02.3 – lineare Operatoren

 

Welche der folgenden Operatoren sind linear?

\mathcal{L}u = u_x +u_y

\mathcal{L}u = u_x +uu_y

\mathcal{L}u = u_x +u_y +1

Lösung

Lineare Operatoren sind Abbildungen f:X \to Y mit:

\mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)\quad \forall \lambda ,\mu  \in \mathbb{R};u,v \in X

a )

Wir haben folgenden Operator:

\mathcal{L}\left( u \right) = u_x +u_y

Da wir zeigen wollen, dass er linear ist, setzen wir nun: u = \lambda u+\mu v

\mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \left( {\lambda u+\mu v} \right)_x +\left( {\lambda u+\mu v} \right)_y  = \lambda u_x +\mu v_x +\lambda u_y +\mu v_y

= \lambda u_x +\lambda u_y +\mu v_x +\mu v_y  = \lambda \left( {u_x +u_y } \right)+\mu \left( {v_x +v_y } \right)

Nun folgt die Rücksubstitution:

= \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)

q.e.d.

Damit ist der Operator also linear.

b )

\mathcal{L}\left( u \right) = u_x +uu_y

\mathcal{L}\left( {\lambda u + \mu v} \right) = \left( {\lambda u + \mu v} \right)_x  + \left( {\left( {\lambda u + \mu v} \right)\left( {\lambda u + \mu v} \right)} \right)_y

= \lambda u_x  + \mu v_x  + \left( {\lambda u + \mu v} \right)\lambda u_y  + \left( {\lambda u + \mu v} \right)\mu v_y

Dieser Operator lässt sich nicht nach \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right) auflösen und ist daher nicht linear.

c )

\mathcal{L}\left( u \right) = u_x +u_y +1

Das dieser Operator nicht linear ist, lässt sich schon anhand folgender Rechnung zeigen

\mathcal{L}\left( {\lambda u} \right) = \lambda u_x +\lambda u_y +1

\lambda \mathcal{L}\left( u \right) = \lambda u_x +\lambda u_y +\lambda

Somit ist dieser Operator ebenfalls nicht linear.

——
\mathcal{J}\mathcal{K}