u05.2 – Lax Milgram und Sturm-Liouville Problem

 

Wir betrachten das gemischte Randwertproblem

-\left( {gu^{\prime}} \right)^{\prime} = f\quad in\left( {0,1} \right) \subset \mathbb{R}\quad \quad \quad \left( 1 \right)

u^{\prime}\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0

mit

f \in {L^2}\left( {\left( {0,1} \right),\mathbb{C}} \right),\quad g \in C\left( {\left[ {0,1} \right],\mathbb{R}} \right),\quad g\left( x \right) > 0\quad \forall x \in \left[ {0,1} \right]

Stellen Sie die schwache Formulierung des gemischten Randwertproblemsauf. Durch die Wahl eines geeigneten Hilbertraumes H und die Anwendung des Satzes von Lax-Milgram weise man die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung u\in H der schwachen Form von \left( 1 \right) nach.

Hinweis: Verwenden Sie die Poincaré-Ungleichung:
Es gelte u \in {H^1}\left( {\left( {a,b} \right)} \right) mit u\left( a \right) = 0 oder u\left( b \right) = 0.

Dann folgt:

\int_a^b {{{\left| {u\left( x \right)} \right|}^2}dx}  \leq {\left( {b-a} \right)^2}\int_a^b {{{\left| {u^{\prime}\left( x \right)} \right|}^2}dx}

Lösung

Wähle

V = \left\{ {\varphi  \in {C^\infty }\left( {\left( {0,1} \right),\mathbb{C}} \right):\varphi \left( 1 \right) = 0} \right\}

und multipliziere \left( 1 \right) mit \bar \varphi  \in V. Integriere über \left( {0,1} \right)

-\int_0^1 {\underbrace {\left( {g\left( x \right)u^{\prime}\left( y \right)} \right)^{\prime}}_{f^{\prime}}} \underbrace {\bar \varphi \left( x \right)dx}_g = \int_0^1 {f\left( x \right)\bar \varphi \left( x \right)dx} ,\quad \forall \varphi  \in V

Partielle Integration:

\underbrace {-\left[ {g\left( x \right)u^{\prime}\left( x \right)\bar \varphi \left( x \right)} \right]_0^1}_{ = 0}+\int_0^1 {gu^{\prime}\bar \varphi ^{\prime}dx}  = \int_0^1 {f\bar \varphi dx}

Schwache Form von \left( 1 \right):

wähle H = \overline V \overbrace {^{\left( {{{\left\|  \cdot  \right\|}_{{H^1}}}} \right)}}^{von\quad Abschluss}

\left\| u \right\|_{{H^1}\left( {0,1} \right)}^2 = \int_0^1 {{u^2}dx} +\int_0^1 {u{^{\prime2}}dx}

\int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx}  = \int_0^1 {f\bar vdx} ,\quad \forall v \in H

Korollar von Lax-Milgram:

Sei H ein Hilbertraum, b:H \times H \to S eine beschränkte und koerzive Sesquilinearform, F:H \to S ein beschränktes lineares Funktional \left( {F \in {H^*}} \right)

Setze

b\left( {u,v} \right) = \int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx}

F\left( v \right) = \int_0^1 {f\bar vdx}

b ist beschränkt:

\left| {b\left( {u,v} \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {gu^{\prime}\bar v^{\prime}dx} } \right| \leq \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} \left\{ {\left| {g\left( x \right)} \right|\left| {\int_0^1 {u^{\prime}\bar b^{\prime}dx} } \right|} \right\}

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt:

\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} \left\{ {\left| {g\left( x \right)} \right|\left| {\int_0^1 {u^{\prime}\bar b^{\prime}dx} } \right|} \right\} \leq C{\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}{\left\| {v^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}

und mit der Definition von {{{\left\|  \cdot  \right\|}_{{H^1}}}}:

C{\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{C^2}}}{\left\| {v^{\prime}} \right\|_{{C^2}}} \leq C{\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}

also insgesamt

\left| {b\left( {u,v} \right)} \right| \leq C{\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}

b ist koerziv:

g \in C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)\quad  \Rightarrow \quad \exists x \in \left[ {0,1} \right]:g\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} g\left( t \right) = :C > 0

\left| {b\left( {u,u} \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {g{{\left| {u^{\prime}} \right|}^2}dx} } \right| \geq C\int_0^1 {{{\left| {u^{\prime}} \right|}^2}dx}  = C\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2 = \frac{C} {2}\left( {\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right)

Mit der Poincaré-Ungleichung folgt:

\frac{C} {2}\left( {\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right) \geq \frac{C} {2}\left( {1\left\| u \right\|_{{L^2}}^2+\left\| {u^{\prime}} \right\|_{{L^2}}^2} \right) = \frac{C} {2}\left\| u \right\|_{{H^1}}^2

also insgesamt

\left| {b\left( {u,u} \right)} \right| \geq \frac{C} {2}\left\| u \right\|_{{H^1}}^2

Damit sind beide Voraussetzungen für Lax-Milgram erfüllt.

F ist beschränkt:

F:H \to S,\quad \left| {F\left( u \right)} \right| \leq C{\left\| u \right\|_H}

{\left\| F \right\|_{{H^*}}}: = \mathop {\sup }\limits_{x \in H{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}} \left\{ {\frac{{\left| {F\left( x \right)} \right|}} {{{{\left\| x \right\|}_H}}}} \right\} \leq C

\left| {F\left( v \right)} \right| = \left| {\int_0^1 {f\bar vdx} } \right|

Cauchy-Schwarz:

\left| {\int_0^1 {f\bar vdx} } \right| \leq {\left\| f \right\|_{{L^2}}}{\left\| v \right\|_{{L^2}}}

Definition:

{\left\| f \right\|_{{L^2}}}{\left\| v \right\|_{{L^2}}} \leq {\left\| f \right\|_{{L^2}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}} = C{\left\| v \right\|_H}

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