10.2 – Lösung einer DGL mit numerischer Quadratur

Die Lösung der Differentialgleichung {y^\prime } = f\left( {t,y} \right),\quad y\left( 0 \right) = {y_0} kann geschrieben werden als

y\left( t \right) = {y_0}+\int_0^t {f\left( {s,y} \right)ds} \quad \quad \left( * \right)

Um eine Approximation von y zu bekommen, kann man auch das Integral (*) mittels numerischer Quadratur berechnen. Als Stützstellen wählt man {t_k} = k\tau ,\quad k = 0,1,2, \ldots und schreibt: {u_k} \approx y\left( {{t_k}} \right)

Benützen Sie dazu linke und rechte Rechtecksregel, sowie Trapezregel, und stellen Sie einen Zusammenhang zu Verfahren aus Kapitel 1 her.

Lösung

Die Verfahren aus Kapitel 1 waren das Explizite und das Implizite Eulerverfahren.

Explizites Eulerverfahren:

\frac{{{u_{k+1}}-{u_k}}}{\tau } = f\left( {{t_k},{u_k}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {u_0} = {y_0},\quad \quad {u_{k+1}} = {u_k}+\tau f\left( {{t_k},{u_k}} \right)

Implizites Eulerverfahren:

\frac{{{u_{k+1}}-{u_k}}}{\tau } = f\left( {{t_{k+1}},{u_{k+1}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {u_0} = {y_0},\quad \quad {u_{k+1}} = {u_k}+\tau f\left( {{t_{k+1}},{u_{k+1}}} \right)

Dies ist ein größerer Aufwand, da die Gleichung noch umgestellt werden muss. Dies lohnt sich aber, da das Verfahren eine bessere Stabilität besitzt und schneller konvergiert.

Linke Rechtecksregel:

linke-rechteckregel

y\left( {{t_1}} \right) = {y_0}+\int_0^{{t_1}} {f\left( {s,y\left( s \right)} \right)ds}

Für den ersten Wert schreiben wir:

{u_1} = {y_0}+\left( {{t_1}-{t_0}} \right)f\left( {{t_0},{u_0}} \right) = {u_0}+\tau f\left( {{t_0},{u_0}} \right)

Allgemein:

{u_{k+1}} = {u_k}+\tau f\left( {{t_k},{u_k}} \right)

Dies entspricht dem expliziten Eulerverfahren.

Rechte Rechtecksregel:

rechte-rechteckregel

{u_1} = {y_0}+\left( {{t_1}-{t_0}} \right)f\left( {{t_1},{u_1}} \right) = {u_0}+\tau f\left( {{t_1},{u_1}} \right)

Allgemein:

{u_{k+1}} = {u_k}+\tau f\left( {{t_{k+1}},{u_{k+1}}} \right)

Dies entspricht dem impliziten Eulerverfahren.

Trapezregel:

{u_1} = {y_0}+\frac{1}{2}\left( {{t_1}-{t_0}} \right)\left( {f\left( {{t_0},{u_0}} \right)+f\left( {{t_1},{u_1}} \right)} \right) = {u_0}+\frac{1}{2}\tau \left( {f\left( {{t_0},{u_0}} \right)+f\left( {{t_1},{u_1}} \right)} \right)

Allgemein:

{u_{k+1}} = {u_k}+\frac{1}{2}\tau \left( {f\left( {{t_k},{u_k}} \right)+f\left( {{t_{k+1}},{u_{k+1}}} \right)} \right)

Dies entspricht dem Heun-Verfahren. Im Gegensatz zum impliziten und expliziten Eulerverfahren (Ordnung 1) ist dies ein Verfahren der Ordnung 2. Das bessere Integrationsverfahren schlägt sich also in der Qualität des Lösungsverfahrens nieder.

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