05.1 – Konsistenz und Stabilität des finite-Differenzen-Verfahrens

 

Es soll das Randwertproblem

-\Delta u = f\quad in\:\:\Omega

u = 0\quad auf\:\:\partial \Omega

mit finiten Differenzen (Fünf-Punkte-Stern) gelöst werden.

a )

Zeigen Sie, dass diese Diskretisierung Konsistenzordnung 2 hat.

b )

Zeigen Sie, dass das Verfahren stabil ist. Was folgt für die Konvergenz?

Lösung

a )

Für Konsistenzordnung 2 muss man zeigen:

{\left\| {{\Delta _h}{R_h}u-{R_h}\Delta u} \right\|_{{\Omega _h}}} = O\left( {{h^2}} \right)

Taylorentwicklung ergibt:

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\left( {{x_i},{y_i}} \right) = \frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{i+1,j}}+{u_{i-1,j}}-2{u_{i,j}}} \right)+O\left( {{h^2}} \right)

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}\left( {{x_i},{y_i}} \right) = \frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{i,j+1}}+{u_{i,j-1}}-2{u_{i,j}}} \right)+O\left( {{h^2}} \right)

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten:

-{R_h}\Delta u = -{\Delta _h}{R_h}u+O\left( {{h^2}} \right)

Daraus folgt direkt die Behauptung.

b )

Für Stabilität muss gelten:

{\left\| {{v_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} \leq {C_S}{\left\| {{\Delta _h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}}

für beliebige Gitterfunktion {v_h} mit {v_h} = 0\:\:auf\:\partial {\Omega _h}

Wir betrachten das Differenzenverfahren:

-{\Delta _h}{u_h} = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{i+1,j}}+{u_{i-1,j}}+{u_{i,j+1}}+{u_{i,j-1}}-4{u_{i,j}}} \right) = {f_{i,j}}\:\forall \left( {{x_i},{y_i}} \right) \in {\Omega _h}

Diese Formel wurde in der vorherigen Aufgabe gezeigt.

Angenommen {\Delta _h}{v_h} = 0. Dann folgt wegen {v_h} = 0 auf \partial {\Omega _h} mit dem diskreten Vergleichsprinzip, dass {v_h} = 0 auf \overline {{\Omega _h}} sein muss. Damit ist die Stabilität erfüllt.

Sei nun {\left\| {{\Delta _h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}} > 0. Setze {\tilde v_h} = \frac{{{v_h}}}{{\left\| {{\Delta _h}{v_h}} \right\|}}\quad \Rightarrow \quad -{\Delta _h}{\tilde v_h} = {\tilde f_h}

mit -1 \leq \tilde f\left( {x,y} \right) \leq 1\quad \forall \left( {x,y} \right) \in {\Omega _h}

{\tilde v_h} = 0\quad auf\:\partial {\Omega _h}

Definiere die Hilfsfunktion w\left( {x,y} \right) = \frac{1}{4}\left( {{\rho ^2}-{x^2}-{y^2}} \right), wobei \rho so groß ist, dass

\Omega \subset \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}|{x^2}+{y^2} < {\rho ^2}} \right\}

5-Punkte-Stern angewandt auf die Hilfsfunktion:

-{\Delta _h}w = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{w_{i+1,j}}+{w_{i-1,j}}+{w_{i,j+1}}+{w_{i,j-1}}-4{w_{i,j}}} \right)

= -\frac{1}{{4{h^2}}}\left( {\underbrace {{\rho ^2}-{{\left( {{x_i}+h} \right)}^2}-y_j^2}_{ = 4{w_{i+1,j}}}+\underbrace {{\rho ^2}-{{\left( {{x_i}-h} \right)}^2}-y_j^2}_{ = 4{w_{i-1,j}}}+\underbrace {{\rho ^2}-x_i^2-{{\left( {{y_j}+h} \right)}^2}}_{ = 4{w_{i,j+1}}}} \right.

\left. {+\underbrace {{\rho ^2}-x_i^2-{{\left( {{y_j}-h} \right)}^2}}_{ = 4{w_{i,j-1}}}-4\left( {{\rho ^2}-x_i^2-y_i^2} \right)} \right)

= -\frac{1}{{4{h^2}}}\left( {-4{h^2}} \right) = 1

Daraus ergibt sich

-{\Delta _h}{{\tilde v}_h} \leq -{\Delta _h}w\quad in\:\:\Omega

{{\tilde v}_h} = 0 \leq {w_h}\quad auf\:\partial {\Omega _h}

Mit dem Vergleichsprinzip folgt daraus:

{\tilde v_h} \leq {w_h} \leq \frac{1}{4}{\rho ^2}\quad in\:\:{\Omega _h}

Analog ergibt sich mit \overline {{w_h}} = -{w_h}, dass {\tilde v_h} \geq \overline {{w_h}} = -{w_h} \geq -\frac{1}{4}{\rho ^2}

Also folgt insgesamt:

-\frac{1}{4}{\rho ^2} \leq {{\tilde v}_h} \leq \frac{1}{4}\rho

\quad \Rightarrow \quad \frac{{\left\| {{v_h}} \right\|}}{{\left\| {{\Delta _h}{v_h}} \right\|}} = \left\| {{{\tilde v}_h}} \right\| \leq \frac{1}{4}{\rho ^2}

\quad \Rightarrow \quad \left\| {{v_h}} \right\| \leq \frac{1}{4}{\rho ^2}\left\| {{\Delta _h}{v_h}} \right\|

Damit haben wir die Stabilität bewiesen.

Konvergenz ergibt sich automatisch.

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