H07 – lineare und quadratische Approximation

 

In der Isar sind seit Oktober letzten Jahres erhöhte Konzentrationen einer gesundheitsschädlichen Verbindung gemessen worden. Die konkreten Messwerte sind in folgender Tabelle gegeben:

\begin{array}{*{20}{c}}{Monat} &\vline & {Okt\:09} & {Nov\:09} & {Dez\:09} & {Jan\:10} & {Feb\:10} \\ \hline{\mu g/l} &\vline & {83} & {89} & {93} & {102} & {111} \\  \end{array}

Nachdem das Bundesumweltamt die Quelle der Verunreinigung noch nicht entdeckt hat, ist die Landeswasserversorgung, welche üblicherweise Isarwasser für die Trinkwasseraufbereitung nutzt, besorgt, ob sie Isarwasser auch im Monat Juni verwenden darf, da der zulässige Grenzwert bei 120\mu g/l liegt.

\left( 1 \right)\quad \quad \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 0}^N {{\omega _i}{{\left[ {{p_n}\left( {{x_i}} \right)-{f_i}} \right]}^2}} \to \mathop {\min }\limits_\mathcal{P}

a )

Fertigen Sie eine Skizze der Daten an

b )

Bestimmen Sie eine lineare und eine quadratische Funktion, so dass der quadratische Abstand zu den Messdaten minimiert wird, d.h. Gleichung \left( 1 \right) jeweils erfüllt ist und zeichnen Sie diese in die Skizze aus a).

c )

Was prognostizieren Sie für die Wasserqualität im März 2010 für die beiden Ansätze aus b)? Ist die Trinkwasseraufbereitung jeweils zulässig?

Die Aufgabe soll in einem m-File („u71.m“) gelöst werden.

Lösung

u71.m

clear;
tic

x = [1 2 3 4 5];
f = [83 89 93 102 111];

hold off;
plot(x,f,'*')

% Lineare Approximation

A1 = [length(x) sum(x); sum(x) x*x'];
b1 = [sum(f); f*x'];
c1 = A1 \ b1;
fi1 = c1(1) + c1(2) * x;
prognose1 = c1(1) + c1(2) * 6;
hold on;
plot(x,fi1,'r')

% Quadratische Approximation

A2 = [length(x) sum(x) x*x'
      sum(x) x*x' sum(x.^3)
      x*x' sum(x.^3) (x.^2*x'.^2)];
b2 = [sum(f); f*x'; f*(x.^2)'];
c2 = A2 \ b2;
fi2 = c2(1) + c2(2) * x + c2(3) * x.^2;
prognose2 = c2(1) + c2(2) * 6 + c2(3) * 6^2;

plot(x,fi2,'b')

disp('März 2010:')
disp(['linear: ' num2str(prognose1)])
disp(['quadratisch: ' num2str(prognose2)])

toc % Rechenzeit: 0.039704 Sekunden

% Prognose März 2010:
% linear: 116.3 < 120 -> zulässig
% quadratisch: 121.8 > 120 -> nicht zulässig

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen