13 – Nachrechnung einer Kegelverbindung

 

Die unten dargestellte Kegelverbindung zwischen einer Zahnriemenscheibe aus EN-GJL-200 und einem Wellenzapfen aus C22E ist nachzurechnen. Die zu übertragende Leistung beträgt P = 63kW, die Drehzahl der Welle ist n = 710{\min ^{-1}}. Gehen Sie von einer Sicherheit {S_R} = 1,5 gegen Rutschen aus.

kegelverbindung-zahnriemenscheibe-wellenzapfen

Legen Sie Ihrer Berechnung folgende Reibungszahlen zugrunde:

  • in der Fuge: {\mu _F} = 0,15
  • unter der Mutterauflage: {\mu _k} = 0,20
  • im Gewinde: {\mu _G} = 0,10

13.1 – Ermitteln Sie die zur Übertragung des Drehmoments erforderliche Einpresskraft.
13.2 – Ermitteln Sie die in der Fuge wirkende Flächenpressung.
13.3 – Ermitteln Sie das erforderliche Anziehdrehmoment der Spannmutter.
13.4 – Rechnen Sie den Gewindezapfen nach ({\sigma _{zul}} = 0,8{R_m}).

Lösung

13.1 – Ermittlung der Einpresskraft

Hier zunächst eine Skizze der wirkenden Kräfte:

kegelverbindung-kraft-reibung-axial-radial

Die eingezeichneten Kräfte stehen für:

{F_N}: Normalkraft
{F_{R,t}} = {F_R}: tangentiale Reibungskraft = Reibungskraft
{F_e} = {F_a}: Axialkraft
{F_r}: Radialkraft

Wir können die von außen aufgebrachte Normalkraft {F_N} und die daraus resultierende tangentiale Reibkraft {F_{R,t}} bzw. {F_R} durch eine von innen nach außen wirkende Reaktionskraft in axialer Richtung ({F_a}) und in radialer Richtung ({F_r}) ausgleichen.

Bei einer Kegelverbindung handelt es sich um eine reibschlüssige Verbindung. Die Kraftübertragung zwischen Welle und Nabe erfolgt durch Reibungswiderstand, der sich aus den Pressungen in der Trennfuge der zu verbindenden Teile ergibt. In diesem Fall ergibt sich die Pressung aus dem Kegelsitz. Eine derartige Verbindung eignet sich zur Übertragung von Drehmomenten zwischen Welle und Nabe. Bei der Kegelverbindung wird die Normalkraft durch die Keilwirkung (schiefe Ebene) erzeugt. Die Längskraft der Schraube wird durch die Keilwirkung erzeugt (verstärkte Fugenpressung). Außen- und Innenkegel müssen übereinstimmen. Die Fugenpressung ist dabei an allen Stellen gleich. Diese Verbindung ist für Stoß- und Wechselbeanspruchung geeignet. Die Kegelverbindung gewährleistet einen genauen zentrischen Sitz und hohe Laufgenauigkeit und Laufruhe. Nachträgliches axiales Verschieben oder Nachstellen ist allerdings nicht möglich.

In der Kegelverbindung verhält sich das Moment der tangentialen Reibkraft (Reibmoment) gerade entgegen des aufgebrachten Torsionsmoments durch die von außen aufgebrachte Kraft {F_t}:

kegelverbindung-kraft-wirkend-reibung

Damit die Verbindung hält, muss gelten:

\left( 1 \right)\quad \quad {M_R} \geq {M_t}

Das Reibmoment muss also größer sein als das aufgebrachte Torsionsmoment. Für das Reibmoment gilt dabei:

\left( 2 \right)\quad \quad {M_R} = {F_{R,t}} \cdot  \frac{{{D_{m,F}}}}{2}

Dabei ist {D_{m,F}} der mittlere Fugendurchmesser. Für die Reibungskraft bzw. die tangentiale Reibkraft gilt (siehe Skript „Elemente verbinden“ S. 67):

\left( 3 \right)\quad \quad {F_R} = {F_{R,t}} = {F_N}{\mu _F}

Im nächsten Schritt vergleichen wir \left( 3 \right) eingesetzt in \left( 2 \right) mit \left( 1 \right):

{M_R} = {F_N}{\mu _F}\frac{{{D_{m,F}}}}{2}\quad  \Rightarrow \quad {F_N}{\mu _F}\frac{{{D_{m,F}}}}{2} \geq {M_t}

Damit ergibt sich für die erforderliche Anpresskraft:

\left( 4 \right)\quad \quad {F_N} \geq \frac{{2{M_t}}}{{{\mu _F}{D_{m,F}}}}

Hier eine Skizze zu dem Problem:

winkel-kraft-lager-reaktion-dreieck

Die resultierende Kraft {F_{res}}, die auf das Lager wirkt, wird zum einen durch die Kräfte von außen, also {F_N} und {F_{R,t}} erzeugt, zum anderen aber auch durch die Reaktionskräfte {F_r} (radial) und {F_a} (axial). Die Winkeldifferenz dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke bildet dabei den halben Kegelneigungswinkel \frac{\alpha }{2}. \rho ist der Reibungsneigungswinkel, für den gilt:

\tan \left( \rho  \right) = \mu

Der Winkel ist also abhängig von der Fugenfläche und damit vom Haftbeiwert \mu.

Wir können also aus der Skizze folgern:

\left( 5 \right)\quad \quad \sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{{F_a}}}{{{F_{res}}}}

\left( 6 \right)\quad \quad \cos \left( \rho  \right) = \frac{{{F_N}}}{{{F_{res}}}}

\left( 7 \right)\quad \quad \tan \left( \rho  \right) = \frac{{\sin \left( \rho  \right)}}{{\cos \left( \rho  \right)}} = \frac{{{F_R}}}{{{F_{res}}}} \cdot  \frac{{{F_{res}}}}{{{F_N}}} = \frac{{{F_R}}}{{{F_N}}} = {\mu _F}

Aus \left( 5 \right) und \left( 6 \right) folgt:

\left( 8 \right)\quad \quad {F_a} = \sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot  {F_{res}} = \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot  {F_N}}}{{\cos \left( \rho  \right)}}

Aus \left( 4 \right), \left( 7 \right) und \left( 8 \right) folgt:

\left( 9 \right)\quad \quad {F_a} = \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right){F_N}}}{{\cos \left( \rho  \right)}} = \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)2{M_t}}}{{{\mu _F}{D_{m,F}}\cos \left( \rho  \right)}} = \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)2{M_t}}}{{\frac{{\sin \left( \rho  \right)}}{{\cos \left( \rho  \right)}}{D_{m,F}}\cos \left( \rho  \right)}}{F_a}

= \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)2{M_t}}}{{\sin \left( \rho  \right){D_{m,F}}}} = \frac{{2{M_t}}}{{{D_{m,F}}}}\frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \left( \rho  \right)}}

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir eine geforderte Sicherheit gegen Rutschen von {S_R} = 1,5. Damit gilt für die erforderliche Einpresskraft mit der Sicherheit {S_R} nach \left( 9 \right):

{F_a} \geq \frac{{2{M_t}}}{{{D_{m,F}}}} \cdot  \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \left( \rho  \right)}} \cdot  {S_R}

Um diese Gleichung zu lösen, brauchen wir zunächst das zu übertragende Drehmoment. Aus der Aufgabenstellung geht eine zu übertragende Leistung von P = 63kW hervor bei einer Drehzahl von n = 710{\min ^{-1}} = \frac{{710}}{{60}}{s^{-1}}. Zur Ermittlung des Drehmoments gilt die Formel:

{M_t} = \frac{P}{{2\pi n}} = \frac{{63 \cdot  {{10}^3}\frac{{Nm}}{s}}}{{2\pi  \cdot  \frac{{710}}{{60}} \cdot  \frac{1}{s}}} = 847,3Nm

Die Gleichung lässt sich wie folgt herleiten:

P = Fv = \frac{{Fs}}{t} = {M_t}\omega  = {{\rm M}_t}2\pi n

Die nächste benötigte Größe ist der Durchmesser d am dünneren Ende des Kegels, mit dem wir anschließend auf andere benötigte Größen schließen können.

Skizze des Problems:

kegelverhaltnis-schrag-neigung

Durch das so genannte Kegelverhältnis c wird die Neigung des Kegels ausgedrückt (Roloff-Matek S. 365-368). Es gilt:

c = \frac{1}{x} = \frac{{D-d}}{l}

mit dem dicken Durchmesser D, dem dünnen Durchmesser d und der Kegellänge l.

Laut Zeichnung in der Aufgabenstellung gilt: c = 1:5. Mit D = 80mm und l = 80mm folgt daraus:

\frac{1}{x} = \frac{{D-d}}{l}\quad  \Rightarrow \quad d = D-\frac{l}{x} = 80mm-\frac{{80mm}}{5} = 64mm

Für den Kegelneigungswinkel gilt nach Roloff-Matek:

\tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{D-d}}{{2l}}\quad  \Rightarrow \quad \frac{\alpha }{2} = \arctan \left( {\frac{{D-d}}{{2l}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{80mm-64mm}}{{2 \cdot  80mm}}} \right) = 5,71^\circ

Der Reibungsneigungswinkel \rho ergibt sich nach \left( 7 \right) aus

{\mu _F} = \tan \left( \rho  \right)\quad  \Rightarrow \quad \rho  = \arctan \left( {{\mu _F}} \right) = \arctan \left( {0,15} \right) = 8,53^\circ

Der mittlere Kegeldurchmesser {D_{m,F}} ist:

{D_{m,F}} = \frac{{D+d}}{2} = 72mm

Aus \left( 9 \right) lässt sich mit den errechneten Größen nun die mindestens benötigte Einpresskraft {F_a} ermitteln:

{F_a} \geq \frac{{2{M_t}{S_R}}}{{{D_{m,F}}}} \cdot  \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \left( \rho  \right)}} = \frac{{2 \cdot  847,3Nm \cdot  1,5}}{{72 \cdot  {{10}^{-3}}m}} \cdot  \frac{{\sin \left( {8,53^\circ +5,71^\circ } \right)}}{{\sin \left( {8,53^\circ } \right)}} = 5,855 \cdot  {10^4}N

13.2 – Ermittlung der wirkenden Flächenpressung

Die wirkende Flächenpressung ist im Prinzip die Fugenpressung, die durch die Einpresskraft {F_a} bestimmt wird. Da sich die Einpresskraft bei Kegelverbindungen annährend gleichmäßig über den Fugenumfang verteilt, gilt:

\overline {{p_F}}  = \frac{{{F_N}}}{{{A_F}}} = \frac{{{F_N}}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  {l_F}}}

Dabei ist laut Roloff-Matek S. 368 {l_F} = \frac{l}{{\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}, also:

\overline {{p_F}}  = \frac{{{F_N}}}{{{A_F}}} = \frac{{{F_N}}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  \frac{l}{{\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}}} = \frac{{{F_N}\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  l}}

Nun brauchen wir die Kraft {F_N}. Wir stellen Gleichung \left( 8 \right) um:

{F_a} = \frac{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right) \cdot  {F_N}}}{{\cos \left( \rho  \right)}}\quad  \Rightarrow \quad {F_N} = \frac{{{F_a}\cos \left( \rho  \right)}}{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}

Damit folgt:

\overline {{p_F}}  = \frac{{{F_N}}}{{{A_F}}} = \frac{{\frac{{{F_a}\cos \left( \rho  \right)}}{{\sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  l}} = \frac{{{F_a}\cos \left( \rho  \right)\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  l \cdot  \sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}}

Werte einsetzen:

\overline {{p_F}}  = \frac{{{F_N}}}{{{A_F}}} = \frac{{{F_a}\cos \left( \rho  \right)\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{{D_{m,F}} \cdot  \pi  \cdot  l \cdot  \sin \left( {\rho +\frac{\alpha }{2}} \right)}} = \frac{{5,855 \cdot  {{10}^4}N\cos \left( {8,53^\circ } \right)\cos \left( {5,71^\circ } \right)}}{{72mm \cdot  \pi  \cdot  80mm \cdot  \sin \left( {8,53^\circ +5,71^\circ } \right)}} = 12,9\frac{N}{{m{m^2}}}

13.3 – Ermittlung des Anziehmoments

Laut Aufgabenskizze haben wir es bei dem Gewinde der Spannmutter mit dem Typ M48x3 zu tun. Dies bedeutet (laut Roloff-Matek Kapitel 8 S.194):

M – metrisches ISO-Feingewinde
48 – Nenndurchmesser 48mm
3 – Steigung 3mm (Gewinde kann als spiralförmige schiefe Ebene verstanden werden)

Wir nutzen zur Berechnung die folgende Tabelle:

iso-feingewinde-din-13-mas-toleranz

tabelle-feingewinde-iso-din-13

Ein Gewinde ist dabei nichts anderes als die profilierte Einkerbung, die längs einer um einen Zylinder gewundenen Schraubenlinie verläuft.

Die Art des Gewindes wird durch die Profilform (z.B. Dreieck oder Trapez), die Steigung, die Gangzahl (ein- oder mehrgängiges Gewinde) und den Windungssinn der Schraubenlinie (rechts- oder linksgängig) bestimmt. Die gebräuchlichsten Gewindearten sind:

  • Metrisches ISO-Gewinde / Feingewinde / Regelgewinde
  • Rohrgewinde
  • Metrisches ISO-Trapezgewinde
  • Metrisches Sägengewinde
  • Rundgewinde
  • Sonstige Gewindearten: Stahlpanzerrohr-Gewinde, Spezialgewinde z.B. für Gasflaschen

Wir bestimmen nun das Anziehdrehmoment (Roloff-Matek S.219)

Beim Festziehen der Schraube benötigen wir ein Moment, das so genannte Anziehdrehmoment, das sich aus zwei Komponenten zusammensetzt. Das ist zum einen das Moment {M_G}, das so genannte Gewindemoment, zum anderen {M_{R,A}}, das Auflagerreibungsmoment. Damit ergibt sich für das Anziehdrehmoment:

{M_A} = {M_G}+{M_{R,A}}

Für das Gewindemoment gilt die Beziehung:

{M_G} = {F_u} \cdot  \frac{{{d_2}}}{2} = {F_{V,M}} \cdot  \frac{{{d_2}}}{2} \cdot  \tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right) = {F_a}\frac{{{d_2}}}{2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)

mit dem Flankendurchmesser des Gewindes (Tabelle) {d_2}, dem Steigungswinkel des Gewindes (Tabelle oder rechnerisch) \alpha und dem Reibungswinkel des Gewindes (Tabelle) {\rho ^\prime }

Für das Auflagerreibungsmoment gilt die Beziehung:

{M_{R,A}} = {F_{V,M}}{\mu _k}\frac{{{d_k}}}{2} = {F_a}{\mu _k}\frac{{{d_k}}}{2}

mit der Reibungszahl für die Auflagefläche {\mu _k} und dem wirksamen Reibungsdurchmesser {d_k} im Schraubenkopf oder der Mutterauflage

Damit folgt für das Anziehmoment:

{M_A} = \frac{1}{2}{F_{V,M}}\left( {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _k}{d_k}} \right)

= \frac{1}{2}{F_a}\left( {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _k}{d_k}} \right) \\

Wir bestimmen zunächst den Flankendurchmesser {d_2} mit Hilfe der Tabelle oben. Wir sehen:

{d_2} = 46,051mm

Als nächstes bestimmen wir den Steigungswinkel \alpha des Gewindes. Wir können ihn hier ebenfalls aus der Tabelle entnehmen: \alpha  = 1,19^\circ.

Wäre der Winkel nicht in der Tabelle, könnten wir ihn mit der Beziehung

\alpha  = \arctan \left( {\frac{{{P_h}}}{{{d_2}\pi }}} \right)

berechnen. Dazu bräuchten wir allerdings noch die Gewindeleistung {P_h}, für die bei einem mehrgängigen Gewinde gilt: {P_h} = nP (Gangzahl n, Teilung des Gewindes P)

Als nächstes ist der effektive Reibungswinkel {\rho ^\prime } zu bestimmen. Es folgt aus der Gleichung für die Gewinde-Reibungszahl:

\tan \left( {{\rho ^\prime }} \right) = \frac{{{\mu _G}}}{{\cos \left( {\frac{\beta }{2}} \right)}}\quad  \Rightarrow \quad {\rho ^\prime } = \arctan \left( {\frac{{{\mu _G}}}{{\cos \left( {\frac{\beta }{2}} \right)}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{0,1}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}}} \right) = 6,59^\circ

mit der Gewinde-Reibungszahl {\mu _G}, die in der Aufgabenstellung gegeben ist, und dem Flankenwinkel \beta, der sich aus dem Bild über der Tabelle oben ergibt: \beta  = 60^\circ

Eine weitere benötigte Größe ist die Reibzahl für die Mutterauflage. Sie ist in der Aufgabenstellung gegeben: {\mu _k} = 0,2.

Die letzte Unbekannte ist der rechnerische Reibungsdurchmesser an der Mutterauflage {d_k}. Man bezeichnet diesen Durchmesser auch als wirksamen Reibungsdurchmesser. Es gilt:

{d_k} = 1,4 \cdot  {d_2} = 1,4 \cdot  46,051mm = 64,5mm

Der Faktor 1,4 ist dabei immer zu verwenden, wenn es um Sechskant und Zylinderschrauben geht.

Damit ergibt sich schließlich das Anziehmoment der Spannmutter:

{M_A} = \frac{1}{2}{F_a}\left( {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _k}{d_k}} \right)

= \frac{1}{2}\cdot 5,855 \cdot  {10^4}N\left( {46,051mm \cdot  \tan \left( {1,19^\circ +6,59^\circ } \right)+0,2 \cdot  64,5mm} \right)

= 562 \cdot  {10^3}Nmm = 562Nm

13.4 – Nachrechnung des Gewindezapfens

Durch die axiale Kraft {F_a} und durch das Anziehdrehmoment ergeben sich im Gewindezapfen sowohl Zugspannungen als auch Torsionsspannungen. Wir haben es also mit einem zweiachsigen Spannungszustand zu tun. Es empfiehlt sich die Berechnung einer Vergleichsspannung mit der Gestaltänderungsenergiehypothese. Im Folgenden müssen wir also die Einzelbelastungen betrachten.

1. Zugbelastung

{\sigma _z} = \frac{F}{A} = \frac{{{F_a}}}{{{A_s}}}

Der Spannungsquerschnitt {A_s} ist hier leicht zu berechnen:

{A_s} = \frac{{d_s^2\pi }}{4}

Dabei ist {d_s} der Mittelwert zwischen Flanken- und Kerndurchmesser des Feingewindes, die aus der Tabelle entnommen werden können:

{d_s} = \frac{{{d_2}+{d_3}}}{2} = \frac{{46,051mm+44,319mm}}{2} = 45,185mm

\quad  \Rightarrow \quad {A_s} = \frac{{d_s^2\pi }}{4} = \frac{{{{\left( {45,185mm} \right)}^2} \cdot  \pi }}{4} = 1603,5m{m^2}

\quad  \Rightarrow \quad {\sigma _z} = \frac{{{F_a}}}{{{A_s}}} = \frac{{5,855 \cdot  {{10}^4}N}}{{1603,5m{m^2}}} = 37\frac{N}{{m{m^2}}}

2. Torsionsbelastung

{\tau _t} = \frac{{{M_t}}}{{{W_t}}} = \frac{{{M_G}}}{{{W_t}}}

Wir betrachten bei der Torsionsbelastung nur das Gewindemoment ohne das Auflagereibungsmoment, da dieses nur bei der Reibung des Schraubenkopfes mit der Oberfläche entsteht.

Für das Gewindemoment allgemein gilt:

{M_G} = \frac{{{d_2}}}{2}{F_a}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right) = \frac{{46,051mm}}{2} \cdot  5,855 \cdot  {10^4}N \cdot  \tan \left( {1,19^\circ +6,59^\circ } \right) = 1,84 \cdot  {10^5}Nmm

Das Torsionswiderstandsmoment eines Kreisquerschnittes ergibt sich aus:

{W_t} = \frac{{\pi {d^3}}}{{16}}

Da die Schraube an jeder Stelle einen anderen Querschnitt (anderer Durchmesser) hat, müssen wir hier den mittleren Durchmesser benutzen:

{W_t} = \frac{{\pi d_S^3}}{{16}} = \frac{{\pi  \cdot  {{\left( {45,185mm} \right)}^3}}}{{16}}=18144m{m^3}

Damit ergibt sich die Torsionsbelastung:

{\tau _t} = \frac{{{M_G}}}{{{W_t}}} = \frac{{\frac{{{d_2}}}{2}{F_a}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)}}{{\frac{{\pi d_S^3}}{{16}}}} = \frac{{1,84 \cdot  {{10}^5}Nmm}}{{1,81 \cdot  {{10}^4}m{m^3}}} = 10\frac{N}{{m{m^2}}}

Für die gesuchte Vergleichsspannung nach GEH gilt:

{\sigma _{V,GEH}} = \sqrt {\sigma _z^2+3{{\left( {{\alpha _0}{\tau _t}} \right)}^2}}

Das Anstrengungsverhältnis entnehmen wir der folgenden Tabelle:

anstrengungsverhaltnis-tabelle

Da es sich um eine ruhende Biege- und Torsionsbelastung handelt, gilt: {\alpha _0} = 1.

Daraus folgt:

{\sigma _{V,GEH}} = \sqrt {{{\left( {37\frac{N}{{m{m^2}}}} \right)}^2}+3{{\left( {10\frac{N}{{m{m^2}}}} \right)}^2}}  = 41\frac{N}{{m{m^2}}}

Nun brauchen wir nur noch die zulässige Spannung des Bauteils als Vergleichswert. In der Aufgabe ist angegeben: {\sigma _{zul}} = 0,8 \cdot  {R_m}. Die Zugfestigkeit ist hier der Nennwert aus der Tabelle mit Werkstoffkennwerten:

werkstoffkennwerte-tabelle

Das Wellenmaterial ist C22E. Den R_m-Wert können wir nicht direkt ablesen, sondern benutzen die Formel

{R_m} = {R_{m,N}} \cdot {C_{D,m}}

Aus der Tabelle:

{R_{m,N}} = 500\frac{N}{{m{m^2}}}

Diagramm für den technologischen Größeneinflussfaktor:

technologischer-grosenfaktor

Es ergibt sich ein Wert von C_{D,m} = 0,85. Daraus folgt:

{R_m} = {R_{m,N}} \cdot {C_{D,m}} = 500\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot 0,85 = 425\frac{N}{{m{m^2}}}

und somit:

{\sigma _{zul}} = 0,8 \cdot {R_m} = 0,8 \cdot 425\frac{N}{{m{m^2}}} = 340\frac{N}{{m{m^2}}} \geq {\sigma _{V,GEH}}\quad \Rightarrow \quad in Ordnung

Bei dieser zulässigen Spannung kann davon ausgegangen werden, dass das Bauteil die Spannungen inklusive eventueller Sicherheiten erträgt.

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13 Kommentare zu “13 – Nachrechnung einer Kegelverbindung”

Für C22E ist Re,N = 340 N/mm^2 , wir brauchen jedoch:

Rm = Rm,N * Cd,m, mit:

Rm,N = 500 N/mm^2
Cd,m = 0,85 (Aus Diagramm 1.11)

Rm= 425 N/mm^2

daher zulässige Spannung = 425 N/mm^2 * 0.8 = 340 N/mm^2

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert.

Muss in einer Nachrechnung das Anstrengungsverhältnis nicht exakt berechnet werden?

Aussage der Übungsleiterin:
Schrauben sind so gut erforscht, dass man kein korrigiertes Anstrengungsverhältnis zu bestimmen braucht.

In 13.3 ist Ma berechnet worden, mit falschem dk

Danke, Fehler behoben.

Update:
von: Da der Kegel an jeder Stelle einen anderen Querschnitt hat
zu: Da die Schraube an jeder Stelle einen anderen Querschnitt hat

Laut Roloff/Matek berechnet sich dk für Sechskantschrauben zu: dk=1,3*d
Somit wäre dk=59,9mm

Da die Prüfung gerade vorbei ist, habe ich das Buch leider schon zurückgegeben^^
Aber so groß ist die Abweichung durch den anderen wirksamen Reibungsdurchmesser sowieso nicht, der geht ja auch nur mit dem Faktor 0,2 ein… ich kann mir gut vorstellen, dass in anderen Büchern dk=1,4*d benutzt wird.

Die Festigkeitsberechnung des Gewindezapfens muss an der schwächsten Stelle, also am Durchmesser der Gewinderille erfolgen.
Demzufolge ergeben sich ein anderes As und Wp und andere Spannungen.

P.S. Statt Gewinderille hätte ich besser Gewindefreistich (dg = d – 4,4 mm lt. DIN 76-1) schreiben sollen.

Servus,
in der Formel fehlt ein “=” vor dem Endwert.
Grüße

@ O-H: Kann sein, ich bin da nicht so der Experte. Hab es so gemacht wie in der Seminarübung.
@ yb: Habs geändert, danke für den Hinweis. Es wäre allerdings hilfreich gewesen, noch anzugeben, welche Formel gemeint ist ;)

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