6.3 – Materialgleichungen

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Einfacher Fall: Hooke’sche Elastizität (siehe HTM)

\mathbb{T} = 2G\left[ {{\mathbb{E}_M}+\frac{\nu }{{1-2\nu }}\operatorname{Spur} \left( {{\mathbb{E}_M}} \right)\mathbb{I}} \right],\quad \quad E = 2G\left( {1+\nu } \right),\quad {\mathbb{E}_M} = \mathbb{E}-{\alpha _\theta }\Delta \theta \mathbb{I}

Komponentenform von {\sigma _{ii}}:

{\sigma _{xx}} = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {{\varepsilon _{xx}}-{\alpha _\theta }\Delta \theta +\frac{\nu }{{1-2\nu }}\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}+{\varepsilon _{zz}}-3{\alpha _\theta }\Delta \theta } \right)} \right)

\Rightarrow \quad {\sigma _{xx}} = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\left( {\left( {1-\nu } \right){\varepsilon _{xx}}+\nu {\varepsilon _{yy}}+\nu {\varepsilon _{zz}}} \right)-\frac{E}{{1-2\nu }}{\alpha _\theta }\Delta \theta

{\sigma _{yy}} und {\sigma _{zz}} lassen sich analog bestimmen.

Komponentenform von {\sigma _{ij}}:

{\sigma _{xy}} = \frac{E}{{1+\nu }}{\varepsilon _{xy}} = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\frac{{1-2\nu }}{2}{\gamma _{xy}}

Materialgleichung in Matrizenform:

\left\{ \sigma \right\} = \left[ E \right]\left\{ \varepsilon \right\}+{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\}

mit der Elastizitätsmatrix

\left[ E \right] = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\nu }&\nu &\nu &0&0&0 \\ \nu &{1-\nu }&\nu &0&0&0 \\ \nu &\nu &{1-\nu }&0&0&0 \\ 0&0&0&{\frac{{1-2\nu }}{2}}&0&0 \\ 0&0&0&0&{\frac{{1-2\nu }}{2}}&0 \\ 0&0&0&0&0&{\frac{{1-2\nu }}{2}} \end{array}} \right]

und der Spaltenmatrix der Temperaturspannungen

{\left\{{{E_\theta }} \right\}^T} = \frac{E}{{1-2\nu }}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&{-1}&{-1}&0&0&0 \end{array}} \right\}

Anmerkungen

In dem hier betrachteten Fall wird von einem isotropen Material ausgegangen. Es gibt daher nur zwei elastische Konstanten (z.B. \left( {E,\nu } \right), \left( {G,\nu } \right), etc.).

Beispiele für komplexe Fälle sind anisotrope (21 Konstanten) oder orthotrope (9 Konstanten) Materialien:

\left[ {{E_{an}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_{11}}}&{{E_{12}}}&{{E_{13}}}&{{E_{14}}}&{{E_{15}}}&{{E_{16}}} \\ {}&{{E_{22}}}&{{E_{23}}}&{{E_{24}}}&{{E_{25}}}&{{E_{26}}} \\ {}&{}&{{E_{33}}}&{{E_{34}}}&{{E_{35}}}&{{E_{36}}} \\ {}&{}&{}&{{E_{44}}}&{{E_{45}}}&{{E_{46}}} \\ {}&{sym.}&{}&{}&{{E_{55}}}&{{E_{56}}} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{{E_{66}}} \end{array}} \right]

\left[ {{E_{or}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{E_{11}}}&{{E_{12}}}&{{E_{13}}}&0&0&0 \\ {}&{{E_{22}}}&{{E_{23}}}&0&0&0 \\ {}&{}&{{E_{33}}}&0&0&0 \\ {}&{}&{}&{{E_{44}}}&0&0 \\ {}&{sym.}&{}&{}&{{E_{55}}}&0 \\ {}&{}&{}&{}&{}&{{E_{66}}} \end{array}} \right]

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