Nichtlineare Schwingungen

 

Die Differentialgleichung der linearen Schwingung hatte den typischen Aufbau:

m\ddot x+r\dot x+cx = \hat F\cos \left( {\Omega t} \right)

\ddot x+\frac{r} {m}\dot x+\frac{c} {m}x = \frac{{\hat F}} {m}\cos \left( {\Omega t} \right)

Mit der Abklingkonstante δ und der Eigenkreisfrequenz ω1:

\ddot x+2 \delta \dot x+\omega _1^2 x = \hat f\cos \left( {\Omega t} \right)

Einer nichtlinearen Schwingung liegt eine nichtlineare DGL oder eine lineare DGL mit zeitvarianten Koeffizienten zugrunde. Nichtlinearität hat zur Folge, dass das Superpositionsprinzip nicht mehr gilt.

Ursachen der Nichtlinearität

  1. Nichtlineare Verknüpfung zwischen Kraft und Bewegung infolge nichtlinearer Bauteile, d.h. Systemparameter hängen von der schwingenden Größe ab. Beispiele:
    • Federn mit quadratischem, kubischem usw. Weg-Kraft-Gesetz (physikalische Nichtlinearität)
    • Dämpfer mit turbulenter Strömung oder Coulomb’scher Reibung
    • “Übersteuerung” an sich linearer Bauteile
    • vereinfachende Voraussetzungen (“flache Auslenkung”) nicht erfüllt (geometrische Nichtlinearität)
  2. Systemparameter hängen von der Zeit ab, d.h. sind zeitvariant
    • DGL nichtlinear: Parametrische Schwingungssysteme
    • DGL linear: Rheolineare Schwingungssysteme

Selbsterregte Schwingungen

Die Zufuhr von Energie wird durch die Schwingung des Systems selbst gesteuert. Die Erregerkreisfrequenz kann also nicht frei gewählt werden.

Beispiele:

  • Mechanisches Uhrwerk, elektrische Klingel
  • Kippschwingungen (Blinkerschaltung mit Bimetallstreifen, Dampf- oder Verbrennungsmotor
  • Reibschwingungen, beruhend auf dem Unterschied zwischen Haft- und Gleitreibung (Bremsenquietschen, Türknarren, Streichinstrumente)
  • Anblasen von Pfeifen

Zieh-Erscheinungen

In gekoppelten Systemen mit Selbsterregung sind Zieh-Erscheinungen zu beobachten.

1. Bei Kopplung eines selbsterregten und eines passiven Systems kann Frequenzziehen auftreten. Eigenfrequenz eines selbsterregten Oszillators lässt sich durch das angekoppelte passive System innerhalb gewisser Grenzen “mitziehen”.

Beispiele:

  • Angeblasene Zungenpfeife (selbsterregtes Schwingungssystem) mit angeseztem Rohr variabler Länge (passives Schwingungssystem)
  • Blues Harp

2. Wirkt eine zusätzliche periodische Erregung auf ein selbsterregtes System, ist Mitnahme möglich. In einem gewissen Bereich um die Eigenfrequenz des selbsterregten Systems ist die Schwingung mit der Frequenz der äußeren Erregung stabil. Die Frequenz der selbsterregten Schwingung wird durch Fremdschwingung mitgenommen. Dieser Bereich wird mit wachsender Amplitude der Fremdschwingungen größer.

Beispiele:

  • Orgelpfeifen, die gegeneinander verstimmt sind, um Schwebungen zu erzeugen. Die gemeinsame Windzuführung stellt eine Kopplung zwischen der Pfeife 1 (selbsterregtes System) und der Pfeife 2 (periodische Fremderregung) her. Es tritt nur die Frequenz der Pfeife 2 auf, da die Frequenz der Pfeife 1 mitgenommen wird.
  • “Innere Uhr”

Freie Schwingungen passiver nichtlinearer Systeme

  • Nichtlineare (z.B. Coulomb’sche) Dämpfung: Man beobachtet nichtexponentielles Abklingen der freien Schwingung
  • Nichtlineare rücktreibende Kraft (bzw. Federkennlinie): Die Kurvenform kann verzerrt sein, d.h. im Frequenzspektrum ist nicht nur die Eigenfrequenz, sondern weitere Harmonische enthalten. Zudem hängt die Eigenfrequenz von der Schwingungsamplitude ab.
  • Diskrete Massen verhalten sich dagegen immer linear

Mathematisches Pendel bei großen Auslenkungen

Die Dämpfung wird vernachlässigt. Die Differentialgleichung für den Winkelausschlag φ lautet:

\frac{{d^2 \phi }} {{dt^2 }}+\omega _1^2 \sin \phi  = 0

mit

\omega _1^2  = \frac{g} {l}

also Quotient aus Erdbeschleunigung und Länge des Pendels).

Nur für kleine Auslenkungen kann sin φ durch den Winkelausschlag ersetzt werden. Im Allgemeinen hängt die Zeitfunktion jedoch vom Winkelausschlag ab: Je größer die Auslenkung wird, desto mehr weicht die Zeitfunktion von einer harmonischen Schwingung ab. Eine Fourier-Zerlegung zeigt, dass neben der Grundkomponente auch höhere Spektralanteile auftreten. Deren Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.

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1 Kommentar zu “Nichtlineare Schwingungen”

Krass! Das hatte ich niemals geglaubt ;-)

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