04.1 – Lösung von partiellen DGLn

 

Zeigen Sie, dass u\left( {x,y} \right) = f\left( x \right)g\left( y \right) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

u{u_{xy}} = {u_x}{u_y}

für jedes Paar von differenzierbaren Funktionen f und g einer Variablen ist.

Lösung

u\left( {x,y} \right) = f\left( x \right)g\left( y \right)

{u_x} = {f_x}g

{u_y} = f{g_y}

{u_{xy}} = {f_x}{g_y}

u{u_{xy}} = fg{f_x}{g_y} = {u_x}{u_y}

Somit ist die Behauptung gezeigt.

Bemerkung: Beliebige Funktionen f und g lösen das Problem. Es ist daher nicht gut gestellt.

Ein Problem ist gut gestellt, wenn eine Lösung

  • existiert
  • eindeutig ist (“geratene” Lösung ist einzige)
  • stetig von den Eingangsgrößen abhängt (wegen Mess- oder Rundungsfehlern)

Später wird man so etwas vielleicht nur auf \Omega  \subset {\mathbb{R}^n} betrachten und durch Randwerte Eindeutigkeit erhalten.

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