7. Matrizen

Eine Matrix der Größe MxN ist ein rechteckiges Zahlenschema, bestehend aus M Zeilen und N Spalten. Auf diese Zuordnung von M und N muss man unbedingt achten, da sie der normalen Zuordnung “1. Koordinate -> x, 2. Koordinate -> y” entgegensteht.

Beispiel:
3×2 Matrix

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 4 & {10} \\ 8 & 7 \\ \end{array} } \right)$
In dieser 3×2 Matrix ist der Wert A_3,2 = 7

3×1 Matrix (“Spaltenvektor”)

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 8 \\ 4 \\ \end{array} } \right)$

1×3 Matrix (“Zeilenvektor”)

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 8 & 4 \\ \end{array} } \right)$

2×2 Matrix (allgemein: N=M, “quadratische Matrix”)

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{array} } \right)$

1. Addition:

$\left( {M \times N} \right)+\left( {M \times N} \right) = \left( {M \times N} \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 4 & {10} \\ 8 & 7 \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & {-7} \\ 5 & 6 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & {-5} \\ 9 & {16} \\ 8 & 8 \\ \end{array} } \right)$

2. Multiplikation mit Skalaren

$\lambda A = \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda a_{11} & \ldots & \lambda a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \cdots & \lambda a_{mn} \\ \end{array} } \right)$

Beispiel:

$3 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {12} \\ 4 & {10} \\ 8 & 7 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & {36} \\ {12} & {30} \\ {24} & {21} \\ \end{array} } \right)$

3. Multiplikation von Matrizen

Beispiel: 1×2 Matrix x 2×1 Matrix

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 4 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = 1 \cdot 2+4 \cdot 1 = 6$

Beispiel: 2×2 Matrix x 2×1 Matrix

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \cdot 2+4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2+2 \cdot 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 8 \\ \end{array} } \right)$

Beispiel: 2×2 Matrix x 2×2 Matrix

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \cdot 1+4 \cdot 1 & 1 \cdot 3+4 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2+2 \cdot 1 & 3 \cdot 3+2 \cdot 4 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 & {19} \\ 8 & {17} \\ \end{array} } \right)$

Die eine Matrix muss immer so viele Zeilen haben wie die andere Spalten.
Die Ergebnismatrix hat die folgende Größe:

$\left( {M \times N} \right) \cdot \left( {N \times K} \right) = \left( {M \times K} \right)$

Die Reihenfolge spielt bei dieser Multiplikation eine Rolle!

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 4 & 8 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} } \right) = 1 \cdot 2+4 \cdot 1+8 \cdot 3 = 30$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 4 & 8 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 \cdot 1} & {2 \cdot 4} & {2 \cdot 8} \\ {1 \cdot 1} & {1 \cdot 4} & {1 \cdot 8} \\ {3 \cdot 1} & {3 \cdot 4} & {3 \cdot 8} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 8 & {16} \\ 1 & 4 & 8 \\ 3 & {12} & {24} \\ \end{array} } \right)$

Ein weiteres Beispiel:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {-1} \\ 0 & 3 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{array} } \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {-1} \\ 0 & 3 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} } \right)$

Spur: Summe der Diagonalen

$e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 4 & 6 \\ \end{array} } \right)$

$Sp\left( e \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_{ii}} = 7$

Symmetrische Matrix: Werte sind an der Diagonalen gespiegelt

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ \end{array} } \right)$

Antisymmetrische Matrix

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ - 2 & 8 \\ \end{array} } \right)$

Einheitssymmetrische Matrix

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8 & 2 \\ 2 & 8 \\ \end{array} } \right)$

Transponieren von Matrizen

$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ {-4} & 5 \\ \end{array} } \right)$

$B^T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & {-4} \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} } \right)$

Multiplikation von Vektor und Matrix

$\vec w = A \cdot \vec v$

Die Wirkung einer Matrix auf einen Vektor ist eine Drehstreckung.

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ c \\ \end{array} } \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b \\ d \\ \end{array} } \right)$

Es kann vom Einheitsvektor auf jeden beliebigen Vektor geschlossen werden:

$\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)+\mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \mu \\ \lambda \\ \end{array} } \right)$

$A \cdot \vec v = A\left( {\lambda \hat x+\mu \hat y} \right) = A\left( {\lambda \hat x} \right)+A\left( {\mu \hat y} \right) = \lambda \left( {A\hat x} \right)+\mu \left( {A\hat y} \right)$

Besondere Matrizen

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{array} } \right)$

Die Matrix ist isotop, da bei einer Veränderung von a die beiden enthaltenen Einheitsvektoren gleichmäßig größer werden. Bei einer Multiplikation dieser Matrix mit einem Vektor werden x- und y- Koordinate gleichmäßig gestreckt.

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ c & {-a} \\ \end{array} } \right)$

Die Matrix ist spurfrei. Das heißt, die Summe der Diagonalelemente ist gleich 0.

Determinanten

Einer quadratischen Matrix soll eine Zahl zugeordnet werden. Diese Zahl nennt man die Determinante.

$\det \left( A \right) = \left| A \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} } \right)} \right|$

Beispiel:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right)$

$\left| A \right| = a \cdot d-b \cdot c$

Beispiel 2:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} } \right)$

$\left| A \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} } \right)} \right| = a\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} e & f \\ h & i \\ \end{array} } \right)} \right|-b\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d & f \\ g & i \\ \end{array} } \right)} \right|+c\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d & e \\ g & h \\ \end{array} } \right)} \right|$

$= a\left( {e \cdot i-h \cdot f} \right)-b\left( {d \cdot i-g \cdot f} \right)+c\left( {d \cdot h-g \cdot e} \right)$

Die Vorzeichen resultieren aus der Formel für die Determinante nach Laplace (Laplacescher Entwicklungssatz):

$\det A = \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {-1} \right)^{i+j} } \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}$

Durch die -1 in der Basis ändert sich das Vorzeichen für jedes j, es wird also immer abwechselnd addiert und substrahiert.

Mit Hilfe der Determinante kann das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spat) bestimmt werden. Außerdem kann bestimmt werden, ob ein als Matrix dargestelltes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Die Determinante der Matrix ist in diesem Fall ungleich 0.

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