Aufgabe 2.7 – Anfangswertproblem (Differentialgleichung)

Gegeben sei die Differentialgleichung (DG) einer gedämpften Schwingung:

$\ddot x\left( t \right)+2\gamma \dot x\left( t \right)+{\omega ^2}x\left( t \right) = 0$

mit der dämpfungsfreien Eigenfrequenz $\omega$ und dem Reibungskoeffizienten $\gamma$ . Im Folgenden soll durch numerische Integration nach dem Runge-Kutta-Verfahren eine Lösung für die DG im Bereich $0 \leq t \leq 10$ berechnet und dargestellt werden. Die Anfangswerte seien $x\left( 0 \right) = 0$ und $\dot x\left( 0 \right) = 1$ .
Dazu wird die gegebene DG 2. Ordnung zunächst in ein System aus zwei DG erster Ordnung überführt. Mit ${x_1} = x\left( t \right)$ und ${x_2} = \dot x\left( t \right)$ ergibt sich das System

${{\dot x}_1} = {x_2}$

${{\dot x}_2} = -{\omega ^2}{x_1}-2\gamma {x_2}$

Dieses soll nun mit Hilfe eines Runge-Kutta-Solvers gelöst werden. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:

Schreiben Sie eine Funktion dx=dg¬_dampedosc(t, x, omega, gamma), die das Gleichungssystem realisiert. Der 2×1 Spaltenvektor x enthält dabei die aktuellen Werte ${x_1}$ und ${x_2}$ zum Zeitpunkt t. Die Funktion berechnet daraus abhängig von den Parametern omega und gamma nach obiger Gleichung die Werte der erste Ableitung und gibt diese im 2×1 Spaltenvektor dx zurück. Der Parameter t wird innerhalb der Funktion nicht verwendet, ist aber für deren späteren Aufruf in Teilaufgabe b) zwingend erforderlich.
Schreiben Sie ein Script damped_osc.m, das die Integration der DG nach dem Runge-Kutta-Verfahren für $\omega = 2$ und $\gamma = 0.2$ durchführt. Rufen Sie dazu die MATLAB-Funktion ode45() mit geeigneten Parameterwerten auf. Konsultieren Sie ggfs. die zugehörige Beschreibung in der MATLAB Hilfe. Stellen Sie das berechnete Ergebnis dann grafisch wie gezeigt dar:

Lösung

a )

function dx=dg_dampedosc(t,x,omega,gamma)
	% dx=dg_dampedosc(t,x,omega,gamma)
	% differential equation: 2nd order damped oscillation
	%
	% x''(t)+2*gamma*x' (t)+omega^2*x (t)=0;
	%
	% x1'=x2
	% x2'=-omega^2*x1-2*gamma*x2
	%
	% t current time
	% x 2x1 column vector with state [x (t); x' (t)] at time t
	% omega frequency
	% gamma friction
	%
	% dx 2x1 column vector with 1st derivative of state at time t

	dx=[0 1;-omega^2 -2*gamma]*x;
end

b )

x0=[0 1]; % initial value
ts=[0 10]; % computation interval
omega=2; % frequency of oscillation
gamma=0.2; % friction

% solve ode using Runge-Kutta approach
[t,x]=ode45(@dg_dampedosc,ts,x0,[],omega,gamma);

% plot position and velocity
figure(1)
plot(t,x)
title('damped oscillation')
legend({'
      

','
      

'},'interpreter','latex')
xlabel('
      

','interpreter','latex')
ylabel('position
      

, velocity
      

','interpreter','latex')

% plot phase diagram
figure(2)
plot(x(:,1),x(:,2))
title('phase diagram')
xlabel('position
      

','interpreter','latex')
ylabel('velocity
      

','interpreter','latex')

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Aufgabe 2.7 – Anfangswertproblem (Differentialgleichung)

Lösung

a )

b )

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