!! Z5 – (Klausuraufgabe) Solarkollektor unter Sonneneinstrahlung

 

Sie wollen mit einem selbst gebauten Solarkollektor Wasser erhitzen. Dazu verwenden Sie eine 2x2m große und 3mm dicke Stahlplatte, die von einer Seite mit Wasser überströmt wird (siehe Skizze). Die Oberfläche der Stahlplatte wird mattschwarz lackiert und soll als schwarzer Strahler betrachtet werden. Die Seitenwände und die Rückseite des Kollektors sind ideal isoliert und können daher als adiabat angenommen werden.
Der Kollektor wird von 0,05kg/s Wasser durchströmt. Im windstillen Fall messen Sie eine Wassereintrittstemperatur von {T_{in}} = 18^\circ C und eine Austrittstemperatur von {T_{out}} = 40^\circ C. Die Umgebungstemperatur beträgt {T_{Erde}} = 27^\circ C.

Annahmen:

  • Der Kollektor ist exakt auf die Sonne ausgerichtet.
  • Wärmeübergang durch freie Konvektion kann vernachlässigt werden
  • Längswärmeleitung entlang der Absorberplatte soll vernachlässigt werden
  • Die Oberfläche des Kollektors sei gegenüber der Umgebung klein

Aufgaben:

  1. Berechnen Sie die Strahlungsleistungsdichte auf der Erde mit den gegebenen Daten.
  2. Wie groß ist der Wärmestrom, den das Wasser aufnimmt?
  3. Wie hoch ist die Oberflächentemperatur des Kollektors im windstillen Fall? Stellen Sie dazu eine Energiebilanz an der Kollektoroberfläche auf.

Nun soll zusätzlich ein starker Wind mit u = 25\frac{m}{s} parallel zur Stahlplatte wehen. Näherungsweise soll der Kollektor als längs angeströmte, ebene, dünne Platte betrachtet werden. Da die Kollektorplatte nun durch den Wind zusätzlich gekühlt wird, hat das Wasser am Austritt nur mehr eine Temperatur von 36°C.

  1. Berechnen Sie den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten zwischen Luft und Stahlplatte.
  2. Berechnen Sie die mittlere Oberflächentemperatur, die sich im stationären Fall einstellt. Verwenden Sie als Startwert den berechneten Wert aus Teilaufgabe c) und führen Sie zwei Iterationen durch.

Skizze des Problems:

kollektor-stahlplatte-sonnenstrahlung

Daten zur Aufgabe:

Mittlere Nußeltzahl für eine längs angeströmte, ebene Platte:

Laminar: 10 < \operatorname{Re} < 5 \cdot {10^5},\quad \quad Nu = 0,664 \cdot {\operatorname{Re} ^{\frac{1}{2}}} \cdot {\Pr ^{\frac{1}{3}}}
Turbulent: 5 \cdot {10^5} < \operatorname{Re} < {10^7},\quad \quad Nu = 0,037 \cdot \left( {{{\operatorname{Re} }^{0,8}}-23100} \right) \cdot {\Pr ^{\frac{1}{3}}}

Abstand Erde/Sonne: {a_{ES}} = 1,5 \cdot {10^{11}}m
Radius der Sonne: {r_{Sonne}} = 6,96 \cdot {10^8}m
Temperatur der Sonnenoberfläche: {T_{Sonne}} = 6000K
Stefan-Boltzmann Konstante: {\sigma _S} = 5,67 \cdot {10^{-8}}\frac{W}{{{m^2}{K^4}}}
Transmissivität der Erdatmosphäre für Sonnenlicht: {\tau _S} = 0,8
Transmissivität der Erdatmosphäre für Wärmestrahlung: {\tau _S} = 1
Spezifische Wärmekapazität: c = 4,19 \cdot {10^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}
Kinematische Viskosität der Luft: {\nu _L} = 1,6 \cdot {10^{-5}}\frac{{{m^2}}}{s}
Prandtlzahl der Luft: {\Pr _L} = 0,7
Temperatur der Luft: {T_{Luft}} = 27^\circ C
Wärmeleitfähigkeit der Luft: {k_l} = 0,025\frac{W}{{m \cdot K}}

Lösung

a )

sonne-erde-abstand-bahn-strahlung

\dot s = 1265\frac{W}{{{m^2}}}

b )

\dot Q = \dot m \cdot c \cdot \left( {{T_{out}}-{T_{in}}} \right) = 4609W

c )

Erster Hauptsatz liefert:

\dot s = \dot q+{{\dot q}_{Str.out}}

\dot q = \frac{{\dot Q}}{{L \cdot B}}

{{\dot q}_{Str.out}} = \sigma \cdot \frac{{{A_{12}}}}{{{A_K}}} \cdot \left( {T_{Ob}^4-T_E^4} \right)

{A_E} \gg {A_K}\quad \Rightarrow \quad {A_{12}} = {A_K} \cdot {\varepsilon _K}

{T_{ob}} = \sqrt[4]{ \ldots } = 44,015^\circ C

d )

h = 55\frac{W}{{{m^2}K}}

e )

Gesucht: {T_{Ob}}

\dot s = \dot q+{{\dot q}_{Str.out}}+{{\dot q}_{Konv}}

{{\dot q}_{Konv}} = h \cdot \left( {{T_{Ob}}-{T_L}} \right)

{{\dot q}_{Str.out}} = \sigma \cdot {\varepsilon _K} \cdot \left( {T_{Ob}^4-T_E^4} \right)

\dot q = \frac{{\dot m \cdot c \cdot \left( {T_{out}^\prime -{T_{in}}} \right)}}{{L \cdot B}}

Eine solche Gleichung kann, wenn nichts anderes gefordert ist, wie folgt iterativ gelöst werden:

\dot s = \dot q+\sigma \cdot \left( {T_{Ob}^4-T_E^4} \right)+h \cdot \left( {{T_{Ob}}-{T_L}} \right)

{T_{Ob}} = 305,87-\frac{\sigma }{h}\left( {T_{Ob}^4-T_E^4} \right)

Startwert und Iterationszahl sind in der Prüfung immer gegeben. (hier Startwert aus c)

{\left\{ {{T_{Ob}}} \right\}_1} = 303,81K

{\left\{ {{T_{Ob}}} \right\}_2} = 305,44K

Wenn das Newton-Verfahren gefordert ist:

{x_{n+1}}: = {x_n}-\frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{{f^\prime }\left( {{x_n}} \right)}}

0 = f = -{T_{Ob}}+305,87-\frac{\sigma }{h}\left( {T_{Ob}^4-T_E^4} \right)

{f^\prime } = -1-4\frac{\sigma }{h}T_{Ob}^3

{\left\{ {{T_{Ob}}} \right\}_0} = 317K

{\left\{ {{T_{Ob}}} \right\}_1} = 317-\frac{{305,87-317-\frac{{5,67 \cdot {{10}^{-8}}}}{{55}}\left( {{{317}^4}-{{300}^4}} \right)}}{{-1-\frac{\sigma }{h} \cdot 4 \cdot {{317}^3}}} = 305,3K

{\left\{ {{T_{Ob}}} \right\}_2} = 305,3K

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