4.2 – Kessel mit Lavaldüse und senkrechtem Verdichtungsstoß

 

In einem Kessel befindet sich Gas mit den Ruhegrößen {T_0} und {p_0}. Über eine Lavaldüse mit dem engsten Querschnitt {A^*} und einem daran angeschlossenen Rohr (Querschnitt {A_3}) strömt es in einen zweiten Behälter. Im divergenten Teil der Lavaldüse bildet sich im Querschnitt {A_1} ein senkrechter Verdichtungsstoß aus. Die Strömung ist mit Ausnahme des Stoßes isentrop.

kessel-ausstrom-vorgang-verdichtungsstos-lavalduse-flache

Gegeben: {T_0} = 500K, {A_1} = 2{A^*}, {A_3} = 5{A^*}, {p_0} = 2,0bar, R = 287\frac{J}{{kgK}}, \kappa = 1,4

  1. Bestimmen Sie die Mach-Zahlen M{a_1} und M{a_2}, Drücke {p_1} und {p_2} und Temperaturen {T_1} und {T_2} vor, bzw. hinter dem Stoß.
  2. Ermitteln Sie die Größen M{a_3}, {p_3} und {T_3} im Rohr.
  3. Berechnen Sie die Ruhegrößen {T_4} und {p_4} im zweiten Behälter.

Lösung

a)

\frac{{{A^*}}}{{{A_1}}} = 0,5

Aus dem Diagramm lesen wir ab:

flache-druck-temperatur-mach-zahl-dichte-verhaltnis-diagramm

M{a_1} = 2,2

Es ergibt sich weiter aus dem Diagramm:

M{a_1} = 2,2\quad \Rightarrow \quad \frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = 0,094

\quad \Rightarrow \quad {p_1} = 0,188bar

Temperatur:

\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}} = {\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)^{-1}}\quad \Rightarrow \quad {T_1} = 254,06K

Druck hinter dem Stoß:

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {M{a_1}-1} \right)\quad \Rightarrow \quad {p_2} = 5,48{p_1} = 1,030bar

Geschwindigkeiten:

\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_2}}}{{M{a_1}\sqrt {\kappa R{T_1}} }} = 1-\frac{2}{{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1}{{Ma_1^2}}} \right)\quad \Rightarrow \quad {u_2} = 238,6\frac{m}{s}

Daraus ergibt sich die Machzahl:

M{a_2} = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt {\kappa R{T_2}} }}

Es wird die Temperatur hinter dem Stoß benötigt. Hier dürfen wir nicht die Isentropenbeziehung anwenden! Statt dessen benutzen wir eine Energiebilanz:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_p}{T_1}+\frac{{u_1^2}}{2} = {c_p}{T_2}+\frac{{u_2^2}}{2}} \\{{c_p} = \frac{{\kappa R}}{{\kappa -1}}} \\ \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad {T_2} = {T_1}+\frac{{\left( {Ma_1^2\kappa R{T_1}-u_2^2} \right)\left( {\kappa -1} \right)}}{{2\kappa R}} = 472,6K

Es ergibt sich für die Machzahl:

M{a_2} = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt {\kappa R{T_2}} }} = 0,55

b)

Wir ermitteln nun die Größen im Rohr. Hierzu bestimmen wir A_2^*, {T_{t2}} und {p_{t2}} als neue Bezugsgrößen. Der Index t steht für „total“, hier wird jeweils der statische Anteil und der Geschwindigkeitsanteil (dynamischer Anteil) zusammengefasst in einer Größe:

{p_{t1}} = {p_1}+\frac{\rho }{2}u_1^2 = {p_2}+\frac{\rho }{2}\underbrace {u_2^2}_0

A_2^* ist der engste Querschnitt einer fiktiven Lavaldüse, in der es keinen Verdichtungsstoß gibt. Wir benutzen das Diagramm aus Teilaufgabe a):

M{a_2} = 0,55\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad \frac{{A_2^*}}{{{A_2}}} = 0,797

{A_2} = 2{A^*}\quad \Rightarrow \quad \frac{{A_2^*}}{{{A^*}}} = 1,594

Nun müssen wir das Totaldruckverhältnis bestimmen. Dies machen wir mit folgendem Diagramm:

mach-zahl-stoswinkel-umlenkwinkel-druck-verhaltnis-verdichtung-schrag

M{a_1} = 2,2\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad \frac{{{p_{t2}}}}{{{p_{t1}}}} = 0,6281

{p_{t1}} = {p_0}\quad \Rightarrow \quad {p_{t2}} = 1,2562bar

Wegen {A_3} = 5{A^*} folgt:

\frac{{A_2^*}}{{{A_3}}} = \frac{{A_2^*}}{{5{A^*}}} = 1,594 \cdot \frac{1}{5} = 0,3184

Aus dem oberen Diagramm können wir damit ablesen:

\frac{{A_2^*}}{{{A_3}}} = 0,3184\quad \Rightarrow \quad M{a_3} = 0,19

\frac{{{p_3}}}{{{p_{t2}}}} = 0,9751\quad \Rightarrow \quad {p_3} = 1,225bar

\frac{{{T_3}}}{{{T_{t2}}}} = 0,9928\quad \Rightarrow \quad {T_3} = 469,4K

c)

Zuletzt bestimmen wir nun noch die geforderten Ruhegrößen.

{T_4} = {T_0} = 500K

M{a_3} < 1\quad \Rightarrow \quad {p_4} = {p_3} = 1,225bar