13.2 – Laplacegleichung und Poissongleichung

 

a )

Bestimmen Sie alle Lösungen der Laplacegleichung, die nur von r = \left| x \right| abhängen.

b )

Zeigen Sie, dass u\left( x \right) = - \frac{1}{{2\pi }}\log \left( {\left| x \right|} \right) die Fundamentallösung der Poissongleichung in \mathbb R^2 ist.

Lösung

a )

u = u\left( r \right),\quad r = \sqrt {x_1^2+\ldots+x_d^2}

\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}} = \frac{{du}}{{dr}}\frac{{\partial r}}{{\partial {x_i}}} = {u^\prime } \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {x_i} = {u^\prime }\frac{{{x_i}}}{r}

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x_i^2}} = u^{\prime\prime} \frac{{{x_i}}}{r}\frac{{{x_i}}}{r}+{u^\prime }\left[ {\frac{{r \cdot 1-{x_i} \cdot \frac{{2{x_i}}}{{2r}}}}{{{r^2}}}} \right]

= u^{\prime\prime} \frac{{x_i^2}}{{{r^2}}}+{u^\prime }\left[ {\frac{1}{r}-\frac{{x_i^2}}{{{r^3}}}} \right]

-\Delta u = -u^{\prime\prime} \underbrace {\left[ {\frac{{\sum {x_i^2} }}{{{r^2}}}} \right]}_{ = 1}-{u^\prime }\left[ {\underbrace {\frac{{\sum 1 }}{r}}_{\frac{d}{r}}-\underbrace {\frac{{\sum {x_i^2} }}{{{r^3}}}}_{\frac{1}{r}}} \right] = -u^{\prime\prime} -\left[ {\frac{{d-1}}{r}} \right]{u^\prime } = 0

Setze nun v = {u^\prime }

-{v^\prime }-\left[ {\frac{{d-1}}{r}} \right]v = 0

\frac{{dv}}{{dr}} = \frac{{1-d}}{r}v

\frac{{dv}}{v} = \frac{{1-d}}{r}dr

\log \left( v \right) = \left( {1-d} \right)\log \left( r \right)+\underbrace {\log \left( c \right)}_{Integrationskonstante}

\log \left( v \right) = \log \left(r^{1-d}\right) + log\left( c \right) = \log \left( {c \cdot {r^{1-d}}} \right)

v = c \cdot {r^{1-d}}

{u^\prime } = c \cdot {r^{1-d}}

Jetzt einsetzten von d:

d = 2

{u^\prime } = c \cdot {r^{-1}}

\Rightarrow u = c \cdot \log \left( r \right)+{c_2}

d \geq 3

{u^\prime } = c \cdot {r^{1-d}}

\Rightarrow u = {c_1} \cdot {r^{2-d}}+{c_2}

b )

d = 2

u\left( x \right) = -\frac{1}{{2\pi }}\log \left( {\left| x \right|} \right)

Fundamentallösung:

\left( {U,Lv} \right) = v\left( 0 \right)

bzw.

\quad LU = \delta

Wenn x ungleich 0 ist, dann ist U glatt und Laplace u = 0.

u \in {L^1}\left( {{B_1}} \right)

Weitere Wachstumsschranken siehe Skript.