7.3 – Materialgleichungen

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Ausgangspunkt: Dreidimensionales Hooke’sches Gesetz der Elastizität:

\mathbb{T} = 2G\left[ {{\mathbb{E}_M}+\frac{\nu }{{1-2\nu }}\operatorname{Spur} \left( {{\mathbb{E}_M}} \right)\mathbb{I}} \right]

Mit E = 2G\left( {1+\nu } \right),\quad {\mathbb{E}_M} = \mathbb{E}-{\alpha _\theta }\Delta \theta \mathbb{I} ergibt sich:

\Rightarrow \quad \mathbb{T} = \frac{E}{{1+\nu }}\left[ {\mathbb{E}+\frac{\nu }{{1-2\nu }}\operatorname{Spur} \left( \mathbb{E} \right)\mathbb{I}} \right]-\frac{{E{\alpha _\theta }}}{{1-2\nu }}\Delta \theta \mathbb{I}

7.3.1 Materialgleichung für ebene Spannungszustände

Aus

{\sigma _{zz}} = 0 = \frac{E}{{1+\nu }}\left( {{\varepsilon _{zz}}+\frac{\nu }{{1-2\nu }}\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}+{\varepsilon _{zz}}} \right)} \right)-\frac{{E{\alpha _\theta }}}{{1-2\nu }}\Delta \theta

= \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\left( {\left( {1-\nu } \right){\varepsilon _{zz}}+\nu \left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}} \right)} \right)-\frac{{E{\alpha _\theta }}}{{1-2\nu }}\Delta \theta

ergibt sich für die Verzerrung {\varepsilon _{zz}}:

{\varepsilon _{zz}} = \frac{{1+\nu }}{{1-\nu }}{\alpha _\theta }\Delta \theta -\frac{\nu }{{1-\nu }}\left( {{\varepsilon _{xx}}+{\varepsilon _{yy}}} \right).

Einsetzen ergibt daraufhin für die Spannungen:

{\sigma _{xx}} = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-\nu } \right)}}\left( {{\varepsilon _{xx}}+\nu {\varepsilon _{yy}}} \right)-\frac{E}{{1-\nu }}{\alpha _\theta }\Delta \theta

{\sigma _{yy}} = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-\nu } \right)}}\left( {{\varepsilon _{yy}}+\nu {\varepsilon _{xx}}} \right)-\frac{E}{{1-\nu }}{\alpha _\theta }\Delta \theta

{\sigma _{xy}} = \frac{E}{{1+\nu }}{\varepsilon _{xy}} = \frac{E}{{2\left( {1+\nu } \right)}}{\gamma _{xy}} = G{\gamma _{xy}}

Es folgen die Materialgleichungen in Matrixform:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{xx}}} \\ {{\sigma _{yy}}} \\ {{\sigma _{xy}}} \end{array}} \right\} = \frac{E}{{1-{\nu ^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\nu &0 \\ \nu &1&0 \\ 0&0&{\frac{{1-\nu }}{2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} \\ {{\varepsilon _{yy}}} \\ {{\gamma _{xy}}} \end{array}} \right\}+\frac{E}{{1-\nu }}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-1} \\ {-1} \\ 0 \end{array}} \right\}{\alpha _\theta }\Delta \theta

mit der Elastizitätsmatrix

\left[ E \right] = \frac{E}{{1-{\nu ^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\nu &0 \\ \nu &1&0 \\ 0&0&{\frac{{1-\nu }}{2}} \end{array}} \right]

und dem Vektor der Temperaturspannungen

{\left\{{{E_\theta }} \right\}^T} = \frac{E}{{1-\nu }}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&{-1}&0 \end{array}} \right\}

7.3.2 Materialgleichung für ebene Verzerrungszustände

Die Materialgleichung ergibt sich direkt:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{xx}}} \\ {{\sigma _{yy}}} \\ {{\sigma _{xy}}} \end{array}} \right\} = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\nu &0 \\ \nu &1&0 \\ 0&0&{\frac{{1-\nu }}{2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} \\ {{\varepsilon _{yy}}} \\ {{\gamma _{xy}}} \end{array}} \right\}+\frac{E}{{1-\nu }}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{-1} \\ {-1} \\ 0 \end{array}} \right\}{\alpha _\theta }\Delta \theta

mit der Elastizitätsmatrix

\left[ E \right] = \frac{E}{{\left( {1+\nu } \right)\left( {1-2\nu } \right)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\nu &0 \\ \nu &1&0 \\ 0&0&{\frac{{1-\nu }}{2}} \end{array}} \right]

und dem Vektor der Temperaturspannung wie beim ESZ.

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