Lineare Algebra

 

Qualifikationsziele

Die Vorlesung vermittelt die wichtigsten Methoden und Begriffsbildungen der Linearen Algebra. Sie betont den algorithmischen Zugang und stellt das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme in den Mittelpunkt, ohne dabei die geometrischen und die strukturorientierten Aspekte zu vernachlässigen. Das Modul soll die Studierenden in die Lage versetzen, in ingenieur- und naturwissenschaftlichen Fragestellungen lineare Strukturen zu erkennen und Methoden der Linearen Algebra mit Erfolg einzusetzen. Der Ingenieur wird jedoch in der Praxis auf Probleme der linearen Algebra stoßen mit sehr vielen Unbekannten, die nur mit Hilfe des Computers lösbar sind. Die dazu erforderliche weiterführende numerische lineare Algebra wird in dem Modul “Numerik” behandelt.
Die lineare Algebra dient sowohl vom Problemverständnis als auch von den Methoden als Grundlage u. a. für die Analysis mehrerer Variablen, die Analysis und Numerik gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen, lineare und nichtlineare Optimierung, Operations Research und Statistik. Daher bauen auf dem Modul “Lineare Algebra” nahezu alle Module des Bachelor-Studiengangs ME auf.

Inhalte

Mit der Elimination nach Gauß und ihrer Darstellung als LR-Faktorisierung wird die Matrizenrechnung entwickelt. Die Abstraktion von Matrizen zu linearen Abbildungen führt von der Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme auf die Theorie linearer Abbildungen in endlichdimensionalen Vektorräumen. Als geometrische Anschauungsobjekte dienen hierbei Geraden und Ebenen als spezielle Unterräume.
Die Ausgleichsrechnung zur Lösung überbestimmter Gleichungssysteme wird als Methode der kleinsten Fehlerquadrate in Euklidischen Vektorräumen formuliert. Mit dem Skalarprodukt werden die geometrisch anschaulichen Begriffe Abstand, Projektion und Winkel verknüpft. Das Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt liefert als weitere Faktorisierung (neben LR nach Gauß) die QR-Zerlegung. Diese Strukturen und das Orthogonalisierungsverfahren werden mittels des hermiteschen Produktes auf den komplexen Fall und auf unendlich dimensionale Skalarprodukträume erweitert, um die Entwicklung von Funktionen in Fourier-Reihen und anderen Orthogonalreihen vorzubereiten.
Motiviert durch lineare Differentialgleichungssysteme als Modell für Mehrmassen-Schwingungen wird das Eigenwertproblem im komplexen Vektorraum gelöst. Hierzu werden Diagonalisierbarkeit, Normalformen und die Hauptachsentransformation behandelt. Schließlich wird auf die nicht nur in der Optimierung wichtigen Klasse der positiv definiten Matrizen und ihre Charakterisierung eingegangen.

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