Vertiefung: Volumen einer Kugel

 

Im Folgenden wird ausführlich erklärt, wie man das Volumen einer Kugel mit Hilfe der Integralrechnung im Kugelkoordinatensystem berechnet.
Zunächst wird dafür als Grundlage hergeleitet, wie man mit der gleichen Methode den Flächeninhalt eines Kreises berechnet.

Flächeninhalt eines Kreises

Aufstellen der Funktion

Wie auf dem Bild zu sehen ist, hängen die X-Koordinate und die Y-Koordinate über den Radius zusammen und es gilt:

r^2  = x^2 +y^2

Nach y umgestellt ergibt sich die Formel für die Kreisfunktion:

y = \sqrt {r^2-x^2 }

Anmerkung: Diese Funktion stellt natürlich keinen kompletten Kreis dar, da sie dann nicht mehr eindeutig wäre. Im Intervall zwischen -r und r ergibt sich durch die Funktion nur ein Halbkreis im positiven y-Bereich, der erst an der x-Achse gespiegelt zu einem Kreis wird.

Berechnung des Flächeninhalts

Um den Flächeninhalt eines kompletten Kreises zu berechnen, muss die oben angegebene Kreisfunktion von -r bis r integriert werden und anschließend das Ergebnis mit 2 multipliziert, da sonst wie gesagt nur ein Halbkreis entsteht:

A = 2\int_{-r}^r {\sqrt {{r^2}-{x^2}} dx}

Das Integral zu berechnen ist nicht trivial, wir nehmen eine Integraltabelle zu Hilfe und erhalten:

A = 2\left[ {\frac{x}{2}\sqrt {{r^2}-{x^2}} +\frac{{{r^2}}}{2}\arcsin \left( {\frac{x}{r}} \right)} \right]_{-r}^r

Einsetzen ergibt:

A = 2\left[ {\left( {\frac{r}{2}\sqrt {{r^2}-{r^2}} +\frac{{{r^2}}}{2}\arcsin \left( {\frac{r}{r}} \right)} \right)-\left( {\frac{{-r}}{2}\sqrt {{r^2}-{{\left( {-r} \right)}^2}} +\frac{{{r^2}}}{2}\arcsin \left( {\frac{{-r}}{r}} \right)} \right)} \right]

A = {r^2}\left[ {\arcsin \left( 1 \right)-\arcsin \left( {-1} \right)} \right]

Es gilt:

\arcsin \left( 1 \right)-\arcsin \left( {-1} \right) = \pi

Also folgt die bekannte Formel:

A = \pi {r^2}

Die Berechnung des komplizierten Integrals kann man vermeiden, indem man Polarkoordinaten verwendet.

Berechnung mit Polarkoordinaten

Wenn hier bei konstantem Radius der Winkel von 0 bis 2p (360°) läuft, so entsteht ein Kreis. Wenn nun für jeden Punkt auf dem Kreis der Radius variiert, ist die ganze Kreisfläche abgedeckt. Verwirklichen kann man das mit einem Doppelintegral. Das eine Integral läuft von 0 bis 2p, das andere von 0 bis r. Beide Integrale zusammen nennt man das Flächenintegral über der Fläche des Kreises:

A = \int\limits_A^{} {\int\limits_{}^{} {dA} }  = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {dA} }

Nun muss noch das dA, das infinitesimal kleine Flächenelement, berechnet werden.
Im kartesischen Koordinatensystem gilt:

dA = dx \cdot dy

Die Variablen x und y müssen nun im Polarkoordinatensystem ausgedrückt werden. Es gilt:

x = r \cdot \cos \left( \phi  \right)

y = r \cdot \sin \left( \phi  \right)

Um nun aber das dA für das transformierte Integral zu berechnen, braucht man die Jakobi-Determinante J. Hierbei handelt es sich um die Determinante (den Betrag) der Jakobimatrix:

dA = J \cdot dr \cdot d\phi

Die Jakobimatrix enthält sämtliche partielle Ableitungen der Transformationsgleichungen nach den neuen Variablen. Es werden also

r \cdot \cos \left( \phi  \right)

und

r \cdot \sin \left( \phi  \right)

nach r und \phi abgeleitet. So entsteht eine Matrix mit 2×2 Einträgen:

J = \det \frac{{\partial \left( {x,y} \right)}} {{\partial \left( {r,\phi } \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial x}}{{\partial r}}} & \frac{{\partial x}}{{\partial \phi }}  \\ \frac{{\partial y}}{{\partial r}} & \frac{{\partial y}}{{\partial \phi }}  \\  \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cos \left( \phi  \right) & -r \cdot \sin \left( \phi  \right)  \\ \sin \left( \phi  \right) & r \cdot \cos \left( \phi  \right)  \\  \end{array} } \right|

J = \cos \left( \phi  \right) \cdot r \cdot \cos \left( \phi  \right)+r \cdot \sin \left( \phi  \right) \cdot \sin \left( \phi  \right) = r \cdot \cos ^2 \left( \phi  \right)+ r\cdot \sin ^2 \left( \phi  \right) = r

Daraus folgt:

dA = J \cdot dr \cdot d\phi  = r \cdot dr \cdot d\phi

Dies kann nun in das Integral eingesetzt werden:

A = \int\limits_A^{} {\int\limits_{}^{} {dA} }  = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {dA} }  = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {r \cdot dr \cdot d\phi } }

Das Integral lässt sich viel leichter lösen als das oben gezeigte Integral der Wurzelfunktion:

\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {r \cdot dr \cdot d\phi } }  = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{1} {2}r^2  \cdot d\phi }  = \frac{1} {2}r^2 \int\limits_0^{2\pi } {d\phi }  = \frac{1} {2}r^2  \cdot 2\pi  = \pi r^2

Das Ergebnis ist die bekannte Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises.

Volumen einer Kugel

Analog zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises kann auch das Volumen einer Kugel im kartesischen Koordinatensystem ausgerechnet werden. Dieser Ansatz führt zu einer noch komplizierteren Gleichung als oben dargestellt und wird hier nicht weiter besprochen.
Die Koordinaten werden statt dessen zunächst in das Kugelkoordinatensystem übertragen:

Transformation der Koordinaten

Man sieht leicht, dass hier gilt:

x = r \cdot \sin \left( \vartheta  \right)\cos \left( \phi  \right)

y = r \cdot \sin \left( \vartheta  \right)\sin \left( \phi  \right)

z = r \cdot \cos \left( \vartheta  \right)

Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnet man nun nicht das Volumen der gesamten Kugel, sondern das Volumen eines Achtels der Kugel:

Da die Kugel symmetrisch ist, muss das Ergebnis anschließend nur mit 8 multipliziert werden.

Aufstellen des Integrals

Um jeden Punkt innerhalb der Achtel-Kugel abzudecken, benötigt man drei Integrale. Das erste (für den einen Winkel) läuft von 0 bis p/2 und erzeugt so bei konstantem anderen Winkel und konstantem Radius eine Viertelkreisbahn. Das zweite Integral (für den zweiten Winkel läuft von jedem Punkt dieser Kreisbahn ausgehend den zweiten Winkel von 0 bis p/2 ab. So entsteht eine Achtel-Kreisschale. Das letzte Integral läuft nun vom Ursprung des Koordinatensystems am Radius entlang zu jedem Punkt dieser Kreisschale. So entsteht ein massiver Kugelausschnitt:

\int\limits_{}^{} {\int\limits_V^{} {\int\limits_{}^{} {dV} } }  = \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {dV} } }

Jetzt muss wieder ein Ersatz für das infinitesimal kleine Volumenelement her, da wir das kartesische dV = dxdydz hier nicht integrieren können.

Die Funktionaldeterminante ist in diesem Fall ein bisschen komplizierter, da die Jakobimatrix dreidimensional ist:

dV = dx \cdot dy \cdot dz = J \cdot dr \cdot d\vartheta  \cdot d\phi

J = \det \frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}} {{\partial \left( {r,\vartheta ,\phi } \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial x}}{{\partial r}} & \frac{{\partial x}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial x}}{{\partial \phi }}  \\ \frac{{\partial y}}{{\partial r}} & \frac{{\partial y}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial y}}{{\partial \phi }}  \\ \frac{{\partial z}}{{\partial r}} & \frac{{\partial z}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial z}}{{\partial \phi }}  \\  \end{array} } \right|

= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \sin \vartheta \cos \phi  & r\cos \vartheta \cos \phi  & -r\sin \vartheta \sin \phi   \\ \sin \vartheta \sin \phi  & r\cos \vartheta \sin \phi  & r\sin \vartheta \cos \phi   \\ \cos \vartheta  & -r\sin \vartheta  & 0  \\  \end{array} } \right|

J = r\cos \varphi \cos \vartheta r\sin \vartheta \cos \varphi \cos \vartheta +r\sin \vartheta \sin \varphi \sin \vartheta \sin \varphi r\sin \vartheta

+ \sin \vartheta \cos \varphi r\sin \vartheta \cos \varphi r\sin \vartheta +r\sin \vartheta \sin \varphi r\sin \varphi \cos \vartheta \cos \vartheta

= r^2 \sin \vartheta \left( {\cos ^2 \vartheta \cos ^2 \varphi +\cos ^2 \varphi \sin ^2 \vartheta +\cos ^2 \vartheta \sin ^2 \varphi +\sin ^2 \vartheta \sin ^2 \varphi } \right)

= r^2 \sin \vartheta

Eingesetzt ergibt sich:

dV = J \cdot dr \cdot d\vartheta  \cdot d\phi  = r^2 \sin \vartheta  \cdot dr \cdot d\vartheta  \cdot d\phi

V = \int\limits_{}^{} {\int\limits_V^{} {\int\limits_{}^{} {dV} } }  = \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {dV} } }  = \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {r^2 \sin \vartheta  \cdot dr \cdot d\vartheta  \cdot d\phi } } }

Dieses Integral lässt sich wieder relativ leicht berechnen:

\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {r^2 \sin \vartheta  \cdot dr \cdot d\vartheta  \cdot d\phi } } }  = \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\frac{1} {3}r^3 \sin \vartheta  \cdot d\vartheta  \cdot d\phi } }

= \frac{1} {3}r^3 \left[ {-\cos \left( \vartheta  \right)} \right]_0^{\frac{\pi } {2}}  \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {d\phi }  = \frac{1} {3}r^3  \cdot 1 \cdot \frac{\pi } {2} = \frac{1} {6}\pi r^3

Das Ergebnis ist das Volumen das Achtel-Kugelschnittes. Um auf das gesamte Volumen zu kommen, multipliziert man mit 8:

V_{Kugel}  = 8 \cdot \frac{1} {6}\pi r^3  = \frac{4} {3}\pi r^3

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5 Kommentare zu “Vertiefung: Volumen einer Kugel”

Ist da oben bei der Umstellung der Formel nach y nicht ein fetter Fehler (“Minus-Zeichen” vergessen) passiert? Und dann wird mit dem Fehler weitergerechnet und sich gewundert, dass die Kreisflächenformel so kompliziert wird??? Aua..

Nein, der Fehler liegt nicht in der Umstellung, sondern an dem neuen Formel-Plugin, das ich seit ein paar Tagen teste :s
Wenn du mit der Maus über die Formel gehst, siehst du, dass da “y = \sqrt {r^2 – x^2 }” steht, aber das – nicht angezeigt wird. Frag mich nicht, woran das liegt^^ Ich werd mich später drum kümmern. Im Moment kann man keiner Formel mehr trauen (viele werden ja gar nicht erst angezeigt).

sehr schade und leider immernoch so =(

So, nach fast zwei Monaten Untätigkeit *schäm* habe ich den Artikel komplett überarbeitet, die Formeln sollten nun alle stimmen.
Die Revision der restlichen Artikel wird hoffentlich in den nächsten zwei Wochen abgeschlossen.

Grosse R In der Integralgrenzen ist nicht die selbe r in der Formel. Die r verschwindet nach erter Integration mit dr. Daher die Lösung richtiger Weise sieht so aus:
4PI*R^3/3 und nicht 4PI*r^3/3.

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