A 03 Z – Kragbalken mit exzentrisch wirkender, umlaufender Masse

 

Gegeben ist ein Kragbalken mit exzentrisch wirkender, umlaufender Masse.

kragbalken-mit-exzentrisch-wirkender-umlaufender-masse

Berechnen Sie näherungsweise die Amplitude der Schwingung (transversal) bei x = l!

Hinweis: Die Dämpfung sei zu vernachlässigen.

Lösung 3 Z

Zur Lösung bilden wir ein äquivalentes Ersatzsystem, welches aus einem Feder-Masse-Schwinger besteht:

freigeschnittenes-system

Wir stellen das Kräftegleichgewicht auf:

F\left( t \right) = {P_0}\sin \left( {2\pi ft} \right)\quad ;\quad \Omega = 2\pi f

m\ddot x+cx = F\left( t \right) = {P_0}\sin \left( {\Omega t} \right)

Gesucht ist nun die Federsteifigkeit c. Dazu wenden wir die Methode der Fremdarbeit (Kraftgrößenmethode) auf den Balken an (vgl. Leichtbau ):

c \overset{\wedge}{=}{c_{Balken}}

{F_{Balken}} = {c_{Balken}} \cdot {x_{Balken}} = {c_{Balken}} \cdot {w_{Balken}}

balken-mit-last

Wir bilden zunächst nun das „0“-System und das „1“-System:

0-system-und-1-system

Die Momentverläufe der beiden Einzelsysteme müssen nun miteinander vereinigt werden:

w = {\delta _{10}} = \frac{1}{{E{I_y}}}\int {{M^{\left( 0 \right)}}{M^{\left( 1 \right)}}dx}

Mithilfe der Koppeltafel aus Leichtbau erhalten wir:

w = \frac{1}{3}F \cdot l \cdot l \cdot l\frac{1}{{E{I_y}}}

\Rightarrow \quad \boxed{c = \frac{F}{w} = \frac{{3E{I_y}}}{{{l^3}}}}

Dies nun unsere Ersatzfedersteifigkeit. Eine Ersatzfeder nutzt man immer dann, wenn man herausfinden will, wie steif etwas ist.

Für die Eigenkreisfrequenz des Schwingfähigen Systems gilt damit:

{\omega _0} = \sqrt {\frac{{{c_B}}}{m}} = \sqrt {\frac{{3E{I_y}}}{{m{l^3}}}}

Zur Lösung der Aufgabe setzen wir nun folgenden Ansatz in die Bewegungsgleichung ein:

{x_p} = {x_s}\sin \left( {\Omega t} \right)

{{\dot x}_p} = \Omega {x_s}\cos \left( {\Omega t} \right)

{{\ddot x}_p} = -{\Omega ^2}{x_s}\sin \left( {\Omega t} \right)

m\ddot x+cx = {P_0}\sin \left( {\Omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad -m{\Omega ^2}{x_s}\sin \left( {\Omega t} \right)+c{x_s}\sin \left( {\Omega t} \right) = {P_0}\sin \left( {\Omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad {x_s} = \frac{{{P_0}}}{{c-m{\Omega ^2}}}\quad ;\quad m = \frac{c}{{\omega _0^2}}

\quad \Rightarrow \quad {x_p}\left( t \right) = \frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{{\left( {\frac{\Omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}}}\sin \left( {\Omega t} \right) = \hat x\sin \left( {\Omega t} \right)\quad ;\quad \quad \eta = \frac{\Omega }{{{\omega _0}}}

Für die Vergrößerungsfunktion V gilt:

V\left( \eta \right) = \frac{{\hat x}}{{\frac{{{P_0}}}{c}}}

Zusätzlich gilt für die Gesamtlösung:

{x_{ges}} = {x_h}+{x_p}

\quad \Rightarrow \quad {x_{ges}} = {A_1}\cos \left( {{\omega _0}t} \right)+{A_2}\sin \left( {{\omega _0}t} \right)+\frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}\sin \left( {\Omega t} \right)

Wir betrachten nun die Anfangsbedingungen:

{x_{ges}}\left( {t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {A_1} = 0

\dot x\left( {t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_{ges}}\left( 0 \right) = {A_2}{\omega _0}+\frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}\Omega = 0

\quad \Rightarrow \quad {A_2} = -\frac{\Omega }{{{\omega _0}}}\frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}} = -\eta \frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}

Damit folgt für die Gesamtlösung:

{x_{ges}} = -\eta \frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}\sin \left( {{\omega _0}t} \right)+\frac{{{P_0}}}{c}\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}\sin \left( {\Omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{x_{ges}}}}{{\frac{{{P_0}}}{c}}} = -\frac{\eta }{{1-{\eta ^2}}}\sin \left( {{\omega _0}t} \right)+\frac{1}{{1-{\eta ^2}}}\sin \left( {\Omega t} \right)

Diagramm:

vergroesserungsfunktion

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{S}\mathcal{W}