Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.
4.2.1 Aufteilung in 1 Element, 2 Knoten
Randbedingung:
Die Elementsteifigkeitsmatrix entspricht der Gesamtsteifigkeitsmatrix (siehe Kapitel 3.1.4):
Die Elementmassenmatrix entspricht der Gesamtmassenmatrix (siehe Kapitel 3.1.5):
Einsetzen in die Bewegungsgleichungen in Matrixschreibweise liefert:
Einsetzen der Randbedingung:
Eigenvektor:
(normiert)
Veranschaulichung:
4.2.2 Aufteilung in 2 Element, 3 Knoten
Die Randbedingung bleibt gleich:
Die Elementsteifigkeitsmatrix und die Elementmassenmatrix eines Stabelements der Länge lauten:
Indextafel:
Gesamtsteifigkeitsmatrix und Gesamtmassenmatrix:
Wir verwenden nun beim Einsetzen in die Bewegungsgleichungen die reduzierte Form:
Damit eine nichttriviale Lösung existiert, muss die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden:
Mit als Abkürzung ergibt sich:
Es ergeben sich zwei Lösungen für die Eigenwerte:
Die Abweichungen von der Exakten Lösung betragen in diesem Fall und
.
Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren lauten:
Veranschaulichung:
4.2.3 Aufteilung in 3 Element, 4 Knoten
Die Elementsteifigkeitsmatrix und die Elementmassenmatrix eines Stabelements der Länge lauten:
Indextafel:
Wir erhalten die Gesamtsteifigkeitsmatrix und die Gesamtmassenmatrix:
Wir beachten die Randbedingung und schreiben das reduzierte Gleichungssystem auf, das aus den Bewegungsgleichungen in Matrixform resultiert.
Mit und
erhalten wir:
Für nichttriviale Eigenwerte muss die Determinante verschwinden:
Wir lösen diese Gleichung nach auf und erhalten drei mögliche Werte:
Die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren lauten:
Veranschaulichung: