4.2 – Lösung mit der Methode der finiten Elemente

4.2.1 Aufteilung in 1 Element, 2 Knoten

eigenwerte-differentialgleichung-finite-elemente-approximation

Randbedingung: ${u_1} = 0$

Die Elementsteifigkeitsmatrix entspricht der Gesamtsteifigkeitsmatrix (siehe Kapitel 3.1.4):

$\left[ K \right] = \frac{{EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]$

Die Elementmassenmatrix entspricht der Gesamtmassenmatrix (siehe Kapitel 3.1.5):

$\left[ M \right] = \frac{{\rho AL}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]$

Einsetzen in die Bewegungsgleichungen in Matrixschreibweise liefert:

$\left[ M \right]\left\{{\ddot U} \right\}+\left[ K \right]\left\{ U \right\} = \left\{ 0 \right\}\quad \Rightarrow \quad \left( {\left[ K \right]-\lambda \left[ M \right]} \right)\left\{{\hat U} \right\} = \left\{ 0 \right\}$

$\Rightarrow \quad \left( {\frac{{EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]-\frac{{\rho AL}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]\lambda } \right)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{U_1}} \\ {{U_2}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right\}$

Einsetzen der Randbedingung:

$\Rightarrow \quad \left( {\frac{{EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]-\frac{{\rho AL}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]\lambda } \right)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{U_2}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right\}\quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{} \\ {\left( 2 \right)} \end{array}$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \quad \frac{{EA}}{L}{U_2}-2\frac{{\rho AL}}{6}\lambda {U_2} = 0\quad \mathop \Rightarrow \limits^{{U_2} \ne 0} \quad \frac{{EA}}{L}-\frac{{\rho AL}}{3}\lambda = 0$

$\Rightarrow \quad \frac{{3E}}{{{L^2}\rho }} = \hat \lambda = {{\hat \omega }^2}\quad \Rightarrow \quad {{\hat \omega }_1} = \sqrt {\frac{{3E}}{{{L^2}\rho }}} = \frac{{1,7321}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }} ,\quad \quad {\Delta _1} = 10\%$

Eigenvektor:

$\left\{{{{\hat U}_1}} \right\} = {\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right\}^T}$ (normiert)

Veranschaulichung:

eigenwerte-approximation-zug-druck-stab-finite-elemente

4.2.2 Aufteilung in 2 Element, 3 Knoten

eigenwerte-approximation-zug-druck-stab-finite-elemente

Die Randbedingung bleibt gleich: ${u_1} = 0$

Die Elementsteifigkeitsmatrix und die Elementmassenmatrix eines Stabelements der Länge $L/2$ lauten:

$\left[ {{k^{\left( j \right)}}} \right] = \frac{{2EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right],\quad \quad \quad \left[ {{m^{\left( j \right)}}} \right] = \frac{{\rho AL}}{{12}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]$

Indextafel:

$\begin{array}{*{20}{c}}{Element\:\:Nr.}&\vline & {u_1^*}&\vline & {u_2^*} \\ \hline 1&\vline & 1&\vline & 2 \\ 2&\vline & 2&\vline & 3 \end{array}$

Gesamtsteifigkeitsmatrix und Gesamtmassenmatrix:

$\left[ K \right] = \frac{{2EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1}&0 \\ {-1}&2&{-1} \\ 0&{-1}&1 \end{array}} \right],\quad \quad \quad \left[ M \right] = \frac{{\rho AL}}{{12}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0 \\ 1&4&1 \\ 0&1&2 \end{array}} \right]$

Wir verwenden nun beim Einsetzen in die Bewegungsgleichungen die reduzierte Form:

$\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_{22}}}&{{K_{23}}} \\ {{K_{32}}}&{{K_{33}}} \end{array}} \right]-\lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{M_{22}}}&{{M_{23}}} \\ {{M_{32}}}&{{M_{33}}} \end{array}} \right]} \right)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat U}_2}} \\ {{{\hat U}_3}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right\}$

Damit eine nichttriviale Lösung existiert, muss die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_{22}}-\lambda {M_{22}}}&{{K_{23}}-\lambda {M_{23}}} \\ {{K_{32}}-\lambda {M_{32}}}&{{K_{33}}-\lambda {M_{33}}} \end{array}} \right| = 0$

Mit $\hat \lambda = \lambda \frac{{\rho {L^2}}}{{12E}}$ als Abkürzung ergibt sich:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4-4\hat \lambda }&{-2-\hat \lambda } \\ {-2-\hat \lambda }&{2-2\hat \lambda } \end{array}} \right| = 0\quad \Rightarrow \quad 7{\hat \lambda ^2}-20\hat \lambda +4 = 0$

Es ergeben sich zwei Lösungen für die Eigenwerte:

${\hat \lambda _{1,2}} = \frac{1}{7}\left( {10 \mp 6\sqrt 2 } \right)\quad \Rightarrow \quad {\hat \omega _1} = \frac{{1,6114}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }} ,\quad {\hat \omega _2} = \frac{{5,6293}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }}$

Die Abweichungen von der Exakten Lösung betragen in diesem Fall ${\Delta _1} = 2,6\%$ und ${\Delta _2} = 19\%$ .

Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren lauten:

${\left\{{{{\hat U}_1}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0,7071}&1 \end{array}} \right\},\quad \quad {\left\{{{{\hat U}_2}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-0,7071}&1 \end{array}} \right\}$

Veranschaulichung:

eigenwerte-approximation-zug-druck-stab-finite-elemente

4.2.3 Aufteilung in 3 Element, 4 Knoten

eigenwerte-approximation-zug-druck-stab-finite-elemente

Die Elementsteifigkeitsmatrix und die Elementmassenmatrix eines Stabelements der Länge $L/3$ lauten:

$\left[ {{k^{\left( j \right)}}} \right] = \frac{{3EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right],\quad \quad \quad \left[ {{m^{\left( j \right)}}} \right] = \frac{{\rho AL}}{{18}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]$

Indextafel:

$\begin{array}{*{20}{c}}{Element\:\:Nr.}&\vline & {u_1^*}&\vline & {u_2^*} \\ \hline 1&\vline & 1&\vline & 2 \\ 2&\vline & 2&\vline & 3 \\ 3&\vline & 3&\vline & 4 \end{array}$

Wir erhalten die Gesamtsteifigkeitsmatrix und die Gesamtmassenmatrix:

$\left[ K \right] = \frac{{3EA}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1}&0&0 \\ {-1}&2&{-1}&0 \\ 0&{-1}&2&{-1} \\ 0&0&{-1}&1 \end{array}} \right],\quad \quad \quad \left[ M \right] = \frac{{\rho AL}}{{18}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0&0 \\ 1&4&1&0 \\ 0&1&4&1 \\ 0&0&1&2 \end{array}} \right]$

Wir beachten die Randbedingung ${U_1} = 0$ und schreiben das reduzierte Gleichungssystem auf, das aus den Bewegungsgleichungen in Matrixform resultiert.

$\Rightarrow \quad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_{22}}-\lambda {M_{22}}}&{{K_{23}}-\lambda {M_{23}}}&{{K_{24}}-\lambda {M_{24}}} \\ {{K_{32}}-\lambda {M_{32}}}&{{K_{33}}-\lambda {M_{33}}}&{{K_{34}}-\lambda {M_{34}}} \\ {{K_{42}}-\lambda {M_{42}}}&{{K_{43}}-\lambda {M_{43}}}&{{K_{44}}-\lambda {M_{44}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat U}_2}} \\ {{{\hat U}_3}} \\ {{{\hat U}_4}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right\}$

Mit $M = \rho AL$ und $\hat \lambda = \lambda \frac{{LM}}{{EA}} = \lambda \frac{{\rho {L^2}}}{E}$ erhalten wir:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6-\frac{2}{9}\hat \lambda }&{-3-\frac{1}{{18}}\hat \lambda }&0 \\ {-3-\frac{1}{{18}}\hat \lambda }&{6-\frac{2}{9}\hat \lambda }&{-3-\frac{1}{{18}}\hat \lambda } \\ 0&{-3-\frac{1}{{18}}\hat \lambda }&{3-\frac{1}{9}\hat \lambda } \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat U}_2}} \\ {{{\hat U}_3}} \\ {{{\hat U}_4}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right\}$

Für nichttriviale Eigenwerte muss die Determinante verschwinden:

$\left( {3-\frac{1}{9}\hat \lambda } \right)\left( {9-\frac{{11}}{3}\hat \lambda +\frac{{13}}{{324}}{{\hat \lambda }^2}} \right) = 0$

Wir lösen diese Gleichung nach $\hat \lambda$ auf und erhalten drei mögliche Werte:

${{\hat \lambda }_1} = 2,5243\quad \Rightarrow \quad {{\hat \omega }_1} = \frac{{1,5888}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }} ,\quad \quad {\Delta _1} = 1,1\%$

${{\hat \lambda }_2} = 2,5243\quad \Rightarrow \quad {{\hat \omega }_2} = \frac{{5,1962}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }} ,\quad \quad {\Delta _2} = 9,3\%$

${{\hat \lambda }_3} = 2,5243\quad \Rightarrow \quad {{\hat \omega }_3} = \frac{{9,4266}}{L}\sqrt {\frac{E}{\rho }} ,\quad \quad {\Delta _3} = 17\%$

Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren lauten:

${\left\{{{{\hat U}_1}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0,5}&{0,866}&1 \end{array}} \right\},\quad \quad {\left\{{{{\hat U}_2}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-1}&0&1 \end{array}} \right\},\quad \quad$