u05.2 – Lax Milgram und Sturm-Liouville Problem

Wir betrachten das gemischte Randwertproblem

$-\left( {gu^{\prime}} \right)^{\prime} = f\quad in\left( {0,1} \right) \subset \mathbb{R}\quad \quad \quad \left( 1 \right)$

$u^{\prime}\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0$

mit

$f \in {L^2}\left( {\left( {0,1} \right),\mathbb{C}} \right),\quad g \in C\left( {\left[ {0,1} \right],\mathbb{R}} \right),\quad g\left( x \right) > 0\quad \forall x \in \left[ {0,1} \right]$

Stellen Sie die schwache Formulierung des gemischten Randwertproblemsauf. Durch die Wahl eines geeigneten Hilbertraumes $H$ und die Anwendung des Satzes von Lax-Milgram weise man die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung $u\in H$ der schwachen Form von $\left( 1 \right)$ nach.

Hinweis: Verwenden Sie die Poincaré-Ungleichung:
Es gelte $u \in {H^1}\left( {\left( {a,b} \right)} \right)$ mit $u\left( a \right) = 0$ oder $u\left( b \right) = 0$ .

Dann folgt:

$\int_a^b {{{\left| {u\left( x \right)} \right|}^2}dx} \leq {\left( {b-a} \right)^2}\int_a^b {{{\left| {u^{\prime}\left( x \right)} \right|}^2}dx}$

Lösung

Wähle

$V = \left\{ {\varphi \in {C^\infty }\left( {\left( {0,1} \right),\mathbb{C}} \right):\varphi \left( 1 \right) = 0} \right\}$

und multipliziere $\left( 1 \right)$ mit $\bar \varphi \in V$ . Integriere über $\left( {0,1} \right)$

$-\int_0^1 {\underbrace {\left( {g\left( x \right)u^{\prime}\left( y \right)} \right)^{\prime}}_{f^{\prime}}} \underbrace {\bar \varphi \left( x \right)dx}_g = \int_0^1 {f\left( x \right)\bar \varphi \left( x \right)dx} ,\quad \forall \varphi \in V$

Partielle Integration:

$\underbrace {-\left[ {g\left( x \right)u^{\prime}\left( x \right)\bar \varphi \left( x \right)} \right]_0^1}_{ = 0}+\int_0^1 {gu^{\prime}\bar \varphi ^{\prime}dx} = \int_0^1 {f\bar \varphi dx}$

Schwache Form von $\left( 1 \right)$ :

wähle $H = \overline V \overbrace {^{\left( {{{\left\| \cdot \right\|}_{{H^1}}}} \right)}}^{von\quad Abschluss}$

$\left\| u \right\|_{{H^1}\left( {0,1} \right)}^2 = \int_0^1 {{u^2}dx} +\int_0^1 {u{^{\prime2}}dx}$

$\int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx} = \int_0^1 {f\bar vdx} ,\quad \forall v \in H$

Korollar von Lax-Milgram:

Sei $H$ ein Hilbertraum, $b:H \times H \to S$ eine beschränkte und koerzive Sesquilinearform, $F:H \to S$ ein beschränktes lineares Funktional $\left( {F \in {H^*}} \right)$

Setze

$b\left( {u,v} \right) = \int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx}$

$F\left( v \right) = \int_0^1 {f\bar vdx}$

$b$ ist beschränkt:

$\left| {b\left( {u,v} \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx} } \right| \leq \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} \left\{ {\left| {g\left( x \right)} \right|\left| {\int_0^1 {u^{\prime}\bar b^{\prime}dx} } \right|} \right\}$

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt:

$\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} \left\{ {\left| {g\left( x \right)} \right|\left| {\int_0^1 {u^{\prime}\bar b^{\prime}dx} } \right|} \right\} \leq C{\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}{\left\| {v^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}$

und mit der Definition von ${{{\left\| \cdot \right\|}_{{H^1}}}}$ :

$C{\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}{\left\| {v^{\prime}} \right\|_{{C^2}}} \leq C{\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}$

also insgesamt

$\left| {b\left( {u,v} \right)} \right| \leq C{\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}$

$b$ ist koerziv:

$g \in C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)\quad \Rightarrow \quad \exists x \in \left[ {0,1} \right]:g\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} g\left( t \right) = :C > 0$

$\left| {b\left( {u,u} \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {g{{\left| {u^{\prime}} \right|}^2}dx} } \right| \geq C\int_0^1 {{{\left| {u^{\prime}} \right|}^2}dx} = C\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2 = \frac{C} {2}\left( {\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right)$

Mit der Poincaré-Ungleichung folgt:

$\frac{C} {2}\left( {\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right) \geq \frac{C} {2}\left( {1\left\| u \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right) = \frac{C} {2}\left\| u \right\|_{{H^1}}^2$

also insgesamt

$\left| {b\left( {u,u} \right)} \right| \geq \frac{C} {2}\left\| u \right\|_{{H^1}}^2$

Damit sind beide Voraussetzungen für Lax-Milgram erfüllt.

$F$ ist beschränkt:

$F:H \to S,\quad \left| {F\left( u \right)} \right| \leq C{\left\| u \right\|_H}$

${\left\| F \right\|_{{H^*}}}: = \mathop {\sup }\limits_{x \in H{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}} \left\{ {\frac{{\left| {F\left( x \right)} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}}} \right\} \leq C$