Aufgabe 5.2 – Lösung von separierbaren Differentialgleichungen

 

Bestimme zunächst die allgemeinen Lösungen der separierbaren DGL

  1. y ^{\prime}\left( x \right)+x^2 y\left( x \right)^3  = 0,\quad \quad y\left( 1 \right) = 2

  2. y ^{\prime}\left( x \right)\left( {x^2 -6x+5} \right) = xy\left( x \right)+x-3y\left( x \right)-3,\quad \quad y\left( 3 \right) = 1

  3. x ^{\prime}\left( t \right) = -\frac{{t\left( {1-x\left( t \right)^2 } \right)^2 }} {{x\left( t \right)\left( {1-t^2 } \right)^2 }}

Lösung

a )

y ^{\prime}+x^2 y^3  = 0

Die konstante Lösung für diese DGL ist:

{\text{y}}\left( x \right) = 0

Wenn y ≠ 0, können wir dividieren:

\frac{{y ^{\prime}}} {{y^3 }} = -x^2

“Ingenieurlösung”:

\frac{{dy}} {{dx}} \cdot \frac{1} {{y^3 }} = -x^2

\int_{}^{} {\frac{1} {{y^3 }}dy}  = \int_{}^{} {-x^2 dx}

-\frac{1} {{2y^2 }} = -\frac{{x^3 }} {3}+c

y = y\left( x \right) =  \pm \sqrt {\frac{3} {{-x^3 +3c}} \cdot \frac{{-1}} {2}}  =  \pm \sqrt {\frac{3} {{2x^3 +d}}}

Anfangswertproblem:

y\left( 1 \right) = 2

Auflösen nach der Konstanten:

2 = \sqrt {\frac{3} {{2+d}}}

4 = \frac{3} {{2+d}}

8+4d = 3

d = -\frac{5} {4}

Daraus folgt die partikuläre Lösung:

y_p \left( x \right) = \sqrt {\frac{3} {{2x^3 -\frac{5} {4}}}}  = \sqrt {\frac{{12}} {{8x^3 -5}}}

b )

y ^{\prime}\left( {x^2 -6x+5} \right) = xy+x-3y-3

Das Ziel ist es, x und y zu trennen. Auf der linken Seite existieren die beiden Variablen schon als getrennte Faktoren eines Produktes. Wir müssen uns also nur um die rechte Seite kümmern. Die Variablen lassen sich wie folgt trennen:

y ^{\prime}\left( {x^2 -6x+5} \right) = x\left( {y+1} \right)-3\left( {y+1} \right)

y ^{\prime}\left( {x^2 -6x+5} \right) = \left( {x-3} \right)\left( {y+1} \right)

Wir fassen die Variablen nun zusammen und integrieren:

\frac{{y ^{\prime}}} {{\left( {y+1} \right)}} = \frac{{\left( {x-3} \right)}} {{\left( {x^2 -6x+5} \right)}}

\frac{{y ^{\prime}}} {{\left( {y+1} \right)}} = \frac{{\left( {x-3} \right)}} {{\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)}}

\int_{}^{} {\frac{1} {{\left( {y+1} \right)}}dy}  = \int_{}^{} {\frac{{\left( {x-3} \right)}} {{\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)}}dx}

Wir müssen die Annahmen setzen:

y \ne -1

x \ne 1

x \ne 5

für das rechte Integral führen wir eine Partialbruchzerlegung durch:

\frac{{\left( {x-3} \right)}} {{\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)}} = \frac{A} {{x-1}}+\frac{B} {{x-5}}

\Rightarrow \frac{{\left( {x-3} \right)}} {{\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)}} = \frac{{A\left( {x-5} \right)+B\left( {x-1} \right)}} {{\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)}}

\Rightarrow \left( {x-3} \right) = A\left( {x-5} \right)+B\left( {x-1} \right)

x = 5 \to 2 = 4B \Rightarrow B = \frac{1} {2}

x = 1 \to -2 = -4A \Rightarrow A = \frac{1} {2}

Auflösung des Integrals:

\ln \left( {y+1} \right) = \frac{1} {2}\ln \left( {\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)} \right)+c

c )

x ^{\prime} \left( t \right) = -\frac{{t\left( {1-x\left( t \right)^2 } \right)^2 }} {{x\left( t \right)\left( {1-t^2 } \right)^2 }}

\int_{}^{} {\frac{{xdx}} {{\left( {1-x^2 } \right)^2 }} = -\int_{}^{} {\frac{{tdt}} {{\left( {1-t^2 } \right)^2 }}} }

-\frac{1} {{2\left( {1-x^2 } \right)}} = \frac{1} {{2\left( {1-t^2 } \right)}}+c,\quad \quad c \in \mathbb{R}

Die implizite Lösung lässt sich nicht eindeutig nach x = x(t) bzw. t auflösen.

konstante Lösung:

x\left( t \right) =  \pm 1