29 – Kegelradpaar

Dies ist der 600. Artikel im ME-NET! Veröffentlicht um 1723 Uhr am 16.03.2010

Die erste Stufe eines mehrstufigen Getriebes ist ein geradverzahntes Kegelradpaar mit dem Achsenwinkel $\Sigma = 90^\circ$ . Es handelt sich um ein Null-Radpaar mit der Ritzelzähnezahl ${z_1} = 16$ , der Radzähnezahl ${z_2} = 40$ und dem Modul am Außenkegel ${m_{et}} = 3mm$ . Das Getriebe wird von einem Einzylinderverbrennungsmotor mit der Nennleistung ${P_{N1}} = 2,5kW$ bei ${n_1} = 1500{\min ^{-1}}$ angetrieben und ist für den Antrieb eines Gutförderers vorgesehen.

Aufgaben

29.1 – Bestimmen Sie Teilkegelwinkel, äußeren Teilkreisdurchmesser und äußeren Kopfkreisdurchmesser.

29.2 – Ermitteln Sie die maximal zulässige Breite der Zahnräder.

29.3 – Berechnen Sie mittleren Teilkreisdurchmesser, mittleren Modul, Fuß- und Kopfkegelwinkel, wenn die Breite auf $b = 18mm$ festgelegt wird.

29.4 – Überprüfen Sie, ob die Ersatzzähnezahlen größer als die praktischen Grenzzähnezahlen sind.

29.5 – Bestimmen Sie die an den Zahnrädern angreifenden Kräfte.

Lösung

Hier zunächst eine kurze Zusammenfassung der Geometrie von Kegelradgetrieben.

winkel-durchmesser-kegelradgetriebe

${\delta _1}$ und ${\delta _2}$ sind die Teilkegelwinkel.

durchmesser-kegelradgetriebe

${d_e} = z \cdot {m_{et}}$ : äußerer Teilkreisdurchmesser

${d_{ae}} = {d_e}+2 \cdot {h_{ae}} \cdot \cos \left( \delta \right)$ : äußerer Kopfkreisdurchmesser

${h_{ae}} = {m_{et}} \cdot \left( {{x_{he}}+1} \right)$ : Zahnkopfhöhe

${R_e} = \frac{{{d_e}}}{{2 \cdot \sin \left( \delta \right)}} \geq 3 \cdot b$ : äußere Teilkegellänge

$\tan \left( {{\vartheta _f}} \right) = \frac{{{h_{fe}}}}{{{R_e}}}$ : Fußwinkel

${\delta _{f1}} = {\delta _1}-{\vartheta _{f1}}$ : Fußkegelwinkel

${\vartheta _{a1}} = {\vartheta _{f2}},\quad {\vartheta _{a2}} = {\vartheta _{f1}}$ : Kopfwinkel

${\delta _{a1}} = {\delta _1}+{\vartheta _{f2}}$ : Kopfkegelwinkel

${m_{et}} = \frac{{{m_{en}}}}{{\cos \left( {{\beta _e}} \right)}} = \frac{{{d_e}}}{z}$ : Modul am Außenkegel

${d_m} = {d_e}-b \cdot \sin \left( \delta \right)$ : mittlerer Teilkreisdurchmesser

${m_m} = \frac{{{d_m}}}{z}$ : mittlerer Modul

${\alpha _a}$ : Kraftangriffswinkel

$\alpha$ : Eingriffswinkel im Teilkreis

${h_{Fa}}$ : Zahnfußdicke

Ersatzstirnräder:

ersatzstirnrad-kegelrad

Teilkreisdurchmesser:

${d_{v1}} = \frac{{{d_{m1}}}}{{\cos \left( {{\delta _1}} \right)}},\quad \quad {d_{v2}} = \frac{{{d_{m2}}}}{{\cos \left( {{\delta _2}} \right)}}$

Die Zähnezahl des Ersatz-Stirnrades ist immer größer als die Zähnezahl des Kegelrades.

29.1 – Teilkegelwinkel und Durchmesser

Wir bestimmen als erstes die Teilkegelwinkel. Für $\Sigma \leq 90^\circ$ gilt:

$\tan \left( {{\delta _1}} \right) = \frac{{\sin \left( \Sigma \right)}}{{u+\cos \left( \Sigma \right)}}$

dabei ist $u$ das Zähnezahlverhältnis:

$u = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{40}}{{16}} = 2,5\quad \Rightarrow \quad {\delta _1} = \arctan \left( {\frac{{\sin \left( {90^\circ } \right)}}{{2,5+\cos \left( {90^\circ } \right)}}} \right) = \arctan \left( {\frac{1}{{2,5}}} \right)$

$\delta _1 = 21,8^\circ$

Für den Achsenwinkel gilt: $\Sigma = {\delta _1}+{\delta _2}$ , daher gilt für den anderen Teilkegelwinkel:

${\delta _2} = \Sigma -{\delta _1} = 90^\circ -21,8^\circ = 68,2^\circ$

Nun berechnen wir den äußeren Teilkreisdurchmesser.

${d_e} = z \cdot {m_{et}}$

Wenn wir eine Schrägverzahnung hätten, wäre entscheidend, welchen Modul wir benutzen. Da wir mit Geradverzahnung und ohne Profilverschiebung rechnen, ist ${m_{et}} = {m_e}$ . Der Index e steht dabei für außen.

Für das Ritzel (1) und das Rad (2) folgt:

${d_{e1}} = {z_1} \cdot {m_e} = 48mm$

${d_{e2}} = {z_2} \cdot {m_e} = 120mm$

Wir berechnen nun den äußeren Kopfkreisdurchmesser. Dieser ist der größte messbare Kopfkreisdurchmesser, ganz außen am Zahnrad. Es gilt:

${d_{ae}} = {d_e}+2{h_{ae}}\cos \left( \delta \right)$

Für die Zahnkopfhöhe gilt:

${h_{ae}} = {m_{et}} \cdot \left( {{x_{he}}+1} \right)$

Da wir mit Geradverzahnung und ohne Profilverschiebung ( ${x_{he}} = 0$ ) rechnen, vereinfacht sich das zu:

${h_{ae}} = {m_e}\left( {0+1} \right) = {m_e}$

Wir erhalten so die äußeren Kopfkreisdurchmesser für Ritzel und Rad:

${d_{ae1}} = 48mm+2 \cdot 3mm \cdot \cos \left( {21,8^\circ } \right) = 53,57mm$

${d_{ae2}} = 120mm+2 \cdot 3mm \cdot \cos \left( {68,2^\circ } \right) = 122,23mm$

29.2 – Maximal zulässige Breite

Wie in der Einleitung beschrieben, gilt für die äußere Teilkegellänge:

${R_e} = \frac{{{d_e}}}{{2 \cdot \sin \left( \delta \right)}} \geq 3 \cdot b$

Daraus folgt für die geforderte Breite:

${b^\prime } \leq \frac{{{R_e}}}{3}$

Wir berechnen die beiden äußeren Teilkegellängen:

${R_{e1}} = \frac{{{d_{e1}}}}{{2 \cdot \sin \left( {{\delta _1}} \right)}} = \frac{{48mm}}{{2 \cdot \sin \left( {21,8^\circ } \right)}} = 64,62mm$

${R_{e2}} = \frac{{{d_{e2}}}}{{2 \cdot \sin \left( {{\delta _2}} \right)}} = \frac{{120mm}}{{2 \cdot \sin \left( {68,2^\circ } \right)}} = 64,62mm$

Daraus folgt:

${b^\prime } \leq \frac{{64,62mm}}{3} = 21,54mm$

Außerdem ist gefordert (laut [RM S. 717]):

${b^{\prime \prime }} \leq 10 \cdot {m_e} = 30mm$

${b^{\prime \prime \prime }} \approx 0,15 \cdot {d_{e1}}\sqrt {{u^2}+1} = 19,39mm$

Gewählt: $b = 18mm$

29.3 – mittlerer Teilkreisdurchmesser, Modul, Fuß- und Kopfkegelwinkel

Wir berechnen den mittleren Teilkreisdurchmesser:

${d_m} = z \cdot {m_m} = z \cdot {m_e} \cdot \frac{{{R_m}}}{{{R_e}}} = {d_e}-b \cdot \sin \left( \delta \right)$

${d_{m1}} = {d_{e1}}-b\sin \left( {21,8^\circ } \right) = 41,31mm$

${d_{m2}} = {d_{e2}}-b\sin \left( {68,2^\circ } \right) = 103,29mm$

Mittlerer Modul:

${m_m} = {m_e} \cdot \frac{{{R_m}}}{{{R_e}}}$

Mittlere Teilkegellänge:

${R_m} = \frac{{{d_m}}}{{2 \cdot \sin \left( \delta \right)}} = {R_e}-\frac{b}{2} = 64,62mm-\frac{{18}}{2}mm = 55,62mm$

Fußkegelwinkel:

${\delta _f} = \delta -{\vartheta _f}$

Fußwinkel:

$\tan \left( {{\vartheta _f}} \right) \approx 1,25 \cdot \frac{{{m_e}}}{{{R_e}}}$

${\vartheta _f} \approx 3,32^\circ$

${\delta _{f1}} = {\delta _1}-{\vartheta _f} = 18,48^\circ$

${\delta _{f2}} = {\delta _2}-{\vartheta _f} = 64,88^\circ$

Kopfkegelwinkel:

${\delta _a} = \delta +{\vartheta _a}$

Kopfwinkel:

$\tan \left( {{\vartheta _a}} \right) = \frac{{{m_e}}}{{{R_e}}}$

${\vartheta _a} = 2,66^\circ$

${\delta _{a1}} = 24,46^\circ$

${\delta _{a2}} = 70,86^\circ$

29.4 – Ersatzzähnezahlen

Die benötigte Formel lautet:

${z_v} = \frac{z}{{\cos \left( \delta \right)}}$

${z_{v1}} = \frac{{16}}{{\cos \left( {21,8^\circ } \right)}} = 17,2$

${z_{v2}} = \frac{{40}}{{\cos \left( {68,2^\circ } \right)}} = 107,7$

Praktische Grenzzähnezahlen für geradverzahnte Kegelräder:

$z_{gk}^\prime = z_g^\prime \cos \left( \delta \right) = 14 \cdot \cos \left( \delta \right)$

$z_{gk1}^\prime = 14 \cdot \cos \left( {21,8^\circ } \right) \approx 13 < {z_{v1}}$

$z_{gk2}^\prime = 14 \cdot \cos \left( {68,2^\circ } \right) \approx 5,2 \ll {z_{v2}}$

Die Werte für die Zähnezahlen sind größer als die Grenzzähnezahlen und daher in Ordnung!

29.5 – angreifende Kräfte

Nennumfangskraft:

${F_{mt1}} = \frac{M}{r} = \frac{{2{M_{an}}}}{{{d_{m1}}}}$

Das Antriebsmoment ist:

${M_{an}} = \frac{{{P_{an}} \cdot 30}}{{\pi \cdot {n_1}}}$

Antriebsleistung:

${P_{an}} = {P_{N1}} \cdot {K_A}$

Für den Anwendungsfaktor betrachten wir die folgende Tabelle:

anwendungsfaktor-ka

Es folgt: ${K_A} = 1,5$ (mäßige Stöße / mäßige Stöße)

Damit erhalten wir für die Leistung:

${P_{an}} = 2,5kW \cdot 1,5 = 3,75kW$

Damit erhalten wir die Nennumfangskraft am Ritzel:

${F_{mt1}} = \frac{{2{M_{an}}}}{{{d_{m1}}}} = \frac{{2 \cdot \frac{{{P_{an}} \cdot 30}}{{\pi \cdot {n_1}}}}}{{{d_{m1}}}} = \frac{{2 \cdot \frac{{3,75 \cdot {{10}^3}\frac{{Nm}}{s} \cdot 30}}{{\pi \cdot 1500\frac{1}{s}}}}}{{41,31 \cdot {{10}^{-3}}m}} = 1156N$

Wir berechnen nun die Nennumfangskraft am Rad bei Wirkungsgrad 1:

${F_{mt2}} = {F_{mt1}} \cdot \eta = 1156N \cdot 1 = 1156N$

Für die Axialkraft gilt:

${F_{a1}} = {F_{mt1}} \cdot \tan \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( {{\delta _1}} \right)$

Der Eingriffswinkel $\alpha$ ist gegeben als $\alpha = 20^\circ$ .

Es folgt:

${F_{a1}} = {F_{mt1}} \cdot \tan \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( {{\delta _1}} \right) = 1156N \cdot \tan \left( {20^\circ } \right) \cdot \sin \left( {21,8^\circ } \right) = 156,2N$

${F_{a2}} = {F_{r1}}$

Radialkraft:

${F_{r1}} = {F_{mt1}} \cdot \tan \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( {{\delta _1}} \right) = {F_{a1}} \cdot i = 156,2N \cdot 2,5 = 391N$

${F_{r2}} = {F_{a1}}$

Es sind also nicht die Kräfte gleich, sondern die Axialkraft am Ritzel entspricht der Radialkraft am Rad und andersrum. Dies ist allerdings nur der Fall, wenn der Winkel zwischen den Zahnrädern 90° beträgt.

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