01.1 – Herleitung der Massenerhaltung

 

Leiten Sie die Massenerhaltung

\frac{{\partial \rho }} {{\partial t}}+\frac{{\partial \left( {\rho {v_x}} \right)}} {{\partial x}}+\frac{{\partial \left( {\rho {v_y}} \right)}} {{\partial y}}+\frac{{\partial \left( {\rho {v_z}} \right)}} {{\partial z}} = 0

an einem differentiellen Element her!

Lösung

Die Masse des durch ein Rohr strömenden Volumens bleibt konstant:

M = const

Daraus folgt, dass die Ableitung überall 0 ist:

\frac{{dM}} {{dt}} = 0

Wir ersetzen die Masse:

dM = \rho dV = \rho Adx

Nun können wir die Zustände am Anfang und am Ende des Rohres gleichsetzen:

\Rightarrow \quad dM = \rho {A_1}d{x_1} = \rho {A_2}d{x_2}

Wir dividieren durch dt und erhalten so die Geschwindigkeiten des strömenden Volumens:

\frac{{dM}} {{dt}} = \rho {A_1}\underbrace {\frac{{d{x_1}}} {{dt}}}_{{u_1}} = \rho {A_2}\underbrace {\frac{{d{x_2}}} {{dt}}}_{{u_2}}

\Rightarrow \quad \rho {A_1}{u_1} = \rho {A_2}{u_2}

Wenn die dichte ρ konstant bleibt, gilt:

{A_1}{u_1} = {A_2}{u_2}

Die Strömungsgeschwindigkeit ist aber nicht im gesamten Rohrquerschnitt konstant. Am Rand ist sie gleich 0, in der Mitte maximal. Daher müssen wir über die Fläche integrieren:

\frac{{dM}} {{dt}} = -\int\limits_A {\rho \vec ud\vec A}

das negative Vorzeichen resultiert aus den unterschiedlichen Richtungen der Normalenvektoren auf den Oberflächen des Kontrollvolumens:

Wir formen mit dem Gaußschen Integralsatz um:

\frac{{dM}} {{dt}} = -\int\limits_A {\rho \vec ud\vec A}  = -\int\limits_V {div\left( {\rho \vec u} \right)dV}

dies ist von Vorteil, da wir das Volumenintegral leichter auswerten können als das Flächenintegral. Wir lösen weiter auf:

div\left( {\rho \vec u} \right) = div\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\rho u}  \\    {\rho v}  \\    {\rho w}  \\   \end{array} } \right) = \frac{{d \left( {\rho u} \right)}} {{d x}}+\frac{{d \left( {\rho v} \right)}} {{d y}}+\frac{{d \left( {\rho w} \right)}} {{d z}}

\frac{d} {{dt}}M = \frac{d} {{dt}}\int\limits_V {\rho dV}  = \int\limits_V {\frac{d} {{dt}}\rho dV}

\Rightarrow \quad \int\limits_V {\frac{{d\rho }} {{dt}}dV}  = -\int\limits_V {div\left( {\rho \vec u} \right)dV}

\Rightarrow \quad \frac{{d\rho }} {{dt}} = -div\left( {\rho \vec u} \right)

Bei konstanter Dichte gilt:

0 = -div\left( {\rho \vec u} \right)\quad  \Rightarrow \quad div\left( {\vec u} \right) = 0

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