u07.1 – Lineare Operatoren auf normierten Räumen

 

a ) Unbeschränktes Funktional

Durch X = C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right) und {\left\| x \right\|_X} = \int_0^1 {\left| {x\left( t \right)} \right|dt} ,\quad x \in X sei ein normierter Vektorraum gegeben. Zeigen Sie, dass das lineare Funktional L:X \to \mathbb{R},\quad L\left( x \right) = x\left( {\frac{1} {3}} \right) nicht beschränkt ist.

b ) Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Operatoren

X sei ein Banachraum, Y ein normierter Raum und {\left( {{L_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset \mathcal{L}\left( {X,Y} \right) eine punktweise konvergente Folge. Das heißt für alle x \in X existiert der punktweise Limes {L_k}\left( x \right)\mathop \to \limits_{k \to \infty }^{{{\left\| \cdot \right\|}_Y}} L\left( x \right).

i:

Zeigen Sie: L ist beschränkt, d.h. L \in \mathcal{L}\left( {X,Y} \right) und {\left\| L \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} \leq \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } {\left\| {{L_k}} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} < \infty.

Hinweis: Nuten Sie das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

ii:

Geben Sie ein Beispiel für eine punktweise konvergente Folge {\left( {{L_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset \mathcal{L}\left( {X,Y} \right) an, welche nicht gleichmäßig (bezüglich der Operatornorm) gegen L konvergiert.

iii:

Für X = {L^\infty }\left( \mathbb{R} \right)

und

T:X \to X,\quad T\left[ x \right]\left( t \right) = \int\limits_\mathbb{R} {\kappa \left( {t-s} \right)s\left( s \right)ds} ,\quad x \in X

mit

\kappa \left( {\tilde s} \right) = \tilde s\exp \left\{ {-{{\tilde s}^2}} \right\}

zeige man T\in\mathcal L \left(X\right). Berechnen Sie {\left\| T \right\|_{\mathcal{L}\left( X \right)}}.

Lösung

Mit der Supremumsnorm wäre der gegebene Raum ein Banach-Raum. Mit der angegebenen Norm ist der Raum aber nicht vollständig, es ist also nur ein normierter Vektorraum.

Es handelt sich um eine Norm, da Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung erfüllt sind. Erläuterung zur Definitheit: Wir gehen davon aus, dass gilt:

{\left\| x \right\|_X} = 0\mathop \Rightarrow \limits_{x \in C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)} x = 0

Annahme:

\exists {t_0} \in \left[ {0,1} \right]:x\left( {{t_0}} \right) = \varepsilon > 0

Da x stetig ist, gilt:

\forall \varepsilon ^\prime > 0\quad \exists \delta > 0:\left| {x\left( {{t_0}} \right)-x\left( t \right)} \right| < \varepsilon ^\prime\quad \forall t \in \left[ {{t_0}-\delta ,{t_0}+\delta } \right] \cap \left[ {0,1} \right]

Wähle nun z.B.

\varepsilon ^\prime = \frac{\varepsilon } {2}\quad \Rightarrow \quad x\left( 1 \right) > \frac{\varepsilon } {2}\quad \forall t \in \left[ {{t_0}-\delta ,{t_0}+\delta } \right] \cap \left[ {0,1} \right]

{\left\| x \right\|_X} = \int_0^1 {\left| {x\left( t \right)} \right|dt} > \delta \frac{\varepsilon } {2} > 0

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Daraus folgt: x = 0

Die anderen beiden Normaxiome sind trivial zu zeigen, da sie direkt aus dem Betrag im Integral übertragen werden.

Aber das nur nebenbei. Zur Sache:

a )

Betrachte

L:X \to \mathbb{R},\quad L\left( x \right) = x\left( {\frac{1} {3}} \right),\quad x \in X

Erneut führen wir einen indirekten Beweis zu der Annahme:

\exists c < \infty :\left| {L\left( x \right)} \right| \leq c{\left\| x \right\|_X},\quad x \in X

Wir wählen dazu:

{x_n}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1-n\left| {x-\frac{1} {3}} \right|} & {t \in \left[ {\frac{1} {3}-\frac{1} {n},\frac{1} {3}+\frac{1} {n}} \right] \cap \left[ {0,1} \right]} \\ 0 & {sonst} \\ \end{array} } \right.

Es gilt: {\left( {{x_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}} \subset X und \left| {L\left( {{x_n}} \right)} \right| = 1\quad \forall n

Andererseits ist aber:

\int_0^1 {\left| {{x_n}\left( t \right)} \right|dt} = \frac{1} {n}\quad \mathop \to \limits_{n \to \infty } \quad 0

Also:

\frac{{\left| {L\left( {{x_n}} \right)} \right|}} {{\left\| {{x_n}} \right\|}} = n\quad \to \quad \infty \leq c

Das ist ein Widerspruch zu c < \infty.

b i )

Die Linearität von L_k überträgt auf den punktweisen Limes L.

Beschränktheit von L: Für alle x \in X ist {\left( {{L_k}\left( x \right)} \right)_{k \in \mathbb{N}}} konvergent in Y. Daraus folgt, dass {{L_k}\left( x \right)} beschränkt ist in Y. (d.h. \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_Y} < \infty ,\quad x \in X).

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit:

\mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} < \infty ,\quad x \in X

{\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} \leq \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} < \infty ,\quad x \in X

\quad \Rightarrow \quad L \in \mathcal{L}\left( {X,Y} \right)

Wir zeigen nun die (schärfere) Abschätzung

{\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} \leq \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} < \infty ,\quad x \in X

Dies folgt direkt aus

\mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} < \infty ,\quad x \in X

Sei nun x\in X mit {\left\| x \right\|_X} \leq 1 beliebig gewählt, dann gilt

{\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} = \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} > {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_Y}

Mit der Dreiecksungleichung bezüglich der Y-Norm folgt:

{\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_Y} \geq {\left\| {L\left( x \right)} \right\|_Y}-{\left\| {L\left( x \right)-{L_k}\left( x \right)} \right\|_Y}

mit der allgemeinen Aussage \lim \inf \left( {{a_k}+{b_k}} \right) \geq \lim \inf {a_k}+\lim \inf {b_k} folgt dann

\mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} \geq \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } \left\{ {{{\left\| {L\left( x \right)} \right\|}_Y}-{{\left\| {L\left( x \right)-{L_k}\left( x \right)} \right\|}_Y}} \right\}

= {\left\| {L\left( x \right)} \right\|_Y}\quad \forall x \in X:{\left\| x \right\|_X} \leq 1

Schließlich erhalten wir

{\left\| {L\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}} \leq \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } {\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{\mathcal{L}\left( {X,Y} \right)}}

b ii )

x = y = {l^2}, definiere {\left( {{L_k}} \right)_{k \in \mathbb{N}}} \subset \mathcal{L}\left( {{l^2}} \right) als “Cut-Off”-Operatorfolge

{L_k}{\left( x \right)_j} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_j}} & {j \leq k} \\ 0 & {j > k} \\ \end{array} } \right.

mit {L_k}\left( x \right) = \left( {{x_1}, \ldots ,{x_k},0, \ldots } \right).

Wir zeigen die Beschränktheit:

{\left\| {{L_k}\left( x \right)} \right\|_{{l^2}}} = \sqrt {\sum\limits_{j = 1}^k {{{\left| {{x_j}} \right|}^2}} } \leq 1 \cdot {\left\| x \right\|_{{l^2}}}

{\left\| {{L_k}\left( x \right)-\underbrace {Id\left( x \right)}_x} \right\|_{{l^2}}} = {\left( {\sum\limits_{j = k+1}^\infty {{{\left| {{x_j}} \right|}^2}} } \right)^{\frac{1} {2}}}\mathop \to \limits_{k \to \infty } 0

Aber:

{\left\| {{L_k}-Id} \right\|_{\mathcal{L}\left( {{l^2}} \right)}} = \mathop {\sup }\limits_{{{\left\| x \right\|}_{{l^2}}} \leq 1} {\left\| {{L_k}\left( x \right)-x} \right\|_{{l^2}}}

Wähle nun als Vektor der kanonischen Basis von l^2:

x = {e^{\left( {k+1} \right)}} = \left( {0, \ldots ,0,1,0, \ldots } \right)

mit der einzigen 1 an der k+1-ten Stelle.

Dann ist:

\mathop {\sup }\limits_{{{\left\| x \right\|}_{{l^2}}} \leq 1} \left\| {{L_k}\left( x \right)-x} \right\| \geq \mathop {\sup }\limits_{k \in \mathbb{N}} {\left\| {{L_k}\left( {{e^{\left( {k+1} \right)}}} \right)-{e^{\left( {k+1} \right)}}} \right\|_{{l^2}}} = 1

Daraus folgt:

{\left\| {{L_k}-Id} \right\|_{\mathcal{L}\left( {{l^2}} \right)}} \geq 1\quad \forall k