04.1 – Lösung von partiellen DGLn

Zeigen Sie, dass $u\left( {x,y} \right) = f\left( x \right)g\left( y \right)$ eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$u{u_{xy}} = {u_x}{u_y}$

für jedes Paar von differenzierbaren Funktionen und einer Variablen ist.

Lösung

$u\left( {x,y} \right) = f\left( x \right)g\left( y \right)$

${u_x} = {f_x}g$

${u_y} = f{g_y}$

${u_{xy}} = {f_x}{g_y}$

$u{u_{xy}} = fg{f_x}{g_y} = {u_x}{u_y}$

Somit ist die Behauptung gezeigt.

Bemerkung: Beliebige Funktionen und lösen das Problem. Es ist daher nicht gut gestellt.

Ein Problem ist gut gestellt, wenn eine Lösung

Später wird man so etwas vielleicht nur auf $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ betrachten und durch Randwerte Eindeutigkeit erhalten.