02.3 – lineare Operatoren

Welche der folgenden Operatoren sind linear?

$ \mathcal{L}u = u_x +u_y $

$ \mathcal{L}u = u_x +uu_y $

$ \mathcal{L}u = u_x +u_y +1 $

Lösung

Lineare Operatoren sind Abbildungen $ f:X \to Y $ mit:

$ \mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)\quad \forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R};u,v \in X $

a )

Wir haben folgenden Operator:

$ \mathcal{L}\left( u \right) = u_x +u_y $

Da wir zeigen wollen, dass er linear ist, setzen wir nun: $ u = \lambda u+\mu v $

$ \mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \left( {\lambda u+\mu v} \right)_x +\left( {\lambda u+\mu v} \right)_y = \lambda u_x +\mu v_x +\lambda u_y +\mu v_y $

$ = \lambda u_x +\lambda u_y +\mu v_x +\mu v_y = \lambda \left( {u_x +u_y } \right)+\mu \left( {v_x +v_y } \right) $

Nun folgt die Rücksubstitution:

$ = \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right) $

q.e.d.

Damit ist der Operator also linear.

b )

$ \mathcal{L}\left( u \right) = u_x +uu_y $

$ \mathcal{L}\left( {\lambda u + \mu v} \right) = \left( {\lambda u + \mu v} \right)_x + \left( {\left( {\lambda u + \mu v} \right)\left( {\lambda u + \mu v} \right)} \right)_y $