2.1 – Kraftegleichgewicht im antriebslosen stationären Gleitflug

 
  1. Stellen Sie das Kräftegleichgewicht im antriebslosen stationären Gleitflug in der aerodynamischen x- und z-Achse auf.
  2. Fassen Sie die in a) aufgestellten Gleichungen zusammen und geben Sie den Gleitwinkel in Abhängigkeit von {C_A} und {C_W} an: \tan \left( {-\gamma } \right) = f\left( {{C_A},{C_W}} \right).
  3. Wie ist die Gleitzahl \varepsilon definiert und welche typischen Minimalwerte hat sie für ein Hochleistungssegelflugzeug und ein Verkehrsflugzeug?
  4. Stellen Sie eine symmetrische Polare dar. Bei welchem {C_A} ist die Gleitzahl minimal?

Lösung 2.1

a)

kraftegleichgewicht-stationarer-gleitflug

Im Gleitflug wird kein Antrieb eingesetzt, d.h. die Höhe des Flugzeugs nimmt ab.
Das Kräftegleichgewicht besteht aus Gewichtskraft, Auftrieb und Widerstand.

{x_a}-Richtung: -W+mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = 0

{z_a}-Richtung: -A+mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right) = 0

Dabei ist zu beachten, dass man zwischen aerodynamischem und geodätischem Koordinatensystem unterscheidet. Das aerodynamische Koordinatensystem geht mit der x-Achse immer von der Flugzeugspitze aus direkt nach vorne (nicht unbedingt waagerecht!).

b)

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {W = mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right)} \\   {A = mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right)} \\   \end{array} \quad } \right\}\quad \Rightarrow \quad \frac{W} {A} = \frac{{\sin \left( {-\gamma } \right)}} {{\cos \left( {-\gamma } \right)}} = \tan \left( {-\gamma } \right)

Es gelten weiter die Formeln für Widerstand und Auftrieb:

W = {C_W}\frac{\rho } {2}{V^2}S\quad \quad A = {C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S

Eingesetzt ergibt sich: \varepsilon = \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{{C_W}\frac{\rho } {2}{V^2}S}} {{{C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S}} = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}

c)

\varepsilon = \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} wird als Gleitzahl bezeichnet. Diese gibt an, um welche Höhendifferenz ein Flugzeug auf einer bestimmten Horizontalflugstrecke absinkt:

\varepsilon = \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{\Delta H}} {{\Delta {x_g}}}

{\varepsilon _{\min }} kann im Polarendiagramm aus der Tangente an die Polare abgelesen werden. Dabei gilt:

Steigung \overset{\wedge}{=}\frac{1} {\varepsilon } = \frac{{{C_A}}} {{{C_W}}}

Aus der Formel für die Flugzeugpolare kann man die Formel {\varepsilon _{\min }} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}} erhalten:

{C_W} = {C_{{W_0}}}+k \cdot C_A^2\quad \xrightarrow{{1/{C_A}}}\quad \varepsilon = \frac{{{C_{{W_0}}}}} {{{C_A}}}+k \cdot {C_A}

Da {\varepsilon _{min}} gesucht wird, kann hier die Ableitung nach {C_A} gleich 0 gesetzt werden:

0 = -\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{C_A^2}}+k\quad \Rightarrow \quad C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}

Eingesetzt in die Flugzeugpolare ergibt sich:

C_W^* = {C_{W0}}+k \cdot C_A^{*2} = {C_{W0}}+k{\left( {\sqrt {\frac{{{C_{W0}}}} {k}} } \right)^2} = {C_{W0}}+k\frac{{{C_{W0}}}} {k} = 2{C_{W0}}

gleitzahl-epsilon-minimalwert-verkehrsflugzeug

Daraus folgt:

{\varepsilon _{\min }} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}} = 2\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} }} = 2\frac{{{C_{{W_0}}}\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} }} {{\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}} = 2k\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} = 2\sqrt {k{C_{{W_0}}}}

Mit den Werten aus Aufgabe 1.5d ergeben sich folgende minimalen Gleitzahlen:

{\varepsilon _{\min ,Segel}} = 2\sqrt {0,01 \cdot 0,015} = 0,02449

{\varepsilon _{\min ,Verkehr}} = 2\sqrt {0,015 \cdot 0,04} = 0,04899

{\varepsilon _{\min ,Kampf}} = 2\sqrt {0,018 \cdot 0,1} = 0,08485

d)

Die Polarengleichung {C_W} = {C_{{W_0}}}+kC_A^2 erzeugt im {C_A},{C_W}-Diagramm eine seitlich gelegte Parabel, die um {C_{{W_0}}} nach rechts verschoben ist:

gleitzahl-epsilon-minimalwert-steigung

Nach Aufgabenteil 2.1c ergibt sich das {\varepsilon _{\min }} bei C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}.