04.2 – kinetische, potentielle und Gesamtenergie eines Satelliten

 

Bestimmen Sie für einen Satelliten der Masse m = 1000kg auf einer Kreisbahn mit dem Radiusr = 7000km um den Erdmittelpunkt

a )

kinetische, potentielle sowie Gesamtenergie

b )

Drehimpuls

c )

Welche Werte hätten diese Größen, wenn sich der Satellit
1) Auf der Erdbahn
2) Auf der Jupiterbahn um die Sonne bewegen würde?

Lösung

a )

Durch ein Kräftegleichgewicht (siehe Aufgabe 4.1) lässt sich zeigen, dass

v = \sqrt {\frac{\mu }{r}}

Dies setzen wir in die Gleichung für die kinetische Energie ein:

{E_{kin}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m\frac{{{\mu _E}}}{r} = 2,874 \cdot {10^{10}}J

Die potentielle Energie ist definiert als die Energie, die benötigt wird, um den Körper von der aktuellen Position nach r = \infty zu bringen (da dort das Potential 0 ist). Es folgt:

{E_{pot}} = \gamma \frac{{m{M_E}}}{{{r_\infty }}}-\gamma \frac{{m{M_E}}}{r} = -\gamma \frac{{m{M_E}}}{r} = -\frac{{{\mu _E}m}}{r} = -5,694 \cdot {10^{10}}J

{E_{ges}} = {E_{kin}}+{E_{pot}} = -2,847 \cdot {10^{10}}J = -{E_{kin}}

b )

Der Drehimpuls ist das Vektorprodukt aus Radius und Impuls:

\vec H = \vec r \times \vec p = \vec r \times m\vec v

\vec r \bot \vec v\quad \Rightarrow \quad H = rmv = rm\sqrt {\frac{\mu }{r}} = m\sqrt {\mu r} = 5,28 \cdot {10^{13}}Js

c )

Für die Erdbahn um die Sonne ergibt sich:

{\mu _S} = \gamma {M_S} = 1,327 \cdot {10^{20}}\frac{{{m^3}}}{{{s^2}}}

r = 1AE = 1,5 \cdot {10^{11}}m

{E_{kin}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m\frac{{{\mu _S}}}{r} = 4,423 \cdot {10^{11}}J

{E_{pot}} = -\frac{{{\mu _S}m}}{r} = -8,847 \cdot {10^{11}}J

{E_{ges}} = -4,423 \cdot {10^{11}}J = -{E_{kin}}

H = m\sqrt {{\mu _S}r} = 4,46 \cdot {10^{18}}Js

Für die Jupiterbahn um die Sonne ergibt sich:

{\mu _S} = \gamma {M_S} = 1,327 \cdot {10^{20}}\frac{{{m^3}}}{{{s^2}}}

r = 5,2AE = 7,78 \cdot {10^{11}}m

{E_{kin}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m\frac{{{\mu _S}}}{r} = 8,528 \cdot {10^{10}}J

{E_{pot}} = -\frac{{{\mu _S}m}}{r} = -1,706 \cdot {10^{11}}J

{E_{ges}} = -8,528 \cdot {10^{10}}J = -{E_{kin}}

H = m\sqrt {{\mu _S}r} = 1,02 \cdot {10^{19}}Js