U 01.2 – Messfehler

Mit einem Sensor (z.B. LIDAR) wird die Entfernung $r$ eines statischen Objektes zum stehenden Ego-Fahrzeug gemessen:

stfas-u1-positionsbestimmung-statisches-objekt

stfas-u1-tabelle

Die Messungen sind fehlerbehaftet. Die Fehler können in zwei Hauptklassen unterteilt werden. Um welche handelt es sich und was bedeuten sie?
Geben Sie die Formeln zur Berechnung von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung aus den diskreten Messwerten an.
Geben Sie das Ergebnis der Messung mit Mittelwert und Fehler an.
Beschreiben Sie die allgemeine Vorgehensweise zur Berechnung der quantisierten Wahrscheinlichkeitsdichte aus den Messwerten.
Der Fehler kann mit Hilfe einer Gaußverteilung modelliert werden. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an und skizzieren Sie diese. Wie viel Prozent der Messungen sollten im Bereich von $\pm 2{\sigma _y}$ liegen?
Welche anderen Verteilungen neben der Gaußverteilung kennen Sie?
Zur Bestimmung der Position (x, y) in der ${x_e}$ - ${y_e}$ -Ebene muss zusätzlich der Winkel $\alpha$ gemessen werden (siehe Abbildung). Die Winkelmessung wird mit $\alpha = 0,3491 \pm 0,0017rad$ angegeben. Welche Unsicherheiten ergeben sich in der xy-Position des Objekts zum einen nach dem linearen und zum anderen nach dem gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz?
Skizzieren Sie qualitativ die Fehlerellipse.
Zusatzaufgabe Erwartungswert: Einem Spieler wird folgendes Würfelspiel vorgeschlagen: Wirft er eine Primzahl (2, 3, 5), dann gewinnt er den entsprechenden Betrag in Euro. Andernfalls verliert er die gewürfelten Werte (1, 4, 6) in Euro. Ermitteln Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, ob das angebotene Spiel für den Spieler günstig ist.

Lösung 1.2

a) Fehlerhauptklassen

Systematische Fehler:
- Durch den Sensor verursachte Fehler, wie z.B.:
  - Falsche Eichung
  - Dauernd vorhandene Störungen (z.B. Reibung)
  - Abhängigkeit von externen Einflüssen (z.B. Temperatur, Feuchte etc.)
- Fehler durch die Digitalisierung des analogen Sensorsignals
Zufällige (statistische) Fehler:
- Fehler durch unvermeidbare, regellose Störungen
  (Einzelergebnisse schwanken um einen Mittelwert)

b) Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Mittelwert: $\mu = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{r_i}} \qquad \left( { = 9,9} \right)$

Varianz: ${\sigma ^2} = \frac{1}{{N-1}}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{r_i}-\mu } \right)}^2}} \qquad \left( { = 0,25} \right)$

Standardabweichung: $\sigma = \sqrt {{\sigma ^2}} \qquad \left( { = 0,5} \right)$

c) Ergebnis der Messung

Das Ergebnis der Messung mit Mittelwert und Fehler lautet:

$r = \mu \pm \sigma = 9,90 \pm 0,5\;m$

d) Wahrscheinlichkeitsdichte aus Messwerten

Zur Darstellung der quantisierten Wahrscheinlichkeitsdichte aus den Messwerten verwendet man häufig Histogramme. Die Höhe der Balken des Histogramms stellt dabei die (relative) Häufigkeitsdichte dar.

Für die Anzahl der Balken benutzen wir die Faustformel $k = \sqrt N = \sqrt {12} \approx 3,46$

Ein Histogramm macht jedoch eigentlich erst ab etwa 7 Balken, also 49 Messwerten, Sinn.

Für die relative Häufigkeit gilt: $h = \frac{{{n_k}}}{N}$

${n_k}$ : Anzahl der Werte innerhalb eines Balkenbereichs

$N$ : Gesamtzahl

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte gilt: $p = \frac{h}{{\Delta r}}$ ; $\Delta r$ : Klassenbreite

Bsp.:

stfas-u1-histogramm

e) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion lautet:

$p = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\exp \left\{ {-\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{r-\mu }}{\sigma }} \right)}^2}} \right\}\qquad \left( { = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \cdot 0,5}}\exp \left\{ {-\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{f-9,9}}{{0,5}}} \right)}^2}} \right\}} \right)$

Grafisch ergibt sich damit folgendes Bild:

stfas-u1-gaussverteilung-wahrscheinlichkeitsdichte

$\begin{array}{*{20}{c}}{Prozent\;der\;Messungen}&\vline & {im\;Intervall} \\ \hline{68,3\% }&\vline & {y = {\mu _y} \pm {\sigma _y}} \\ \hline{95,4\% }&\vline & {y = {\mu _y} \pm 2{\sigma _y}} \\ \hline{99,7\% }&\vline & {y = {\mu _y} \pm 3{\sigma _y}} \end{array}$

f) Häufige Verteilungen

Exponentialverteilung:

stfas-u1-exponentialverteilung

[Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/ExpDichteF.svg]

Gleichverteilung (z.B. bei Zufallszahlen):

stfas-u1-gleichverteilung

Betaverteilung (innerhalb eines Intervalls $\left[ {a,b} \right]$ ):

stfas-u1-betaverteilung

[Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Beta-distribution.png]

Weitere Verteilungen sind z.B. die ${\chi ^2}$ -Verteilung oder die Gammaverteilung

g) Fehlerfortpflanzungsgesetze

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz lautet in diesem Fall:

$\Delta x = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial r}}\Delta r} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial \alpha }}\Delta \alpha } \right)}^2}}$

$\Delta y = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial r}}\Delta r} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial \alpha }}\Delta \alpha } \right)}^2}}$

Es wird also die Wurzel aus der Summe der beiden Fehlerquadrate für den Radius und den Winkel gezogen. Dieses Fehlerfortpflanzungsgesetz wird verwendet, wenn die einzelnen Messungen voneinander unabhängig sind.

Das lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz lautet:

$\Delta x = \left| {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial r}}\Delta r} \right|+\left| {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial \alpha }}\Delta \alpha } \right|$

$\Delta y = \left| {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial r}}\Delta r} \right|+\left| {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial \alpha }}\Delta \alpha } \right|$

Hiermit wird der Größtfehler abgeschätzt, welcher eine obere Grenze für die Unsicherheit darstellt. Die partiellen Ableitungen sind dabei quasi Gewichtsfaktoren für die Fortpflanzung der einzelnen Fehler. Diese Gewichtsfaktoren sollten grundsätzlich vor der Messung berechnet werden. Nur so kann erkannt werden, welche Fehler sich besonders stark auf das Endergebnis auswirken (Sensitivität).

Wir brauchen nun die Funktionen, welche Abstand und Winkel in kartesische Koordinaten (x,y) umwandeln:

$x = {f_1}\left( {r,\alpha } \right) = \cos \left( \alpha \right) \cdot r = \cos \left( {0,3491} \right) \cdot 9,9 = \underline{\underline {9,30\;m}} = {\mu _x}$

$y = {f_2}\left( {r,\alpha } \right) = \sin \left( \alpha \right) \cdot r = \sin \left( {0,3491} \right) \cdot 9,9 = \underline{\underline {3,39\;m}} = {\mu _y}$

Ableitungen:

$\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial r}} = \cos \left( \alpha \right) = 0,940\quad ;\quad \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial r}} = \sin \left( \alpha \right) = 0,342$

$\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial \alpha }} = -\sin \left( \alpha \right) \cdot r = -3,386\;m\quad ;\quad \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial \alpha }} = \cos \left( \alpha \right) \cdot r = 9,303\;m$

Nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz folgt somit:

$\Delta x = \sqrt {{{\left( {0,94 \cdot 0,5\;m} \right)}^2}+{{\left( {-3,386\;m \cdot 0,0017} \right)}^2}} = 0,470\;m$

$\Delta y = \sqrt {{{\left( {0,342 \cdot 0,5\;m} \right)}^2}+{{\left( {9,303\;m \cdot 0,0017} \right)}^2}} = 0,172\;m$

Mit dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz folgt:

$\Delta x = \left| {0,94 \cdot 0,5\;m} \right|+\left| {-3,386\;m \cdot 0,0017} \right| = 0,476\;m$

$\Delta y = \left| {0,342 \cdot 0,5\;m} \right|+\left| {9,303\;m \cdot 0,0017} \right| = 0,187\;m$

h) Fehlerellipse

stfas-u1-fehlerellipse

Man erkennt deutlich, dass bei den kartesischen Koordinaten (orange) die Fehlerfläche größer ist, als bei Polarkoordinaten. Dies liegt daran, dass beim Umrechnen Informationen verloren gehen. Daher sollte man am besten immer im Koordinatensystem des jeweiligen Sensors rechnen.

i) Erwartungswert beim Würfelspiel

Wahrscheinlichkeitstabelle für die Ergebnisse:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{x_i}}&\vline & {-1}&\vline & 2&\vline & 3&\vline & {-4}&\vline & 5&\vline & {-6} \\ \hline{p\left( {{x_i}} \right)}&\vline & {\frac{1}{6}}&\vline & {\frac{1}{6}}&\vline & {\frac{1}{6}}&\vline & {\frac{1}{6}}&\vline & {\frac{1}{6}}&\vline & {\frac{1}{6}} \end{array}$

Für den Erwartungswert gilt:

$E\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^6 {{x_i}p\left( {{x_i}} \right)} = \frac{1}{6}\left( {2+3+5-1-4-6} \right) = -\frac{1}{6}$

Das angebotene Spiel ist also ungünstig, da man auf Dauer nur Verlust machen wird.

$\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}$

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