2.1 – Motivation für die Matrix-Steifigkeitsmethode

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Wir betrachten zunächst nur bereits diskrete Systeme und veranschaulichen uns die Steifigkeitsmatrizen.

Wir betrachten eine lineare Feder:

lineare-feder-aufbau-kraft-dehnung-diagramm

Die Kraft F sei gegeben. Die Verschiebung berechnen wir mit der Formel

\delta = \frac{F}{k}

mit der Federkonstante k. Die Federkonstante reicht also zur Charakterisierung dieser einfachen Struktur aus.

Wir betrachten nun eine kompliziertere Struktur aus linearen Elementen:

struktur-lineare-finite-elemente-kraft-stab-verschiebung-knoten

Gesucht sind die Stabkräfte und Verschiebungen der Knoten B, C, D und E.

Verallgemeinerung der linearen Federbeziehung:

\left\{ F \right\} = \left[ K \right]\left\{ \delta \right\}

Dabei ist \left\{ F \right\} die Spaltenmatrix der Knotenkräfte, \left\{ \delta \right\} die Spaltenmatrix der Knotenverschiebungen und \left[ K \right] die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur.

Anmerkungen

Wesentliche Aufgabe ist die Bestimmung der Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur. Danach erfolgt die Lösung des Problems. Dieses kann bei großen Systemen numerisch sehr aufwändig werden. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix kann sehr einfach aus den Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elemente aufgebaut werden („Baukastenprinzip“).