A 06 – Kühlung einer Bramme im Stahlwerk

 

In einem Stahlwerk soll eine Bramme kontrolliert abgekühlt werden. Die Bramme hat den Querschnitt 2H \times B und die Länge L. Sie verlässt die Fertigungsstraße mit der einheitlichen Temperatur T\left( {x,t = 0} \right) = {T_0} und durchläuft anschließend mit konstanter Geschwindigkeit eine Strecke mit Kühldüsen. In der folgenden Abbildung ist dies schematisch dargestellt:

stahlbrammen-kuehl-anlage

Annahmen:

  • Der Wärmeübergangskoeffizient h ist über die Lauflänge konstant.
  • Die Wärmeleitfähigkeit ist weder orts- noch temperaturabhängig.

Aufgaben:

  1. Wie lang muss die Kühlstrecke mindestens sein, damit die Bramme maximal die Temperatur {T_M} aufweist?
  2. Wie hoch ist die örtlich gemittelte Temperatur nach der in a) berechneten Zeit?
  3. Welche Wärmemenge wird beim Abkühlen übertragen?

Gegeben:

Länge: L = 6\;{\text{m}}
Breite: B = 0,08\;{\text{m}}
Höhe: 2H = 0,02\;{\text{m}}
Wärmeleitfähigkeit: k = 20\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}
Dichte: \rho = 7800\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^3}}}
Wärmekapazität: c = 500\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}} \cdot {\text{K}}}}
Ausgangstemperatur: {T_0} = 600\;^\circ {\text{C}}
maximale Endtemperatur: {T_M} = 100\;^\circ {\text{C}}
Wärmeübergangskoeffizient: h = 2000\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{K}}}}
Temperatur des Kühlfluids: {T_C} = 20\;^\circ {\text{C}}
Geschwindigkeit: u = 0,1\frac{{\text{m}}}{{\text{s}}}

Lösung

a) Länge der Kühlstrecke

Bei Aufgaben dieser Art versuchen wir zunächst, den einfachsten Ansatz zu benutzen. Dies ist die Methode der Blockkapazität.

stahlbramme

Die Biot-Zahl ist:

{\text{Bi}} = \frac{{hH}}{k} = 1 > 0,2

Die Methode der Blockkapazität darf also nicht angewendet werden. Als nächste Möglichkeit prüfen wir, ob wir die Näherungslösung für lange Zeiten verwenden dürfen.

Näherungslösung für lange Zeiten:

\Theta = {C_1}{e^{-\delta _1^2\tau }}\cos \left( {{\delta _1}\xi } \right)

Normierte maximale Temperatur:

{\Theta _M} = \frac{{{T_M}-{T_C}}}{{{T_0}-{T_C}}} = 0,138

Normierte Koordinate:

\xi = \frac{x}{H}

Die Temperatur ist in der Mitte, also bei x = 0, am höchsten. Wir suchen daher die normierte Temperatur bei \xi = 0:

\Theta \left( {\xi = 0} \right) = {C_1}{e^{-\delta _1^2\tau }}\quad \Rightarrow \quad \tau = -\frac{1}{{\delta _1^2}}\ln \left( {\frac{\Theta }{{{C_1}}}} \right)

Aus der Tabelle der Zahlenwerte für die Näherungslösung erhalten wir:

{C_1} = 1,1191

{\delta _1} = 0,8603

Für die Fourier-Zahl (normierte Zeit) ergibt sich damit:

\tau = 2,829 > {\tau ^*} = 0,25

Die Näherungslösung für lange Zeiten darf also verwendet werden.

{\tau _M}\mathop = \limits^! \frac{{\alpha {t_M}}}{{{H^2}}}\quad \Rightarrow \quad {t_M} = \frac{{{\tau _M}{H^2}}}{\alpha } = \frac{{{\tau _M}{H^2}\rho c}}{k} = 55,146\;{\text{s}}

u = \frac{{{L_k}}}{{{t_M}}}\quad \Rightarrow \quad {L_k} = u{t_M} = 5,51\;{\text{m}}

b) Örtlich gemittelte Temperatur

Die örtlich gemittelte Temperatur erhalten wir durch:

\bar \Theta \left( \tau \right) = \int\limits_0^1 {\Theta \left( {\xi ,\tau } \right)d\xi } = {C_1}{e^{-\delta _1^2\tau }}\frac{{\sin \left( {{\delta _1}} \right)}}{{{\delta _1}}} = 0,121 \overset{\wedge}{=}90,5\;^\circ {\text{C}} = \bar T

c) Wärmemenge

Wir prüfen nun, wie viel Wärme abgeführt wird.

Die vor dem abkühlen vorhandene Wärmemenge beträgt:

{Q_0} = \int\limits_0^L {\frac{{\partial U}}{{\partial x}}dx} = U = mc{T_0} = 2HLB\rho c{T_0}

Die nach dem abkühlen vorhandene Wärmemenge beträgt:

{Q_{Ende}} = mc\bar T = 2HLB\rho c\bar T

Als Differenz ergibt sich dir abgegebene Wärmemenge:

{Q_{abgegeben}} = mc\left( {{T_0}-\bar T} \right)

= 2HLB\rho c\left( {{T_0}-T} \right)

= 19,1 \cdot {10^6}\;{\text{J}}