02.2 – Operatoren (Begriffsklärung)

 
  1. Kennen Sie den Begriff “Operator”? Geben Sie Beispiele an.
  2. Was ist ein linearer Operator? Geben Sie Beispiele an.
  3. Was ist ein beschränkter Operator?

Lösung

a )

Operator

Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, durch die man aus mathematischen Objekten neue Objekte bilden kann.

In der Funktionalanalysis hat man es mit Vektorräumen zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Diese Räume nennt man auch Funktionenräume.
Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen bezeichnet man auch als Operatoren.

Als Schaubild:

Sind X und Y topologische Vektorräume, dann nennt man eine Abbildung f:X \to Y einen Operator. Ist Y der Skalarenkörper des Vektorraums, dann heißt f Funktional.

Grafik

Beispiele für Operatoren sind:

  • Operatoren für die Grundrechenarten: +\quad -\quad  \cdot \quad /
  • Funktionaloperatoren (im Sinne der Funktionalanalysis): \frac{d} {{dx}}\quad \int {} \quad \nabla \quad grad\quad div\quad rot

Unterschied zwischen Funktion und Funktional

Eine Funktion bildet Elemente eines Körpers auf andere ab, zum Beispiel

f:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^2}

Ein Funktional hingegen ist ein Operator, der Elemente eines Vektorraumes V auf den Skalarkörper K abbildet, über dem V modelliert ist. Diese Elemente können zum Beispiel selber Funktionen sein (wenn der Vektorraum ein Funktionenraum ist).

Lineares Funktional

Meistens wird der Begriff Funktional schon als Synonym für lineare Funktionale genutzt.
Für ein lineares Funktional muss die Addition und die skalare Multiplikation abgeschlossen sein, es muss also gelten:

\left( {f+g} \right)\left( x \right): = f\left( x \right)+g\left( x \right)

\left( {\lambda f} \right)\left( x \right): = \lambda  \cdot f\left( x \right)

b )

Lineare Operatoren sind Abbildungen f:X \to Y mit:

\mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)\quad \forall \lambda ,\mu  \in \mathbb{R};u,v \in X

Beispiele:

  • Nabla: \nabla
  • Id
  • Divergenz: div
  • \Delta

c )

beschränkter Operator:
Grafik

Ein linearer Operator heißt beschränkt, wenn es eine endliche Konstante c gibt, so dass:

\left\| f \right\|_x  \leq 1\quad  \Rightarrow \quad \left\| {\mathcal{L}\left( f \right)} \right\|_y  \leq c < \infty

Ein beschränkter Operator bildet somit die Einheitskugel aus X auf etwas Beschränktes in Y ab.

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