Aufgabe 3.3 – Rekursive Berechnung der Kreiszahl PI

 

Ein auf Archimedes (250 v. Chr.) zurückgehender Algorithmus berechnet Näherungen für die Kreiszahl \pi durch Approximation des Umfangs eines Kreises mit Radius r = 1 durch den Umfang {U_n} einbeschriebener regelmäßiger n-Ecke. So besitzt ein einbeschriebenes Sechseck die Seitenlänge 1, den Umfang 6 und liefert damit den Schätzwert {a_1} = \frac{1}{2}{U_6} = 3. Durch Verdopplung der Eckenzahl erhält man zunehmend genauere Näherungen. Ausgehend vom Schätzwert {a_1} = 3 für das regelmäßige Sechseck gilt die Rekursionsformel

{a_k} = 3 \cdot {2^{k-1}}\sqrt {2-2\sqrt {1-{{\left( {\frac{{{a_{k-1}}}}{{3 \cdot {2^{k-1}}}}} \right)}^2}} }

Schreiben Sie eine Funktion a=archimedes(k), welche diese Rekursion realisiert.

Lösung

function a=archimedes(k)
	if k==1
		a=3;
	else
		s=3*2^(k-1);
		a=s*sqrt(2-2*sqrt(1-(archimedes(k-1)/s)^2));
	end
end

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