2.2 – Kräfte und maximale Flugstrecke im Gleitflug

 
  1. Stellen Sie die Gleichungen des stationären Gleitflugs auf (Skizze der angreifenden Kräfte)
  2. Begründen Sie – ausgehend von a) – mit welcher Geschwindigkeit und mit welchem Auftriebsbeiwert geflogen werden muss, wenn das Flugzeug möglichst weit fliegen soll (Windstille)
  3. Welche maximale Flugstrecke ergibt sich bei einem Höhenunterschied von 1km für ein Hochleistungssegelflugzeug mit den folgenden Daten? {C_{W0}} = 0,01,\quad k = 0,01
  4. Wie ändern sich der Gleitwinkel und die Fluggeschwindigkeit qualitativ, wenn der Pilot den Auftriebsbeiwert {C_A} verkleinert (Begründung!)?

Lösung 2.2

a)

kraftegleichgewicht-gleitflug-sinken

Kräftegleichgewicht:

{x_a}-Richtung: -W+mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = 0

{z_a}-Richtung: -A+mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right) = 0

Energiebilanz mit \sin \left( {-\gamma } \right) = \frac{{\Delta H}} {{\Delta s}}:

mg \cdot \Delta H = W \cdot \Delta s\qquad \overset{\wedge}{=}\qquad \Delta {E_{pot}} = \Delta {E_{Reibung}}

b)

Mit \Delta {x_{\max }} = \frac{{\Delta H}} {{{\varepsilon _{\min }}}} ergibt sich (wie in Aufgabe 2.1 beschrieben), dass mit dem min. Gleitwinkel

{\varepsilon _{min}} = 2\sqrt {{C_{{W_0}}} \cdot k} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}}

geflogen werden muss.

C_A^* ergibt sich zu C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}

Aus dem Kräftegleichgewicht in {z_g}-Richtung ergibt sich für die Auftriebskraft:

{F^A} = \sqrt {{A^2}+{W^2}} = mg

Mit A = {C_A} \cdot \frac{\rho } {2}{V^2} \cdot S und W = {C_W} \cdot \frac{\rho } {2}{V^2} \cdot S ergibt sich daraus für die Geschwindigkeit:

mg = \sqrt {{A^2}+{W^2}} = \sqrt {{{\left( {{C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S} \right)}^2}+{{\left( {{C_W}\frac{\rho } {2}{V^2}S} \right)}^2}} = \frac{\rho } {2}{V^2}S\sqrt {C_A^2+C_W^2}

{\varepsilon _{\min }} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}}\quad \Rightarrow \quad V = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S\sqrt {C_A^2+C_W^2} }}} = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S{C_A}\sqrt {1+\frac{{C_W^2}} {{C_A^2}}} }}}

{V^*} = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho SC_A^*\sqrt {1+\varepsilon _{\min }^2} }}}

Da in den meisten Fällen \varepsilon _{\min }^2 \ll 1 ergibt sich {V^*} = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho SC_A^*}}}.

c)

Es gilt bei optimalem Gleitwinkel: \frac{{\Delta H}} {{\Delta {x_{g,max}}}} = \varepsilon = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}} = \frac{{2{C_{W0}}}} {{\sqrt {\frac{{{C_{W0}}}} {k}} }} = 2{C_{W0}}\sqrt {\frac{k} {{{C_{W0}}}}} = 2\sqrt {{C_{W0}} \cdot k}

Umgeformt erhält man: \Delta {x_{g,max}} = \frac{{\Delta H}} {{2\sqrt {{C_{{W_0}}}\cdot k} }} = \frac{{1km}} {{2\sqrt {0,01\cdot 0,01} }} = 50km

d)

Wenn der Pilot, ausgehend von dem optimalen Gleitwinkel (bei optimalem Auftriebsbeiwert), den Auftriebsbeiwert {C_A} verkleinert, ergeben sich die folgenden Zusammenhänge:

{C_A}\: \downarrow \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}\:\: \uparrow \quad \Rightarrow \quad \Delta {x_g} = \frac{{\Delta H}} {\varepsilon }\:\: \downarrow

\varepsilon \:\: \uparrow \quad \Rightarrow \quad \gamma = -\arctan \left( \varepsilon \right)\:\: \downarrow

{C_A}\: \downarrow \quad \Rightarrow \quad V = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S{C_A}}}} \:\: \uparrow

Der Winkel wird also steiler, die Geschwindigkeit größer.