2.5 – Minimale Gleitzahl, minimale Sinkgeschwindigkeit

 
  1. Nennen und skizzieren Sie die Kräfte, die im antriebslosen stationären Gleitflug an einem Flugzeug angreifen. Kennzeichnen Sie dabei den Bahnwinkel.
  2. Stellen Sie das Kräftegleichgewicht auf.
  3. Geben Sie hieraus den Bahnwinkel in Abhängigkeit von {C_A} und {C_W} an.
  4. Wie ist die Gleitzahl definiert und welche typischen Minimalwerte hat sie für ein Hochleistungssegelflugzeug und ein Verkehrsflugzeug?
  5. Geben Sie die Formel einer symmetrischen Polare an und tragen Sie {C_A} über {C_W} in einem Diagramm auf.
  6. Berechnen Sie die Beiwerte {C_A} über {C_W}, für die die Gleitzahl minimal wird, und tragen Sie diese in das Diagramm aus e) ein.
  7. Wo auf der Polaren liegt bezogen auf den Punkt der minimalen Gleitzahl der Punkt minimaler Sinkgeschwindigkeit?

Lösung 2.5

a)

kraftegleichgewicht-stationarer-gleitflug

Im Gleitflug wird kein Antrieb eingesetzt, d.h. die Höhe des Flugzeugs nimmt ab.
Das Kräftegleichgewicht besteht aus Gewichtskraft, Auftrieb und Widerstand.

b)

{x_a}-Richtung: -W+mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = 0

{z_a}-Richtung: -A+mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right) = 0

c)

Für den Bahnwinkel gilt:

\tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{W} {A} = \frac{{{C_W} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^2}}} {{{C_A} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^2}}} = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} \Rightarrow \gamma = -\arctan \left( {\frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}} \right)

d)

\varepsilon = \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} wird als Gleitzahl bezeichnet. Diese gibt an, um welche Höhendifferenz ein Flugzeug auf einer bestimmten Horizontalflugstrecke absinkt:

\varepsilon = \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{\Delta H}} {{\Delta {x_g}}}

{\varepsilon _{\min }} kann im Polarendiagramm aus der Tangente an die Polare abgelesen werden. Dabei gilt:

Steigung \overset{\wedge}{=}\frac{1} {\varepsilon } = \frac{{{C_A}}} {{{C_W}}}

Aus der Formel für die Flugzeugpolare kann man die Formel {\varepsilon _{\min }} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}} erhalten:

{C_W} = {C_{{W_0}}}+k \cdot C_A^2\quad \xrightarrow{{1/{C_A}}}\quad \varepsilon = \frac{{{C_{{W_0}}}}} {{{C_A}}}+k \cdot {C_A}

Da {\varepsilon _{min}} gesucht wird, kann hier die Ableitung nach {C_A} gleich 0 gesetzt werden:

0 = -\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{C_A^2}}+k\quad \Rightarrow \quad C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}

Eingesetzt in die Flugzeugpolare ergibt sich:

C_W^* = {C_{W0}}+k \cdot C_A^{*2} = {C_{W0}}+k{\left( {\sqrt {\frac{{{C_{W0}}}} {k}} } \right)^2} = {C_{W0}}+k\frac{{{C_{W0}}}} {k} = 2{C_{W0}}

gleitzahl-epsilon-minimalwert-verkehrsflugzeug

Daraus folgt:

{\varepsilon _{\min }} = \frac{{C_W^*}} {{C_A^*}} = 2\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} }} = 2\frac{{{C_{{W_0}}}\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} }} {{\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}} = 2k\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} = 2\sqrt {k{C_{{W_0}}}}

Mit den Werten aus Aufgabe 1.5d ergeben sich folgende minimalen Gleitzahlen:

{\varepsilon _{\min ,Segel}} = 2\sqrt {0,01 \cdot 0,015} = 0,02449

{\varepsilon _{\min ,Verkehr}} = 2\sqrt {0,015 \cdot 0,04} = 0,04899

{\varepsilon _{\min ,Kampf}} = 2\sqrt {0,018 \cdot 0,1} = 0,08485

e, f)

Die Polarengleichung {C_W} = {C_{{W_0}}}+kC_A^2 erzeugt im {C_A},{C_W}-Diagramm eine seitlich gelegte Parabel, die um {C_{{W_0}}} nach rechts verschoben ist:

gleitzahl-epsilon-minimalwert-steigung

Nach Aufgabenteil 2.1c ergibt sich das {\varepsilon _{\min }} bei C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}.

g)

Für die minimale Sinkgeschwindigkeit ergibt sich ein nötiger Auftriebsbeiwert {C_A} von:

{\left. {{C_A}} \right|_{{w_{\min }}}} = \sqrt 3 \cdot C_A^*,

womit dieser Punkt auf der Polaren um ca. das 1,7 Fache höher liegt und damit auch ein Stück weiter rechts.

minimale-sinkgeschwindigkeit-auftriebsbeiwert