Mechanik beim Stoßvorgang

Wir betrachten keine komplizierten Stoßvorgänge, bei denen Körper mit komplexen Oberflächen so zusammenstoßen, dass es mehrere Kontaktpunkte gibt.
Hier sollen zunächst nur Kugeln betrachtet werden, da diese eine konvexe Oberfläche haben und der Stoß leicht zu berechnen ist.

Bezeichnungen:

Die Vektoren v bezeichnen die Geschwindigkeit und Richtung der Kugeln unmittelbar vor dem Stoß, die Vektoren c die Geschwindigkeiten und Richtungen unmittelbar nach dem Stoß.

Stoßkraft:

$\vec F \sim \frac {\vec r_2-\vec r_1}{\left| \vec r_2-\vec r_1 \right|}$

Gerader zentraler Stoß

$\vec v_1, \vec v_2 \sim \frac {\vec r_2-\vec r_1}{\left| \vec r_2-\vec r_1 \right|}$

Aus der Vernachlässigung folgt, dass der Impulserhaltungssatz gilt:

Impuls vor dem Stoß:

$m_1 \vec v_1+m_2 \vec v_2$

Impuls nach dem Stoß:

$m_1 \vec c_1+m_2 \vec c_2$

gleichsetzen:

$m_1 \vec v_1+m_2 \vec v_2 = m_1 \vec c_1+m_2 \vec c_2$

Die Vektoren haben die gleiche Richtung, wir können daher mit ihrem Betrag weiterrechnen:

$m_1 v_1+m_2 v_2 = m_1 c_1+m_2 c_2$

Es sind die beiden resultierenden Geschwindigkeiten gesucht, also zwei Unbekannte. Bisher haben wir nur eine Gleichung, für die Berechnung brauchen wir eine zweite.

Qualitativer Verlauf der Stoßkraft

Bei t = t* ist der Abstand der beiden Schwerpunkte minimal.

$d \left( t \right) = \left| x_2 \left( t \right)-x_1 \left( t \right) \right|$

$d \left( t* \right) = \min$

$\frac{d}{dt} \left| x_2 \left( t* \right)-x_1 \left( t* \right) \right| = 0$

$x_2-x_1 > 0$

$\dot x_2 \left( t* \right)-\dot x_1 \left( t* \right) = 0$

$\dot x_2 \left( t* \right) = \dot x_1 \left( t* \right) = U$

Freikörperbild zur Zeit t*:

Impulssätze für m₁ und m₂:

$m_1 \left( U-v_1 \right) =-\int \limits_{t_0}^{t*}{k_1 \left( t \right) dt} =-I_1$

$m_2 \left( U-v_2 \right) = \int \limits_{t_0}^{t*}{k_1 \left( t \right) dt} = I_1$

$\Rightarrow U = \frac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}$

Impulssätze für m₁ und m₂:

$m_1 \left( c_1-U \right) = -\int \limits_{t*}^{t1}{k_1 \left( t \right) dt} =-I_2$

$m_2 \left( c_2-U \right) = \int \limits_{t*}^{t1}{k_1 \left( t \right) dt} = I_2$

Newtonsche Stoßhypothese

Die Flächen beschreiben die Energie, die zur Verformung notwendig ist. Wenn der Stoß elastisch ist, sind die Flächen A1 und A2 gleich groß.
Beim plastischen Stoß unterscheiden sich die Flächen um den Faktor ε

$I_2 = \epsilon I_1$

ε wird auch “Stoßzahl” genannt. In der Schulphysik unterscheidet man nur die zwei Spezialfälle:

ε = 1 → Rein elastischer Stoß
ε = 0 → Rein inelastischer Stoß

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