17 – Klemmverbindung mit Axialkraft und Torsion

Die Verschraubung der unten dargestellten geteilten Scheibennabe besteht aus zwei Sechskantschrauben DIN EN 24014 M10 – 8.8. An der Stange greift die schwellend wirkende Kraft F = 30kN , an der Welle das Torsionsmoment ${M_t} = 150Nm$ in der angegebenen Weise an.

klemmverbindung-axialkraft-torsion-aufgabe

Weiterhin sind gegeben:

Reibungskoeffizienten
- Zwischen Flansch und Welle: $\mu = 0,1$
- Unter der Kopfauflage: ${\mu _A} = 0,15$
- Im Gewinde: ${\mu _G} = 0,13$
Elastizität von Schraube und Flansch: $E = 210000\frac{N}{{m{m^2}}}$
Schlüsselweite:

Aufgaben:

17.1 Ermitteln Sie die Vorspannkraft einer Schraube, wenn Sie beim Anziehen mit 90% ihrer Streckgrenze belastet werden soll.

17.2 Ermitteln Sie das hierfür erforderliche Anzugsmoment.

17.3 Bestimmen Sie die sich hieraus ergebende Restklemmkraft des Flansches unter der Bedingung, dass kein Durchrutschen der Klemmverbindung stattfindet.

17.4 Ermitteln Sie die Steifigkeit von Schraube und Flansch ohne Berücksichtigung der Federung von Schraubenkopf und Mutter.

17.5 Zeichen Sie das zugehörige Verspannungsschaubild in umseitiges Diagramm.

17.6 Überprüfen Sie die Schraubenfestigkeit.

Lösung

17.1 Ermittlung der Vorspannkraft bei gegebener Streckgrenze

Es gilt:

${F_{V,zul}} = \frac{{0,9{R_e}\pi d_s^2}}{4}{\left\{ {1+3\left[ {2\frac{{{d_2}}}{{{d_s}}}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)} \right]^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}}$

Die Daten der Schraube M10 lesen wir aus der Tabelle zu metrischen Regelgewinden ab:

tabelle-schraubendaten

Es gilt:

Flankendurchmesser: ${d_2} = 9,026mm$

Spannungsdurchmesser: ${d_s} = \sqrt {\frac{{4{A_s}}}{\pi }} = \sqrt {\frac{{4 \cdot 58m{m^2}}}{\pi }} = 8,593mm$

Steigungswinkel: $\alpha = 3,03^\circ$

Effektiver Reibwinkel: ${\rho ^\prime } = \arctan \left( {\frac{{{\mu _G}}}{{\cos \left( {\frac{\beta }{2}} \right)}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{0,13}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}}} \right) = 8,54^\circ$

Streckgrenze: ${R_e} = 0,8 \cdot 8 \cdot 100\frac{N}{{m{m^2}}} = 640\frac{N}{{m{m^2}}}$

Der Wert für die Streckgrenze folgt aus der Festigkeitsklasse 8,8 der Schraube. Die erste 8 steht für 1/100 der Mindestzugfestigkeit ${R_m}$ , die zweite 8 für das 10-fache des Quotienten aus Streckgrenze und Mindestzugfestigkeit:

$\frac{1}{{100}}{R_m} = 8\quad \Rightarrow \quad {R_m} = 800$

$10 \cdot \frac{{{R_e}}}{{{R_m}}} = 8\quad \Rightarrow \quad {R_e} = \frac{8}{{10}}{R_m} = \frac{{8 \cdot 800}}{{10}} = 640$

Eingesetzt in die Formel für die Vorspannkraft:

${F_{V,zul}} = \frac{{0,9{R_e}\pi d_s^2}}{4}{\left\{ {1+3\left[ {2\frac{{{d_2}}}{{{d_s}}}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)} \right]^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}}$

$=\frac{{0,9 \cdot 640\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot \pi \cdot {{\left( {8,593mm} \right)}^2}}}{4}{\left\{ {1+3\left[ {2\frac{{9,026mm}}{{8,593mm}}\tan \left( {3,03^\circ +8,54^\circ } \right)} \right]^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}}$

$=2,68 \cdot {10^4}N = 26,8kN$

17.2 – Ermittlung des Anzugsmoments

Die Formel für das Anzugsmoment lautet:

${M_A} = \frac{1}{2}{F_{V,zul}}\left[ {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _A}{d_A}} \right]$

Dabei bekommen wir den Reibungskoeffizienten unter der Kopfauflage ${\mu _A}$ aus der Aufgabenstellung: ${\mu _A} = 0,15$ .

Für den Durchmesser der Kopfauflage gilt als Faustregel: ${d_A} = 1,4{d_2}$

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

${M_A} = \frac{1}{2}{F_{V,zul}}\left[ {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _A}{d_A}} \right]$

$=\frac{1}{2} \cdot 2,68 \cdot {10^4}N \cdot \left[ {9,026mm \cdot \tan \left( {3,03^\circ +8,54^\circ } \right)+0,15 \cdot 1,4 \cdot 9,026mm} \right]$

$=5,016 \cdot {10^4}Nmm = 50Nm$

17.3 – Restklemmkraft des Flansches

Die Schraubenklemmkraft ist erforderlich, um das Drehmoment ${M_t}$ sicher über die Klemmverbindung übertragen zu können. Die zusätzlich wirkende Kraft besitzt keinen Einfluss auf die Klemmverbindung.

Für eine Klemmverbindung mit geteilter Nabe, wie hier vorliegend, gilt:

${F_{Kl,erf}} = \frac{{2{M_t}}}{{z\mu {D_F}\pi }}$

Dabei steht z = 2 für die Anzahl der Schrauben, $\mu = 0,1$ (Aufgabenstellung) für den Reibkoeffizient zwischen Flansch und Welle und ${D_F} = 50mm$ (technische Zeichnung in der Aufgabenstellung) für den Fügedurchmesser, also den Durchmesser der eingeklemmten Welle.

Wir setzen die Werte ein:

${F_{Kl,erf}} = \frac{{2{M_t}}}{{z\mu {D_F}\pi }} = \frac{{2 \cdot 150 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{2 \cdot 0,1 \cdot 50mm \cdot \pi }} = 9,5 \cdot {10^3}N = 9,5kN$

17.4 – Steifigkeit von Schraube und Flansch

Schraube:

Beim Vorspannen einer Schraube wird diese gedehnt und die dazwischen liegenden
Bauteile (Flansche) gestaucht; die Dehnung der Schraube bzw. die Stauchung der Flansche ist abhängig von der jeweiligen Steifigkeit. Die Steifigkeit einer Schraube lässt sich analytisch verhältnismäßig einfach in guter Näherung bestimmen. Man denkt sich hierbei die Schraube als Reihenschaltung von zylindrischen Ersatzelementen mit Länge ${l_i}$ und Durchmesser ${d_i}$ und bestimmt aus deren Einzelsteifigkeiten die Gesamtsteifigkeit. Für den Gewindebolzen
rechnet man näherungsweise mit dem Spannungsdurchmesser ${d_s}$ . Die Steifigkeit des Schraubenkopfes und die Verschiebung der Mutter werden meist vernachlässigt.

Für die (Feder-)Steifigkeit einer Schraube gilt:

$\frac{1}{{{c_S}}} = \frac{1}{E}\left( {\frac{{{l_1}}}{{{A_1}}}+\frac{{{l_2}}}{{{A_2}}}} \right)\quad \Rightarrow \quad {c_S} = \frac{{{E_S}}}{{\frac{{{l_1}}}{{{A_1}}}+\frac{{{l_2}}}{{{A_2}}}}}$

Dabei steht ${E_S} = E = 210000\frac{N}{{m{m^2}}}$ für den E-Modul der Schraube (Aufgabenstellung).

Die Länge des Schraubenschafts ${l_1}$ können wir wie folgt berechnen:

${l_1} = 63mm-13mm = 50mm$

Die Länge ${l_2}$ des Gewindes im Flansch ergibt sich ebenfalls aus der Zeichnung: ${l_2} = 13mm$ .

${A_1}$ steht für den Querschnitt des Schraubenschaftes. Es gilt:

${A_1} = \pi r_1^2 = \pi \frac{{d_1^2}}{4} = \pi \cdot \frac{{{{\left( {10mm} \right)}^2}}}{4} = 78m{m^2}$

Das Gewinde hat keinen eindeutigen Querschnitt ${A_2}$ , daher benutzen wir den Spannungsquerschnitt als Ersatzquerschnitt:

${A_2} = {A_S} = 58m{m^2}$ (aus der Tabelle „metrische ISO-Gewinde“)

Wir setzen alle Werte in die Formel für die Steifigkeit ein:

${c_S} = \frac{{{E_S}}}{{\frac{{{l_1}}}{{{A_1}}}+\frac{{{l_2}}}{{{A_2}}}}} = \frac{{210000\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{\frac{{50mm}}{{78m{m^2}}}+\frac{{13mm}}{{58m{m^2}}}}} = 2,427 \cdot {10^5}\frac{N}{{mm}}$

Flansch:

Die Bestimmung der Steifigkeit der verschraubten Flansche ist schwieriger, da offen bleibt, welche Bereiche der Flansche an der Verformung teilnehmen. Gedankenspiele und Untersuchungen ergeben, dass sich die druckbeanspruchte Zone im Flansch von der Auflagefläche des Schraubenkopfes ausgehend zur Trennfuge hin verbreitern. Für die analytische Bestimmung der Steifigkeit verschraubter Flansche wurden verschiedene Modelle entwickelt, zunächst von Rötscher, später von Weiss-Wallner und anderen. Aus diesen Überlegungen heraus lässt sich ein Ersatzzylinder bestimmen, der für die Berechnung der Steifigkeit der verschraubten Flansche herangezogen werden kann.

Für die (Feder-)Steifigkeit des Flansches gilt demnach:

${c_F} = \frac{{{E_F}{A_F}}}{{{l_F}}}$

Dabei steht ${E_F} = E = 210000\frac{N}{{m{m^2}}}$ für den E-Modul des Flansches und ${l_F}$ für die Klemmlänge der verspannten Flansche. Diese beträgt laut der technischen Zeichnung in der Aufgabenstellung ${l_F} = 63mm$ .

${A_F}$ ist die Fläche des Ersatzzylinders nach Weiss-Wallner für Stahl. Es gilt die Formel:

${A_F} = \frac{\pi }{4}\left[ {{{\left( {s+\frac{1}{{10}}{l_F}} \right)}^2}-d_i^2} \right]$

Mit Schlüsselweite s = 16mm für ein M10 Gewinde (Aufgabenstellung). ${d_i} = 11mm$ steht für den Innendurchmesser der Bohrung.

Durch Einsetzen der Werte in die Formel für die Fläche des Ersatzzylinders erhalten wir:

${A_F} = \frac{\pi }{4}\left[ {{{\left( {s+\frac{1}{{10}}{l_F}} \right)}^2}-d_i^2} \right]$

$=\frac{\pi }{4}\left[ {{{\left( {16mm+\frac{1}{{10}} \cdot 63mm} \right)}^2}-{{\left( {11mm} \right)}^2}} \right] = 295,5m{m^2}$

Dies setzen wir in die Formel für die Steifigkeit des Flansches ein:

${c_F} = \frac{{{E_F}{A_F}}}{{{l_F}}} = \frac{{210000\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot 295m{m^2}}}{{63mm}} = 9,833 \cdot {10^5}\frac{N}{{mm}}$

17.5 – Zeichnen des Verspannungsschaubildes

Bevor wir das Verspannungsschaubild zeichnen können, müssen wir noch drei Größen berechnen:

Schraubendehnung: $\Delta {l_S} = \frac{{{F_{V,zul}}}}{{{c_S}}} = \frac{{26,8kN}}{{243\frac{{kN}}{{mm}}}} = 0,11mm$

Flanschstauchung: $\Delta {l_F} = \frac{{{F_{V,zul}}}}{{{c_F}}} = \frac{{26,8kN}}{{983\frac{{kN}}{{mm}}}} = 0,027mm$

Betriebskraft (rein schwellend): ${F_{B,\min }} = 0kN,\quad {F_{B,\max }} = \frac{F}{z} = \frac{{30kN}}{2} = 15kN$

Zum Erstellen des Schaubildes müssen wir zunächst die Vorspannkraft ${F_{V,zul}}$ und die Dehnung der Schraube $\Delta {l_S}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen:

verspannungsschubild-schraube-flansch

Anschließend wird die Kennlinie der Schraube gezeichnet. Sie verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems und den Schnittpunkt der beiden bereits gezeichneten Linien für Vorspannkraft und Schraubendehnung. Dann wird die Stauchung des Flansches eingezeichnet. Hierzu wird die Strecke, um die der Flansch gestaucht wird im Anschluss an die Dehnung der Schraube aufgetragen. Die Kennlinie des Flansches verläuft vom so erhaltenen Punkt auf der Längen-Achse zum Schnittpunkt der bereits gezeichneten Linien:

verspannungsschubild-schraube-flansch

Das Schaubild zeigt jetzt die Verspannung von Schraube und Flansch ohne das Angreifen einer Betriebskraft. Um die Betriebskraft einzeichnen zu können, muss die Strecke berechnet werden, die den 15kN für die maximal auftretende Betriebskraft pro Schraube entspricht. Die Strecke wird dann so in das Schaubild eingezeichnet, dass eine senkrechte Linie der entsprechenden Länge genau zwischen den beiden Kennlinien für Schraube und Flansch liegt. (Die Linie endet jeweils am Schnittpunkt mit den Kennlinien):

verspannungsschubild-schraube-flansch

Aus dem Verspannungsschaubild können jetzt folgende Werte abgelesen werden.

verspannungsschubild-schraube-flansch

Anteil der Betriebskraft, der auf die Dehnung der Schraube wirkt:

${F_{BS\max }} = {F_{B,\max }}\frac{{{c_S}}}{{{c_S}+{c_F}}} = 3kN$

Vorhandene Restklemmkraft pro Schraube:

${F_{Kl,vor}} = \left( {{F_{V,zul}}+{F_{BS}}-{F_{B,\max }}} \right) = 14,8kN \geq {F_{Kl,erf}}\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung!

17.6 – Überprüfung der Schraubenfestigkeit

Die Schraube muss bei schwellender Belastung sowohl gegen plastische Verformung (Fließen) als auch gegen Dauerbruch abgesichert werden.

Statisch (Fließen):

Bei Vorspannung auf 90% der Streckgrenze muss die durch die Belastung auftretende Spannung kleiner sein als die restlichen 10% der Streckgrenze:

${\sigma _{BS,zul}} = \frac{{{F_{BS,zul}}}}{{{A_S}}} \leq 0,1{R_e}$

Wir stellen um und erhalten für die zulässige Betriebskraft:

${F_{BS,zul}} = 0,1 \cdot {R_e} \cdot {A_S} = 0,1 \cdot 640\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot 58m{m^2} = 3712N$

Aus dem Verspannungsschaubild haben wir erfahren, dass der Anteil der Betriebskraft, der auf die Schraube wirkt, ${F_{BS\max }} = 3000N$ beträgt. Diese Kraft ist kleiner als die zulässige, daher ist die Festigkeit gegeben.

Schwellend (Dauerbruch):

Damit hier die geforderte Festigkeit gegeben ist, muss gelten:

${\sigma _a} = \frac{{{F_a}}}{{{A_S}}} \leq \frac{{{\sigma _A}}}{{{S_D}}}$

mit

${F_a} = \frac{{{F_{BS\max }}-{F_{BS\min }}}}{2} = \frac{{3kN-0kN}}{2} = 1,5kN$

Die minimale Kraft ist hier 0, da die Belastung schwellend ist.

Einsetzen:

${\sigma _a} = \frac{{{F_a}}}{{{A_S}}} = \frac{{1,5kN}}{{58m{m^2}}} = 26\frac{N}{{m{m^2}}}$

Anhaltswerte für die auf den Spannungsquerschnitt ${A_S}$ bezogene Dauerhaltbarkeit hochfester Schrauben bei Schwingspielzahlen von ${N_D} \geq 2 \cdot {10^6}$ :

Schlussvergütet (SV, elastisch): ${\sigma _{ASV}} = 0,85\frac{N}{{m{m^2}}}\left( {\frac{{150mm}}{d}+45} \right)$

Schlussvergütet (SV, überelastisch): ${\sigma _{ASV\ddot u}} = 0,60\frac{N}{{m{m^2}}}\left( {\frac{{150mm}}{d}+45} \right)$

In unserem Fall handelt es sich um ersteres, wir setzen also ein:

${\sigma _{ASV}} = 0,85\frac{N}{{m{m^2}}}\left( {\frac{{150mm}}{d}+45} \right) = 0,85\frac{N}{{m{m^2}}}\left( {\frac{{150mm}}{{10mm}}+45} \right) = 51\frac{N}{{m{m^2}}}$