08 – Nachrechnung Bolzenverbindung

 

Eine Laufrolle wie dargestellt soll mittels eines Bolzens gelagert werden. Die Bolzenverbindung ist nachzurechnen, d.h. es ist die Tragfähigkeit des Bolzens sowie die Flächenpressung zwischen Bolzen und Gleitbuchse zu überprüfen (Hinweis: die Schmierbohrungen können bei den Betrachtungen außer Acht gelassen werden).

bolzen-verbindung-laufrolle-aufgabe

Gegeben:

Hauptabmessungen: d = 35mm,\quad a = 20mm,\quad b = 50mm
Bolzenwerkstoff: E295
Maximale Rautiefe des Bolzens: {R_z} = 6,3\mu m
Buchsenwerkstoff: CuSn8
Belastung der Rolle: F = 33kN, schwellend
Mindestsicherheit gegen Dauerbruch: {S_{D,\min }} = 3,0

Lösung

Wir betrachten zunächst im Skript die Folie „Gelenkverbindung mit Bolzen“:

gelenkverbindung-bolzen

Für die verschiedenen Einbaufälle betrachten wir folgende Tabelle:

gelenkverbindung-typ-bolzen-einbaufall

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass wir hier den Einbaufall 1 vorliegen haben.

Für das maximale Biegemoment gilt damit:

{M_{b,\max }} = \frac{{F\left( {L+2s} \right)}}{8}

Dabei ist s die Breite der Gabel (in der Aufgabenstellung a) und L die Breite der Stange (in der Aufgabenstellung b). Also:

{M_{b,\max }} = \frac{{F\left( {b+2a} \right)}}{8} = \frac{{33 \cdot  {{10}^3}N \cdot  \left( {50+2 \cdot  20} \right)mm}}{8} = 371Nm

Wie gewohnt bestimmen wir aus dem Biegemoment nun die maximal vorhandene Biegespannung am Bauteil. Für diese gilt:

{\sigma _{b,\max }} = \frac{{{M_{b,\max }}}}{{{W_b}}}

Der Bolzen ist rund, wir benötigen daher hier das Biegewiderstandsmoment eines Kreisprofils. Dieses ist:

{W_b} = \frac{{\pi {d^3}}}{{32}} = \frac{{\pi  \cdot  {{\left( {35mm} \right)}^3}}}{{32}} = 4208m{m^3}

Daraus folgt für die maximale Biegespannung:

{\sigma _{b,\max }} = \frac{{{M_{b,\max }}}}{{{W_b}}} = \frac{{371 \cdot  {{10}^3}Nmm}}{{4208m{m^3}}} = 88\frac{N}{{m{m^2}}}

Nun berechnen wir die Gestaltfestigkeit, also die Spannung, die das Bauteil maximal ertragen kann. Für diese gilt:

{\sigma _G} = \frac{{{C_{d,m}} \cdot  {C_{O,\sigma }} \cdot  k}}{{{\beta _{kb}} \cdot  {C_B}}}

Die verwendeten Größen müssen noch bestimmt, bzw. in Tabellen nachgeschlagen werden.

Der Betriebsfaktor {C_B} fällt hier weg, da es sich nicht um eine extrem stoßartige Belastung handelt. Es ist also {C_B} = 1.

Tabelle für den technologischen Größenfaktor {C_{d,m}}:

technologischer-grosenfaktor

Es handelt sich beim verwendeten Material E295 um einen unlegierten Baustahl. Der gleichwertige Durchmesser {d_{eff}} ist hier der Durchmesser des Bolzens, also d = 35mm.
Es ergibt sich aus der Tabelle ein Wert von {C_{d,m}} = 1.

Tabelle für den Oberflächeneinflussfaktor {C_{O,\sigma }}:

oberflacheneinflussfaktor-tabelle

Um einen Wert ablesen zu können, brauchen wir die maximale Rautiefe {R_z} und die Mindestzugfestigkeit {R_m}. Die maximale Rautiefe ist {R_z} = 6,3 (aus der Aufgabenstellung). Die Mindestzugfestigkeit berechnen wir mit der Formel

{R_m} = {R_{m,N}} \cdot  {C_{d,m}} = 490\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot  1 = 490\frac{N}{{m{m^2}}}

Es ergibt sich aus der Tabelle ein Wert für den Oberflächeneinflussfaktor {C_{O,\sigma }} = 0,93.

Der nächste Wert ist der Werkstoffkennwert k. Wir betrachten die folgende Tabelle:

Werkstoffkennwert

Es liegt eine schwellende Biegebelastung vor, daher ist k = {\sigma _{b,sch,N}}.

Hier brauchen wir wieder die Tabelle mit Werkstoffeigenschaften:

werkstoffkennwerte-tabelle

Es ergibt sich ein Wert von {\sigma _{b,sch,N}} = 355\frac{N}{{m{m^2}}}

Als letzten Wert müssen wir noch den Kerbfaktor {\beta _{kb}} bestimmen. Die Spielpassung verhindert eine Kerbwirkung der Gabel und der Bolzen selbst hat keine Kerben, daher gilt:

{\beta _{kb}} = 1.

Alle Werte einsetzen:

{\sigma _G} = \frac{{{C_{d,m}} \cdot  {C_{O,\sigma }} \cdot  k}}{{{\beta _{kb}}}} = \frac{{1 \cdot  0,93 \cdot  355\frac{N}{{m{m^2}}}}}{1} = 330\frac{N}{{m{m^2}}}

Aus der Gestaltfestigkeit {\sigma _G} und der maximalen Biegespannung {\sigma _{b,\max }} können wir nun die Sicherheit ermitteln, die im Bauteil gegeben ist:

{S_D} = \frac{{{\sigma _G}}}{{{\sigma _{b,\max }}}} = \frac{{330\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{88\frac{N}{{m{m^2}}}}} = 3,75 \geq 3,0 = {S_{D,\min }}\quad  \Rightarrow \quad in Ordnung!

Die Tragfähigkeit des Bolzens ist damit nachgerechnet. Wir müssen als nächstes die Flächenpressung zwischen Bolzen und Gleitbuchse überprüfen.

Flächenpressung

Für die mittlere Flächenpressung gilt:

\bar p = \frac{F}{{{A_{proj}}}}

Mit der projizierten Fläche {A_{proj}}, die in diesem Fall die Oberfläche des Bolzens ist:

{A_{proj}} = db = 35mm \cdot  50mm = 1750m{m^2}

Eingesetzt in die Formel für die mittlere Flächenpressung:

\bar p = \frac{F}{{{A_{proj}}}} = \frac{{33 \cdot  {{10}^3}N}}{{1750m{m^2}}} = 19\frac{N}{{m{m^2}}}

Nun bestimmen wir die zulässige Flächenpressung am Bauteil. Dafür schauen wir in die Tabelle:

flachenpressung-bolzenverbindung

Für eine schwellende Belastung beim Buchsenmaterial CuSn8 und einem geschmierten Gleitsitz (Laufrolle) erhalten wir so einen Wert von

\overline {{p_{zul}}}  = 32\frac{N}{{m{m^2}}} \geq 19\frac{N}{{m{m^2}}} = \bar p\quad  \Rightarrow \quad in Ordnung

Merke: Bei einer Flächenpressung gibt es keinen direkten Sicherheitsfaktor!