2.5 – Multiplikationschiffre

2.5.1 Definition und Grundproblem

Sei $\Sigma = \left\{ {A, \ldots ,Z} \right\},k \in \mathcal{K}$ ein Schlüssel und $\mathcal{K} = {\mathbb{Z}_{26}}$ . Zum Verschlüsseln wird jedes Zeichen mit dem Wert des Schlüssels multipliziert.

Beispiel:

tabelle-multiplikationschiffre

Grundproblem bei der Multiplikationschiffre:

$p = BOB \overset{\wedge}{=}\left( {1,14,1} \right)$

$k = 2$

$c = \left( {2,2,2} \right) \overset{\wedge}{=}CCC$

Die Verschlüsselungsfunktion ist nicht injektiv und daher nicht geeignet.

Weiteres problematisches Beispiel:

tabelle-multiplikationschiffre

Die Funktion ist nicht surjektiv, da nur für gerade Zahlen definiert. Sie ist daher nicht geeignet, da ein einmal verschlüsselter Geheimtext nie wieder entschlüsselt werden kann. Alle Buchstaben im Geheimtext sind doppeldeutig. Es stellt sich die Frage, welche Zahlen wir für $k$ benutzen können.

2.5.2 Integritätsbereich, Nullteiler und Homomorphie

Ein kommutativer Ring $\left( {\mathcal{M},+, \cdot } \right)$ mit $1 \ne 0$ heißt Integritätsbereich, wenn für $a,b \in \mathcal{M}$ aus $a \cdot b = 0$ folgt, dass $a = 0$ oder $b = 0$ ist.

Sei $\left( {\mathcal{M},+, \cdot } \right)$ ein Ring. Ein Element $a \in \mathcal{M}$ mit $a \ne 0$ heißt Nullteiler, wenn es ein $b \in \mathcal{M}$ gibt, so dass gilt: $a \cdot b = 0$ oder $b \cdot a = 0$ .

Sei $n \in \mathbb{N},\:z \in \mathbb{Z}$ . Betrachtet werden die beiden Ringe $\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+, \cdot } \right)$ und $\left( {\mathbb{Z},+, \cdot } \right)$ . Die Abbildung