Aufgabe 07 – Lastspielzahl für einseitig angerissene Al-Flachprobe

 

Berechnen Sie für eine dünne, einseitig angerissene Al-Flachprobe (Typ: SEN-Probe) die ungefähre Lastspielzahl bis zum Probenbruch {N_f} . Berücksichtigen Sie dabei die folgenden Bedingungen:

  • Der Versuch hat im Zug-Schwellbereich (d.h. R=0) stattgefunden.
  • Die Oberspannung {S_o} betrug 58MPa .
  • Für den Fall {S_m} = {S_a} gelten für die Parameter der Paris-Geraden:

    C = {10^{-11}} und n = 4

  • Nach {10^7} Zyklen wurde eine technische Anrisslänge {a_{tech}} von 250\mu m in der Mitte der Stirnseite der Probe beobachtet.
  • Die Probe versagt, sobald der \Delta K -Wert dem Betrag nach 110% der Bruchzähigkeit {K_{IC}} erreicht hat.

Lösung

Aus der Aufgabenstellung ergeben sich bei genauerem Hinsehen bereits einige wichtige Werte und Eigenschaften.

R = 0 = \frac{{{S_u}}}{{{S_o}}} \Rightarrow kein Crack-Closer

SEN-Probe \Rightarrow halbunendlich ausgedehnte Probe \Rightarrow f\left( {\frac{a}{w}} \right) = 1,12

Weiter wird noch die Bruchzähigkeit von Aluminium benötigt: {K_{IC}} = 30MPa\sqrt m

Wie bereits in Aufgabe 6 wird nun mithilfe der Paris-Gleichung die Anzahl der Schwingspiele berechnet. Damit allerdings ein bestimmtes Integral berechnet werden kann muss noch die kritische Risslänge bestimmt werden.

In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass die Probe versagt, sobald \Delta K = 1,1\Delta {K_{IC}} gilt. Damit ergibt sich die kritische Risslänge zu

\Delta K = \Delta \sigma \cdot \sqrt {\pi a} \cdot f\left( {\frac{a}{w}} \right)

\Rightarrow {a_{crit}} = {\left( {\frac{{\Delta K}}{{\Delta \sigma \cdot f\left( {a/w} \right)}}} \right)^2}\cdot \frac{1}{\pi } = {\left( {\frac{{1,1\cdot 30MPa\sqrt m }}{{58MPa\cdot 1,12}}} \right)^2}\cdot \frac{1}{\pi }

\Rightarrow {a_{crit}} = 0,082m = 82mm

Mit diesem Ergebnis kann nun die Paris-Gleichung aufgelöst werden:

\frac{{da}}{{dN}} = C\cdot \Delta {K^n}

\Rightarrow \int_{{a_{tech}}}^{{a_{crit}}} {\frac{1}{{C\cdot {{\left( {\Delta \sigma \sqrt {\pi a} \cdot f\left( {a/w} \right)} \right)}^n}}}da = } \int_{{N_{tech}}}^{{N_{crit}}} {dN}

\Rightarrow \int_{250\cdot 10{{\kern 1pt} ^{-6}}m}^{82\cdot {{10}^{-3}}m} {\frac{1}{{{{10}^{-11}}\cdot {{\left( {58MPa\sqrt \pi \cdot 1,12} \right)}^4}}}\frac{{da}}{{{a^2}}} = } \int_{{{10}^7}}^{{N_{crit}}} {dN}

\Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{-11}}\cdot {{\left( {58MPa\sqrt \pi \cdot 1,12} \right)}^4}}}\cdot \left[ {-\frac{1}{a}} \right]_{250\cdot {{10}^{-6}}m}^{82\cdot {{10}^{-3}}m} = \left[ N \right]_{{{10}^7}}^{{N_{crit}}}

\Rightarrow 2,27\cdot {10^6} = {N_{crit}}-{10^7}

\Rightarrow {N_{crit}} = 1,227\cdot {10^7}

Zu beachten ist bei der Paris-Gleichung, dass der Faktor C immer solch eine Einheit aufweist, dass sich am Ende die richtige Einheit ergibt.