!! Z4 – (Klausuraufgabe) Sonnenbestrahlte Halbkugel auf der Erde

 

Gegeben ist eine Halbkugel auf der Erde, die von der Sonne bestrahlt wird:

halbkugel-erde-sonne-strahlung

Gesucht:

  1. Wellenlänge des Strahlungsmaximums der Sonnenstrahlung bei {T_S} = 6000K und für die Oberflächenstrahlung der Erde bei Strahlungsgleichgewicht bei T_E^\prime = 293K
  2. Oberflächentemperatur {T_{Erde}} bei Strahlungsgleichgewicht zwischen Erde und Sonne unter Berücksichtigung der Transmission der Atmosphäre

    kugelschale-transmission-reflexion-strahlung

    Abstand Erde/Sonne: {a_{ES}} = 1,5 \cdot {10^{11}}m
    Radius Sonne: {r_S} = 6,96 \cdot {10^8}m
    Temperatur Sonnenoberfläche: {T_S} = 6000K
    Erde und Sonne können als schwarze Strahler betrachtet werden.

  3. Oberflächentemperatur der Halbkugel {T_K} bei freier Konvektion
    N{u_d} = 430,25

    {k_{Kugelschale}} = 2,0\frac{W}{{m \cdot K}}

    {k_{Luft}} = 0,0257\frac{W}{{m \cdot K}}

    {h_{Kugelinnenseite}} = 8\frac{W}{{{m^2}K}}

Lösung

Dies ist eine ehemalige Klausuraufgabe. Nach jeder Rechnung ist angegeben, wie viele Punkte diese in der Klausur gebracht hat.

a )

Wiensches Verschiebungsgesetz:

{\left( {\lambda T} \right)_{\max} } = 2900\mu m \cdot K

{\lambda _{{\max} ,6000K}} = \frac{{2900\mu m \cdot K}}{{6000K}} = 0,483\mu m

{\lambda _{{\max} ,293K}} = \frac{{2900\mu m \cdot K}}{{293K}} = 9,89\mu m

(2 Punkte für die Formel, je 2 Punkte für die Ergebnisse)

b )

Wir betrachten einen Körper auf der Erde und müssen daher die Transmissivität der Atmosphäre berücksichtigen. Dies ist bei einem Körper im Weltall nicht der Fall.

sonne-erde-abstand-bahn-strahlung

{\dot Q_{Str}} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot {A_S} \cdot T_{Sonne}^4

(2 Punkte)

\dot s = \frac{{\varepsilon \cdot \sigma \cdot 4\pi R_S^2 \cdot T_{Sonne}^4}}{{4\pi \cdot a_{ES}^2}}{\tau _1}

(5 Punkte)

{\lambda _{\max} } < 2\mu m\quad \Rightarrow \quad {\tau _1} = 0,87

\dot s = \frac{{\varepsilon \cdot \sigma \cdot 4\pi R_S^2 \cdot T_{Sonne}^4}}{{4\pi \cdot a_{ES}^2}}{\tau _1} = 1376\frac{W}{{{m^2}}}

(1 Punkt)

\underbrace {\frac{{dU}}{{dt}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\underbrace {\sum {\dot m \cdot {h_{tot}}} }_{ = 0}

(4 Punkte)

{\dot Q_{Abs}} = {\dot Q_{Em}}

(2 Punkte)

{\dot Q_{Abs}} = {\alpha _{Erde}} \cdot \dot s \cdot {A_{proj}} = {\alpha _{Erde}} \cdot \dot s \cdot \pi \cdot R_E^2

(4 Punkte)

{\dot Q_{Em}} = {\varepsilon _{Erde}} \cdot \sigma \cdot {A_{Erde}} \cdot T_{Erde}^4 \cdot {\tau _2}

(2 Punkte)

Kirchhoff: \alpha = \varepsilon

(2 Punkte)

{\lambda _{\max} } > 2\mu m\quad \Rightarrow \quad {\tau _2} = 0,85

(1 Punkt)

{A_{Erde}} = 4\pi R_E^2

(2 Punkte)

{T_{Erde}}\sqrt[4]{{asd}} = 290,6K

(1 Punkt)

c )

kugelschale-transmission-reflexion-strahlung

{\dot Q_S} = {\dot Q_K}+{\dot Q_{Ein}}

(2 Punkte)

{\dot Q_{Ein}} = \frac{{\Delta T}}{R} = \frac{{{T_R}-{T_i}}}{R}

(2 Punkte)

R = \frac{1}{{0,5\pi }}\left( {\frac{1}{{d_i^2}}+\frac{{\frac{1}{{{d_j}}}+\frac{1}{{{d_{j+1}}}}}}{{2{k_j}}}} \right) = 0,00306\frac{K}{W}

(3 Punkte)

{\dot Q_K} = {h_a} \cdot {A_a} \cdot \left( {{T_R}-{T_U}} \right)

(4 Punkte)

Nu = 430,25\quad \Rightarrow \quad \frac{{{h_a} \cdot {d_a}}}{{{k_{Luft}}}} = 430,25\quad \Rightarrow \quad {h_a} = 1,783\frac{W}{{{m^2}K}}

(3 Punkte)

{\dot Q_S} = \alpha \cdot \dot s \cdot {A_{proj}}

(2 Punkte)

\alpha = \varepsilon
{T_R} = 330,7K

(1 Punkt)

Temperaturverlauf:

kugelschale-temperaturverlauf-radius