2 – Modellierung von Strukturen als Raumfachwerke

 

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den grundlegenden Annahmen zur Modellierung von Fachwerkstäben als 1D-Kontinuum und der Formulierung des zu Grunde liegenden ARWP.

2.1 Annahmen auf der Materialpunktebene

Wir nehmen linear elastisches Materialverhalten an und verzichten auf die Betrachtung von Plastizität oder gar Schädigungen. Durch den linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung sind unendlich hohe Dehnungen und Spannungen im Modell möglich. Es ist daher wichtig, im Anschluss an die Rechnung eine Plausibilitätskontrolle durchzuführen und die Anwendbarkeit des Modells zu prüfen.

2.2 Annahmen auf der Elementebene

Wir betrachten ein Stabelement:

stab-annahmen-finite-elemente-ebene

In diesem Stab gehen wir von einem über den Querschnitt konstanten Verschiebungsfeld {u_1} in Stablängsrichtung aus. Dementsprechend existiert auch nur die Spannung {\sigma _{11}} und es gibt nur Streckenlasten {p_1} in Stablängsrichtung (Randlasten N_1^* analog). Aufgrund des elastischen Materialverhaltens gilt {\sigma _{11}} = E{\varepsilon _{11}}.

2.3 Konsequenzen der Modellannahmen auf Strukturebene

Wir betrachten folgende Fachwerkstruktur:

fachwerkstruktur-modellannahme-strukturebene

Wir nehmen an, dass die Verbindungen zwischen den Stäben gelenkig sind, damit keine Biegemomente auftreten. Trägheits- oder Gravitationslasten infolge der Stabmasse müssen auf Strukturebene durch an den Knoten angreifende Einzellasten repräsentiert werden. Es werden nur konstante Normalenverzerrungen {\varepsilon _{11}} über den Querschnitt berücksichtigt.

2.4 Mechanik eindimensionaler Kontinua

In diesem Abschnitt wollen wir die Grundgleichungen des Stabes an einem aus der Struktur ausgewählten, repräsentativen Stabelement e ermitteln. Anschließend überführen wir die Grundgleichung in die schwache Form und formulieren Anfangs- und Randbedingungen.

2.4.1 Lokale Impulsbilanz des Fachwerkstabes

Wir betrachten folgendes Stabmodell:

lokale-impulsbilanz-fachwerkstab

Nun schneiden wir einen infinitesimal kleinen Teil des Stabes frei und betrachten die Schnittlasten:

infenitesimales-differentielles-stabelement

Es gilt für die Normalenableitung:

{N_{1,1}} = \frac{{\partial {N_1}\left( {{x_1}} \right)}}{{\partial {x_1}}} = {\sigma _{11,1}}A

Wir stellen nun das Gleichgewicht auf:

-{N_1}\left( {{x_1}} \right)+{N_1}\left( {{x_1}} \right)+\frac{{\partial {N_1}\left( {{x_1}} \right)}}{{\partial {x_1}}}d{x_1}+{p_1}\left( {{x_1}} \right)d{x_1}-\rho A{{\ddot u}_1}\left( {{x_1}} \right)d{x_1} = 0

\Rightarrow \quad \rho A{{\ddot u}_1}\left( {{x_1}} \right) = {N_{1,1}}\left( {{x_1}} \right)+{p_1}\left( {{x_1}} \right)

\Rightarrow \quad \rho {{\ddot u}_1}\left( {{x_1}} \right) = {\sigma _{11,1}}+\rho {b_1}\left( {{x_1}} \right)

Wir kommen auf folgendes Ergebnis:

Impulsbilanz, Cauchy-Bewegungsgleichung:

\rho {\ddot u_1} = {\sigma _{11,1}}+\rho {b_1}\quad \forall {x_1} \in {\Omega ^e}

2.4.2 Kinematik des eindimensionalen Kontinuums

Die Normalverzerrung ist definiert als:

{\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{\partial {u_1}\left( {{x_1}} \right)}}{{\partial {x_1}}} = {u_{11,1}}\left( {{x_1}} \right)

2.4.3 Konstitutives Gesetz

Das konstitutive Gesetz stelle eine Verknüpfung von Spannungen und Dehnungen dar:

{N_1}\left( {{x_1}} \right) = A{\sigma _{11}}\left( {{x_1}} \right)

{\sigma _{11}}\left( {{x_1}} \right) = E{\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right)

\Rightarrow \quad {N_1}\left( {{x_1}} \right) = EA{\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right)

Dabei ist E der Elastizitätsmodul und EA die Dehnsteifigkeit des Stabes.

2.4.4 Randbedingungen und Anfangsbedingungen

Dirichlet-Randbedingungen (RB der ersten Art):

dirichlet-randbedingung-finite-elemente

Bei einer Dirichlet-Randbedingung sind die Verschiebungen u_1^{{e_1}} und u_2^{{e_2}} an den Endquerschnitten, also bei {e_1} (linker Rand von Element e) und {e_2} (rechter Rand von Element e), durch die festen Werte u_1^{e_1^*} und u_1^{e_2^*} vorgegeben:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {u_1^{{e_1}} = u_1^{e_1^*}} \\ {u_1^{{e_2}} = u_1^{e_2^*}} \end{array}} \right\}\quad \forall {x_1} \in \Gamma _u^e

Sind die vorgeschriebenen Verschiebungen identisch Null spricht man von homogenen Dirichlet-RB.

Neumann-Randbedingungen:

neumann-randbedingung-stab

Hier sind die Normalkräfte N_1^{{e_1}} und N_1^{{e_2}} an den Stabenden durch die Randlasten N_1^{e_1^*} und N_1^{e_2^*} vorgeschrieben:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {N_1^{{e_1}} = -N_1^{e_1^*}} \\ {N_1^{{e_2}} = N_1^{e_2^*}} \end{array}} \right\}\quad \forall {x_1} \in \Gamma _N^e

Anfangsbedingungen:

Anfangsbedingungen beschreiben z.B. die Verschiebung auf dem Gebiet {\Omega ^e} zu einem festen Zeitpunkt:

{u_1}\left( {t = 0} \right) = {u_{10}},\quad {\ddot u_1}\left( {t = 0} \right) = {\ddot u_{10}}\quad \forall {x_1} \in {\Omega ^e}

An ein und demselben Rand kann nur entweder eine Dirichlet-RB oder eine Neumann-RB vorgegeben sein, es ist also {\Gamma ^e} = \Gamma _u^e \cup \Gamma _N^e und \Gamma _u^e \cap \Gamma _N^e = \emptyset.

2.4.5 Anfangsrandwertproblem des Stabes

Es folgt eine Übersicht über das Anfangsrandwertproblem des Stabes (Tonti-Diagramm).

tonti-diagramm-anfangs-randwert-problem

Wichtige Gleichungen

Kinetik (Euler-DGL): {N_{1,1}}\left( {{x_1}} \right) = {\ddot u_1}\left( {{x_1}} \right)\rho A-{p_1}\left( {{x_1}} \right)

Konstitutivgesetz: {N_{1,1}}\left( {{x_1}} \right) = EA{\varepsilon _{11,1}}\left( {{x_1}} \right)

Kinematik: {\varepsilon _{11,1}}\left( {{x_1}} \right) = {u_{1,11}}\left( {{x_1}} \right)

2.5 Analytische Lösungen für ausgewählte Belastungen

Wir betrachten als ersten Lastfall eine Einzellast P:

einzellast-stab-finite-elemente-analytisch-vergleich

Euler-Differentialgleichung:

EA{u_{1,11}}\left( {{x_1}} \right) = 0

\underbrace {EA{u_{1,1}}\left( {{x_1}} \right)}_{{N_1}\left( {{x_1}} \right)} = 0+{c_1}

EA{u_1}\left( {{x_1}} \right) = {c_1}{x_1}+{c_2}

Statische Randbedingung:

{N_1}\left( {{x_1} = L} \right) = P\quad \Rightarrow \quad {c_1} = P

Geometrische Randbedingung:

{u_1}\left( {{x_1} = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_2} = 0

Es ergibt sich:

{u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{P}{{EA}}{x_1},\quad \quad {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{P}{{EA}}

Als nächsten Lastfall betrachten wir eine konstante Streckenlast {q_0}:

konstante-streckenlast-finite-elemente-analytisch

Es ergibt sich:

EA{u_{1,11}}\left( {{x_1}} \right) = -{q_0}

\underbrace {EA{u_{1,1}}\left( {{x_1}} \right)}_{{N_1}\left( {{x_1}} \right)} = -{q_0}{x_1}+{c_1}

EA{u_1}\left( {{x_1}} \right) = -\frac{1}{2}{q_0}x_1^2+{c_1}{x_1}+{c_2}

Randbedingungen:

{N_1}\left( {{x_1} = L} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_1} = {q_0}L

{u_1}\left( {{x_1} = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_2} = 0

\Rightarrow \quad {u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{q_0}}}{{2EA}}\left[ {2L{x_1}-x_1^2} \right],\quad \quad {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{q_0}}}{{EA}}\left( {L-{x_1}} \right)

Zuletzt betrachten wir noch eine linear veränderliche Streckenlast q\left( {{x_1}} \right):

linear-veranderliche-streckenlast-finite-elemente-analytisch

Es ergibt sich:

EA{u_{1,11}}\left( {{x_1}} \right) = -3{q_0}\left( {1-\frac{{{x_1}}}{L}} \right)

\underbrace {EA{u_{1,1}}\left( {{x_1}} \right)}_{{N_1}\left( {{x_1}} \right)} = -3{q_0}\left( {{x_1}-\frac{{x_1^2}}{{2L}}} \right)+{c_1}

EA{u_1}\left( {{x_1}} \right) = 3{q_0}\left( {-\frac{{x_1^2}}{2}+\frac{{x_1^3}}{{6L}}-\frac{{L{x_1}}}{2}} \right)+{c_2}

Randbedingungen:

{N_1}\left( {{x_1} = L} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_1} = \frac{3}{2}{q_0}L

{u_1}\left( {{x_1} = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_2} = 0

\Rightarrow \quad {u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{3{q_0}}}{{2EA}}\left( {L{x_1}-x_1^2+\frac{{x_1^3}}{{3L}}} \right),\quad \quad {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{3{q_0}}}{{2EA}}\left( {L-2{x_1}+\frac{{x_1^2}}{L}} \right)

2.6 Prinzip der virtuellen Verschiebungen des Stabes

Im Allgemeinen sind Anfangsrandwertprobleme und Randwertprobleme, wie sie im letzten Kapitel besprochen wurden, nicht mehr analytisch lösbar. Es werden dann Näherungslösungen angestrebt. Diese erhalten wir durch integralbasierte, numerische Lösungsverfahren, die auf der so genannten schwachen Formulierung basieren.

Impulsbilanz und Neumann-Randbedingung:

\rho A{{\ddot u}_1}-{p_1}-{N_{1,1}} = 0\quad \forall {x_1} \in {\Omega ^e}

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {-N_1^{e_1^*}-N_1^{{e_1}} = 0} \\ {-N_1^{e_2^*}+N_1^{{e_2}} = 0} \end{array}} \right\}\quad \Rightarrow \quad \forall {x_1} \in {\Gamma _N}

Als Testfunktion wird die virtuelle Verschiebung \delta {u_1} genutzt. Eigenschaften von \delta {u_1}:

  • \delta {u_1} genügt den Dirichlet-Randbedingungen, d.h. \delta {u_1} = 0\;\;\forall {x_1} \in \Gamma _u^e
  • \delta {u_1} genügt den Feldgleichungen, d.h. \delta {u_{1,1}} = \delta {\varepsilon _{11}}\;\;\forall {x_1} \in {\Omega ^e}
  • \delta {u_1} ist infinitesimal klein und ansonsten beliebig

Skizze:

virtuelle-verschiebung-linearitat-superposition

Wir erhalten:

\delta {u_1}\left( {\rho A{{\ddot u}_1}-{p_1}} \right)-\delta {u_1}{N_{1,1}} = 0

-\delta u_1^{{e_1}}\left( {N_1^{e_1^*}+N_1^{{e_1}}} \right) = 0

-\delta u_1^{{e_2}}\left( {N_1^{e_2^*}-N_1^{{e_2}}} \right) = 0

Integration der Gleichungen über {\Omega ^e} (der Rand entfällt, da er nur ein Punkt ist):

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}\left( {\rho A{{\ddot u}_1}-{p_1}} \right)d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}{N_{1,1}}d{x_1}} -\delta u_1^{{e_1}}\left( {N_1^{e_1^*}+N_1^{{e_1}}} \right)-\delta u_1^{{e_2}}\left( {N_1^{e_2^*}-N_2^{{e_2}}} \right) = 0\quad \left( * \right)

Partielle Integration des Terms \delta {u_1}{N_{1,1}}:

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}{N_{1,1}}d{x_1}} = \left[ {\delta {u_1}{N_1}} \right]_{{e_1}}^{{e_2}}-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_{1,1}}{N_1}d{x_1}}

= \delta u_1^{{e_2}}N_1^{{e_2}}-\delta u_1^{{e_1}}N_1^{{e_1}}-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_{1,1}}{N_1}d{x_1}}

Einsetzen in die integrale Form (*):

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}\left( {\rho A{{\ddot u}_1}-{p_1}} \right)d{x_1}} +\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_{1,1}}{N_1}d{x_1}} -\delta u_1^{{e_1}}N_1^{e_1^*}-\delta u_1^{{e_2}}N_1^{e_2^*} = 0

Beziehungen:

\delta {u_{1,1}} = \delta {\varepsilon _{11}},\quad \quad {N_1} = EA{\varepsilon _{11}}

Es ergibt sich:

\underbrace {\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}{{\ddot u}_1}\rho Ad{x_1}} }_{\delta W_{dyn}^e}+\underbrace {\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {\varepsilon _{11}}EA{\varepsilon _{11}}d{x_1}} }_{\delta W_{int}^e} = \underbrace {\delta u_1^{{e_1}}N_1^{e_1^*}+\delta u_1^{{e_2}}N_1^{e_2^*}+\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {u_1}{p_1}d{x_1}} }_{\delta W_{ext}^e}

Dabei ist \delta W_{dyn}^e die dynamische virtuelle Arbeit, \delta W_{int}^e die innere virtuelle Arbeit und \delta W_{ext}^e die virtuelle Arbeit der äußeren Lasten.

In kompakter Form:

\delta W_{dyn}^e+\delta W_{int}^e = \delta W_{ext}^e

Im Prinzip der virtuellen Verschiebungen werden Dirichlet-Randbedingungen stark erfüllt, Neumann-Randbedingungen und die Impulsbilanz schwach erfüllt. Die schwache Formulierung lässt lokale Fehler zu, im Integral ist sie jedoch erfüllt.

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