleren Emissionskoeffizienten \bar \varepsilon einer technischen Oberfläche, wenn \varepsilon = f\left( \lambda \right)?

Lösung 54

Man berechnet ihn aus: \bar \varepsilon \cdot \sigma \cdot {T^4} = \int_{\lambda = 0}^\infty {\int_0^{2\pi } {\varepsilon \left( \lambda \right){B_\lambda }d\lambda d\Omega } }

Frage 55

Der Einsatz eines ebenen Strahlungsschutzschildes zwischen zwei strahlenden unendlich ausgedehnten parallelen Oberflächen vermindert die Strahlungsleistung bei gleichem Emissionskoeffizienten \varepsilon = 1 um die Hälfte. Wie wirkt sich ein weiteres Strahlungsschutzschild auf die Strahlungsleistung aus?

Lösung 55

Es gilt: \dot Q \sim \frac{1}{{m+1}}\left( {T_1^4-T_2^4} \right), dabei ist m die Anzahl der Schutzschilde.

Ein weiterer Schutzschild würde also insgesamt eine Drittelung des Wärmestroms bewirken.

Frage 56

Erläutern Sie, warum es sinnvoll ist, Glühlampen bei möglichst hohen Temperaturen zu betreiben!

Lösung 56

Der Wirkungsgrad ist gegeben durch:

\eta = {F_{0-{\lambda _2}T}}-{F_{0-{\lambda _1}T}}

Durch höhere Temperaturen steigen die Faktoren {F_{0-{\lambda _2}T}} und der Wirkungsgrad wird besser. Der Anteil der im sichtbaren Bereich abgegebenen Wärmestrahlung ist bei höheren Temperaturen größer.

Frage 57

Welche Verhältnisse geben die dimensionslosen Kennzahlen Re, Pr, Gr, Nu, Bi und Fo an?

Lösung 57

Re: Reynoldszahl, \operatorname{Re} = \frac{{Tr\ddot agheitskraft}}{{Z\ddot ahigkeitskraft}} = \frac{{u \cdot L}}{\nu }, Stärke der Wirbelbildung

Pr: Prandtlzahl, \Pr = \frac{{kinematische\:\:Viskosit\ddot at}}{{Temperaturleitf\ddot ahigkeit}} = \frac{\nu }{\alpha } = \frac{{\nu \cdot \rho \cdot {c_p}}}{k}

Gr: Grashofzahl, Gr = \frac{{Tr\ddot agheitskraft \cdot Schwerkraft}}{{{{\left( {Viskosit\ddot atskraft} \right)}^2}}} = \frac{{g \cdot {\beta _k} \cdot \Delta T \cdot {L^3}}}{{{\nu ^2}}}

Nu: Nußeltzahl, Nu = \frac{{W\ddot armeleitung\:\:\left( {str\ddot omend} \right)}}{{W\ddot armeleitung\:\:\left( {ruhend} \right)}} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_f}}}

Bi: Biotzahl, Bi = \frac{{konvektiver\:\:W\ddot arme\ddot ubergang}}{{W\ddot armeleitung}} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_S}}}

Fo: Fourierzahl, Fo = \frac{{geleitete\:\:W\ddot arme}}{{gespeicherte\:\:W\ddot arme}} = \frac{{\alpha \cdot t}}{{{L^2}}}

Frage 58

Begründen Sie, warum die mit einem Thermoelement in einer heißen Strömung ermittelte Temperatur nie der realen Temperatur der Strömung entspricht (3 Gründe).

Lösung 58

Das Thermoelement wird durch Strahlung gekühlt. Außerdem hat es eine generelle Messungenauigkeit. Zudem kann in einer Strömung die Temperatur nicht genau bestimmt werden.

Frage 59

Skizzieren Sie die Temperatur- und Geschwindigkeitsverläufe bei freier und erzwungener Konvektion an einer senkrechten heißen Wand.

Lösung 59

temperatur-geschwindigkeit-verlauf-konvektion-wand

Frage 60

Wie ist der Wärmeübergangskoeffizient definiert und wie hängt er mit dem Temperaturfeld z.B. eines umströmten Körpers zusammen?

Lösung 60

Betrachtet man die Temperaturgrenzschicht als isotrope, unendlich ausgedehnte, ebene Wand mit einer konstanten auf die örtliche Temperaturdifferenz der Kernströmung und der Kontaktfläche bezogenen Wärmeleitzahl, so ist die örtliche Wärmeübergangszahl der örtlichen Stärke der Temperaturgrenzschicht umgekehrt proportional.

Multiple Choice

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

  1. Die Nußeltzahl hat die Dimension eines Temperaturgradienten
  2. Der Wärmeübergangskoeffizient ist ein Stoffwert des strömenden Mediums
  3. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl verwendet man die Wärmeleitfähigkeit des strömenden Mediums
  4. Die Nußeltzahl hängt bei erzwungener Konvektion von der Reynoldszahl und von der Grashofzahl ab
  5. Bei erzwungener Konvektion ist die Nußeltzahl von der Temperaturdifferenz zwischen der Wand und der Kernströmung abhängig
  6. Beim Wärmeübergang mit Phasenwechsel ist der Wirkungsgrad vom Gleichstrom- und vom Gegenstrom-Wärmeübertrager identisch
  7. Gleichstrom-Wärmeübertrager übertragen bei gleicher Baulänge mehr Energie als Gegenstromwärmeübertrager
  8. Bei laminaren Rohrströmungen erreicht man höhere Wärmeübergangskoeffizienten als bei turbulenten Rohrströmungen
  9. Der Wärmeübergangskoeffizient an der Außenseite eines horizontalen Rohres bleibt bei freier Konvektion über den gesamten Rohrumfang konstant
  10. Bei hohen Pr-Zahlen ist nach sehr kurzer Einlauflänge einer thermisch voll ausgebildete Rohrströmung vorhanden
  11. Für konstante Stoffwerte ist die Wärmeleitungsgleichung mit Quellen linear, wodurch das Superpositionsprinzip anwendbar ist
  12. Beim Energietausch durch thermische Strahlung zwischen zwei Wänden ist kein Transportmedium notwendig
  13. Die Wärmestromdichte in Abhängigkeit vom Radius ist bei einer Kugel konstant
  14. Im stationären Fall ist der Temperaturverlauf in einer ebenen Platte – bei gegebenen Randtemperaturen – keine Funktion der Wärmeleitfähigkeit
  15. Der Wärmeübergangskoeffizient ist bei gleichen Strömungsbedingungen bei Flüssigkeiten im Allgemeinen höher als bei Gasen.
  16. Für die Auslegung eines Wärmeübertragers ist immer der größere Wasserwert entscheidend.
  17. Die Sonne kann näherungsweise als schwarzer Strahler betrachtet werden.
  18. Eine glühende Kugel eines diffusen Strahlers leuchtet überall gleich hell


Lösung Multiple Choice

  1. falsch, die Nußeltzahl ist dimensionslos
  2. falsch
  3. stimmt, Nu = \frac{{h \cdot L}}{{{k_f}}}
  4. falsch, abhängig von Grashof nur bei freier Konvektion
  5. falsch, die Nußeltzahl ist bei erzwungener Konvektion nur f\left( {\operatorname{Re} ,\Pr } \right)
  6. stimmt, da sich die Temperatur des einen Mediums nicht ändert
  7. falsch, Gleichstrom-Wärmeübertrager sind nie effizienter als Gegenstrom-WÜ
  8. falsch, da \operatorname{Re} \sim Nu \sim h
  9. falsch
  10. falsch, \Pr \sim \nu, bei hoher Viskosität dauert es länger, bis Strömung voll ausgebildet
  11. stimmt
  12. stimmt (funktioniert ja z.B. im Weltraum)
  13. falsch, die Wärmestromdichte ist umgekehrt proportional zu der bei einer Kugel nach außen hin größer werdenden Querschnittsfläche
  14. stimmt, hängt nur vom (konstanten) Temperaturgradienten ab
  15. stimmt (deshalb verwendet man Wasser in Heizkörpern)
  16. falsch, nur der kleinere ist relevant
  17. stimmt
  18. stimmt, denn die gesamte in den Hohlraum emittierte Energiestromdichte ist das \pi-fache der in Richtung der Normalen emittierten Energiestromdichte. Daraus folgt für alle Betrachtungswinkel die gleiche Helligkeit bei einer vollkommen zerstreut strahlenden Fläche (Kos-Gesetz)
]]> http://me-lrt.de/fragenkatalog-grundlagen-warmeubertragung/feed 2 17 – Thermoelement und Fehlermessung http://me-lrt.de/thermoelement-fehlermessung http://me-lrt.de/thermoelement-fehlermessung#comments Wed, 27 Oct 2010 13:36:32 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5696 Bei der Messung von Gastemperaturen zeigen Temperaturfühler wie z.B. Thermoelemente eine zu niedrige Temperatur an, wenn sie durch Strahlung Energie an die Umgebung, die eine niedrigere Temperatur als das Gas besitzt, abgeben.

  1. Bestimmen Sie für den stationären Fall den Absolutwert der Fehlmessung für ein Pt/PtRh-Thermoelement, mit dem die Temperatur in einer heißen Luftströmung gemessen wird. Mit Hilfe von berührungslosen Messverfahren wurde die Temperatur der Gasströmung am Ort des Thermoelements zu {T_L} = 1000^\circ C, die der Versuchskammerwand zu {T_W} = 100^\circ C und die Geschwindigkeit der Anströmung zu {w_L} = 10\frac{m}{s} bestimmt.
  2. Wie groß ist der Messfehler, wenn die Oberfläche des Thermoelements oxidiert ist und der Emissionskoeffizient dann \varepsilon = 0.6 beträgt?

Für die Lösung dieser Aufgabe soll das Thermoelement als Zylinder mit dem Durchmesser d = 0.5mm, der Länge l = 100mm und im Teil a) mit dem Emissionskoeffizienten \varepsilon = 0.1 betrachtet werden, der im Strömungskanal quer angeströmt wird. Die Zylinderstirnflächen können bei Berechnung sowohl der konvektiven Wärmeübertragung als auch des Strahlungsaustausches vernachlässigt werden. Für den quer angeströmten Zylinder gilt die mittlere Nußelt-Zahl

\overline {N{u_d}} = 0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } ,\quad 1 < \operatorname{Re} < 4000

Die benötigten Stoffwerte für Luft bei einem Druck von p = 1bar und der Temperatur {T_L} = 1000^\circ C sind gegeben:

Wärmeleitfähigkeit: k = 0,018\frac{W}{{m \cdot K}}
Kinematische Viskosität: \nu = 1,75 \cdot {10^{-4}}\frac{{{m^2}}}{s}

Lösung

Es wird der stationäre Zustand betrachtet. Der Energieverlust durch den Strahlungswärmestrom muss dann gerade durch die Energiezufuhr durch den konvektiven Wärmestrom ausgeglichen werden.

Skizze des Problems:

thermoelement-fehlermessung

a )

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für stationäre Fließprozesse liefert:

\underbrace {\frac{{dU}}{{dt}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}\quad \Rightarrow \quad {\dot Q_K} = {\dot Q_{Str}}

Der konvektive Wärmestrom:

{\dot Q_K} = h \cdot {A_T} \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right)

Der Wärmeübergangskoeffizient muss aus der gegebenen Nußelt-Beziehung bestimmt werden:

\overline {N{u_d}} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_L}}} = 0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } ,\quad 1 < \operatorname{Re} < 4000

Die Reynoldszahl wird mit dem Durchmesser des Thermoelements als charakteristischer Länge gebildet:

{\operatorname{Re} _d} = \frac{{{w_L} \cdot d}}{\nu } = 28,57

Dies liegt im geforderten Bereich, die Nußelt-Beziehung ist also gültig:

h = \frac{{0.43+0.48\sqrt {\operatorname{Re} } }}{d}{k_L} = \frac{{0.43+0.48\sqrt {28,57} }}{{0,5 \cdot {{10}^{-3}}m}} \cdot 0,018\frac{W}{{m \cdot K}} = 107,84\frac{W}{{{m^2}K}}

Der Wärmestrom durch Strahlung ist:

{\dot Q_{Str}} = {A_{12}} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right),\quad \quad \frac{1}{{{A_{12}}}} = \frac{1}{{{A_1}}}\left[ {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1} \right)} \right]

{A_1} bezeichnet die Oberfläche des inneren Zylinders, also des Thermoelements. {A_2} ist die Oberfläche der Innenseite der umschließenden Versuchskammer. Weil die Fläche {A_2} viel größer als die umschlossene Oberfläche {A_1} des Thermoelements ist, kann der zweite Term in den eckigen Klammern vernachlässigt werden, und man erhält für die Austauschfläche:

{A_2} \gg {A_1}\quad \Rightarrow \quad {A_{12}} = {\varepsilon _1} \cdot A\quad \Rightarrow \quad {\dot Q_{Str}} = \varepsilon \cdot {A_T} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

Dies setzen wir in den ersten Hauptsatz ein:

{\dot Q_K} = {\dot Q_{Str}}\quad \Rightarrow \quad h \cdot {A_T} \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right) = \varepsilon \cdot {A_T} \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

h \cdot \left( {{T_L}-{T_T}} \right) = \varepsilon \cdot \sigma \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

Die durch das Thermoelement angezeigte Temperatur erhält man also durch

{T_T} = {T_L}-\frac{{\varepsilon \cdot \sigma }}{h} \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

{T_T} = 1273,15K-\frac{{0,1 \cdot \sigma }}{{107,84\frac{W}{{{m^2}K}}}} \cdot \left( {T_T^4-{{\left( {373,15K} \right)}^4}} \right)

{T_T} = 1273,15K-5,258 \cdot {10^{-11}}\frac{1}{{{K^3}}} \cdot \left( {T_T^4-1,939 \cdot {{10}^{10}}{K^4}} \right)

Iteration liefert mit dem Startwert {\left\{ {{T_T}} \right\}_0} = 1200K:

{\left\{ {{T_T}} \right\}_1} = 1165,1K,\quad {\left\{ {{T_T}} \right\}_2} = 1177,3K,\quad \ldots ,\quad {\left\{ {{T_T}} \right\}_8} = 1174,2K

\quad \Rightarrow \quad \Delta T = {T_L}-{T_T} = 98,9K

b )

{T_T} = {T_L}-\frac{{\varepsilon \cdot \sigma }}{h} \cdot \left( {T_T^4-T_W^4} \right)

{T_T} = 1273,15K-3,155 \cdot {10^{-10}}\frac{1}{{{K^3}}} \cdot \left( {T_T^4-1,939 \cdot {{10}^{10}}{K^4}} \right)

Die Iteration liefert: {\left\{ {{T_T}} \right\}_8} = 983K\quad \Rightarrow \quad \Delta T = {T_L}-{T_T} = 290K

]]> http://me-lrt.de/thermoelement-fehlermessung/feed 0 16 – Abkühlen einer Bierflasche im Kühlschrank http://me-lrt.de/abkuhlen-bierflasche-kuhlschrank http://me-lrt.de/abkuhlen-bierflasche-kuhlschrank#comments Wed, 27 Oct 2010 13:34:26 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5692 Eine Bierflasche der Anfangstemperatur {T_a} = 25^\circ C soll auf die Temperatur {T_e} = 12^\circ C abgekühlt werden. Sie wird dazu zur Zeit \tau = 0 in einen Kühlschrank mit der konstanten Innenlufttemperatur {T_L} = 4^\circ C gelegt.

Für die Berechnung des Abkühlvorgangs soll von den folgenden Annahmen ausgegangen werden:

  • Die Temperaturunterschiede innerhalb des Bieres und des Glases sollen ebenso wie der Wärmeübergangswiderstand zwischen Bier und Glas vernachlässigt werden
  • Der Wärmeleitwiderstand des Glases ist wesentlich kleiner als der Wärmeübergangswiderstand zwischen Glas und Luft und kann daher ebenfalls vernachlässigt werden
  • Als abstrahierendes Modell der geometrischen Form der Bierflasche soll ein Zylinder vom Durchmesser {d_a} = 7cm und der Länge L = 21cm dienen
  • Die Stirnflächen des Zylinders sollen als adiabat angenommen werden
  • Der Gitterrost, auf dem die Flasche liegt, soll die Konvektion nicht beeinflussen

Aufgaben:

  1. Bestimmen Sie den örtlich gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten \bar h zwischen Zylinderwand und Umgebung in allgemeiner Form
  2. Wie groß ist der maximale Wert \overline {{h_{\max} }} dieses Wärmeübergangskoeffizienten \bar h?
  3. Geben Sie den Wärmeübergangskoeffizienten \bar h als Funktion des maximalen Wertes \overline {{h_{\max} }} und der dimensionslosen Temperaturdifferenz

    \theta \equiv \frac{{T-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}}

    an

  4. Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperaturdifferenz \Theta aus einer Energiebilanz und entdimensionieren Sie
  5. Lösen Sie diese Differentialgleichung unter Berücksichtigung der genannten Anfangsbedingung
  6. Nach welcher Zeit hat das Bier die gewünschte Temperatur?

Für die freie Konvektion am horizontalen Zylinder gilt die Nußelt-Beziehung

\overline {N{u_l}} = 0.402{\left( {G{r_l}\Pr } \right)^{\frac{1}{4}}}

mit der charakteristischen Länge l = \frac{1}{2}U, wobei U den Umfang des Zylinders bezeichnet. Die benötigten Stoffdaten enthält die folgende Tabelle:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {Bier} & {Glas} & {Luft} \\ \hline{Masse} &\vline & {{m_B} = 0.5kg} & {{m_G} = 0.3kg} & - \\{spez.\:\:W\ddot armekapazit\ddot at} &\vline & {{c_B} = 4.2\frac{{kJ}}{{kgK}}} & {{c_G} = 0.84\frac{{kJ}}{{kgK}}} & - \\{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit} &\vline & - & - & {{k_L} = 0.026\frac{W}{{m \cdot K}}} \\{kin.\:\:Viskosit\ddot at} &\vline & - & - & {{\nu _L} = 15.1 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}} \\{Temperaturleitf\ddot ahigkeit} &\vline & - & - & {{\alpha _L} = 21.8 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}} \\ \end{array}

Lösung

Erzwungene Konvektion: Nu ist abhängig von Re und Pr.
Freie Konvektion: Nu ist abhängig von Gr und Pr.

\frac{{h \cdot l}}{k} = Nu = f\left( {Gr,\Pr } \right)

Die folgende Skizze zeigt das Modell der liegenden Bierflasche:

kuhlung-bierflasche-skizze

Die umströmte Länge ist orange eingezeichnet.

a )

Den örtlich gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten für den Fall freier Konvektion an einem liegenden Zylinder, der eine höhere Oberflächentemperatur als das umgebende Medium besitzt, erhält man aus der angegebenen Nußelt-Beziehung:

N{u_l} = 0,402 \cdot {\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)^{\frac{1}{4}}} = \frac{{\bar h \cdot L}}{{{k_L}}}\quad \Rightarrow \quad \bar h = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L}

Für die Bestimmung der Grashofzahl und der Prandtlzahl muss dabei als charakteristische Länge die umströmte Länge, nämlich der halbe Umfang, eingesetzt werden:

L = \frac{1}{2}U = \frac{{{d_a}\pi }}{2}

Für die Grashofzahl gilt:

Gr = \frac{{Auftriebskraft\:\:Fluid}}{{Viskosit\ddot atskraft}} = \frac{{Tr\ddot agheitskraft \cdot Schwerkraft}}{{{{\left( {Viskosit\ddot atskraft} \right)}^2}}} = \frac{{g \cdot {\beta _k} \cdot \Delta T \cdot {L^3}}}{{{\nu ^2}}}

Diese allgemein gültige Formel wird bei idealem Gas zu

Gr = \frac{{g \cdot {\beta _k} \cdot \frac{{\Delta T}}{{{T_\infty }}} \cdot {L^3}}}{{\nu _L^2}}

Für die Prandtlzahl gilt:

\Pr = \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}}

Alles einsetzen:

\bar h = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L} = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {\frac{{g \cdot \frac{{\Delta T}}{{{T_\infty }}} \cdot {L^3}}}{{{\nu ^2}}} \cdot \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}}} \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L}

Die Temperatur {T_\infty } sehr weit von der Flasche entfernt entspricht der Lufttemperatur {T_L}.

\bar h = \underbrace {\frac{k}{l} \cdot 0,402 \cdot {{\left( {\frac{{g \cdot {L^3}}}{{{T_L} \cdot {\nu _L} \cdot {\alpha _L}}}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}_{ = {C_1}} \cdot {\left( {\Delta T} \right)^{\frac{1}{4}}}

Wir fassen die bekannten Werte in einer Konstanten zusammen:

{C_1} = 1,848\frac{W}{{{m^2}{K^{\frac{5}{4}}}}}

\bar h = 1,848\frac{W}{{{m^2}{K^{\frac{5}{4}}}}} \cdot {\left( {T-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}}

b )

Der maximale mittlere Wärmeübergangskoeffizient tritt bei der maximalen Temperaturdifferenz, also am Anfang des Abkühlvorganges, auf:

{\bar h_{\max} } = 1,848 \cdot {\left( {{T_a}-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}} = 3,96\frac{W}{{{m^2}K}}

c )

\theta = \frac{{T-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}}\quad \Rightarrow \quad T = \theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}

Dies setzen wir in die Gleichung für \bar h ein:

\bar h = 1,848 \cdot {\left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}}

\bar h = 1,848 \cdot {\left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)} \right)^{\frac{1}{4}}}

\bar h = {{\bar h}_{\max} } \cdot {\theta ^{\frac{1}{4}}}

d )

Zur Herleitung der Differentialgleichung wird zunächst eine Bilanz für das System „Flasche mit Bier“ erstellt. Hier eine Skizze des Systems mit adiabaten Stirnflächen:

skizze-bierflasche-adiabate-flache

Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dU}}{{dt}} = -\dot Q

Es wird keine technische Arbeit geleistet und die Änderung der inneren Energie mit der Zeit lautet:

\frac{{dU}}{{dt}} = \underbrace {\left( {{m_{Glas}} \cdot {c_{Glas}}+{m_B} \cdot {c_B}} \right)}_{ = :{W_{ges}}} \cdot \frac{{dT}}{{dt}}

Für den Wärmestrom durch Konvektion gilt:

\dot Q = \bar h \cdot A \cdot \left( {T-{T_L}} \right),\quad \quad A = d \cdot \pi \cdot L

Als dimensionsbehaftete Differentialgleichung ergibt sich:

{W_{ges}} \cdot \frac{{dT}}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \left( {T-{T_L}} \right)

Wir setzen nun die dimensionslose Temperatur ein, die in der Aufgabenstellung gegeben ist:

{W_{ges}} \cdot \frac{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)d\theta }}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}-{T_L}} \right)

{W_{ges}} \cdot \frac{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)}}{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)}}\frac{{d\theta }}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \theta

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{\bar h \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot \theta = 0

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{1}{4}}} \cdot \theta = 0

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0

Wir brauchen nun noch die dimensionslose Zeit. Gewünscht ist, dass eine DGL der Form

\frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0

Herauskommt, wir müssen daher die dimensionslose Zeit geschickt wählen:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{5}{4}}} = \frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}}

\quad \Rightarrow \quad dt = d\tau \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \tau : = \frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot t

Damit erhalten wir die gewünschte dimensionslose Differentialgleichung.

e )

Zur Lösung der Differentialgleichung führen wir eine Trennung der Variablen durch und integrieren:

\frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }} = -{\theta ^{\frac{5}{4}}}\quad \Rightarrow \quad d\theta = -{\theta ^{\frac{5}{4}}} \cdot d\tau \quad \Rightarrow \quad {\theta ^{-\frac{5}{4}}} \cdot d\theta = -d\tau

\int {{\theta ^{-\frac{5}{4}}} \cdot d\theta } = -\int {d\tau }

-4 \cdot {\theta ^{-\frac{1}{4}}} = -\tau +C\quad \Rightarrow \quad 4 = {\theta ^{\frac{1}{4}}} \cdot \left( {\tau -C} \right)\quad \Rightarrow \quad \theta = {\left( {\frac{4}{{\tau -C}}} \right)^4}

Anfangsbedingung:

T\left( {t = 0} \right) = {T_a}\quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{{{T_a}-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}} = 1

1 = {\left( {\frac{4}{{-C}}} \right)^4}\quad \Rightarrow \quad C = -4

\theta = {\left( {\frac{4}{{\tau +4}}} \right)^4}

Die Anfangsbedingung ließe sich auch mit C = 4 erfüllen, dann würden aber keine sinnvollen Ergebnisse für die Zeit herauskommen.

f )

\theta = \frac{{12^\circ C-4^\circ C}}{{25^\circ C-4^\circ C}} = 0,381 = {\left( {\frac{4}{{{\tau _{Ziel}}+4}}} \right)^4}\quad \Rightarrow \quad {\tau _{Ziel}} = 1,09

t = {\tau _{Ziel}} \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}} = {\tau _{Ziel}} \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot {d_a} \cdot \pi \cdot L}}

t = 1,09 \cdot \frac{{0,3kg \cdot 849\frac{J}{{kg \cdot K}}+0,5kg \cdot 4200\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{3,96\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,07m \cdot \pi \cdot 0,21m}} = 14035s = 3,9h

In den letzten Jahren ist nie eine Aufgabe drangekommen, in der man mit der Grasshoffzahl rechnen musste.

]]> http://me-lrt.de/abkuhlen-bierflasche-kuhlschrank/feed 7 15 – Strahlung zwischen parallelen Platten http://me-lrt.de/strahlung-zwischen-parallelen-platten http://me-lrt.de/strahlung-zwischen-parallelen-platten#comments Wed, 27 Oct 2010 13:29:04 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5688 Zwei ebene, parallele Platten von 10{m^2} Fläche tauschen Wärme allein durch Strahlung aus, wobei eine Platte gekühlt wird. Platte I besitzt eine Emissionszahl {\varepsilon _1} = 0.8 und befindet sich auf einer Temperatur {T_1} = 1000^\circ C.

Wie groß darf die Emissionszahl {\varepsilon _2} der Platte II höchstens sein, wenn bei einer Kühlleistung von 200kW die Plattentemperatur {T_{\max} } = 500^\circ C nicht überschreiten soll?

Vernachlässigen Sie bei dieser Rechnung Randeffekte. Die Platten sollen als graue Strahler betrachtet werden.

Lösung

Diese Aufgabe behandelt den Strahlungsaustausch zweier ebener, paralleler Platten im Vakuum. Skizze des Problems:

strahlung-parallele-platten-warmeubertragung

Es treten keine Randeffekte auf, die Platten werden als graue Strahler betrachtet (gleichmäßige Strahlung auf allen Wellenlängen in alle Richtungen). Für den Strahlungswärmestrom eines grauen Strahlers gilt allgemein das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz:

{\dot Q_S} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot {T^4}

mit der Strahlenden Fläche A, dem Emissionsgrad \varepsilon, der Temperatur T und der Stefan-Boltzmann-Konstante

\sigma = 5,67 \cdot {10^{-8}}\frac{W}{{{m^2}{K^4}}}

Der Nettowärmestrom durch Strahlung zwischen zwei parallelen Flächen gleicher Größe A ergibt sich aus der Bilanz über einfallenden, absorbierten bzw. emittierten und reflektierten Wärmestrom:

{\dot Q_{S,12}} = \sigma \cdot {A_{12}} \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

mit der modifizierten Fläche

{A_{12}} = \frac{A}{{\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1}}

Platte I hat die Temperatur {T_1} = 1000^\circ C und die Emissionszahl {\varepsilon _1} = 0,8. Platte II ist rückseitig gekühlt. Die Kühleinrichtung kann maximal 200kW Wärmeleistung abführen, und die Platte II darf die Temperatur {T_1} = 500^\circ C nicht überschreiten. Gesucht ist die maximal erlaubte Emissionszahl der Platte II. Diese lässt sich durch Umstellen der Gleichung für den Wärmestrom bestimmen:

{{\dot Q}_{S,12}} = \sigma \cdot \frac{A}{{\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1}} \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon _2}}}-1} \right) = \sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}-1} \right)+{{\dot Q}_{S,12}} \cdot \frac{1}{{{\varepsilon _2}}} = \sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)

{\varepsilon _2} = \frac{{{{\dot Q}_{S,12}}}}{{\sigma \cdot A \cdot \left( {T_1^4-T_2^4} \right)-{{\dot Q}_{S,12}}\left( {\frac{1}{{{\varepsilon _1}}}-1} \right)}},\quad \quad {{\dot Q}_{S,12}} = {{\dot Q}_{k\ddot uhl}}

{\varepsilon _2} = \frac{{2 \cdot {{10}^5}W}}{{\sigma \cdot 10{m^2} \cdot \left( {{{\left( {1273,15K} \right)}^4}-{{\left( {773,15K} \right)}^4}} \right)-2 \cdot {{10}^5}W \cdot \frac{1}{4}}} = 0,162

]]> http://me-lrt.de/strahlung-zwischen-parallelen-platten/feed 0 14 – Eis auf Kupferplatte http://me-lrt.de/eis-kupferplatte-warmeubergang-grenze-variabel http://me-lrt.de/eis-kupferplatte-warmeubergang-grenze-variabel#comments Wed, 27 Oct 2010 13:27:17 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5683 Eine horizontal angeordnete, gekühlte Kupferplatte hat eine Oberflächentemperatur {T_K}, die um \Delta T = 10K unter der Gefriertemperatur von Wasser ({T_G} = 0^\circ C) liegt. Zum Ausgefrieren von Eis strömt Wasser über die Platte (Koordinate x). Es bildet sich dabei in Richtung der Normalen zur Plattenoberfläche (Koordinate y) eine allmählich wachsende Eisschicht, die zu jedem Zeitpunkt über die gesamte Plattenlänge gleich dick ist.

  1. Skizzieren Sie diese Anordnung – bestehend aus den Systemen Wasser, Eis und Kupferplatte – für den Vorgang der Eisbildung. Tragen Sie den Temperaturverlauf für den Fall ein, dass die Temperatur der Kupferplatte {T_K} zeitlich und räumlich konstant bleibt und die Wassertemperatur {T_W} > 0^\circ C ist.
  2. Stellen Sie die Differentialgleichung für das Wachstum der Eisschicht normal zur Plattenoberfläche y = y\left( t \right) mit Hilfe einer Energiebilanz auf.
  3. Wie dick ist die Eisschicht für {T_W} = 0^\circ C nach einer Stunde Betriebszeit, wenn die Schichtdicke zu Beginn gleich null ist (y\left( {t = 0} \right) = 0) ?
  4. Wann stellen Sie den Betrieb der Anordnung ein, wenn als Entscheidungskriterium das Absinken der Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht unter 10\frac{{mm}}{h} zugrunde gelegt wird?

Die Stoffdaten von Eis enthält die folgende Tabelle:

\begin{array}{*{20}{c}}{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:\:k} &\vline & {20\frac{W}{{m \cdot K}}} \\ \hline{Dichte\:\:{\rho _E}} &\vline & {920\frac{{kg}}{{{m^3}}}} \\ \hline{Erstarrungsw\ddot arme\:\:{r_E}} &\vline & {333\frac{{kJ}}{{kg}}} \\ \hline{W\ddot armekapazit\ddot at\:\:{c_{p,E}}} &\vline & {1,93\frac{{kJ}}{{kgK}}} \\ \end{array}

Lösung

a )

Die folgende Skizze zeigt die vom Wasser überströmte Eisschicht auf der Kupferplatte:

wasserstrom-eis-kupferplatte

Der eingezeichnete Temperaturverlauf gilt für das Wasser, das wärmer als 0°C ist. Hierauf wird im Verlauf der Aufgabe noch einmal eingegangen.

b )

Die Grenzfläche zwischen Wasser und Eis ist das untersuchte System. Da es sich um eine Plattenanordnung handelt und die Eisschicht an jeder Stelle der Platte gleich dick ist, können die Wärmeströme flächenspezifisch geschrieben werden. Zur Lösung der Aufgabe wird angenommen, dass die kinetische Energie des Wassers vernachlässigbar gegenüber den Wärmeströmen ist und dass die Wärmeleitung innerhalb des Eises einen geringeren Wärmewiderstand hervorruft als der konvektive Wärmeübergang zwischen Wasser und Eis, d.h. die Biotzahl ist viel kleiner als 1. Die Temperatur des Eises an der Phasengrenze ist immer 0°C, die Temperatur an der Kupferplatte ist immer um \Delta Tgeringer, aber die Schichtdicke erhöht sich mit der Zeit. Daher wird der Temperaturgradient im Eis mit der Zeit flacher. Die geringe Biotzahl sagt nun aus, dass eine Änderung an der Phasengrenze so schnell innerhalb des Eises durch Wärmeleitung ausgeglichen wird, dass der Temperaturverlauf linear bleibt.
Die Temperatur an der Phasengrenze ist konstant, die innere Energie dieser infinitesimal dünnen Schicht – das System wandert mit der Zeit entsprechend dem Wachstum – ändert sich daher nicht. Die Bilanz für dieses System lautet damit:

{\dot q_{Ph}}+{\dot q_K}-{\dot q_L} = 0

Die drei spezifischen Wärmeströme werden nun näher erläutert.

Der spezifische Wärmestrom durch Wärmeleitung im Eis {q_L} wird unter der oben beschriebenen Annahme einer kleinen Biotzahl nach dem Fourierschen Gesetz berechnet (Minuszeichen in der Klammer) und entgegen der y-Koordinate gerichtet ist (Minuszeichen vor der Klammer):

{{\dot q}_L} = -\left( {-k\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right)

= -\left( {-k\frac{{T\left( {y\left( t \right)} \right)-T\left( {y = 0} \right)}}{{y-0}}} \right)

= k\frac{{\Delta T}}{y}

Der spezifische Wärmestrom durch erzwungene Konvektion {\dot q_K}, der vom Wasser an das Eis abgegeben wird, wenn das Wasser wärmer als 0°C ist, muss von der Kühlanlage unter der Kupferplatte zusätzlich abgeführt werden. Er berechnet sich mit dem hier nicht explizit angegebenen Wärmeübergangskoeffizienten h über

{\dot q_K} = h\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Der Phasenwechsel selbst führt zu einem spezifischen Wärmestrom, der sich aus der Erstarrungswärme des Eises und dem flächenbezogenen Massenstrom des Wasseranteils, der den Aggregatzustand ändert, zusammensetzt (Achtung, dies ist nicht der gesamte Massenstrom des Wassers!)

{\dot q_{Ph}} = \frac{1}{A} \cdot {\dot m_{Ph}} \cdot {r_E}

Dabei ist {r_E} die Erstarrungswärme des Eises. Wir formen um:

{{\dot q}_{Ph}} = \frac{1}{A} \cdot \frac{{\partial {m_{Ph}}}}{{\partial t}} \cdot {r_E}

= \frac{1}{A} \cdot A \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}} \cdot {r_E}

= {r_E} \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}}

Wir setzen nun die drei Wärmeströme in die Ursprungsgleichung ein:

{{\dot q}_{Ph}}+{{\dot q}_K}-{{\dot q}_L} = 0

{r_E} \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}}+h\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]-k\frac{{\Delta T}}{y} = 0

\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\frac{{\Delta T}}{y}-\frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Wir definieren nun noch zwei Hilfsgrößen:

a: = \frac{{k \cdot \Delta T}}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}},\quad \quad b: = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Damit vereinfacht sich die Differentialgleichung zu

\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = \frac{a}{y}-b

c )

Die Temperatur des Wassers ist in der Aufgabenstellung gegeben:

{T_W} = 0^\circ C

Die Temperatur an der Grenzschicht ist genau die Gefriertemperatur von Wasser, also

T\left( {y\left( t \right)} \right) = 0^\circ C

Daraus ergibt sich für die zweite Konstante:

b = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right] = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}} \cdot 0 = 0

Die DGL vereinfacht sich und kann umgestellt werden:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{a}{{y\left( t \right)}}\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) \cdot dy = a \cdot dt

Integration liefert:

\frac{{{y^2}}}{2} = a \cdot t+C

Die Anfangsbedingung ist eine zum Zeitpunkt null noch nicht vorhandene Eisschicht:

y\left( {t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C = 0

Daher ist

y\left( t \right) = \sqrt {2 \cdot a \cdot t}

y\left( {t = 1h} \right) = \sqrt {\frac{{2 \cdot {k_E} \cdot \Delta T}}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}} \cdot t} = 0,0686m = 68,6mm

d )

Die Anlage soll solange arbeiten, bis die Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht unter 10mm pro Stunde gefallen ist, d.h. die Abschaltung erfolgt bei

y\left( t \right) = \sqrt {2 \cdot a \cdot t} = \sqrt {2 \cdot a} \cdot {t^{\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{dy}}{{dt}} = \sqrt {2 \cdot a} \cdot \frac{1}{2} \cdot {t^{-\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{2}{{\sqrt {2a} }} = {t^{-\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad t = {\left( {\frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{2}{{\sqrt {2a} }}} \right)^{-2}} = 42303s = 11,75h

In der Prüfung kommt keine sich verschiebende Phasengrenze dran!

]]> http://me-lrt.de/eis-kupferplatte-warmeubergang-grenze-variabel/feed 1 13 – Heißdampf-Heizsystem für Wohnanlage http://me-lrt.de/heisdampf-heizsystem-wohnanlage http://me-lrt.de/heisdampf-heizsystem-wohnanlage#comments Wed, 27 Oct 2010 13:24:28 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5677 Die Wohnungen für Mitarbeiter einer Groß-Ziegelei sollen über das Heißdampfsystem (HDS), das für das Energiemanagement der Ziegelei eingerichtet wurde, beheizt werden. Im HDS zirkuliert Nassdampf bei einem Druck von {p_D} = 4.76bar und einer Temperatur {T_D} = 150^\circ C. Die Mitarbeiter wohnen in Häusern mit je 10 Wohnungen, jede Wohnung hat einen maximalen Heizenergiebedarf {\dot Q_{\max} } = 10kW.

Im Keller jedes Wohnhauses soll das Warmwasser-Heizungssystem der Wohnungen über einen nach außen wärmeisolierten Doppelrohr-Wärmeübertrager (WÜT) vom HDS mit Heizwärme versorgt werden. Durch das innere Rohr des WÜT strömt eine ausreichende Menge des Nassdampfes. Im konzentrischen Ringspalt zirkuliert das Wasser der Hausheizung. Eine Pumpe im Heizwasser vor dem WÜT sorgt für einen kontinuierlichen Wasserstrom \dot V = 1.0\frac{{d{m^3}}}{s}. Der WÜT soll so ausgelegt werden, dass er bei maximalem Heizbetrieb eine Vorlauftemperatur {T_V} = 80^\circ C sicherstellt.

  1. Mit welcher Temperatur fließt das Wasser bei Maximallast in den WÜT ein?
  2. Berechnen Sie die erforderliche Länge des WÜT für die Maximallast, wenn das innere Rohr einen Durchmesser {d_i} = 40mm und das äußere Rohr einen Durchmesser {d_a} = 50mm besitzt. Die Wandstärken sollen dabei vernachlässigt werden.

Für den turbulenten Wärmeübergang des Wassers auf der Innenseite des Ringspalts gilt für \operatorname{Re} > {10^4} die mittlere Nußelt-Zahl N{u_{m,T,i}} (siehe VDI Wärmeatlas, Seite Gb3)

\frac{{N{u_{m,T,i}}}}{{N{u_{Rohr}}}} = 0.86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0.16}}

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12.7\sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}}\left[ {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]

\xi = \frac{1}{{{{\left[ {1.8 \cdot {{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1.5} \right]}^2}}}

Reynoldszahl und Nußeltzahl sind dabei mit dem hydraulischen Durchmesser {d_h} = {d_a}-{d_i} zu bilden. Die Stoffwerte des Wassers können der folgenden Tabelle (aus dem VDI-Wärmeatlas) entnommen werden.

stoffwerte-wasser

Lösung

Das im Aufgabentext beschriebene Problem lässt sich folgendermaßen zusammenfassen. Es soll ein Doppelrohr-Wärmeübertrager ausgelegt werden, in dessen Innenrohr kondensierender Dampf von 150°C strömt, und in dessen Ringspalt Wasser von der noch unbekannten Rücklauftemperatur bei maximaler Last T_W^{in} auf die geforderten 80°C Vorlauftemperatur {T_V} = T_W^{out} aufgeheizt werden soll.

Skizze des Problems:

warmwasser-heizsystem-skizze

a )

Es handelt sich wegen des kondensierenden Dampfes und der damit unveränderlichen Dampftemperatur um einen Einstromwärmeübertrager.

Für den Wärmestrom im Wärmeübertrager gilt:

{{\dot Q}_V} = 10 \cdot {{\dot Q}_{\max} } = {{\dot m}_W}{c_W}\left( {T_W^{out}-T_W^{in}} \right)

{{\dot m}_W} = {\rho _W}{{\dot V}_W}

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

Neu ist in dieser Aufgabe, dass die Stoffwerte des Wassers nicht unabhängig von der Temperatur gewählt werden, sondern aus der gegebenen Tabelle interpoliert werden sollen. Die Lösung der Gleichung für T_W^{in} muss daher iterativ erfolgen. Zur Lösung dieser Aufgabe werden zwei Iterationen ausgeführt. In der Prüfung werden keine temperaturabhängigen Stoffwerte vorkommen!

Laut VDI-Wärmeatlas müssen die Stoffdaten der Tabelle bei der mittleren Wassertemperatur, also

{\bar T_W} = \frac{1}{2}\left( {T_W^{in}+T_W^{out}} \right)

ausgewertet werden. Dies ist bei der iterativen Lösung zu beachten.

Da wir die Eintrittstemperatur noch nicht kennen, müssen wir im ersten Schritt schätzen. Wir nehmen an, dass sie genau der Austrittstemperatur entspricht. Dies ist natürlich in Wirklichkeit nicht der Fall, denn das Wasser wird im Wärmetauscher aufgeheizt und die Eintrittstemperatur müsste demnach deutlich unter der Austrittstemperatur liegen.

T_W^{out} = 80^\circ C\quad \Rightarrow \quad {\bar T_W} = \frac{1}{2}\left( {T_W^{in}+T_W^{out}} \right) = 80^\circ C

Die Tabelle aus dem VDI Wärmeatlas liefert:

{\rho _W} = 971,8\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{c_W} = 4,196\frac{{kJ}}{{kgK}}

Dies setzen wir in die iterative Gleichung ein:

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

{\left\{ {T_W^{in}} \right\}_1} = 80^\circ C-\frac{{10 \cdot 10kW}}{{971,8\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot {{10}^{-3}}\frac{m}{s} \cdot 4,196\frac{{kJ}}{{kgK}}}} = 55,48^\circ C

Wir bestimmen die neue mittlere Wassertemperatur:

{\left\{ {{{\bar T}_W}} \right\}_1} = \frac{1}{2}\left( {{{\left\{ {T_W^{in}} \right\}}_1}+T_W^{out}} \right) = \frac{{55,48^\circ C+80^\circ C}}{2} = 67,74^\circ C

Für diese Werte gibt es keinen Eintrag in der Tabelle mit Stoffwerten.

Lineare Interpolation:

lineare-interpolation

\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}} = \frac{{{y_m}-{y_1}}}{{{x_m}-{x_1}}}\quad \Rightarrow \quad \left( {{x_m}-{x_1}} \right)\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+{y_1} = {y_m}

Angewandt auf die Tabelle aus dem VDI Wärmeatlas:

{\rho _{W,65^\circ C}} = 980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}},\quad \quad {\rho _{W,70^\circ C}} = 977,78\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{\rho _{W,67,74^\circ C}} = \left( {67,74^\circ C-65^\circ C} \right)\frac{{977,78\frac{{kg}}{{{m^3}}}-980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}{{70^\circ C-65^\circ C}}+980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}} = 979,04\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{c_{W,65^\circ C}} = 4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}},\quad \quad {c_{W,70^\circ C}} = 4,188\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}

{c_{W,67,74^\circ C}} = \left( {67,74^\circ C-65^\circ C} \right)\frac{{4,188\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}-4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}}}{{70^\circ C-65^\circ C}}+4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}} = 4,187\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}

Dies setzen wir in die iterative Gleichung ein:

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

{\left\{ {T_W^{in}} \right\}_2} = 80^\circ C-\frac{{10 \cdot 10kW}}{{979,04\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot {{10}^{-3}}\frac{m}{s} \cdot 4,187\frac{{kJ}}{{kgK}}}} = 55,61^\circ C

Dies weicht nur wenig von dem Ergebnis des ersten Iterationsschrittes ab, daher ist es in Ordnung, hier abzubrechen.

b )

Nun ist die erforderliche Länge des Wärmeübertragers gesucht. Diese berechnen wir wie immer mit der Gleichung
{{\dot Q}_V} = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}},\quad {R_{ges}} = \frac{1}{{{h_i}{A_i}}}

\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_V} = \Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {A_i} = \Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi \cdot L

\quad \Rightarrow \quad L = \frac{{{{\dot Q}_V}}}{{\Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi }}

Dabei wurde berücksichtigt, dass die Wandstärke des Innenrohres vernachlässigt werden soll.

Für die logarithmische Temperaturdifferenz gilt:

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}}

Die Temperaturdifferenzen sind:

\Delta {T_0} = {T_D}-T_W^{in} = 150^\circ C-55,61^\circ C = 94,39K

\Delta {T_L} = {T_D}-T_W^{out} = 150^\circ C-80^\circ C = 70K

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 81,59^\circ C

Wir müssen nun nur noch den Wärmeübergangskoeffizienten {h_i} bestimmen. Diesen erhalten wir aus der Nußeltzahl:

N{u_{m,T,i}} = \frac{{{h_i} \cdot {d_h}}}{{{k_W}}}\quad \Rightarrow \quad {h_i} = \frac{{N{u_{m,T,i}} \cdot {k_W}}}{{{d_h}}}

Leider kennen wir die relevante Nußeltzahl nicht und können sie auch nicht ohne weiteres bestimmen. Wir kennen allerdings die Nußelt-Beziehung für ein allgemeines Rohr:

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12.7\sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}}\left[ {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]

\xi = \frac{1}{{{{\left[ {1.8 \cdot {{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1.5} \right]}^2}}}

Wenn wir diese Nußeltzahl nicht mit dem normalen Rohrdurchmesser bilden, sondern mit dem hydraulischen Durchmesser, können wir sie in die benötigte Nußeltzahl umrechnen. Dazu ist folgende Relation gegeben:

\frac{{N{u_{m,T,i}}}}{{N{u_{Rohr}}}} = 0.86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0.16}}

Wir bestimmen die Reynolds-Zahl:

{\operatorname{Re} _{{d_h}}} = \frac{{{d_h} \cdot w}}{{{\nu _W}}}

{d_h} = {d_a}-{d_i} = 0,01m

w = \frac{{\dot V}}{{{A_q}}} = \frac{{\dot V}}{{\frac{\pi }{4}\left( {d_a^2-d_i^2} \right)}} = 1,415\frac{m}{s}

\quad \Rightarrow \quad {\operatorname{Re} _{{d_h}}} = \frac{{0,01m \cdot 1,415\frac{m}{s}}}{{0,426 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}} = 33216

Wir brauchen nun noch die Prandtlzahl. Diese entnehmen wir der Tabelle mit Stoffdaten:

\Pr = 2,642

Wir bestimmen noch den Verlustfaktor:

\xi = \frac{1}{{{{\left( {1,8{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1,5} \right)}^2}}} = 2,27 \cdot {10^{-2}}

Die Nußeltzahl für das einfache Rohr ist dann:

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12,7 \cdot \sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}} \cdot \underbrace {\left( {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)}_{ \approx 1} = 154,1

Dabei wurde die hintere Klammer vernachlässigt, da die Länge noch nicht bekannt ist und wir vermuten, dass sie viel größer als der Durchmesser sein wird. Wir bestimmen nun die relevante Nußeltzahl:

N{u_{m,T,i}} = N{u_{Rohr}} \cdot 0,86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0,16}} = 137,3

Mit der Wärmeleitfähigkeit des Wassers aus der Tabelle mit Stoffdaten

{k_W} = 661,2 \cdot {10^{-3}}\frac{W}{{mK}}

können wir nun den Wärmeübergangskoeffizienten für die Außenrohrinnenseite bestimmen:

{h_i} = \frac{{N{u_{m,T,i}} \cdot {k_W}}}{{{d_h}}} = 9078,3\frac{W}{{{m^2}K}}

Schließlich erhalten wir die notwendige Länge des Wärmeübertragers:

L = \frac{{{{\dot Q}_V}}}{{\Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi }} = \frac{{10 \cdot {{10}^4}W}}{{81,59K \cdot 9078,3\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 40 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot \pi }} = 1,074m

]]> http://me-lrt.de/heisdampf-heizsystem-wohnanlage/feed 0 12 – Isoliertes Stahlrohr und Wasserstrom http://me-lrt.de/isoliertes-stahlrohr-wasserstrom http://me-lrt.de/isoliertes-stahlrohr-wasserstrom#comments Wed, 27 Oct 2010 13:16:01 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5673 Durch ein frei im Raum verlegtes horizontales Stahlrohr von 20mm Innendurchmesser und 2mm Wandstärke strömt ein Wasserstrom \dot m = \frac{1}{2}\frac{{kg}}{s} mit einer Temperatur T_W^{in} = 80^\circ C. Das Stahlrohr ist mit einer 30mm dicken Isolationsschicht aus Steinwolle umgeben.
Wie viel Wärme gibt das Rohr auf den ersten 5 Metern an den Raum ab, wenn es mit einer Geschwindigkeit von {\omega _\infty } = 10\frac{m}{s} von der Raumluft der Temperatur {T_L} = 20^\circ C quer angeströmt wird?

Für den Wärmeübergang vom Wasser an die Rohrwand gilt die mittlere Nußelt-Zahl

\overline {N{u_{di}}} = 0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}},

die ebenso wie die Reynolds-Zahl auf den Rohrinnendurchmesser {d_i} bezogen ist, und für den äußeren Wärmeübergang (ein quer angeströmtes zylindrisches Rohr) gilt die Beziehung

\overline {N{u_{da}}} = 1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}},

bezogen auf den Außendurchmesser {d_a}. Die benötigten Stoffdaten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {Luft} & {Wasser} & {Stahl} & {Steinwolle} \\ \hline{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:\:k\:\:in\:\:\left[ {\frac{W}{{m \cdot K}}} \right]} &\vline & {0.046} & {0.67} & {42.0} & {0.04} \\{Dichte\:\:\rho \:\:in\:\left[ {\frac{{kg}}{{{m^3}}}} \right]} &\vline & {0.62} & {972} & - & - \\{spez.\:\:W\ddot armekapazit\ddot at\:\:{c_p}\:\:in\:\left[ {\frac{{kJ}}{{kgK}}} \right]} &\vline & {1.05} & {4.2} & - & - \\{kin.\:\:Viskosit\ddot at\:\:in\:\left[ {\frac{{{m^2}}}{s}} \right]} &\vline & {48 \cdot {{10}^{-6}}} & {0.336 \cdot {{10}^{-6}}} & - & - \\ \end{array}

Lösung

In dieser Aufgabe soll der Verlustwärmestrom eines mit Luft quer angeströmten, isolierten Stahlrohrs berechnet werden. Die Konfiguration entspricht der eines Einstromwärmeübertragers.

Skizze des Problems:

warmeubertragung-stahlrohr-wasserstrom

Der Verlustwärmestrom wird durch den Wärmewiderstand und die logarithmische Temperaturdifferenz ausgedrückt:

{{\dot Q}_V} = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}}

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_0}-\Delta {T_L}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_0}}}{{\Delta {T_L}}}} \right)}} = \frac{{\left( {T_W^{in}-{T_L}} \right)-\left( {T_W^{out}-{T_L}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}}

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für das System Wasser liefert bei Stationarität:

\underbrace {\frac{{\partial U}}{{\partial t}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\sum {\dot m \cdot {h_{tot}}}

0 = -{{\dot Q}_W}+{{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_W} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

Eine Bilanz über die Rohrwand liefert:

{\dot Q_V} = {\dot Q_W}

Wir erhalten so

{{\dot Q}_V} = {{\dot Q}_W}

\frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\frac{1}{{{R_{ges}}}} \cdot \frac{{\left( {T_W^{in}-{T_L}} \right)-\left( {T_W^{out}-{T_L}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\frac{1}{{{R_{ges}}}} \cdot \frac{{T_W^{in}-T_W^{out}}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right) = \frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}

Daraus erhalten wir die noch unbekannte Temperatur des Wassers am Austritt:

\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right) = \frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}

\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}} = \exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}

T_W^{out} = \frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}}}+{T_L}

Wir müssen nun noch den Wärmewiderstand R bestimmen. Dieser setzt sich additiv aus dem Widerstand des konvektiven Wärmeübergangs vom Wasser an das Stahlrohr, den Leitungswiderständen des Stahlrohrs und der Isolierschicht sowie dem Wärmewiderstand der konvektiven Wärmeübertragung zwischen Steinwolle und Luft zusammen (vergleiche Aufgabe 3). Neu ist hier, dass die Wärmeübergangskoeffizienten nicht vorgegeben sind, sondern aus der gegebenen Nußelt-Beziehung berechnet werden müssen.

Betrachten wir zunächst den Wärmeübergang zwischen Wasser und Stahlrohr. Dort gilt die Beziehung:

\overline {N{u_{di}}} = 0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{h_i} \cdot {d_i}}}{{{k_W}}}\quad \Rightarrow \quad {h_i} = \frac{{0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{1}{3}}} \cdot {k_W}}}{{{d_i}}}

Der Querstrich über der Nußelt-Zahl gibt an, dass dies die gemittelte ist. Die charakteristische Länge ist der Rohrinnendurchmesser. Aus dieser Gleichung können wir den gesuchten Wärmeübergangskoeffizienten {h_i} bestimmen, nachdem wir die Prandtlzahl und die Reynoldszahl berechnet haben. Die Reynoldszahl setzt sich aus der Strömungsgeschwindigkeit und der kinematischen Viskosität des Wassers, sowie der charakteristischen Länge (Rohrdurchmesser) zusammen. Die Geschwindigkeit des Wassers ergibt sich aus dessen Massenstrom:

\rho = \frac{m}{V}\quad \Rightarrow \quad V = \frac{m}{\rho }\quad \Rightarrow \quad \dot V = \frac{{\dot m}}{\rho },\quad \dot V = w \cdot A

\quad \Rightarrow \quad \frac{{\dot m}}{\rho } = w \cdot A

\quad \Rightarrow \quad w = \frac{{\dot m}}{{\rho \cdot A}} = \frac{{\dot m}}{{{\rho _W} \cdot \pi \cdot \frac{{d_i^2}}{4}}} = \frac{{\frac{1}{2}\frac{{kg}}{s}}}{{972\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot \pi \cdot \frac{{20 \cdot {{10}^{-3}}m}}{4}}} = 1,637\frac{m}{s}

Daraus ergibt sich die Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{di}} = \frac{{{d_i} \cdot w}}{{{\nu _W}}} = \frac{{20 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot 1,637\frac{m}{s}}}{{0,366 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}} = 89453

Die Prandtlzahl berechnet sich zu:

\Pr = \frac{{{\nu _W}}}{{{\alpha _W}}} = \frac{{{\nu _W} \cdot {\rho _W} \cdot {c_{p,w}}}}{{{k_W}}} = \frac{{0,366 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 972\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 4,2 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{0,67\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 2,23

So erhalten wir den inneren Wärmeübergangskoeffizienten:

{h_i} = \frac{{0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{1}{3}}} \cdot {k_W}}}{{{d_i}}} = 12810\frac{W}{{{m^2}K}}

Als zweites betrachten wir den konvektiven Wärmeübergang von der Steinwolle an die Luft. Hier gilt eine andere, an den quer angeströmten Zylinder angepasste Nußelt-Beziehung:

\overline {N{u_{da}}} = 1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}} = \frac{{{h_a} \cdot {d_a}}}{{{k_L}}}\quad \Rightarrow \quad {h_a} = \frac{{1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}} \cdot {k_L}}}{{{d_a}}}

Die Reynoldszahl wird hier mit der Luftgeschwindigkeit und den Stoffwerten von Luft gebildet:

{\operatorname{Re} _{da}} = \frac{{{d_a} \cdot {w_\infty }}}{{{\nu _L}}}

Der Außendurchmesser ergibt sich aus der Summe der einzelnen Schichten:

{d_a} = {d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}+2 \cdot {s_{Wolle}} = 20mm+2 \cdot 2mm+2 \cdot 30mm = 0,084m

Einsetzen ergibt:

{\operatorname{Re} _{da}} = \frac{{{d_a} \cdot {w_\infty }}}{{{\nu _L}}} = \frac{{0,084m \cdot 10\frac{m}{s}}}{{48 \cdot {{10}^{-6}}}} = 17500

Die Prandtlzahl wird auch mit den Stoffwerten von Luft berechnet:

\Pr = \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}} = \frac{{{\nu _L} \cdot {\rho _L} \cdot {c_{p,L}}}}{{{k_L}}} = \frac{{48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 1,05 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 0,6793

Damit erhalten wir den Wärmeübergangskoeffizienten:

{h_a} = \frac{{1,1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}} \cdot {k_L}}}{{{d_a}}} = \frac{{1,1 \cdot {{17500}^{\frac{2}{5}}} \cdot {{0,6793}^{\frac{3}{4}}} \cdot 0,046}}{{0,084m}} = 22,45\frac{W}{{{m^2}K}}

Bei den Leitungs-Wärmewiderständen sind die unterschiedlichen Durchmesser zu beachten und die Formeln für ein zylinderförmiges Rohr anzuwenden. Der Gesamtwärmewiderstand ergibt sich mit der Länge L des Rohrs zu

{R_{ges}} = {R_i}+{R_{Stahl}}+{R_{Wolle}}+{R_a}

{R_{ges}} = \frac{1}{{\pi L}}\left( {\frac{1}{{{h_i}{d_i}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2 \cdot {k_{Stahl}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}+2 \cdot {s_{Wolle}}}}{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}}}} \right)}}{{2 \cdot {k_{Wolle}}}}+\frac{1}{{{h_a}{d_a}}}} \right)

{R_{ges}} = 1,031\frac{K}{W}

Jetzt können wir die Austrittstemperatur des Wassers berechnen:

T_W^{out} = \frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}}}+{T_L}

T_W^{out} = \frac{{80^\circ C-20^\circ C}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{1,031\frac{K}{W} \cdot \frac{1}{2}\frac{{kg}}{s} \cdot 4,2 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}} \right\}}}+20^\circ C = 79,97^\circ C

Die Temperaturabsenkung ist also nur 0,03 Kelvin. Daraus kann man nun mit Hilfe des ersten Hauptsatzes den Verlustwärmestrom berechnen:

{\dot Q_V} = {\dot m_W} \cdot {c_{p,W}} \cdot \left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{{m^3}}}{s} \cdot 4,2 \cdot {10^3}\frac{J}{{kg \cdot K}} \cdot \left( {80^\circ C-79,97^\circ C} \right) = 63W

Das Rohr ist also sehr gut isoliert.

]]> http://me-lrt.de/isoliertes-stahlrohr-wasserstrom/feed 0 11 – Hitzedrahtanemometrie im Windkanal http://me-lrt.de/hitzedrahtanemometrie-windkanal http://me-lrt.de/hitzedrahtanemometrie-windkanal#comments Wed, 27 Oct 2010 13:11:09 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5670 Zur Messung der Luftgeschwindigkeit in einem Hochtemperatur-Windkanal wird senkrecht zur Strömungsrichtung ein mit Gleichstrom beheizter Draht aufgespannt. Der Draht besitzt einen Durchmesser d = 0,1mm und eine Länge L = 10mm. An ihn ist eine Gleichspannung von U = 6V bei einer Stromstärke von I = 50mA angelegt.
Wie groß ist die Luftgeschwindigkeit {w_\infty }, wenn sich bei einer Lufttemperatur {T_L} = 260^\circ C eine Drahttemperatur {T_D} = 340^\circ C einstellt?
Für den Wärmeübergang am quer angeströmten Rohr mit dem Durchmesser d soll die Beziehung

N{u_d} = 1,1 \cdot \operatorname{Re} _d^{0,4}{\Pr ^{0,75}}

gelten. Die mittleren Stoffwerte für Luft sind in folgender Tabelle angegeben:

Dichte: \rho = 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}}
Wärmeleitfähigkeit: k = 0,046\frac{W}{{mK}}
Spez. Wärmekapazität: {c_p} = 1,05 \cdot {10^3}\frac{J}{{kgK}}
Kinematische Viskosität: \nu = 48 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}

Lösung

Dieser Aufgabe liegt das Prinzip der Hitzedrahtanemometrie (HDA), also der Geschwindigkeitsmessung durch einen heißen Draht, zugrunde.

Skizze des Problems:

hitzedrahtanemometrie-warmeubertragung

Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit. Berechnen können wir diese mit der Reynoldszahl. Die Reynoldszahl berechnet sich aus der Strömungsgeschwindigkeit, dem Durchmesser des Drahts und der kinematischen Viskosität des Fluids:

\operatorname{Re} = \frac{{{w_\infty } \cdot d}}{\nu }\quad \Rightarrow \quad {w_\infty } = \frac{{\operatorname{Re} \: \cdot \nu }}{d}

Leider kennen wir die Reynoldszahl nicht. Diese lässt sich durch Umstellen aus einer Nußelt-Beziehung der Form

Nu = f\left( {\operatorname{Re} ,\Pr } \right) = \frac{{h \cdot l}}{{{k_{Fluid}}}}

bestimmen. Dabei ist \operatorname{Re} die Reynoldszahl und \Pr die Prandtlzahl. l bezeichnet eine charakteristische Länge (z.B. die Länge des Systems oder ein dort auftretender Durchmesser). {k_{Fluid}} ist die Wärmeleitfähigkeit des Fluids.

Die Nußeltzahl darf nicht mit der Biotzahl verwechselt werden:

Bi = \frac{{h \cdot l}}{{{k_{Feststoff}}}}

Im vorliegenden Fall ist die Nußelt- und damit auch die Reynoldszahl auf den Drahtdurchmesser d bezogen und die folgende Korrelation gegeben:

N{u_d} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}}}} = 1,1 \cdot \operatorname{Re} _d^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}}\quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re} _d^{\frac{2}{5}} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}

\quad \Rightarrow \quad {\operatorname{Re} _d} = {\left( {\frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}}

Die Prandtlzahl berechnet sich aus der kinematischen Viskosität und der Temperaturleitfähigkeit:

\Pr = \frac{\nu }{\alpha } = \frac{{\eta \cdot {c_p}}}{k} = \frac{{\nu \cdot {c_p} \cdot \rho }}{k} = \frac{{48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 1,05\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}} \cdot 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 0,6793

Es handelt sich um stationären Betrieb, die innere Energie des Systems „Draht“ bleibt unverändert. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet für dieses System:

\underbrace {\frac{{dU}}{{dt}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\underbrace {\sum {\dot m \cdot h} }_{ = 0}

0 = {P_{el}}-{{\dot Q}_K} = U \cdot I-h \cdot A \cdot \Delta T

0 = U \cdot I-h \cdot \underbrace {d \cdot \pi \cdot L}_{ = A} \cdot \left( {{T_D}-{T_L}} \right)

Die dem Draht zugeführte und in ihm dissipierende elektrische Leistung wird gerade durch die umströmende Luft abgeführt. Wir können daraus den Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen:
h = \frac{{U \cdot I}}{{d \cdot \pi \cdot L \cdot \left( {{T_D}-{T_L}} \right)}} = \frac{{6V \cdot 0,05A}}{{\pi \cdot 0,1 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot 0,01m \cdot \left( {340-260} \right)K}} = 1193,7\frac{W}{{{m^2}K}}

Einsetzen:

{\operatorname{Re} _d} = {\left( {\frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}} = {\left( {\frac{{1193,7\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,1 \cdot {{10}^{-3}}m}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}} \cdot 1,1 \cdot {{0,6793}^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}} = 17,65

Damit erhalten wir für die Strömungsgeschwindigkeit:

{w_\infty } = \frac{{\operatorname{Re} \: \cdot \nu }}{d} = \frac{{17,65 \cdot 48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}}{{0,1 \cdot {{10}^{-3}}m}} = 8,47\frac{m}{s}

]]> http://me-lrt.de/hitzedrahtanemometrie-windkanal/feed 0 10 – Quecksilberthermometer als Messglied http://me-lrt.de/quecksilberthermometer-messglied http://me-lrt.de/quecksilberthermometer-messglied#comments Wed, 27 Oct 2010 13:08:58 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5667 Zur Bestimmung der Temperatur {T_S}\left( t \right) einer strömenden Flüssigkeit soll eine Messanordnung mit einem konventionellen Quecksilberthermometer als Messglied eingesetzt werden. Bei dieser Messmethode wird die auf dem Thermometer angezeigte Temperatur T stets dem wahren Wert {T_S} der Flüssigkeit nacheilen. Die Temperaturdifferenz T-{T_S} ist ein Maß für die Beurteilung der Genauigkeit der Temperaturmessung.
Zur Abschätzung der Temperaturdifferenz soll eine adiabate Rohrströmung betrachtet werden, in der das Thermometer, ein zylinderförmiger Körper mit der Mantelfläche A und der Länge l , eingetaucht ist. Die mittlere Dichte der Thermometerkörpers sei \rho und seine mittlere spezifische Wärmekapazität c . Der Wärmeübergangskoeffizient zwischen der Flüssigkeit und der Mantelfläche der Thermometers wurde zu h bestimmt.

  1. Ermitteln Sie aus einer Energiebilanz die Differentialgleichung für die instationäre Änderung der Temperatur T des Thermometers.
  2. Bestimmen Sie die Lösungen der Differentialgleichung für den Fall, dass sie die Temperaturen der Flüssigkeit zur Zeit t = 0 sprunghaft von {T_0} auf {T_f} ändert; die Anfangstemperatur des Thermometers sei gleich {T_0}.
  3. Wie groß ist die Halbwertszeit {t_H} für diesen Vorgang?
  4. Welche geometrische Bedingung muss das Thermometer erfüllen, damit die Halbwertszeit {t_H} und damit der Fehler in der Temperaturmessung möglichst klein wird?

Lösung

a )

Skizze des Problems:

quecksilberthermometer-messglied-warmeubertragung

Um die Differentialgleichung aufzustellen, brauchen wir zuerst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für das System „Thermometer“. Dieses Mal ist das System nicht stationär, daher können wir die Änderung der Energie nicht weglassen. Diese Energie teilt sich auf in kinetische, potentielle und innere Energie. Da sich das Thermometer nicht bewegt, gibt es keine kinetische Energie. Auch die potentielle Energie ändert sich nicht, da das Thermometer nicht hochgehoben wird.

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\underbrace {\sum {\dot mh} }_{ = 0}

\underbrace {\frac{{d{E_{kin}}}}{{dt}}}_{ = 0}+\underbrace {\frac{{d{E_{pot}}}}{{dt}}}_{ = 0}+\frac{{dU}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}}

Der einzige Wärmestrom ist der konvektive aus der Strömung um das Thermometer:

{\dot Q_K} = hA\left( {{T_S}-T} \right)

Dieser Strom ist positiv, wenn die Temperatur der Strömung größer als die des Thermometers ist. Ansonsten ist er negativ. Die Änderung der inneren Energie des Thermometers können wir schreiben als

dU = m \cdot c \cdot dT = \rho \cdot v \cdot c \cdot dT

Eingesetzt:

\frac{{dU}}{{dt}} = {{\dot Q}_K} = h \cdot A\left( {{T_S}-T} \right)

\rho \cdot v \cdot c \cdot \frac{{dT}}{{dt}} = h \cdot A\left( {{T_S}-T} \right)

Damit erhalten wir die DGL:

\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)

Entdimensionieren der Temperatur:

\theta = \frac{{T-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}

Nach oben rechts kommt die Größe, die rausfliegen soll (hier die unbekannte Temperatur der Strömung). Unten rechts muss das gleiche stehen. Nach unten links kommt eine beliebige Referenztemperatur. Die Konstante vereinfacht sich später, wenn wir eine gegebene Temperatur benutzen.

Umstellen und ableiten:

T = \theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)+{T_S}

dT = d\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

Dies setzen wir oben ein:

\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)\quad \Rightarrow \quad \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)

\theta = \frac{{T-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}\quad \Rightarrow \quad T-{T_S} = \theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\quad \Rightarrow \quad {T_S}-T = -\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\frac{{d\theta }}{{dt}} = -\frac{{hA}}{{\rho Vc}}\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

Kürzen:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{hA}}{{\rho Vc}}\theta = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{dt}}+B \cdot \theta = 0,\quad B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}},\quad B = \left[ {\frac{1}{s}} \right]

Entdimensionieren der Zeit:

\tau = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}t = B \cdot t\quad \Rightarrow \quad d\tau = B \cdot dt\quad \Rightarrow \quad dt = \frac{{d\tau }}{B}

Wir setzen wieder oben ein:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+B \cdot \theta = 0,\quad B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }} \cdot B+\theta \cdot B = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }}+\theta = 0

Diese Dimensionslose DGL ist fast immer gleich. Sie kann bei Z3 nachgeschlagen werden!

b )

Das Fluid ändert seine Temperatur sprunghaft von {T_0} auf {T_f} und behält dann diese Temperatur bei. Die Temperatur des Thermometers liegt zu Beginn bei {T_0}. Man erhält daraus die dimensionslose Anfangsbedingung:

\theta \left( {t = \tau = 0} \right) = {\theta _0} = \frac{{{T_0}-{T_f}}}{{{T_0}-{T_f}}} = 1

Die Lösung lautet:

\theta = {C_1}{e^{-\tau }}

Bzw. mit der Anfangsbedingung:

\theta = {e^{-Bt}}

c )

Die Halbwertszeit ist verstrichen, wenn die Thermometertemperatur den Wert

T = \frac{{{T_0}+{T_f}}}{2}

Angenommen hat, d.h. wenn {\theta _H} = \frac{1}{2} ist. Daraus ergibt sich:

{t_H} = -\frac{1}{B}\ln \left( {{\theta _H}} \right) = \frac{{\ln 2}}{B}

d )

Aus der Gleichung

{t_H} = -\frac{1}{B}\ln \left( {{\theta _H}} \right) = \frac{{\ln 2}}{B}

Ergibt sich, dass B maximiert werden muss, um die Halbwertszeit zu minimieren. Die Variable

B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}

Kann man mit geometrischen Veränderungen erhöhen, wenn man das Verhältnis aus Mantelfläche zu Volumen erhöht. Man erhält:

\frac{A}{V} = \frac{{\pi dl}}{{\frac{\pi }{4}{d^2}l}} = \frac{4}{d}

Die Schlussfolgerung lautet also, dass der Durchmesser des Thermometers möglichst klein bezogen auf die Länge sein sollte. Dies verringert auch den Fehler, der durch Nichtberücksichtigung des Wärmeübergangs an den beiden Enden des Thermometers gemacht wird.

]]> http://me-lrt.de/quecksilberthermometer-messglied/feed 0 09 – Abbrennen einer Kerze http://me-lrt.de/abbrennen-kerze-warmeubertragung http://me-lrt.de/abbrennen-kerze-warmeubertragung#comments Wed, 27 Oct 2010 13:06:52 +0000 admin http://me-lrt.de/?p=5663 Eine zylinderförmige Kerze mit dem Durchmesser d und der Länge {L_0} wird zum Zeitpunkt t = 0 angezündet und brennt danach mit der konstanten Geschwindigkeit w ab. Am Ort der Schmelzfläche bei z = L\quad \left( {{L_0} \geq {\text{L}} \geq 0} \right) herrscht dabei die zeitlich konstante Schmelztemperatur des Wachses {T_S} . Die Standfläche der Kerze soll als adiabat angesehen werden. Die Kerze gibt jedoch Wärme durch Konvektion an die Umgebung ab.

Weitere Annahmen lauten:

  • Die Kerze besitzt zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur der Umgebung {T_{U}}
  • Temperaturunterschiede über den Querschnitt der Kerze sind zu vernachlässigen.
  • Der Wärmeübergangskoeffizient h an der Mantelfläche ist konstant.

Aufgaben:

  1. Skizzieren Sie qualitativ den axialen Temperaturverlauf in der Kerze zu den Zeitpunkten t = 0,\quad t = \frac{1}{4}t,\quad t = \frac{1}{2}t und t = \frac{3}{4}t , wobei t die gesamte Brenndauer der Kerze ist.
  2. Stellen Sie die Differentialgleichung für den Abbrennvorgang mit Hilfe einer Bilanz an einem differentiellen Element auf.
  3. Im Hinblick auf die geringe Abbrandgeschwindigkeit w der Kerze kann der instationäre Term der Differentialgleichung vernachlässigt werden. Geben Sie die dadurch entstehende gewöhnliche Differentialgleichung an.
  4. Bringen Sie die Differentialgleichung in eine dimensionslose Form. Wir lauten die auftretenden Kennzahlen (Bezugslänge d , Bezugstemperatur {T_S}-{T_U})?
  5. Geben Sie allgemein die Höhe L der Schmelzfläche als Funktion der Zeit t an. Wie lautet die Randbedingung an den Stellen z = L und z = 0?
  6. Lösen Sie die gewöhnliche Differentialgleichung mit Hilfe dieser Randbedingungen.

Lösung

a )

abbrennen-kerze-instationar-warmeubertragung

b )

Es handelt sich um ein instationäres Problem, das sich in einer Raumdimension z, in Richtung der Länge der Kerze, behandeln lässt. Die partielle Differentialgleichung ergibt sich aus einer differentiellen Bilanz über ein infinitesimal kleines Kerzenelement mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot m \cdot h} = {\dot Q_L}\left( z \right)-{\dot Q_L}\left( {z+dz} \right)-{\dot Q_K}

In das Element hinein fließt der Wärmestrom durch Leitung an der Stelle z, der durch das Fouriersche Gesetz beschrieben wird:

{\dot Q_L} = -k \cdot {A_q} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial z}},\quad \quad {A_q} = \frac{{\pi {d^2}}}{4}

Aus dem Element heraus fließt der Wärmestrom durch Leitung an der Stelle z+dz. Taylorentwicklung für diesen Wärmestrom:

{{\dot Q}_L}\left( {z+dz} \right) = {{\dot Q}_L}\left( z \right)+\frac{{\partial {{\dot Q}_L}}}{{\partial z}}dz+\underbrace {O\left( {{{\left( {dz} \right)}^2}} \right)}_{Fehler}

{{\dot Q}_L}\left( {z+dz} \right) \approx {{\dot Q}_L}\left( z \right)+\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {-k \cdot {A_q} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)dz

{{\dot Q}_L}\left( {z+dz} \right) \approx {{\dot Q}_L}\left( z \right)-k \cdot {A_q} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz

Der konvektive Wärmeübergang nach außen wird durch das Kühlgesetz von Newton beschrieben:

{\dot Q_K} = h \cdot d{A_U}\left( {T-{T_U}} \right),\quad \quad d{A_U} = \pi \cdot d \cdot dz

Die Änderung der inneren Energie im differentiellen Element erfolgt durch die Erwärmung dieses Elements:

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = dm \cdot c \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }}

Einsetzen in den Hauptsatz und Vereinfachen der Gleichung liefert:

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = {{\dot Q}_L}\left( z \right)-{{\dot Q}_L}\left( {z+dz} \right)-{{\dot Q}_K}

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = {{\dot Q}_L}\left( z \right)-{{\dot Q}_L}\left( z \right)+k \cdot {A_q} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz-{{\dot Q}_K}

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = k \cdot {A_q} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz-h \cdot d{A_U}\left( {T-{T_U}} \right)

\frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} = k \cdot \frac{{\pi {d^2}}}{4} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz-h \cdot \pi \cdot d \cdot dz\left( {T-{T_U}} \right)

dm \cdot c \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = k \cdot \frac{{\pi {d^2}}}{4} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz-h \cdot \pi \cdot d \cdot dz\left( {T-{T_U}} \right)

dz \cdot \frac{{\pi {d^2}}}{4} \cdot \rho \cdot c \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = k \cdot \frac{{\pi {d^2}}}{4} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}dz-h \cdot \pi \cdot d \cdot dz\left( {T-{T_U}} \right)

\pi {d^2} \cdot \rho \cdot c \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = k \cdot \pi {d^2} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}-4 \cdot h \cdot \pi \cdot d \cdot \left( {T-{T_U}} \right)

\rho \cdot c \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = k \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}-\frac{{4 \cdot h}}{d} \cdot \left( {T-{T_U}} \right)

\frac{1}{\alpha } \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}-\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}} \cdot \left( {T-{T_U}} \right)\quad \quad \alpha = \frac{k}{{\rho \cdot c}}

Dabei beschreibt \alpha die Temperaturleitfähigkeit des Wachses in Quadratmeter pro Sekunde.

c )

Die Abbrandgeschwindigkeit w der Kerze ist so gering, dass der Prozess als quasistationär betrachtet werden kann. Damit fällt der zeitabhängige Term in der Gleichung weg und man erhält eine gewöhnliche DGL in z (somit wird das partielle Differential durch das gewöhnliche ersetzt:

0 = \frac{{{d^2}T}}{{d{z^2}}}-\frac{{4h}}{{kd}}\left( {T-{T_U}} \right)

d )

Die Differentialgleichung soll nun in dimensionslose Form gebracht werden. Dazu definieren wir zuerst eine dimensionslose Temperatur:

\theta = \frac{{T-{T_U}}}{{{T_S}-{T_U}}}\quad \Rightarrow \quad T = \theta \left( {{T_S}-{T_U}} \right)+{T_U}

Dabei ist {T_S} die Schmelztemperatur des Wachses und {T_U} die Umgebungstemperatur.

Analog schreiben wir für den dimensionslosen Ort \xi:

\xi = \frac{z}{d}\quad \Rightarrow \quad z = d \cdot \xi

Für die DGL brauchen wir die zweite Ableitung der Temperatur nach der Zeit:

\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right) = \frac{\partial }{{d \cdot \partial \xi }}\left( {\frac{{\left( {{T_S}-{T_U}} \right) \cdot \partial \theta }}{{d \cdot \partial \xi }}} \right) = \frac{{\left( {{T_S}-{T_U}} \right)}}{{{d^2}}}\frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial {\xi ^2}}}

Einsetzen in die Differentialgleichung aus b):

\frac{{{T_S}-{T_U}}}{\alpha } \cdot \frac{{\partial \theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{T_S}-{T_U}}}{{{d^2}}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial {\xi ^2}}}-\frac{{4h}}{{kd}} \cdot \theta \cdot \left( {{T_S}-{T_U}} \right)

Wir können die Temperaturdifferenz kürzen:

\frac{{{d^2}}}{\alpha } \cdot \frac{{\partial \theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial {\xi ^2}}}-\frac{{4hd}}{k} \cdot \theta

Wir führen nun zwei dimensionslose Kennzahlen ein.

Biot-Zahl: Bi: = \frac{{h \cdot d}}{{{k_{Feststoff}}}} = \frac{{konvektiver\:\:W\ddot arme\ddot ubergang}}{{W\ddot armeleitung,\:\:Feststoff}}
Fourierzahl: Fo: = \frac{{\alpha \tau }}{{{d^2}}} (dimensionslose Zeit bei instationärer Wärmeleitung

Wir erhalten:

\frac{{\partial \theta }}{{\partial \left( {Fo} \right)}} = \frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial {\xi ^2}}}-4Bi \cdot \theta

Quasistationär:

0 = \frac{{\partial {\theta ^2}}}{{\partial {\xi ^2}}}-4Bi \cdot \theta

e )

Die Höhe L der Kerze als Funktion der Zeit ist bei konstanter Abbrandgeschwindigkeit w gegeben durch:

L\left( \tau \right) = {L_0}-w\tau

Randbedingungen:

Die Schmelztemperatur ist konstant an der Abbrandfläche und die Stellfläche ist adiabat isoliert. In Formeln ergibt das

Randbedingung 1. Art (Dirichlet):

z = L\quad \Rightarrow \quad T = {T_S}

Dies entspricht in der dimensionslosen Form:

\xi = \frac{L}{d}\quad \Rightarrow \quad \theta = 1

Randbedingung 2. Art (Neumann):

z = 0,\:\:\xi = 0\quad \Rightarrow \quad {T^\prime }\left( {z = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\left[ {\frac{{d\theta }}{{d\xi }}} \right]_{\xi = 0}} = 0

f )

Die gewöhnliche Differentialgleichung soll nun gelöst werden. Zu diesem Zweck stellt man die charakteristische Gleichung der DGL auf.

\frac{{{d^2}\theta }}{{\partial {\xi ^2}}}-4Bi \cdot \theta = 0

{\lambda ^2}-4Bi = 0\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \pm 2\sqrt {Bi} \quad \Rightarrow \quad {\lambda _1} = -{\lambda _2}

\theta = {C_1}{e^{{\lambda _1} \cdot \xi }}+{C_2}{e^{-{\lambda _1}\xi }}

Mit der zweiten Randbedingung erhalten wir:

{\left[ {\frac{{d\theta }}{{d\xi }}} \right]_{\xi = 0}} = {\left[ {{C_1} \cdot {\lambda _1}{e^{{\lambda _1}{\xi _1}}}-{C_2}{\lambda _1}{e^{-{\lambda _1}{\xi _1}}}} \right]_{\xi = 0}} = 0\quad \Rightarrow \quad {C_1} = {C_2}

Mit Randbedingung 1:

1 = {C_1}{e^{{\lambda _1}\frac{L}{d}}}+{C_1}{e^{-{\lambda _1}\frac{L}{d}}}\quad \Rightarrow \quad {C_1} = \frac{1}{{{e^{-{\lambda _1}\frac{L}{d}}}+{e^{{\lambda _1}\frac{L}{d}}}}}

\theta = \frac{{{e^{{\lambda _1}\xi }}+{e^{-{\lambda _1}\xi }}}}{{{e^{-{\lambda _1}\frac{L}{d}}}+{e^{{\lambda _1}\frac{L}{d}}}}}

Dies ergibt mit der Definition

\cosh \left( x \right): = \frac{1}{2}\left( {{e^x}+{e^{-x}}} \right)

die dimensionslose Temperatur \theta als Lösung der Differentialgleichung:

\theta \left( \xi \right) = \frac{{\cosh \left( {2\sqrt {Bi} \cdot \xi } \right)}}{{\cosh \left( {2\sqrt {Bi} \cdot \frac{L}{d}} \right)}}

Die Rücksubstitution liefert

2\sqrt {Bi} \cdot \xi = 2\sqrt {\frac{{h \cdot d}}{k}} \cdot \frac{z}{d} = \sqrt {\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}}} \cdot z

2\sqrt {Bi} \cdot \frac{L}{d} = \sqrt {\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}}} \cdot L = \sqrt {\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}}} \cdot \left( {{L_0}-w\tau } \right)

und damit die Lösung für die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit und der Längenkoordinate:

T\left( {z,\tau } \right) = {T_U}+\frac{{\cosh \left( {\sqrt {\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}}} \cdot z} \right)}}{{\cosh \left( {\sqrt {\frac{{4 \cdot h}}{{k \cdot d}}} \cdot \left( {{L_0}-w\tau } \right)} \right)}}\left( {{T_S}-{T_U}} \right)

Die Zeit steckt also auch als Parameter in der Größe L. Die Vereinfachung, dass beim Lösen der Differentialgleichung nur die Ortskoordinate berücksichtigt wird, funktioniert nur deshalb, weil man von einem quasistatischen Vorgang ausgeht und w konstant ist.

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